12.如图,已知 Rt△ABC,∠C=90°,请按以下要求作出图形.
(1)在图①中,以点 C 为旋转中心,把 Rt△ABC 逆时针旋转 45°;
(2)在图②中,以边 BC 的中点为旋转中心,把 Rt△ABC 逆时针旋转 180°;
(3)在图③中,在 Rt△ABC 内任选一点为旋转中心,把 Rt△ABC 顺时针旋转 60°.

12.【解】(1)如图①,$△ A'B'C$ 即为所求作的图形。
(2)如图②,$△ A'BC$ 即为所求作的图形。
(3)略。

【分析】
要完成旋转作图，首先明确旋转作图的核心依据是旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等。解题时先明确每一问的旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），找到三角形三个顶点的对应点后顺次连接即可：
1. 第(1)问旋转中心为点C，点C为不动点，只需将CB、CA分别绕点C按逆时针方向旋转45°，截取与原边长相等的线段得到B、A的对应点，连接对应点即可得到旋转后的三角形；
2. 第(2)问旋转中心是BC的中点，旋转角度为180°（属于中心对称），此时对应点的连线经过旋转中心且被中心平分，先确定B、C的对应点互为对方，再找到A的对应点，连接即可得到所求图形；
3. 第(3)问先在△ABC内部任选一点作为旋转中心，再将三个顶点分别绕该点顺时针旋转60°得到对应点，顺次连接对应点即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点C为顶点，CB为一边，逆时针作∠BCB'=45°，在角的边上截取CB'=CB，得到点B的对应点B'；
② 以点C为顶点，CA为一边，逆时针作∠ACA'=45°，在角的边上截取CA'=CA，得到点A的对应点A'；
③ 顺次连接A'、B'、C，得到的△A'B'C即为所求。
(2) 作图步骤：
① 取线段BC的中点O作为旋转中心；
② 连接AO并延长至A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；
③ 旋转180°时点B的对应点为C，点C的对应点为B，顺次连接A'、B、C，得到的△A'BC即为所求。
(3) 作图步骤：
① 在Rt△ABC内部任意选取一点O作为旋转中心；
② 分别连接OA、OB、OC，将三条线段绕点O顺时针旋转60°，在旋转后的射线上分别截取OA'=OA、OB'=OB、OC'=OC，得到A、B、C的对应点A'、B'、C'；
③ 顺次连接A'、B'、C'，得到的△A'B'C'即为所求，答案不唯一。
【答案】
(1)如图①,$△ A'B'C$ 即为所求作的图形。
(2)如图②,$△ A'BC$ 即为所求作的图形。
(3)略。

【知识点】
旋转的性质、旋转作图、中心对称的性质
【点评】
本题属于基础的几何作图题，重点考查对旋转三要素的理解和旋转作图方法的掌握，熟练运用旋转前后对应点的性质确定对应点位置是准确作图的核心。
【难度系数】
0.8

1.△ABC，△DMN 在平面直角坐标系中的位置如图所示，△ABC绕某点旋转一定的角度，得到△DMN，若点A，B，C，D，M，N的坐标分别是(0,2)，(-1,1)，(-1,0)，(1,1)，(2,0)，(3,0)，则其旋转中心是().

A.(1,2)
B.(2,1)
C.(1,3)
D.(2,2)

1.A

【分析】
根据旋转的性质，旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。解题思路为：首先确定两组对应点，再分别求出两组对应点连线的垂直平分线方程，最后求两个方程的交点，即为旋转中心。
【解析】
1. 确定对应点：观察点的坐标可知，点$A(0,2)$的对应点为$D(1,1)$，点$B(-1,1)$的对应点为$M(2,0)$。
2. 求线段$AD$的垂直平分线：
线段$AD$的中点坐标为$(\frac{0+1}{2},\frac{2+1}{2})=(0.5,1.5)$，
直线$AD$的斜率$k_{AD}=\frac{1-2}{1-0}=-1$，因此其垂直平分线的斜率为$1$，
由点斜式得垂直平分线方程：$y-1.5=1×(x-0.5)$，化简得$y=x+1$。
3. 求线段$BM$的垂直平分线：
线段$BM$的中点坐标为$(\frac{-1+2}{2},\frac{1+0}{2})=(0.5,0.5)$，
直线$BM$的斜率$k_{BM}=\frac{0-1}{2-(-1)}=-\frac{1}{3}$，因此其垂直平分线的斜率为$3$，
由点斜式得垂直平分线方程：$y-0.5=3×(x-0.5)$，化简得$y=3x-1$。
4. 求两垂直平分线的交点：
联立$\begin{cases}y=x+1\\y=3x-1\end{cases}$，解得$x=1,y=2$，即旋转中心为$(1,2)$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，垂直平分线的性质，一次函数的应用
【点评】
本题核心是利用旋转的性质确定旋转中心的位置，解题关键是熟练掌握垂直平分线的求法，通过联立方程求交点即可得到结果，属于对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.7

2.(2025,天津,11)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ AB'C'$,点$B,C$的对应点分别为$B',C'$,$B'C'$的延长线与边$BC$相交于点$D$,连接$CC'$.若$AC=4$,$CD=3$,则线段$CC'$的长为().

A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{16}{5}$
C.4
D.$\frac{24}{5}$

2.D

【分析】
解决本题首先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等，推出$∠ AC'D=90°$，再通过HL证明$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AC'D$全等，得到$CD=C'D$和AD平分$∠ CAC'$，随后用勾股定理算出AD的长度，最后结合等腰三角形三线合一的性质，利用三角函数求出$CC'$的长度。
【解析】
1. 根据旋转的性质可知：$AC=AC'=4$，$∠ AC'B'=∠ ACB=90°$，因此$∠ AC'D=180°-∠ AC'B'=90°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AC'D$中：
$\begin{cases}AD=AD\quad(\mathrm{公共边}) \\AC=AC'\quad(\mathrm{旋转对应边相等})\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AC'D\ (\mathrm{HL})$，可得$C'D=CD=3$，$∠ CAD=∠ C'AD$，即AD平分$∠ CAC'$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
4. 过$A$作$AE⊥ CC'$于$E$，$\because AC=AC'$，由等腰三角形三线合一的性质可知：$CE=C'E=\frac{1}{2}CC'$，且$AE$平分$∠ CAC'$，即$AE$在$AD$所在直线上，$∠ CAE=∠ CAD$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5}$，在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$\sin∠ CAE=\frac{CE}{AC}=\frac{3}{5}$，代入$AC=4$得：$CE=4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$。
6. 因此$CC'=2CE=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；直角三角形全等判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，将旋转、全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题的突破口是通过HL证明两个直角三角形全等，得到角相等的关系，再结合等腰三角形三线合一简化计算，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3.(2024,泰安,16)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,当AD//BC时,∠BAE的度数是.

3.$30°或150°$

【分析】
首先根据等腰三角形等边对等角的性质求出△ABC的底角∠B的度数，由于△ADE绕点A旋转时，AD与BC平行存在两种不同的位置情况，需分类讨论：①AD位于AB左侧时，利用平行线内错角相等求出∠DAB，再结合∠DAE=40°计算∠BAE；②AD位于AC右侧时，利用平行线同旁内角互补求出∠DAB，再结合∠DAE的度数计算∠BAE，避免漏解。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=(180°−40°)÷2=70°，
分两种情况讨论：
1. 当AD旋转至AB左侧，AD//BC时：
∵AD//BC，
∴∠DAB=∠B=70°（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠DAE=40°，
∴∠BAE=∠DAB−∠DAE=70°−40°=30°。
2. 当AD旋转至AC右侧，AD//BC时：
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠DAB=180°−70°=110°，
又
∵∠DAE=40°，
∴∠BAE=∠DAB+∠DAE=110°+40°=150°。
综上，∠BAE的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，旋转的性质
【点评】
本题是旋转背景下的角度计算问题，解题的关键是明确旋转后AD平行BC有两种位置，避免漏解，同时需要熟练运用等腰三角形和平行线的性质进行角度的和差计算。
【难度系数】
0.5

4.如图,点E是正方形ABCD的边CD上一动点,连接BE,以B为旋转中心,将BE顺时针旋转$90°$后,点E与点F对应,连接FE,FC,若$AB=4$,则$△ ECF$面积的最大值为.

4.2

【分析】本题可通过建立平面直角坐标系简化计算：首先根据正方形边长确定各顶点坐标，设出CD边上动点E的坐标，再利用顺时针旋转90°的坐标变换规则求出对应点F的坐标，最后用三角形面积公式将△ECF的面积表示为关于参数的二次函数，根据二次函数性质即可求出最大值。
【解析】建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，由正方形$ABCD$中$AB=4$，可得各顶点坐标：$B(4,0)$，$C(4,4)$，$D(0,4)$。
设点$E$的坐标为$(t,4)$（$0≤ t≤4$），则$CE$的长度为$4-t$。
向量$\overrightarrow{BE}$的坐标为$(t-4,4)$，根据顺时针旋转90°的坐标变换规律：向量$(a,b)$顺时针旋转90°后变为$(b,-a)$，因此旋转后得到的向量$\overrightarrow{BF}=(4,4-t)$，则点$F$的坐标为$(4+4,0+4-t)$，即$F(8,4-t)$。
$△ ECF$中，边$EC$在直线$y=4$上，点$F$到直线$EC$的竖直距离为$|4-(4-t)|=t$，因此$△ ECF$的面积为：
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}× EC× \mathrm{点F到EC的距离}=\frac{1}{2}×(4-t)× t=-\frac{1}{2}t^2+2t$
这是开口向下的二次函数，对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-\frac{1}{2})}=2$，在$t$的取值范围$0≤ t≤4$内，当$t=2$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{2}×2^2+2×2=2$
【答案】2
【知识点】旋转的性质，二次函数最值，三角形面积计算
【点评】本题将几何动态问题转化为函数最值问题，解题关键是合理建立坐标系，利用旋转的坐标变换表示出相关点的坐标，将面积量化为函数求解，能够很好地考查数形结合的能力。
【难度系数】0.6