7.关于二次函数$y=ax^2+b$，下列命题正确的是().

A.若$a＞0$，则$y$随$x$的增大而增大
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.若$a＞0$，则$y$有最小值

7.D

【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+b$的基本性质：其图象对称轴为y轴（$x=0$），开口方向由$a$的符号决定，增减性需要结合开口方向和自变量的取值范围判断，最值也和开口方向直接相关。按照这个性质逐个判断选项：先判断涉及增减性的选项是否同时明确了$a$的符号和$x$的取值范围，再判断最值相关的选项是否符合开口方向对应的最值规律。
【解析】
二次函数$y=ax^2+b$的图象是抛物线，对称轴为$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,b)$，性质如下：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上：$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；此时顶点是图象最低点，函数有最小值$b$。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下：$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；此时顶点是图象最高点，函数有最大值$b$。
对各选项逐一分析：
A选项：仅说明$a＞0$，未限定$x$的取值范围，当$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，因此A错误；
B、C选项：均未说明$a$的正负，开口方向不确定，无法判断$x＞0$时的增减性，因此B、C错误；
D选项：$a＞0$时抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此$y$有最小值，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+b$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题的核心是明确二次函数的增减性必须同时结合开口方向、自变量的取值范围两个条件判断，最值的符号由开口方向直接决定，避免遗漏前提条件导致判断错误。
【难度系数】
0.8

8.已知二次函数$y=-2x^2 + c$，如果当$m≤x≤m+2≤0$时有$p≤y≤q$，则下列说法正确的是().

A.$q-p$有最大值，也有最小值
B.$q-p$有最大值，没有最小值
C.$q-p$没有最大值，有最小值
D.$q-p$没有最大值，也没有最小值

8.C

【分析】
解题思路如下：1.先分析二次函数的基本性质：确定开口方向、对称轴、不同区间的单调性；2.结合题目的区间限制$m≤x≤m+2≤0$，判断该区间位于二次函数的单调递增区间，从而确定最大值$q$和最小值$p$对应的自变量取值；3.将$q$和$p$代入函数表达式，化简得到$q-p$关于$m$的表达式；4.结合$m$的取值范围，分析$q-p$的最值情况即可得出结论。
【解析】
解：对于二次函数$y=-2x^2 + c$，
∵$a=-2＜0$，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线$x=0$，
∴当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
由题意$m≤x≤m+2≤0$，可知该区间全部在$x≤0$的范围内，
∴在区间$[m, m+2]$上，$x=m$时$y$取最小值$p$，$x=m+2$时$y$取最大值$q$，
即：
$p=-2m^2 + c$，
$q=-2(m+2)^2 + c$，
∴$q-p = [-2(m+2)^2 + c] - (-2m^2 + c)$
$=-2(m^2 +4m +4) + 2m^2$
$=-8m -8$。
又
∵$m+2≤0$，
∴$m≤-2$，
$q-p=-8m -8$是关于$m$的一次函数，且$k=-8＜0$，
∴$q-p$随$m$的增大而减小，
当$m$取最大值$-2$时，$q-p$取得最小值：$-8×(-2)-8=8$；
当$m$无限减小时，$-8m$无限增大，$q-p$也无限增大，没有最大值。
故$q-p$没有最大值，有最小值。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的增减性；一次函数的性质；代数式化简
【点评】
本题重点考查二次函数在给定区间的最值判断，解题的核心是先根据区间位置确定二次函数的单调性，从而得到最值对应的自变量，再将所求差值转化为关于参数的函数分析最值，解题时要注意不要忽略参数的取值范围限制。
【难度系数】
0.6

9.$A(2,y_1),B(3,y_2),C(-4,y_3)$是抛物线$y=3x^2+k$上的三个点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为________（用“＜”连接）.

9.$y_1＜y_2＜y_3$

【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先分析抛物线的基本性质：该抛物线解析式为$y=3x^2+k$，属于对称轴为y轴（直线$x=0$）的二次函数，二次项系数3＞0，因此抛物线开口向上，开口向上的抛物线上的点，横坐标距离对称轴越远，对应的函数值越大。我们可以通过计算三个点横坐标到对称轴的距离判断函数值大小，也可以直接代入横坐标求出三个函数值的表达式再比较，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
∵抛物线$y=3x^2+k$的二次项系数$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），
开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越大。
三点横坐标到对称轴$x=0$的距离分别为：
$|2-0|=2$，$|3-0|=3$，$|-4-0|=4$，
∵$2＜3＜4$，
∴$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二：代入计算比较
将A、B、C三点横坐标分别代入抛物线解析式得：
$y_1=3×2^2+k=12+k$，
$y_2=3×3^2+k=27+k$，
$y_3=3×(-4)^2+k=48+k$，
∵$12+k＜27+k＜48+k$，
∴$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
$y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过代入计算直接比较函数值，也可以利用抛物线开口方向、点到对称轴的距离快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8

10.已知抛物线$y=ax^2+c$过点$(-2,2)$和$(4,5)$，$F(0,2)$是$y$轴上的定点，点$B$是抛物线上除顶点外的任意一点，直线$l:y=kx+b$经过点$B,F$且交$x$轴于点$A$。
(1)求抛物线的解析式。
(2)如图，过点$B$作$BC⊥ x$轴于点$C$，连接$FC$，求证：$FC$平分$∠ BFO$。
(3)若点$F$是线段$AB$的中点，直接写出$k$的值。

10.(1)将点$(-2,2)$和$(4,5)$分别代入 $y=ax^2+c$,得$\begin{cases} 4a+c=2,\\ 16a+c=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{4},\\ c=1. \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{4}x^2+1$.
(2)①证明:过点 $B$ 作 $BD⊥ y$ 轴于点 $D$,设 $B(m,\dfrac{1}{4}m^2+1)$,
$\because BC⊥ x$ 轴,$BD⊥ y$ 轴,$F(0,2)$,$\therefore BC=\dfrac{1}{4}m^2+1$,$BD=|m|$,$DF=\left|\dfrac{1}{4}m^2-1\right|$,
$\therefore BF=\sqrt{m^2+(\dfrac{1}{4}m^2-1)^2}=\dfrac{1}{4}m^2+1$,$\therefore BC=BF$,$\therefore ∠ BFC=∠ BCF$.
$\because BC// y$ 轴,$\therefore ∠ OFC=∠ BCF$,$\therefore ∠ BFC=∠ OFC$,即 $FC$ 平分$∠ BFO$.
(3)$\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
提示:当点 $F$ 是线段 $AB$ 的中点时,$OF=\dfrac{1}{2}BC$,即 $BC=2OF=4$,即 $BC=\dfrac{1}{4}m^2+1=4$,解得 $m=\pm2\sqrt{3}$,故 $B(\pm2\sqrt{3},4)$,$F(0,2)$,将点的坐标代入直线的解析式,解得 $k=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
(1) 已知抛物线解析式为$y=ax^2+c$，仅含两个未知参数$a$和$c$，将给出的两个点坐标代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$c$的值，得到抛物线解析式。
(2) 要证明$FC$平分$∠ BFO$，即证$∠ BFC=∠ OFC$。先设出点$B$的坐标，利用勾股定理计算$BF$的长度，与$BC$的长度对比可得$BF=BC$，推出$∠ BFC=∠ BCF$；再结合$BC// y$轴，利用平行线的内错角相等得$∠ OFC=∠ BCF$，等量代换即可得证。
(3) 已知$F$是$AB$中点，$A$在$x$轴上（纵坐标为0），$F$纵坐标为2，根据中点坐标的性质，可推出点$B$的纵坐标为4，代入抛物线解析式求出点$B$的横坐标，再利用点$B$和点$F$的坐标计算直线$l$的斜率$k$即可。
【解析】
(1) 将点$(-2,2)$和$(4,5)$分别代入$y=ax^2+c$，得：
$\begin{cases} 4a+c=2,\\ 16a+c=5, \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$12a=3$，解得$a=\dfrac{1}{4}$，代入$4a+c=2$得$1+c=2$，解得$c=1$。
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{4}x^2+1$。
(2) 证明：过点 $B$ 作 $BD⊥ y$ 轴于点 $D$，设 $B(m,\dfrac{1}{4}m^2+1)$，
$\because BC⊥ x$ 轴，$BD⊥ y$ 轴，$F(0,2)$，
$\therefore BC=\dfrac{1}{4}m^2+1$，$BD=|m|$，$DF=\left|\dfrac{1}{4}m^2+1-2\right|=\left|\dfrac{1}{4}m^2-1\right|$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BD^2+DF^2}=\sqrt{m^2+(\dfrac{1}{4}m^2-1)^2}=\sqrt{(\dfrac{1}{4}m^2+1)^2}=\dfrac{1}{4}m^2+1$，
$\therefore BF=BC$，$\therefore ∠ BFC=∠ BCF$。
$\because BC⊥ x$轴，$y$轴$⊥ x$轴，$\therefore BC// y$轴，
$\therefore ∠ OFC=∠ BCF$，
$\therefore ∠ BFC=∠ OFC$，即 $FC$ 平分$∠ BFO$。
(3) $\because F$是线段$AB$的中点，$A$在$x$轴上，即$A$的纵坐标为$0$，$F$的纵坐标为$2$，
根据中点纵坐标等于两端点纵坐标的平均值，得$\dfrac{y_A+y_B}{2}=y_F$，即$\dfrac{0+y_B}{2}=2$，解得$y_B=4$。
将$y_B=4$代入抛物线解析式$y=\dfrac{1}{4}x^2+1$，得$4=\dfrac{1}{4}m^2+1$，解得$m^2=12$，$m=\pm2\sqrt{3}$，
$\therefore B$点坐标为$(2\sqrt{3},4)$或$(-2\sqrt{3},4)$。
将$B(2\sqrt{3},4)$、$F(0,2)$代入直线$y=kx+b$，得$b=2$，$2\sqrt{3}k +2=4$，解得$k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；
将$B(-2\sqrt{3},4)$、$F(0,2)$代入直线$y=kx+b$，得$b=2$，$-2\sqrt{3}k +2=4$，解得$k=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
$\therefore k$的值为$\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{4}x^2+1$；(2) 证明见上述解析；(3) $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 等腰三角形性质
3. 中点坐标应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，将几何证明与代数计算结合，考察数形结合思想的应用，题型典型，既注重基础计算能力的考察，也对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6