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8.点$A(2,m),B(-3,n)$在抛物线$y=ax^2(a＞0)$上,则$m,n$的大小关系为________；
点$C(3,m),D(-5,n)$在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上,则$m,n$的大小关系为________。
点$C(3,m),D(-5,n)$在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上,则$m,n$的大小关系为________。
答案
8.$m＜n$；$m＞n$
解析
【分析】
比较二次函数上两点的函数值大小，可结合抛物线$y=ax^2$的性质分析：首先明确$y=ax^2$的对称轴是y轴（直线$x=0$），函数值大小由两点到对称轴的距离、抛物线开口方向共同决定。解题步骤为：第一步根据$a$的正负判断开口方向，$a＞0$时开口向上，离对称轴越远函数值越大；$a＜0$时开口向下，离对称轴越远函数值越小；第二步计算两点横坐标的绝对值，即到y轴的距离；第三步结合开口方向比较函数值大小即可。
【解析】
1. 比较第一个空的$m、n$大小：
抛物线$y=ax^2(a＞0)$对称轴为y轴，开口向上，点到y轴距离越远，函数值越大。
点$A(2,m)$到y轴的距离为$|2|=2$，点$B(-3,n)$到y轴的距离为$|-3|=3$，
$\because 2＜3$，$\therefore m＜n$。
2. 比较第二个空的$m、n$大小：
抛物线$y=ax^2(a＜0)$对称轴为y轴，开口向下，点到y轴距离越远，函数值越小。
点$C(3,m)$到y轴的距离为$|3|=3$，点$D(-5,n)$到y轴的距离为$|-5|=5$，
$\because 3＜5$，$\therefore m＞n$。
【答案】
$m＜n$；$m＞n$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查$y=ax^2$的图象性质应用，只要掌握开口方向、点到对称轴距离与函数值的对应关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
比较二次函数上两点的函数值大小，可结合抛物线$y=ax^2$的性质分析：首先明确$y=ax^2$的对称轴是y轴（直线$x=0$），函数值大小由两点到对称轴的距离、抛物线开口方向共同决定。解题步骤为：第一步根据$a$的正负判断开口方向，$a＞0$时开口向上，离对称轴越远函数值越大；$a＜0$时开口向下，离对称轴越远函数值越小；第二步计算两点横坐标的绝对值，即到y轴的距离；第三步结合开口方向比较函数值大小即可。
【解析】
1. 比较第一个空的$m、n$大小：
抛物线$y=ax^2(a＞0)$对称轴为y轴，开口向上，点到y轴距离越远，函数值越大。
点$A(2,m)$到y轴的距离为$|2|=2$，点$B(-3,n)$到y轴的距离为$|-3|=3$，
$\because 2＜3$，$\therefore m＜n$。
2. 比较第二个空的$m、n$大小：
抛物线$y=ax^2(a＜0)$对称轴为y轴，开口向下，点到y轴距离越远，函数值越小。
点$C(3,m)$到y轴的距离为$|3|=3$，点$D(-5,n)$到y轴的距离为$|-5|=5$，
$\because 3＜5$，$\therefore m＞n$。
【答案】
$m＜n$；$m＞n$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查$y=ax^2$的图象性质应用，只要掌握开口方向、点到对称轴距离与函数值的对应关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
9.已知平面直角坐标系中直线$ l $的解析式为$ y - 4 = 0 $，且$ l $与二次函数$ y = ax^2 $的图象相交于$ A,B $两点（点$ A $在点$ B $的左侧），与二次函数$ y = x^2 $的图象相交于$ C,D $两点（点$ C $在点$ D $的左侧）.若$ AC = 1 $，求$ a $的值.
答案
9.联立$\begin{cases} y-4=0,\\ y=ax^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=\dfrac{2}{\sqrt{a}},\\ y_1=4, \end{cases}\begin{cases} x_2=-\dfrac{2}{\sqrt{a}},\\ y_2=4, \end{cases}$
$\because$点 $A$ 在点 $B$ 的左侧,$\therefore$点 $A$ 的坐标为$(-\dfrac{2}{\sqrt{a}},4)$.
联立$\begin{cases} y-4=0,\\ y=x^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=2,\\ y_1=4, \end{cases}\begin{cases} x_2=-2,\\ y_2=4, \end{cases}$
$\because$点 $C$ 在点 $D$ 的左侧,$\therefore$点 $C$ 的坐标为$(-2,4)$,
$\because AC=1,\therefore \left|-\dfrac{2}{\sqrt{a}}-(-2)\right|=1$,解得 $a=4$ 或$\dfrac{4}{9}$.
$\because$点 $A$ 在点 $B$ 的左侧,$\therefore$点 $A$ 的坐标为$(-\dfrac{2}{\sqrt{a}},4)$.
联立$\begin{cases} y-4=0,\\ y=x^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=2,\\ y_1=4, \end{cases}\begin{cases} x_2=-2,\\ y_2=4, \end{cases}$
$\because$点 $C$ 在点 $D$ 的左侧,$\therefore$点 $C$ 的坐标为$(-2,4)$,
$\because AC=1,\therefore \left|-\dfrac{2}{\sqrt{a}}-(-2)\right|=1$,解得 $a=4$ 或$\dfrac{4}{9}$.
解析
【分析】
首先直线$l$的解析式可化简为$y=4$，它与两个二次函数的交点纵坐标均为4。解题思路如下：第一步，分别联立直线$l$与两个二次函数的解析式，求解得到两组交点坐标；第二步，根据“左侧点横坐标更小”的规则，确定点$A$、点$C$的坐标；第三步，由于$A$、$C$两点纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差的绝对值，结合$AC=1$列绝对值方程，求解即可得到$a$的值，注意二次项系数$a＞0$才能保证二次函数与$y=4$有交点。
【解析】
化简直线$l$的解析式得：$y=4$。
1. 求直线$l$与$y=ax^2$的交点：
联立$\begin{cases} y=4\\ y=ax^2 \end{cases}$，将$y=4$代入$y=ax^2$得$ax^2=4$，解得$x=\pm\frac{2}{\sqrt{a}}$（$a＞0$）。
因为点$A$在点$B$的左侧，横坐标更小，所以点$A$的坐标为$(-\frac{2}{\sqrt{a}},4)$。
2. 求直线$l$与$y=x^2$的交点：
联立$\begin{cases} y=4\\ y=x^2 \end{cases}$，解得$x=\pm2$。
因为点$C$在点$D$的左侧，横坐标更小，所以点$C$的坐标为$(-2,4)$。
3. 根据$AC=1$列方程求解：
$A$、$C$两点纵坐标均为4，两点距离等于横坐标差的绝对值，因此：
$\left|-\frac{2}{\sqrt{a}} - (-2)\right|=1$，即$\left|2-\frac{2}{\sqrt{a}}\right|=1$。
分两种情况讨论：
① 当$2-\frac{2}{\sqrt{a}}=1$时，$\frac{2}{\sqrt{a}}=1$，解得$\sqrt{a}=2$，即$a=4$；
② 当$2-\frac{2}{\sqrt{a}}=-1$时，$\frac{2}{\sqrt{a}}=3$，解得$\sqrt{a}=\frac{2}{3}$，即$a=\frac{4}{9}$。
经检验，$a=4$和$a=\frac{4}{9}$均为正数，符合题意。
【答案】
$a=4$或$a=\frac{4}{9}$
【知识点】
函数交点求解；两点距离计算；绝对值方程求解
【点评】
本题核心是利用“函数图象交点坐标为两个函数解析式联立的方程组的解”求出对应点坐标，再结合同纵坐标点的距离简化计算，注意绝对值方程存在两种情况，求解后要检验结果是否符合二次函数的定义要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
首先直线$l$的解析式可化简为$y=4$，它与两个二次函数的交点纵坐标均为4。解题思路如下：第一步，分别联立直线$l$与两个二次函数的解析式，求解得到两组交点坐标；第二步，根据“左侧点横坐标更小”的规则，确定点$A$、点$C$的坐标；第三步，由于$A$、$C$两点纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差的绝对值，结合$AC=1$列绝对值方程，求解即可得到$a$的值，注意二次项系数$a＞0$才能保证二次函数与$y=4$有交点。
【解析】
化简直线$l$的解析式得：$y=4$。
1. 求直线$l$与$y=ax^2$的交点：
联立$\begin{cases} y=4\\ y=ax^2 \end{cases}$，将$y=4$代入$y=ax^2$得$ax^2=4$，解得$x=\pm\frac{2}{\sqrt{a}}$（$a＞0$）。
因为点$A$在点$B$的左侧，横坐标更小，所以点$A$的坐标为$(-\frac{2}{\sqrt{a}},4)$。
2. 求直线$l$与$y=x^2$的交点：
联立$\begin{cases} y=4\\ y=x^2 \end{cases}$，解得$x=\pm2$。
因为点$C$在点$D$的左侧，横坐标更小，所以点$C$的坐标为$(-2,4)$。
3. 根据$AC=1$列方程求解：
$A$、$C$两点纵坐标均为4，两点距离等于横坐标差的绝对值，因此：
$\left|-\frac{2}{\sqrt{a}} - (-2)\right|=1$，即$\left|2-\frac{2}{\sqrt{a}}\right|=1$。
分两种情况讨论：
① 当$2-\frac{2}{\sqrt{a}}=1$时，$\frac{2}{\sqrt{a}}=1$，解得$\sqrt{a}=2$，即$a=4$；
② 当$2-\frac{2}{\sqrt{a}}=-1$时，$\frac{2}{\sqrt{a}}=3$，解得$\sqrt{a}=\frac{2}{3}$，即$a=\frac{4}{9}$。
经检验，$a=4$和$a=\frac{4}{9}$均为正数，符合题意。
【答案】
$a=4$或$a=\frac{4}{9}$
【知识点】
函数交点求解；两点距离计算；绝对值方程求解
【点评】
本题核心是利用“函数图象交点坐标为两个函数解析式联立的方程组的解”求出对应点坐标，再结合同纵坐标点的距离简化计算，注意绝对值方程存在两种情况，求解后要检验结果是否符合二次函数的定义要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
10.如图，点A,B在$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上.已知A,B的横坐标分别为-2,4，直线AB与y轴交于点C，连接OA,OB.
(1)求直线AB的函数解析式.
(2)求$△ AOB$的面积.
(3)若函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上存在点P，使$△ PAB$的面积等于$△ AOB$的面积的一半，则这样的点P共有
(1)求直线AB的函数解析式.
(2)求$△ AOB$的面积.
(3)若函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上存在点P，使$△ PAB$的面积等于$△ AOB$的面积的一半，则这样的点P共有
3
个.答案
10.(1)令 $x=-2,y=\dfrac{1}{4}x^2=1$,得 $A(-2,1)$;令 $x=4,y=\dfrac{1}{4}x^2=4$,得 $B(4,4)$.
设 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$,将点 $A$,$B$ 的坐标代入得$\begin{cases} -2k+b=1,\\ 4k+b=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$直线 $AB$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2$.
(2)令 $x=0,y=\dfrac{1}{2}x+2=2$,得 $C(0,2)$.$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=6$.
(3)4
提示:作与 $AB$ 平行且与 $AB$ 的距离为点 $O$ 到 $AB$ 的距离的一半的直线,与抛物线的交点即点 $P$.
设 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$,将点 $A$,$B$ 的坐标代入得$\begin{cases} -2k+b=1,\\ 4k+b=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$直线 $AB$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2$.
(2)令 $x=0,y=\dfrac{1}{2}x+2=2$,得 $C(0,2)$.$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=6$.
(3)4
提示:作与 $AB$ 平行且与 $AB$ 的距离为点 $O$ 到 $AB$ 的距离的一半的直线,与抛物线的交点即点 $P$.
解析
【分析】
(1) 要求直线AB的解析式，首先需得到A、B两点坐标：已知A、B在抛物线上，将两点横坐标代入抛物线解析式即可求出纵坐标，再用待定系数法设一次函数解析式，代入两点坐标解方程组就能得到解析式。
(2) 求$△ AOB$的面积时，可利用直线AB与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$两个同底的三角形，先求出OC长度，再分别计算两个三角形的面积相加即可。
(3) $△ PAB$和$△ AOB$同以AB为底，若面积为$△ AOB$的一半，则点P到AB的距离是点O到AB距离的一半。分别在AB的上下两侧作与AB平行、且距离符合要求的两条直线，统计两条直线与抛物线的交点总数即可。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{4}x^2$，得$y=\frac{1}{4}×(-2)^2=1$，即$A(-2,1)$；
将$x=4$代入$y=\frac{1}{4}x^2$，得$y=\frac{1}{4}×4^2=4$，即$B(4,4)$。
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，把A、B坐标代入得：
$\begin{cases}-2k+b=1 \\4k+b=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\b=2 \end{cases}$
因此直线AB的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(2) 求直线AB与y轴交点C的坐标：
令$x=0$，代入$y=\frac{1}{2}x+2$得$y=2$，即$C(0,2)$，故$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_A| + \frac{1}{2}× OC× x_B=\frac{1}{2}×2×2 + \frac{1}{2}×2×4=2+4=6$。
(3) $△ PAB$与$△ AOB$共底AB，面积比为1:2，则点P到AB的距离为点O到AB距离的$\frac{1}{2}$。与AB平行的直线可设为$y=\frac{1}{2}x+m$，在AB上下两侧各有1条符合距离要求的直线，每条直线与抛物线联立后均有2个交点，因此总共有4个符合条件的点P。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x+2$；(2) 6；(3) 4
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数与二次函数的基础应用，分割法是求解坐标系内不规则三角形面积的常用技巧，第三问将面积关系转化为平行线与抛物线的交点问题，解题时需注意直线可分布在已知直线的两侧，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要求直线AB的解析式，首先需得到A、B两点坐标：已知A、B在抛物线上，将两点横坐标代入抛物线解析式即可求出纵坐标，再用待定系数法设一次函数解析式，代入两点坐标解方程组就能得到解析式。
(2) 求$△ AOB$的面积时，可利用直线AB与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$两个同底的三角形，先求出OC长度，再分别计算两个三角形的面积相加即可。
(3) $△ PAB$和$△ AOB$同以AB为底，若面积为$△ AOB$的一半，则点P到AB的距离是点O到AB距离的一半。分别在AB的上下两侧作与AB平行、且距离符合要求的两条直线，统计两条直线与抛物线的交点总数即可。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{4}x^2$，得$y=\frac{1}{4}×(-2)^2=1$，即$A(-2,1)$；
将$x=4$代入$y=\frac{1}{4}x^2$，得$y=\frac{1}{4}×4^2=4$，即$B(4,4)$。
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，把A、B坐标代入得：
$\begin{cases}-2k+b=1 \\4k+b=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\b=2 \end{cases}$
因此直线AB的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(2) 求直线AB与y轴交点C的坐标：
令$x=0$，代入$y=\frac{1}{2}x+2$得$y=2$，即$C(0,2)$，故$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_A| + \frac{1}{2}× OC× x_B=\frac{1}{2}×2×2 + \frac{1}{2}×2×4=2+4=6$。
(3) $△ PAB$与$△ AOB$共底AB，面积比为1:2，则点P到AB的距离为点O到AB距离的$\frac{1}{2}$。与AB平行的直线可设为$y=\frac{1}{2}x+m$，在AB上下两侧各有1条符合距离要求的直线，每条直线与抛物线联立后均有2个交点，因此总共有4个符合条件的点P。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x+2$；(2) 6；(3) 4
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数与二次函数的基础应用，分割法是求解坐标系内不规则三角形面积的常用技巧，第三问将面积关系转化为平行线与抛物线的交点问题，解题时需注意直线可分布在已知直线的两侧，避免漏解。
【难度系数】
0.6
