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1.抛物线$y=x^2$的顶点坐标是(
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(0,0)
D.(1,1)
C
).A.(1,0)
B.(0,1)
C.(0,0)
D.(1,1)
答案
1.C
解析
【分析】
本题要求抛物线$y=x^2$的顶点坐标，可从两种思路入手思考：一是回忆二次函数一般式的顶点坐标公式，先确定函数中a、b、c的取值，再代入公式计算即可得到顶点坐标；二是$y=x^2$是最基础的二次函数，属于顶点式的特殊形式，可直接对应顶点式的结构判断顶点坐标。
【解析】
方法1：利用顶点坐标公式求解
对于二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$。
在抛物线$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，代入公式计算：
顶点横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$
顶点纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×0 - 0^2}{4×1}=0$
因此顶点坐标为$(0,0)$。
方法2：利用顶点式判断
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
抛物线$y=x^2$可变形为$y=1×(x-0)^2+0$，对应顶点式可得$h=0$，$k=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点坐标计算；二次函数的图象性质
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是掌握二次函数顶点坐标的求解方法，无论是套用公式还是识别顶点式，都能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
本题要求抛物线$y=x^2$的顶点坐标，可从两种思路入手思考：一是回忆二次函数一般式的顶点坐标公式，先确定函数中a、b、c的取值，再代入公式计算即可得到顶点坐标；二是$y=x^2$是最基础的二次函数，属于顶点式的特殊形式，可直接对应顶点式的结构判断顶点坐标。
【解析】
方法1：利用顶点坐标公式求解
对于二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$。
在抛物线$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，代入公式计算：
顶点横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$
顶点纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×0 - 0^2}{4×1}=0$
因此顶点坐标为$(0,0)$。
方法2：利用顶点式判断
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
抛物线$y=x^2$可变形为$y=1×(x-0)^2+0$，对应顶点式可得$h=0$，$k=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点坐标计算；二次函数的图象性质
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是掌握二次函数顶点坐标的求解方法，无论是套用公式还是识别顶点式，都能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
2.已知二次函数$y=□ x^2$的图象的开口向下，则“$□$”可能是（
A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
A
）.A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心要点：一是二次函数的定义要求二次项系数不能为0，二是二次函数$y=ax^2$的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下。结合题目给出的“开口向下”的条件，我们只需要在选项中找到小于0的数即可，同时注意排除不符合二次函数定义的选项。
【解析】
解：
∵该函数是二次函数，且图象开口向下
∴方框代表的二次项系数需满足两个条件：①不等于0，②小于0
对各选项逐一判断：
选项B：0不符合二次项系数不为0的要求，排除；
选项C：$\frac{1}{2}＞0$，此时函数图象开口向上，不符合要求，排除；
选项D：$2＞0$，此时函数图象开口向上，不符合要求，排除；
选项A：$-1＜0$，满足二次项系数小于0的要求，符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、二次函数开口方向与系数的关系
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是牢记二次项系数的符号对抛物线开口方向的影响，同时不要忽略二次函数中二次项系数不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个核心要点：一是二次函数的定义要求二次项系数不能为0，二是二次函数$y=ax^2$的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下。结合题目给出的“开口向下”的条件，我们只需要在选项中找到小于0的数即可，同时注意排除不符合二次函数定义的选项。
【解析】
解：
∵该函数是二次函数，且图象开口向下
∴方框代表的二次项系数需满足两个条件：①不等于0，②小于0
对各选项逐一判断：
选项B：0不符合二次项系数不为0的要求，排除；
选项C：$\frac{1}{2}＞0$，此时函数图象开口向上，不符合要求，排除；
选项D：$2＞0$，此时函数图象开口向上，不符合要求，排除；
选项A：$-1＜0$，满足二次项系数小于0的要求，符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、二次函数开口方向与系数的关系
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是牢记二次项系数的符号对抛物线开口方向的影响，同时不要忽略二次函数中二次项系数不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.9
3.在下列抛物线中，开口最小的是（
A.$y=-\dfrac{1}{4}x^2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
C.$y=x^2$
D.$y=\dfrac{3}{2}x^2$
D
）.A.$y=-\dfrac{1}{4}x^2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
C.$y=x^2$
D.$y=\dfrac{3}{2}x^2$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断抛物线的开口大小，首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：二次项系数$a$的正负仅决定开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），开口大小仅由$|a|$决定，$|a|$越大，开口越小。因此解题思路为：第一步分别求出四个选项中二次项系数的绝对值，第二步比较各绝对值的大小，第三步选择绝对值最大的选项即为开口最小的抛物线。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，抛物线开口大小与$|a|$正相关：$|a|$越大，抛物线开口越小。
分别计算各选项二次项系数的绝对值：
A选项：$a=-\dfrac{1}{4}$，$|a|=\left|-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{1}{4}$；
B选项：$a=-\dfrac{1}{2}$，$|a|=\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$；
C选项：$a=1$，$|a|=|1|=1$；
D选项：$a=\dfrac{3}{2}$，$|a|=\left|\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{3}{2}$。
比较绝对值大小可得：$\dfrac{3}{2}＞1＞\dfrac{1}{2}＞\dfrac{1}{4}$，因此D选项的抛物线开口最小。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图象与系数的关系；2.绝对值大小比较
【点评】
本题属于基础性质应用题，易错点是部分同学会误将二次项系数的正负作为判断开口大小的依据，只要牢记开口大小仅和二次项系数的绝对值有关，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
要判断抛物线的开口大小，首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：二次项系数$a$的正负仅决定开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），开口大小仅由$|a|$决定，$|a|$越大，开口越小。因此解题思路为：第一步分别求出四个选项中二次项系数的绝对值，第二步比较各绝对值的大小，第三步选择绝对值最大的选项即为开口最小的抛物线。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，抛物线开口大小与$|a|$正相关：$|a|$越大，抛物线开口越小。
分别计算各选项二次项系数的绝对值：
A选项：$a=-\dfrac{1}{4}$，$|a|=\left|-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{1}{4}$；
B选项：$a=-\dfrac{1}{2}$，$|a|=\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$；
C选项：$a=1$，$|a|=|1|=1$；
D选项：$a=\dfrac{3}{2}$，$|a|=\left|\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{3}{2}$。
比较绝对值大小可得：$\dfrac{3}{2}＞1＞\dfrac{1}{2}＞\dfrac{1}{4}$，因此D选项的抛物线开口最小。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图象与系数的关系；2.绝对值大小比较
【点评】
本题属于基础性质应用题，易错点是部分同学会误将二次项系数的正负作为判断开口大小的依据，只要牢记开口大小仅和二次项系数的绝对值有关，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
4.在二次函数$y=x^2$中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(
A.$x＞0$
B.$x＜0$
C.$x＜-2$
D.$x＞-2$
A
).A.$x＞0$
B.$x＜0$
C.$x＜-2$
D.$x＞-2$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的基本图象特征：第一步先由二次项系数的符号判断开口方向；第二步确定对称轴位置；第三步结合开口方向分析函数的增减性区间，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧的区域内，y随x的增大而增大，即当$x＞0$时，y随x的增大而增大，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性，y=x²的图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只需熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的基本图象特征：第一步先由二次项系数的符号判断开口方向；第二步确定对称轴位置；第三步结合开口方向分析函数的增减性区间，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧的区域内，y随x的增大而增大，即当$x＞0$时，y随x的增大而增大，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性，y=x²的图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只需熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5.已知点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，求$a$的值。
答案
5.由题意得$8=a · a^2$,解得 $a=2$.
解析
【分析】
解题时首先要明确：若一个点在某个函数的图象上，那么这个点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。本题已知点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$上，因此可将$x=a$、$y=8$代入函数解析式，得到关于$a$的方程，再结合二次函数二次项系数不为0的隐含条件，求解方程即可得到$a$的值。
【解析】
解：$\because$点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上
$\therefore$将$x=a$，$y=8$代入解析式可得：
$8=a· a^2$
整理得$a^3=8$
解得$a=2$
又$\because y=ax^2$是二次函数，$\therefore a≠0$，$a=2$符合要求。
【答案】
$a=2$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、立方根的运算、二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考察函数图象与点的对应关系，解题的关键是掌握“点在图象上则坐标满足解析式”的性质，求解时注意不要忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：若一个点在某个函数的图象上，那么这个点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。本题已知点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$上，因此可将$x=a$、$y=8$代入函数解析式，得到关于$a$的方程，再结合二次函数二次项系数不为0的隐含条件，求解方程即可得到$a$的值。
【解析】
解：$\because$点$(a,8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上
$\therefore$将$x=a$，$y=8$代入解析式可得：
$8=a· a^2$
整理得$a^3=8$
解得$a=2$
又$\because y=ax^2$是二次函数，$\therefore a≠0$，$a=2$符合要求。
【答案】
$a=2$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、立方根的运算、二次函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考察函数图象与点的对应关系，解题的关键是掌握“点在图象上则坐标满足解析式”的性质，求解时注意不要忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
6.在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2$，$y=bx^2$，$y=cx^2$的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是(
A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$b＞c＞a$
D.$c＞a＞b$
A
).A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$b＞c＞a$
D.$c＞a＞b$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：首先由开口方向可判断二次项系数的符号，本题三个抛物线均开口向下，因此$a、b、c$均为负数；再根据开口宽度和系数绝对值的关系：$|a|$越小，抛物线开口越宽，对比三个图象的开口宽窄可得出三个系数绝对值的大小关系；最后结合负数比较大小的规则：绝对值越小的负数数值越大，即可推出$a、b、c$的大小关系。
【解析】
1. 判断系数符号：二次函数$y=ax^2$中，开口向下则二次项系数小于0，观察图象可知三个抛物线均开口向下，因此$a＜0$，$b＜0$，$c＜0$；
2. 对比开口宽度：二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大，抛物线开口越窄。观察图象可得：$y=ax^2$开口最宽，$y=bx^2$次之，$y=cx^2$开口最窄，因此$|a|＜|b|＜|c|$；
3. 比较负数大小：负数比较大小时，绝对值越小的数数值越大，因此结合$|a|＜|b|＜|c|$可得$a＞b＞c$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，牢记“开口方向看系数符号，开口宽窄看系数绝对值”的规律即可快速解答，是二次函数图象性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：首先由开口方向可判断二次项系数的符号，本题三个抛物线均开口向下，因此$a、b、c$均为负数；再根据开口宽度和系数绝对值的关系：$|a|$越小，抛物线开口越宽，对比三个图象的开口宽窄可得出三个系数绝对值的大小关系；最后结合负数比较大小的规则：绝对值越小的负数数值越大，即可推出$a、b、c$的大小关系。
【解析】
1. 判断系数符号：二次函数$y=ax^2$中，开口向下则二次项系数小于0，观察图象可知三个抛物线均开口向下，因此$a＜0$，$b＜0$，$c＜0$；
2. 对比开口宽度：二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大，抛物线开口越窄。观察图象可得：$y=ax^2$开口最宽，$y=bx^2$次之，$y=cx^2$开口最窄，因此$|a|＜|b|＜|c|$；
3. 比较负数大小：负数比较大小时，绝对值越小的数数值越大，因此结合$|a|＜|b|＜|c|$可得$a＞b＞c$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$图象的影响，牢记“开口方向看系数符号，开口宽窄看系数绝对值”的规律即可快速解答，是二次函数图象性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
7.在同一平面直角坐标系中，函数$y=x+a$与函数$y=ax^2$的图象可能是(
B
).答案
7.B
解析
【分析】
解决这类函数图像共存问题，可按“先定固定特征，再验证参数符号”的思路解题：首先观察一次函数解析式，其一次项系数固定为1＞0，因此一次函数一定是上升趋势，可先排除不符合的选项；再根据剩余选项中二次函数的开口方向确定参数a的符号，最后用a的符号验证一次函数与y轴的交点位置是否一致，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数$y=x+a$的性质：其一次项系数为$1＞0$，因此函数图象为上升趋势（$y$随$x$的增大而增大），观察选项，C、D中的一次函数为下降趋势，不符合性质，直接排除C、D。
2. 分析剩余A、B选项的二次函数$y=ax^2$：两个选项中二次函数开口均向下，可得$a＜0$。
3. 验证一次函数的截距：一次函数$y=x+a$与$y$轴的交点为$(0,a)$，结合$a＜0$可知，交点应在$y$轴负半轴。
A选项中一次函数与$y$轴交于正半轴，与$a＜0$矛盾，排除A；
B选项中一次函数与$y$轴交于负半轴，符合$a＜0$的结论，成立。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数图象性质
3. 函数图象判定
【点评】
本题为常见的函数图象共存类题目，解题时优先从解析式中固定不变的性质入手排除错误选项，再结合参数的符号验证两个函数图象的特征是否统一即可，核心是对两类函数基础性质的熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解决这类函数图像共存问题，可按“先定固定特征，再验证参数符号”的思路解题：首先观察一次函数解析式，其一次项系数固定为1＞0，因此一次函数一定是上升趋势，可先排除不符合的选项；再根据剩余选项中二次函数的开口方向确定参数a的符号，最后用a的符号验证一次函数与y轴的交点位置是否一致，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数$y=x+a$的性质：其一次项系数为$1＞0$，因此函数图象为上升趋势（$y$随$x$的增大而增大），观察选项，C、D中的一次函数为下降趋势，不符合性质，直接排除C、D。
2. 分析剩余A、B选项的二次函数$y=ax^2$：两个选项中二次函数开口均向下，可得$a＜0$。
3. 验证一次函数的截距：一次函数$y=x+a$与$y$轴的交点为$(0,a)$，结合$a＜0$可知，交点应在$y$轴负半轴。
A选项中一次函数与$y$轴交于正半轴，与$a＜0$矛盾，排除A；
B选项中一次函数与$y$轴交于负半轴，符合$a＜0$的结论，成立。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数图象性质
3. 函数图象判定
【点评】
本题为常见的函数图象共存类题目，解题时优先从解析式中固定不变的性质入手排除错误选项，再结合参数的符号验证两个函数图象的特征是否统一即可，核心是对两类函数基础性质的熟练掌握。
【难度系数】
0.7
