7.关于二次函数$y=ax^2+b$，下列命题正确的是().

A.若$a＞0$，则$y$随$x$的增大而增大
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.若$a＞0$，则$y$有最小值

7.D

【分析】
解决本题需先掌握二次函数$y=ax^2+b$的基本性质：其图象为抛物线，对称轴是y轴（$x=0$），开口方向由$a$的符号决定，增减性需结合开口方向和对称轴两侧的区间判断，最值由开口方向决定。解题时逐一分析每个选项，结合性质排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2+b$的图象对称轴为$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,b)$：
1. 分析选项A：若$a＞0$，抛物线开口向上，此时在$x＞0$区间$y$随$x$增大而增大，$x＜0$区间$y$随$x$增大而减小，不能笼统说$y$随$x$的增大而增大，故A错误。
2. 分析选项B：未说明$a$的符号，无法确定开口方向：若$a＜0$，抛物线开口向下，$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，故B错误。
3. 分析选项C：同理未说明$a$的符号，若$a＞0$，$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，故C错误。
4. 分析选项D：若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此$y$有最小值，最小值为$b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+b$的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的图象与性质，解题的关键是明确$a$的符号对开口方向、增减性、最值的影响，判断增减性时必须结合对称轴分区间讨论，避免忽略前提条件直接判断导致错误。
【难度系数】
0.8

8.已知二次函数$y=-2x^2 + c$，如果当$m≤x≤m+2≤0$时有$p≤y≤q$，则下列说法正确的是().

A.$q-p$有最大值，也有最小值
B.$q-p$有最大值，没有最小值
C.$q-p$没有最大值，有最小值
D.$q-p$没有最大值，也没有最小值

8.C

【分析】
首先分析二次函数$y=-2x^2 + c$的图象性质：该函数开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），因此在$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。题目给定自变量区间为$m≤ x≤ m+2≤0$，说明整个区间都在对称轴左侧，可先根据单调性确定区间内$y$的最大值$q$和最小值$p$对应的$x$取值，再推导$q-p$的表达式，结合$m$的取值范围分析$q-p$的最值情况即可。
【解析】
1. 分析二次函数性质：二次函数$y=-2x^2 + c$中，$a=-2＜0$，因此图象开口向下，对称轴为直线$x=0$，当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
2. 确定$p,q$的表达式：
已知$m≤ x≤ m+2≤0$，区间内$x$的最小值为$m$，最大值为$m+2$，结合单调性可得：
当$x=m$时，$y$取最小值$p$，即$p=-2m^2 + c$；
当$x=m+2$时，$y$取最大值$q$，即$q=-2(m+2)^2 + c$。
3. 推导$q-p$的表达式：
$q-p = [-2(m+2)^2 + c] - [-2m^2 + c]$
展开计算：
$q-p=-2(m^2+4m+4)+c +2m^2 -c = -8m -8$
4. 分析$q-p$的最值：
由$m+2≤0$得$m≤-2$，$q-p=-8m-8$是关于$m$的一次函数，且$k=-8＜0$，因此$q-p$随$m$的增大而减小。
当$m$取最大值$-2$时，$q-p$取得最小值：$-8×(-2)-8=8$；
当$m$趋向负无穷时，$-8m$趋向正无穷，因此$q-p$没有最大值。
综上，$q-p$没有最大值，有最小值，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的增减性，一次函数的性质，二次函数区间最值
【点评】
本题核心是利用二次函数的单调性确定闭区间上的最值，解题时要先结合自变量的取值范围判断函数在区间内的增减性，再代入端点计算差值，最后结合参数的取值范围分析差值的最值，需要注意不要忽略参数的取值限制。
【难度系数】
0.6

9.$A(2,y_1),B(3,y_2),C(-4,y_3)$是抛物线$y=3x^2+k$上的三个点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为________（用“＜”连接）.

9.$y_1＜y_2＜y_3$

【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先明确抛物线$y=3x^2+k$的性质：二次项系数3＞0，抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）；开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。因此只需计算三个点横坐标的绝对值（即到y轴的距离），比较距离大小即可得出函数值的大小关系，无需计算参数$k$的具体值。
【解析】
对于抛物线$y=3x^2+k$：
1. 由二次项系数$a=3＞0$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；
3. 计算三个点到对称轴$x=0$的距离：
点$A(2,y_1)$的距离为$|2|=2$，
点$B(3,y_2)$的距离为$|3|=3$，
点$C(-4,y_3)$的距离为$|-4|=4$；
4. 因为$2＜3＜4$，所以对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
$y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次函数对称性
3. 函数值大小比较
【点评】
这道题是二次函数部分的常见题型，核心考查利用二次函数的性质比较函数值，解题关键是掌握开口方向、点到对称轴的距离与函数值大小的关系，无需代入计算未知参数即可快速得出结果，技巧性较强。
【难度系数】
0.7

10.已知抛物线$y=ax^2+c$过点$(-2,2)$和$(4,5)$，$F(0,2)$是$y$轴上的定点，点$B$是抛物线上除顶点外的任意一点，直线$l:y=kx+b$经过点$B,F$且交$x$轴于点$A$。
(1)求抛物线的解析式。
(2)如图，过点$B$作$BC⊥ x$轴于点$C$，连接$FC$，求证：$FC$平分$∠ BFO$。
(3)若点$F$是线段$AB$的中点，直接写出$k$的值。

10.(1)将点$(-2,2)$和$(4,5)$分别代入 $y=ax^2+c$,得$\begin{cases} 4a+c=2,\\ 16a+c=5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{4},\\ c=1. \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{4}x^2+1$.
(2)①证明:过点 $B$ 作 $BD⊥ y$ 轴于点 $D$,设 $B(m,\dfrac{1}{4}m^2+1)$,
$\because BC⊥ x$ 轴,$BD⊥ y$ 轴,$F(0,2)$,$\therefore BC=\dfrac{1}{4}m^2+1$,$BD=|m|$,$DF=\left|\dfrac{1}{4}m^2-1\right|$,
$\therefore BF=\sqrt{m^2+(\dfrac{1}{4}m^2-1)^2}=\dfrac{1}{4}m^2+1$,$\therefore BC=BF$,$\therefore ∠ BFC=∠ BCF$.
$\because BC// y$ 轴,$\therefore ∠ OFC=∠ BCF$,$\therefore ∠ BFC=∠ OFC$,即 $FC$ 平分$∠ BFO$.
(3)$\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
提示:当点 $F$ 是线段 $AB$ 的中点时,$OF=\dfrac{1}{2}BC$,即 $BC=2OF=4$,即 $BC=\dfrac{1}{4}m^2+1=4$,解得 $m=\pm2\sqrt{3}$,故 $B(\pm2\sqrt{3},4)$,$F(0,2)$,将点的坐标代入直线的解析式,解得 $k=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
(1) 抛物线解析式$y=ax^2+c$含有两个未知参数，已知抛物线上两个点的坐标，采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到二元一次方程组，求解即可得到a、c的值，确定抛物线解析式。
(2) 要证FC平分∠BFO，需证∠BFC=∠OFC。先设出点B的坐标，通过坐标计算BF和BC的长度，可得BF=BC，由等腰三角形等边对等角得∠BFC=∠BCF；再结合BC平行于y轴，由平行线内错角相等得∠OFC=∠BCF，等量代换即可证明角平分线结论。
(3) F是AB中点，A在x轴上纵坐标为0，根据中点坐标的性质可求出点B的纵坐标，代入抛物线解析式求出B的横坐标，再将B、F坐标代入直线解析式即可求出k的值。
【解析】
(1) 将点$(-2,2)$和$(4,5)$分别代入$y=ax^2+c$，得：
$\begin{cases} 4a+c=2\\ 16a+c=5 \end{cases}$
两式相减得$12a=3$，解得$a=\dfrac{1}{4}$，代入$4a+c=2$得$c=1$。
∴抛物线的解析式为$y=\dfrac{1}{4}x^2+1$。
(2) 证明：过点$B$作$BD⊥ y$轴于点$D$，设$B(m,\dfrac{1}{4}m^2+1)$。
∵$BC⊥ x$轴，$BD⊥ y$轴，$F(0,2)$，
∴$BC=\dfrac{1}{4}m^2+1$，$BD=|m|$，$DF=\left|\dfrac{1}{4}m^2+1-2\right|=\left|\dfrac{1}{4}m^2-1\right|$。
在$Rt△ BDF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BD^2+DF^2}=\sqrt{m^2+(\dfrac{1}{4}m^2-1)^2}=\sqrt{(\dfrac{1}{4}m^2+1)^2}=\dfrac{1}{4}m^2+1$，
∴$BF=BC$，
∴$∠BFC=∠BCF$。
∵$BC⊥x$轴，$y$轴$⊥x$轴，
∴$BC// y$轴，
∴$∠OFC=∠BCF$，
∴$∠BFC=∠OFC$，即$FC$平分$∠BFO$。
(3)
∵F是线段AB的中点，A在x轴上，纵坐标为0，F的纵坐标为2，
∴点B的纵坐标为$2×2-0=4$。
将$y=4$代入抛物线解析式得$\dfrac{1}{4}x^2+1=4$，解得$x=\pm2\sqrt{3}$，即B点坐标为$(2\sqrt{3},4)$或$(-2\sqrt{3},4)$。
将B、F坐标代入$y=kx+b$：
当B为$(2\sqrt{3},4)$时，$4=2\sqrt{3}k+2$，解得$k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；
当B为$(-2\sqrt{3},4)$时，$4=-2\sqrt{3}k+2$，解得$k=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
综上$k=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{4}x^2+1$
(2) FC平分$∠ BFO$，证明成立
(3) $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 角平分线的判定
3. 二次函数与一次函数综合
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问考察待定系数法的基础运算能力，第二问将代数坐标运算与等腰三角形、平行线的几何性质结合，第三问借助中点性质简化运算，是二次函数部分考察知识综合运用能力的典型习题。
【难度系数】
0.65