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8.点$A(2,m),B(-3,n)$在抛物线$y=ax^2(a＞0)$上,则$m,n$的大小关系为________；
点$C(3,m),D(-5,n)$在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上,则$m,n$的大小关系为________。
点$C(3,m),D(-5,n)$在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上,则$m,n$的大小关系为________。
答案
8.$m＜n$；$m＞n$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：该抛物线的对称轴为y轴（直线$x=0$），当$a＞0$时开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大；当$a＜0$时开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小。我们只需要计算各点横坐标的绝对值（即点到y轴的距离），结合开口方向即可比较$m、n$的大小。
【解析】
1. 对于抛物线$y=ax^2(a＞0)$：
对称轴为直线$x=0$，开口向上，点到对称轴距离越远函数值越大。
点$A(2,m)$到y轴的距离为$|2|=2$，点$B(-3,n)$到y轴的距离为$|-3|=3$，
因为$2＜3$，所以$m＜n$。
2. 对于抛物线$y=ax^2(a＜0)$：
对称轴为直线$x=0$，开口向下，点到对称轴距离越远函数值越小。
点$C(3,m)$到y轴的距离为$|3|=3$，点$D(-5,n)$到y轴的距离为$|-5|=5$，
因为$3＜5$，所以$m＞n$。
【答案】
$m＜n$；$m＞n$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是抓住$y=ax^2$的对称轴为y轴的特点，结合开口方向通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：该抛物线的对称轴为y轴（直线$x=0$），当$a＞0$时开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大；当$a＜0$时开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小。我们只需要计算各点横坐标的绝对值（即点到y轴的距离），结合开口方向即可比较$m、n$的大小。
【解析】
1. 对于抛物线$y=ax^2(a＞0)$：
对称轴为直线$x=0$，开口向上，点到对称轴距离越远函数值越大。
点$A(2,m)$到y轴的距离为$|2|=2$，点$B(-3,n)$到y轴的距离为$|-3|=3$，
因为$2＜3$，所以$m＜n$。
2. 对于抛物线$y=ax^2(a＜0)$：
对称轴为直线$x=0$，开口向下，点到对称轴距离越远函数值越小。
点$C(3,m)$到y轴的距离为$|3|=3$，点$D(-5,n)$到y轴的距离为$|-5|=5$，
因为$3＜5$，所以$m＞n$。
【答案】
$m＜n$；$m＞n$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是抓住$y=ax^2$的对称轴为y轴的特点，结合开口方向通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9.已知平面直角坐标系中直线$ l $的解析式为$ y - 4 = 0 $，且$ l $与二次函数$ y = ax^2 $的图象相交于$ A,B $两点（点$ A $在点$ B $的左侧），与二次函数$ y = x^2 $的图象相交于$ C,D $两点（点$ C $在点$ D $的左侧）.若$ AC = 1 $，求$ a $的值.
答案
9.联立$\begin{cases} y-4=0,\\ y=ax^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=\dfrac{2}{\sqrt{a}},\\ y_1=4, \end{cases}\begin{cases} x_2=-\dfrac{2}{\sqrt{a}},\\ y_2=4, \end{cases}$
$\because$点 $A$ 在点 $B$ 的左侧,$\therefore$点 $A$ 的坐标为$(-\dfrac{2}{\sqrt{a}},4)$.
联立$\begin{cases} y-4=0,\\ y=x^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=2,\\ y_1=4, \end{cases}\begin{cases} x_2=-2,\\ y_2=4, \end{cases}$
$\because$点 $C$ 在点 $D$ 的左侧,$\therefore$点 $C$ 的坐标为$(-2,4)$,
$\because AC=1,\therefore \left|-\dfrac{2}{\sqrt{a}}-(-2)\right|=1$,解得 $a=4$ 或$\dfrac{4}{9}$.
$\because$点 $A$ 在点 $B$ 的左侧,$\therefore$点 $A$ 的坐标为$(-\dfrac{2}{\sqrt{a}},4)$.
联立$\begin{cases} y-4=0,\\ y=x^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=2,\\ y_1=4, \end{cases}\begin{cases} x_2=-2,\\ y_2=4, \end{cases}$
$\because$点 $C$ 在点 $D$ 的左侧,$\therefore$点 $C$ 的坐标为$(-2,4)$,
$\because AC=1,\therefore \left|-\dfrac{2}{\sqrt{a}}-(-2)\right|=1$,解得 $a=4$ 或$\dfrac{4}{9}$.
解析
【分析】
首先可将直线$l$的解析式化简为$y=4$，它与两个二次函数的交点纵坐标均为4，因此我们先分别联立直线$l$与两个二次函数的解析式，求出对应交点的坐标；由于$A$、$C$两点纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差的绝对值，再结合$AC=1$列出含$a$的方程，求解即可得到$a$的值，注意$a$需为正数，否则$y=ax^2$与$y=4$无交点。
【解析】
1. 求点$A$的坐标：
联立$\begin{cases} y=4\\ y=ax^2 \end{cases}$，整理得$ax^2=4$，即$x^2=\frac{4}{a}$（$a＞0$），解得$x=\pm\frac{2}{\sqrt{a}}$。
因为点$A$在点$B$左侧，横坐标更小，所以$A(-\frac{2}{\sqrt{a}},4)$。
2. 求点$C$的坐标：
联立$\begin{cases} y=4\\ y=x^2 \end{cases}$，整理得$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
因为点$C$在点$D$左侧，横坐标更小，所以$C(-2,4)$。
3. 列方程求解$a$：
$A$、$C$纵坐标相同，两点距离$AC=|x_A - x_C|$，代入$AC=1$得：
$\left|-\frac{2}{\sqrt{a}} - (-2)\right|=1$，即$\left|2-\frac{2}{\sqrt{a}}\right|=1$。
分两种情况讨论：
① 当$2-\frac{2}{\sqrt{a}}=1$时，$\frac{2}{\sqrt{a}}=1$，解得$a=4$；
② 当$2-\frac{2}{\sqrt{a}}=-1$时，$\frac{2}{\sqrt{a}}=3$，解得$a=\frac{4}{9}$。
【答案】
$a=4$或$a=\frac{4}{9}$
【知识点】
1.函数交点求解
2.两点距离计算
3.绝对值方程求解
【点评】
本题核心是利用函数图象交点的求解方法得到对应点坐标，结合同水平线两点距离的计算规律列方程，解题时需注意绝对值方程有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先可将直线$l$的解析式化简为$y=4$，它与两个二次函数的交点纵坐标均为4，因此我们先分别联立直线$l$与两个二次函数的解析式，求出对应交点的坐标；由于$A$、$C$两点纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差的绝对值，再结合$AC=1$列出含$a$的方程，求解即可得到$a$的值，注意$a$需为正数，否则$y=ax^2$与$y=4$无交点。
【解析】
1. 求点$A$的坐标：
联立$\begin{cases} y=4\\ y=ax^2 \end{cases}$，整理得$ax^2=4$，即$x^2=\frac{4}{a}$（$a＞0$），解得$x=\pm\frac{2}{\sqrt{a}}$。
因为点$A$在点$B$左侧，横坐标更小，所以$A(-\frac{2}{\sqrt{a}},4)$。
2. 求点$C$的坐标：
联立$\begin{cases} y=4\\ y=x^2 \end{cases}$，整理得$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
因为点$C$在点$D$左侧，横坐标更小，所以$C(-2,4)$。
3. 列方程求解$a$：
$A$、$C$纵坐标相同，两点距离$AC=|x_A - x_C|$，代入$AC=1$得：
$\left|-\frac{2}{\sqrt{a}} - (-2)\right|=1$，即$\left|2-\frac{2}{\sqrt{a}}\right|=1$。
分两种情况讨论：
① 当$2-\frac{2}{\sqrt{a}}=1$时，$\frac{2}{\sqrt{a}}=1$，解得$a=4$；
② 当$2-\frac{2}{\sqrt{a}}=-1$时，$\frac{2}{\sqrt{a}}=3$，解得$a=\frac{4}{9}$。
【答案】
$a=4$或$a=\frac{4}{9}$
【知识点】
1.函数交点求解
2.两点距离计算
3.绝对值方程求解
【点评】
本题核心是利用函数图象交点的求解方法得到对应点坐标，结合同水平线两点距离的计算规律列方程，解题时需注意绝对值方程有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10.如图，点A,B在$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上.已知A,B的横坐标分别为-2,4，直线AB与y轴交于点C，连接OA,OB.
(1)求直线AB的函数解析式.
(2)求$△ AOB$的面积.
(3)若函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上存在点P，使$△ PAB$的面积等于$△ AOB$的面积的一半，则这样的点P共有
(1)求直线AB的函数解析式.
(2)求$△ AOB$的面积.
(3)若函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上存在点P，使$△ PAB$的面积等于$△ AOB$的面积的一半，则这样的点P共有
3
个.答案
10.(1)令 $x=-2,y=\dfrac{1}{4}x^2=1$,得 $A(-2,1)$;令 $x=4,y=\dfrac{1}{4}x^2=4$,得 $B(4,4)$.
设 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$,将点 $A$,$B$ 的坐标代入得$\begin{cases} -2k+b=1,\\ 4k+b=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$直线 $AB$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2$.
(2)令 $x=0,y=\dfrac{1}{2}x+2=2$,得 $C(0,2)$.$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=6$.
(3)4
提示:作与 $AB$ 平行且与 $AB$ 的距离为点 $O$ 到 $AB$ 的距离的一半的直线,与抛物线的交点即点 $P$.
设 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$,将点 $A$,$B$ 的坐标代入得$\begin{cases} -2k+b=1,\\ 4k+b=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$直线 $AB$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2$.
(2)令 $x=0,y=\dfrac{1}{2}x+2=2$,得 $C(0,2)$.$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=6$.
(3)4
提示:作与 $AB$ 平行且与 $AB$ 的距离为点 $O$ 到 $AB$ 的距离的一半的直线,与抛物线的交点即点 $P$.
解析
【分析】
(1) 求直线AB的解析式首先需要确定A、B两点坐标：已知A、B在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上，横坐标分别为-2、4，代入抛物线解析式即可求出两点纵坐标，再利用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标解二元一次方程组，即可得到直线解析式。
(2) 求$△ AOB$的面积可采用割补法：直线AB与y轴交于点C，可将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形均以OC为底，高分别为A点横坐标的绝对值、B点的横坐标，先求出C点坐标得到OC长度，再分别计算两个三角形面积相加即可。
(3) $△ PAB$与$△ AOB$同底AB，要使$△ PAB$面积为$△ AOB$的一半，则点P到AB的距离为点O到AB距离的一半。根据平行线间距离相等，在AB上下两侧分别作与AB平行、且到AB距离为O到AB距离一半的两条直线，两条直线与抛物线的交点即为满足条件的点P，数出交点个数即可。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{4}x^2$，得$y=\frac{1}{4}×(-2)^2=1$，即$A(-2,1)$；
将$x=4$代入$y=\frac{1}{4}x^2$，得$y=\frac{1}{4}×4^2=4$，即$B(4,4)$。
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A、B坐标代入得：
$\begin{cases} -2k + b = 1 \\ 4k + b = 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=2 \end{cases}$
$\therefore$直线AB的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(2) 求C点坐标：令直线AB解析式中$x=0$，得$y=\frac{1}{2}×0+2=2$，即$C(0,2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC × |x_A|=\frac{1}{2}×2×2=2$
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC × x_B=\frac{1}{2}×2×4=4$
$\therefore S_{△ AOB}=2+4=6$。
(3) 同底的三角形面积比等于高的比，因此点P到直线AB的距离为点O到AB距离的$\frac{1}{2}$。在AB上下两侧分别作与AB平行、且到AB距离符合要求的两条直线，每条直线与抛物线均有2个交点，共4个交点，即满足条件的点P共4个。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x+2$
(2) 6
(3) 4
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，通过割补法简化三角形面积计算，结合平行线性质判断交点个数，重点考察数形结合思想和基础运算能力，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线AB的解析式首先需要确定A、B两点坐标：已知A、B在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上，横坐标分别为-2、4，代入抛物线解析式即可求出两点纵坐标，再利用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标解二元一次方程组，即可得到直线解析式。
(2) 求$△ AOB$的面积可采用割补法：直线AB与y轴交于点C，可将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形均以OC为底，高分别为A点横坐标的绝对值、B点的横坐标，先求出C点坐标得到OC长度，再分别计算两个三角形面积相加即可。
(3) $△ PAB$与$△ AOB$同底AB，要使$△ PAB$面积为$△ AOB$的一半，则点P到AB的距离为点O到AB距离的一半。根据平行线间距离相等，在AB上下两侧分别作与AB平行、且到AB距离为O到AB距离一半的两条直线，两条直线与抛物线的交点即为满足条件的点P，数出交点个数即可。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{4}x^2$，得$y=\frac{1}{4}×(-2)^2=1$，即$A(-2,1)$；
将$x=4$代入$y=\frac{1}{4}x^2$，得$y=\frac{1}{4}×4^2=4$，即$B(4,4)$。
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A、B坐标代入得：
$\begin{cases} -2k + b = 1 \\ 4k + b = 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=2 \end{cases}$
$\therefore$直线AB的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(2) 求C点坐标：令直线AB解析式中$x=0$，得$y=\frac{1}{2}×0+2=2$，即$C(0,2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC × |x_A|=\frac{1}{2}×2×2=2$
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC × x_B=\frac{1}{2}×2×4=4$
$\therefore S_{△ AOB}=2+4=6$。
(3) 同底的三角形面积比等于高的比，因此点P到直线AB的距离为点O到AB距离的$\frac{1}{2}$。在AB上下两侧分别作与AB平行、且到AB距离符合要求的两条直线，每条直线与抛物线均有2个交点，共4个交点，即满足条件的点P共4个。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x+2$
(2) 6
(3) 4
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，通过割补法简化三角形面积计算，结合平行线性质判断交点个数，重点考察数形结合思想和基础运算能力，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
