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9.如图,用长 33 m 的竹篱笆围成一个矩形院墙,其中一面靠墙(靠墙一面长度不超过墙),墙长 15 m,墙的对面有一个 2 m 宽的门,设垂直于墙的一边长为 x m,院墙的面积为 S m².
(1)写出 S 关于 x 的函数解析式.
(2)若院墙的面积为 143 m²,求 x 的值.
(1)写出 S 关于 x 的函数解析式.
(2)若院墙的面积为 143 m²,求 x 的值.
答案
9.(1)$S=-2x^2+35x(10≤ x＜16.5)$.
(2)当$S=143$时,即$143=-2x^2+35x$,解得$x_1=11,x_2=\dfrac{13}{2}$,$\because 10≤ x＜16.5$,$\therefore x=11$.
(2)当$S=143$时,即$143=-2x^2+35x$,解得$x_1=11,x_2=\dfrac{13}{2}$,$\because 10≤ x＜16.5$,$\therefore x=11$.
解析
【分析】
(1) 要得到S关于x的函数解析式，首先需要用x表示平行于墙的院墙边长：总篱笆长33m，垂直于墙的边共2段，每段长x m，再加上墙对面2m宽的门不需要围篱笆，因此平行于墙的边长=总篱笆长-2段垂直边长度+门宽。之后结合墙长15m的限制、篱笆长度为非负数的实际要求，确定x的取值范围，最后根据矩形面积公式即可写出函数解析式。
(2) 求面积为143m²时x的值，只需将S=143代入第一问的函数解析式，解一元二次方程后，结合x的取值范围舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
(1) 由题意得，平行于墙的一边的长度为：$33 - 2x + 2 = (35 - 2x)\ \mathrm{m}$
根据墙长限制，平行于墙的边长不超过15m，即：
$35 - 2x ≤ 15$，解得$x ≥ 10$
又因为围平行边的篱笆长度不能为负数，即$33 - 2x ≥ 0$，解得$x ≤ 16.5$，且边长为正，故$x ＜ 16.5$
根据矩形面积公式可得：
$S = x(35 - 2x) = -2x^2 + 35x$
(2) 当$S=143$时，代入函数解析式得：
$143 = -2x^2 + 35x$
整理为标准一元二次方程：$2x^2 - 35x + 143 = 0$
计算判别式$\Delta = 35^2 - 4×2×143 = 81$，因此：
$x = \frac{35\pm\sqrt{81}}{4} = \frac{35\pm9}{4}$
解得$x_1=11$，$x_2=\frac{13}{2}$
结合$x$的取值范围$10≤ x＜16.5$，可知$x_2=\frac{13}{2}$不符合要求，舍去。
【答案】
(1)$S=-2x^2+35x(10≤ x＜16.5)$
(2)$x=11$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程在实际几何问题中的结合应用，解题核心是准确表示出平行于墙的边长，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实逻辑，解方程后必须验根，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.65
(1) 要得到S关于x的函数解析式，首先需要用x表示平行于墙的院墙边长：总篱笆长33m，垂直于墙的边共2段，每段长x m，再加上墙对面2m宽的门不需要围篱笆，因此平行于墙的边长=总篱笆长-2段垂直边长度+门宽。之后结合墙长15m的限制、篱笆长度为非负数的实际要求，确定x的取值范围，最后根据矩形面积公式即可写出函数解析式。
(2) 求面积为143m²时x的值，只需将S=143代入第一问的函数解析式，解一元二次方程后，结合x的取值范围舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
(1) 由题意得，平行于墙的一边的长度为：$33 - 2x + 2 = (35 - 2x)\ \mathrm{m}$
根据墙长限制，平行于墙的边长不超过15m，即：
$35 - 2x ≤ 15$，解得$x ≥ 10$
又因为围平行边的篱笆长度不能为负数，即$33 - 2x ≥ 0$，解得$x ≤ 16.5$，且边长为正，故$x ＜ 16.5$
根据矩形面积公式可得：
$S = x(35 - 2x) = -2x^2 + 35x$
(2) 当$S=143$时，代入函数解析式得：
$143 = -2x^2 + 35x$
整理为标准一元二次方程：$2x^2 - 35x + 143 = 0$
计算判别式$\Delta = 35^2 - 4×2×143 = 81$，因此：
$x = \frac{35\pm\sqrt{81}}{4} = \frac{35\pm9}{4}$
解得$x_1=11$，$x_2=\frac{13}{2}$
结合$x$的取值范围$10≤ x＜16.5$，可知$x_2=\frac{13}{2}$不符合要求，舍去。
【答案】
(1)$S=-2x^2+35x(10≤ x＜16.5)$
(2)$x=11$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程在实际几何问题中的结合应用，解题核心是准确表示出平行于墙的边长，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实逻辑，解方程后必须验根，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.65
10.如图，$\odot O$的半径为$x$，正方形$ABCD$的边长为$y$，阴影部分的面积为$S$.
(1)证明:若$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值,则$y$为$x$的一次函数.
(2)证明:若$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值,则$S$为$x$的二次函数.
(1)证明:若$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值,则$y$为$x$的一次函数.
(2)证明:若$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值,则$S$为$x$的二次函数.
答案
10.(1)$\because \odot O$的半径为$x$,正方形$ABCD$的边长为$y$,
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为$L=2π x+4y$,$\therefore y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$,
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$时,函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$,$y$为$x$的一次函数.
(2)阴影部分的面积为$S=y^2-π x^2$,将$y=\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$代入得$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$,
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$时,函数解析式为$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$,$S$为$x$的二次函数.
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为$L=2π x+4y$,$\therefore y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$,
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$时,函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$,$y$为$x$的一次函数.
(2)阴影部分的面积为$S=y^2-π x^2$,将$y=\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$代入得$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$,
$\therefore \odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$时,函数解析式为$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$,$S$为$x$的二次函数.
解析
【分析】
(1)要证明y是x的一次函数，需先明确一次函数的形式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne0$）。首先设圆和正方形的周长之和为定值L，分别表示出圆与正方形的周长，根据周长和为定值列等式，再将等式变形为用x表示y的形式，对照一次函数定义判断即可。
(2)要证明S是x的二次函数，需先明确二次函数的形式为$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a\ne0$）。由图可知阴影部分面积=正方形面积-圆的面积，先写出S的表达式，再将第(1)问得到的y关于x的关系式代入S的表达式，整理后对照二次函数定义判断即可。
【解析】
(1)设$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$。
$\because \odot O$的半径为$x$，正方形$ABCD$的边长为$y$，
$\therefore \odot O$的周长为$2π x$，正方形的周长为$4y$，
$\therefore$周长之和$L=2π x+4y$，
变形得$4y=L-2π x$，即$y=-\dfrac{π}{2}x+\dfrac{L}{4}$，
该式符合一次函数$y=kx+b$（$k=-\dfrac{π}{2}\ne0$，$b=\dfrac{L}{4}$为常数）的形式，因此y为x的一次函数。
(2)由图可得阴影部分面积$S=$正方形面积$-\odot O$的面积，即$S=y^2-π x^2$，
将(1)中$y=-\dfrac{π}{2}x+\dfrac{L}{4}$代入上式：
$\begin{aligned}S&=(-\dfrac{π}{2}x+\dfrac{L}{4})^2-π x^2\\&=\dfrac{π^2}{4}x^2-\dfrac{π L}{4}x+\dfrac{L^2}{16}-π x^2\\&=(\dfrac{π^2}{4}-π)x^2-\dfrac{π L}{4}x+\dfrac{L^2}{16}\end{aligned}$
该式符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a=\dfrac{π^2}{4}-π\ne0$，b、c为常数）的形式，因此S为x的二次函数。
【答案】
(1) 周长和为定值$L$时，$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$，符合一次函数形式，故$y$为$x$的一次函数；
(2) 周长和为定值$L$时，$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$，符合二次函数形式，故$S$为$x$的二次函数。
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义、几何图形周长与面积计算
【点评】
本题结合基础几何图形的周长、面积计算，考查一次函数和二次函数的判定，解题核心是先根据周长为定值得到x与y的数量关系，再代入面积表达式整理，结合对应函数的定义判断即可，侧重对基础概念和代数式变形能力的考查。
【难度系数】
0.75
(1)要证明y是x的一次函数，需先明确一次函数的形式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne0$）。首先设圆和正方形的周长之和为定值L，分别表示出圆与正方形的周长，根据周长和为定值列等式，再将等式变形为用x表示y的形式，对照一次函数定义判断即可。
(2)要证明S是x的二次函数，需先明确二次函数的形式为$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a\ne0$）。由图可知阴影部分面积=正方形面积-圆的面积，先写出S的表达式，再将第(1)问得到的y关于x的关系式代入S的表达式，整理后对照二次函数定义判断即可。
【解析】
(1)设$\odot O$与正方形$ABCD$的周长之和为定值$L$。
$\because \odot O$的半径为$x$，正方形$ABCD$的边长为$y$，
$\therefore \odot O$的周长为$2π x$，正方形的周长为$4y$，
$\therefore$周长之和$L=2π x+4y$，
变形得$4y=L-2π x$，即$y=-\dfrac{π}{2}x+\dfrac{L}{4}$，
该式符合一次函数$y=kx+b$（$k=-\dfrac{π}{2}\ne0$，$b=\dfrac{L}{4}$为常数）的形式，因此y为x的一次函数。
(2)由图可得阴影部分面积$S=$正方形面积$-\odot O$的面积，即$S=y^2-π x^2$，
将(1)中$y=-\dfrac{π}{2}x+\dfrac{L}{4}$代入上式：
$\begin{aligned}S&=(-\dfrac{π}{2}x+\dfrac{L}{4})^2-π x^2\\&=\dfrac{π^2}{4}x^2-\dfrac{π L}{4}x+\dfrac{L^2}{16}-π x^2\\&=(\dfrac{π^2}{4}-π)x^2-\dfrac{π L}{4}x+\dfrac{L^2}{16}\end{aligned}$
该式符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a=\dfrac{π^2}{4}-π\ne0$，b、c为常数）的形式，因此S为x的二次函数。
【答案】
(1) 周长和为定值$L$时，$y=-\dfrac{1}{2}π x+\dfrac{1}{4}L$，符合一次函数形式，故$y$为$x$的一次函数；
(2) 周长和为定值$L$时，$S=(\dfrac{1}{4}π^2-π)x^2-\dfrac{1}{4}π Lx+\dfrac{1}{16}L^2$，符合二次函数形式，故$S$为$x$的二次函数。
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义、几何图形周长与面积计算
【点评】
本题结合基础几何图形的周长、面积计算，考查一次函数和二次函数的判定，解题核心是先根据周长为定值得到x与y的数量关系，再代入面积表达式整理，结合对应函数的定义判断即可，侧重对基础概念和代数式变形能力的考查。
【难度系数】
0.75
