9.如图,用长 33 m 的竹篱笆围成一个矩形院墙,其中一面靠墙(靠墙一面长度不超过墙),墙长 15 m,墙的对面有一个 2 m 宽的门,设垂直于墙的一边长为 x m,院墙的面积为 S m².
(1)写出 S 关于 x 的函数解析式.
(2)若院墙的面积为 143 m²,求 x 的值.

9.(1)$S=-2x^2+35x(10≤ x＜16.5)$.
(2)当$S=143$时,即$143=-2x^2+35x$,解得$x_1=11,x_2=\dfrac{13}{2}$,$\because 10≤ x＜16.5$,$\therefore x=11$.

【分析】
（1）要得到S关于x的函数解析式，首先需要表示出矩形平行于墙的边长：已知垂直于墙的边长为x m，总篱笆长33m，墙对面2m宽的门不需要围篱笆，因此平行于墙的边长=总篱笆长+门的宽度-2倍垂直于墙的边长。再结合墙长15m的限制、平行于墙的边对应的篱笆长度非负，求出自变量x的取值范围，最后根据矩形面积公式即可写出函数解析式。
（2）将S=143代入第一问得到的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到x的有效值。
【解析】
（1）设垂直于墙的一边长为$x\ \mathrm{m}$，
因为篱笆总长33m，墙对面有2m宽的门，因此平行于墙的一边长为：$33+2-2x=(35-2x)\ \mathrm{m}$
结合实际限制条件列不等式组：
$\begin{cases}35-2x ≤ 15\quad(\mathrm{平行墙边长不超过墙长}) \\ 33-2x ≥ 0\quad(\mathrm{平行墙所用篱笆长度非负}) \end{cases}$
解第一个不等式得：$x≥10$，解第二个不等式得：$x＜16.5$，因此x的取值范围是$10≤ x＜16.5$。
根据矩形面积公式可得：
$S=x(35-2x)=-2x^2+35x$
（2）当$S=143\ \mathrm{m}^2$时，代入解析式得：
$143=-2x^2+35x$
整理为标准一元二次方程：$2x^2-35x+143=0$
计算判别式$\Delta=(-35)^2-4×2×143=81$
解得$x=\frac{35\pm9}{4}$，即$x_1=11$，$x_2=\frac{13}{2}$
结合x的取值范围$10≤ x＜16.5$，$\frac{13}{2}=6.5$不符合要求，故舍去。
【答案】
(1)$S=-2x^2+35x(10≤ x＜16.5)$
(2)$x=11$
【知识点】
二次函数实际应用；一元二次方程求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是正确表示平行于墙的边长，同时要注意结合实际限制条件筛选解的有效性，避免出现增解。
【难度系数】
0.7

10.如图，$\odot O$的半径为$x$，正方形$ABCD$的边长为$y$，阴影部分的面积为$S$.
(1)证明:若$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值,则$y$为$x$的一次函数.
(2)证明:若$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值,则$S$为$x$的二次函数.

10.(1)$\because \odot O$的半径为$x$,正方形$ABCD$的边长为$y$,
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为$L=2π x+4y$,$\therefore y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$,
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$时,函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$,$y$为$x$的一次函数.
(2)阴影部分的面积为$S=y^2-π x^2$,将$y=\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$代入得$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$,
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$时,函数解析式为$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$,$S$为$x$的二次函数.

【分析】
(1) 要证明y是x的一次函数，首先明确一次函数的形式为$y=kx+b$（$k\ne0$，k、b为常数）。我们先设圆和正方形的周长之和为定值L，分别写出圆、正方形的周长，根据周长和为定值列等式，再将等式变形为用含x的式子表示y，验证是否符合一次函数的形式即可。
(2) 要证明S是x的二次函数，首先明确二次函数的形式为$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$，a、b、c为常数）。阴影部分面积为正方形面积减去圆的面积，先写出S的表达式，再将(1)中得到的y关于x的表达式代入S的式子，整理后验证是否符合二次函数的形式即可。
【解析】
(1) 设$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$。
$\because \odot O$的半径为$x$，正方形$ABCD$的边长为$y$，
$\therefore \odot O$的周长为$2π x$，正方形的周长为$4y$，则周长之和$L=2π x+4y$。
将等式变形，用含x的式子表示y：
$4y=-2π x+L$，即$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$。
该式符合一次函数的定义，因此y为x的一次函数。
(2) 由图可知阴影部分面积为正方形面积减去圆的面积，即$S=y^2-π x^2$。
将(1)中得到的$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$代入面积表达式：
$\begin{aligned}S&=(-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L)^2-π x^2\\&=\dfrac{1}{4}π^2x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2-π x^2\\&=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2\end{aligned}$
该式符合二次函数的定义，因此S为x的二次函数。
【答案】
(1) $\because \odot O$的半径为$x$,正方形$ABCD$的边长为$y$,$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为$L=2π x+4y$,$\therefore y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$,$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$时,函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$,$y$为$x$的一次函数.
(2) 阴影部分的面积为$S=y^2-π x^2$,将$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$代入得$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$,$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$时,函数解析式为$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$,$S$为$x$的二次函数.
【知识点】
一次函数的定义，二次函数的定义，几何图形周长与面积计算
【点评】
本题将函数概念与几何计算相结合，考查对一次函数、二次函数定义的理解和代数变形能力，解题的关键是先根据题意列出等量关系，再整理为对应函数的标准形式，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7