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6.如图,某同学以图①为基本图形设计一个图案(图②),则需要旋转
3
次,每次的旋转角至少为90
度.答案
6.3,90
解析
【分析】
解题时首先观察图形，确定图②中与图①一致的基本图形总共有4个。首先计算旋转次数：初始已有1个基本图形，剩余的基本图形均由旋转得到，因此旋转次数为总个数减去1。再计算最小旋转角：4个基本图形绕中心均匀分布，周角为360°，将360°平均分给4个间隔，即可得到每次的最小旋转角度。
【解析】
观察可得，图②由4个与图①完全相同的基本图形组成：
1. 计算旋转次数：初始已存在1个基本图形，因此需要旋转的次数为 $4-1=3$ 次；
2. 计算最小旋转角：4个图形绕中心均匀排列，周角为360°，因此每次的最小旋转角为 $360°÷4=90°$。
【答案】
3，90
【知识点】
图形的旋转，旋转角计算，周角性质
【点评】
本题考查图形旋转的基础应用，解题的核心是先确定基本图形的总数量，易错点是容易误将旋转次数算为4次，忽略初始已有1个基本图形。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，确定图②中与图①一致的基本图形总共有4个。首先计算旋转次数：初始已有1个基本图形，剩余的基本图形均由旋转得到，因此旋转次数为总个数减去1。再计算最小旋转角：4个基本图形绕中心均匀分布，周角为360°，将360°平均分给4个间隔，即可得到每次的最小旋转角度。
【解析】
观察可得，图②由4个与图①完全相同的基本图形组成：
1. 计算旋转次数：初始已存在1个基本图形，因此需要旋转的次数为 $4-1=3$ 次；
2. 计算最小旋转角：4个图形绕中心均匀排列，周角为360°，因此每次的最小旋转角为 $360°÷4=90°$。
【答案】
3，90
【知识点】
图形的旋转，旋转角计算，周角性质
【点评】
本题考查图形旋转的基础应用，解题的核心是先确定基本图形的总数量，易错点是容易误将旋转次数算为4次，忽略初始已有1个基本图形。
【难度系数】
0.8
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点A落在点D处，连接AD，若BD=5，则AD的长为
$\sqrt{10}$
。答案
7.$\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质，得到旋转前后对应边相等、对应角相等，先确定AB、BE、DE的长度以及∠AED的度数，再通过线段差求出AE的长度，最后在直角三角形AED中运用勾股定理即可求出AD的长。
【解析】
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，
∴由旋转的性质可得：AB=BD=5，BE=BC=4，DE=AC，∠BED=∠ACB=90°，
∴∠AED=180°-∠BED=90°，即△AED为直角三角形。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴$DE=AC=3$。
又
∵$AE=AB-BE=5-4=1$，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转性质和勾股定理的综合应用题，解题的核心是抓住旋转前后图形的对应边、对应角不变的特点，构造出可计算边长的直角三角形，属于旋转章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用旋转的性质，得到旋转前后对应边相等、对应角相等，先确定AB、BE、DE的长度以及∠AED的度数，再通过线段差求出AE的长度，最后在直角三角形AED中运用勾股定理即可求出AD的长。
【解析】
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，
∴由旋转的性质可得：AB=BD=5，BE=BC=4，DE=AC，∠BED=∠ACB=90°，
∴∠AED=180°-∠BED=90°，即△AED为直角三角形。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴$DE=AC=3$。
又
∵$AE=AB-BE=5-4=1$，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转性质和勾股定理的综合应用题，解题的核心是抓住旋转前后图形的对应边、对应角不变的特点，构造出可计算边长的直角三角形，属于旋转章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8.如图，△ABC的三个顶点都在7×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置，且点A，C的对应点仍落在格点上，若点A，B的坐标分别为(-1,3)，(1,0)，则点A'的坐标是
$(4,2)$
。答案
8.$(4,2)$
解析
【分析】
解题时首先根据已知的点A、B坐标，结合网格特征明确△ABC各边的长度与位置关系，再利用旋转的性质：旋转前后对应边长度相等、对应角大小不变，确定旋转后对应边的位置，最终推导点A'的坐标。具体思路：1. 先由A、B坐标推出直角顶点C的坐标，得到两条直角边的长度；2. 根据旋转方向和对应边相等确定C'的坐标；3. 结合直角的位置与A'C'的长度求出A'的坐标。
【解析】
已知$A(-1,3)$，$B(1,0)$，且$△ ABC$中$∠ C$为直角，$AC$竖直、$BC$水平，因此点$C$的横坐标与$A$相同，纵坐标与$B$相同，即$C(-1,0)$。
计算边长：$BC=1-(-1)=2$，$AC=3-0=3$。
根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得$BC'=BC=2$，$A'C'=AC=3$，$∠ C'=∠ C=90°$。
$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转后，原本水平向左的$BC$变为竖直向上，因此$C'$的坐标为$(1,0+2)=(1,2)$。
由于$∠ C'$为直角，$A'C'$水平向右，长度为3，因此$A'$的横坐标为$1+3=4$，纵坐标与$C'$相同为2，即$A'(4,2)$。
【答案】
$(4,2)$
【知识点】
旋转的性质，平面直角坐标系点的坐标确定
【点评】
本题结合网格考查旋转性质的实际应用，解题核心是抓住旋转不改变图形大小与形状的特点，结合已知点坐标和网格特征即可快速定位对应点位置，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的点A、B坐标，结合网格特征明确△ABC各边的长度与位置关系，再利用旋转的性质：旋转前后对应边长度相等、对应角大小不变，确定旋转后对应边的位置，最终推导点A'的坐标。具体思路：1. 先由A、B坐标推出直角顶点C的坐标，得到两条直角边的长度；2. 根据旋转方向和对应边相等确定C'的坐标；3. 结合直角的位置与A'C'的长度求出A'的坐标。
【解析】
已知$A(-1,3)$，$B(1,0)$，且$△ ABC$中$∠ C$为直角，$AC$竖直、$BC$水平，因此点$C$的横坐标与$A$相同，纵坐标与$B$相同，即$C(-1,0)$。
计算边长：$BC=1-(-1)=2$，$AC=3-0=3$。
根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得$BC'=BC=2$，$A'C'=AC=3$，$∠ C'=∠ C=90°$。
$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转后，原本水平向左的$BC$变为竖直向上，因此$C'$的坐标为$(1,0+2)=(1,2)$。
由于$∠ C'$为直角，$A'C'$水平向右，长度为3，因此$A'$的横坐标为$1+3=4$，纵坐标与$C'$相同为2，即$A'(4,2)$。
【答案】
$(4,2)$
【知识点】
旋转的性质，平面直角坐标系点的坐标确定
【点评】
本题结合网格考查旋转性质的实际应用，解题核心是抓住旋转不改变图形大小与形状的特点，结合已知点坐标和网格特征即可快速定位对应点位置，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
9.如图,在等边三角形ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接ED,若BC=4,BD=3.5,则△AED的周长为
(第9题) (第10题)
7.5
.(第9题) (第10题)
答案
9.7.5
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质分析对应边、对应角的关系：旋转前后图形全等，可得AE=CD，BE=BD，且旋转角∠EBD=60°，由此可判定△BED是等边三角形，即ED=BD。再将△AED的周长进行转化，AE+AD可替换为CD+AD=AC，AC是等边△ABC的边长等于BC，最终代入数值计算即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BC=4，
∴AC=BC=4。
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，根据旋转的性质可得：
AE=CD，BE=BD，∠EBD=60°，
∴△BED是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ED=BD=3.5。
△AED的周长=AE+AD+ED，
将AE=CD代入得：
周长=CD+AD+ED=AC+ED=4+3.5=7.5。
【答案】
7.5
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是图形旋转和等边三角形结合的基础题型，解题核心是利用旋转的性质对所求周长的线段进行等量转化，进而结合已知条件计算，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合旋转的性质分析对应边、对应角的关系：旋转前后图形全等，可得AE=CD，BE=BD，且旋转角∠EBD=60°，由此可判定△BED是等边三角形，即ED=BD。再将△AED的周长进行转化，AE+AD可替换为CD+AD=AC，AC是等边△ABC的边长等于BC，最终代入数值计算即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，BC=4，
∴AC=BC=4。
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，根据旋转的性质可得：
AE=CD，BE=BD，∠EBD=60°，
∴△BED是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ED=BD=3.5。
△AED的周长=AE+AD+ED，
将AE=CD代入得：
周长=CD+AD+ED=AC+ED=4+3.5=7.5。
【答案】
7.5
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是图形旋转和等边三角形结合的基础题型，解题核心是利用旋转的性质对所求周长的线段进行等量转化，进而结合已知条件计算，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
10.如图，四边形ABCD是正方形，边长为6，E为CD的中点，将$△ ADE$绕点A顺时针旋转$90°$至$△ ABF$，连接EF，H为EF的中点，连接AH并延长交BC于点G，则CG的长为
4
。答案
10.4
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理已知量：正方形边长为6，E是CD中点，故DE=3。根据旋转的性质，可得△ABF≌△ADE，推出BF=DE=3，且∠FAE=90°。要求CG的长度，可通过建立平面直角坐标系，把各点坐标量化，先求出EF中点H的坐标，再求直线AH的解析式，找到AH与BC的交点G的坐标，即可计算出CG的长度，该方法直观易懂，符合九年级知识范畴。
【解析】
以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
∵正方形ABCD边长为6，
∴各点坐标为：A(0,6)，B(0,0)，C(6,0)，D(6,6)。
∵E为CD中点，
∴E点坐标为(6,3)。
由旋转的性质得△ABF≌△ADE，
∴BF=DE=3，且F在CB的延长线上，故F点坐标为(-3,0)。
∵H为EF的中点，根据中点坐标公式可得H的坐标为$( \frac{-3+6}{2},\frac{0+3}{2} )$，即$( \frac{3}{2},\frac{3}{2} )$。
设直线AH的解析式为$y=kx+b$，将A(0,6)、H$( \frac{3}{2},\frac{3}{2} )$代入解析式：
$\begin{cases} b=6 \\ \frac{3}{2}k + 6 = \frac{3}{2} \end{cases}$，解得$k=-3$，$b=6$，即直线AH的解析式为$y=-3x+6$。
BC所在直线为$y=0$，令$y=0$，得$-3x+6=0$，解得$x=2$，即G点坐标为(2,0)。
∴$CG=6-2=4$。
【答案】
4
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；一次函数的应用
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，将图形旋转、正方形性质与一次函数知识结合考查，既可以用坐标系代数法求解，也可以用几何全等方法推导，能较好地锻炼学生的知识综合运用能力，解题时选择合适的方法可简化运算。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件梳理已知量：正方形边长为6，E是CD中点，故DE=3。根据旋转的性质，可得△ABF≌△ADE，推出BF=DE=3，且∠FAE=90°。要求CG的长度，可通过建立平面直角坐标系，把各点坐标量化，先求出EF中点H的坐标，再求直线AH的解析式，找到AH与BC的交点G的坐标，即可计算出CG的长度，该方法直观易懂，符合九年级知识范畴。
【解析】
以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
∵正方形ABCD边长为6，
∴各点坐标为：A(0,6)，B(0,0)，C(6,0)，D(6,6)。
∵E为CD中点，
∴E点坐标为(6,3)。
由旋转的性质得△ABF≌△ADE，
∴BF=DE=3，且F在CB的延长线上，故F点坐标为(-3,0)。
∵H为EF的中点，根据中点坐标公式可得H的坐标为$( \frac{-3+6}{2},\frac{0+3}{2} )$，即$( \frac{3}{2},\frac{3}{2} )$。
设直线AH的解析式为$y=kx+b$，将A(0,6)、H$( \frac{3}{2},\frac{3}{2} )$代入解析式：
$\begin{cases} b=6 \\ \frac{3}{2}k + 6 = \frac{3}{2} \end{cases}$，解得$k=-3$，$b=6$，即直线AH的解析式为$y=-3x+6$。
BC所在直线为$y=0$，令$y=0$，得$-3x+6=0$，解得$x=2$，即G点坐标为(2,0)。
∴$CG=6-2=4$。
【答案】
4
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；一次函数的应用
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，将图形旋转、正方形性质与一次函数知识结合考查，既可以用坐标系代数法求解，也可以用几何全等方法推导，能较好地锻炼学生的知识综合运用能力，解题时选择合适的方法可简化运算。
【难度系数】
0.6
11.如图,在每个小正方形边长为1的网格中,△ABC 的各个顶点均在格点上,请在网格中作出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°之后的图形.
答案
11.【解】如图。
解析
【分析】
要完成△ABC绕点A顺时针旋转90°的作图，首先需明确旋转的三要素：旋转中心为点A，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。解题思路为：先确定△ABC的关键点B、C，分别找到两点绕点A顺时针旋转90°后的对应点B'、C'，再顺次连接各对应点即可得到旋转后的图形。找对应点时，可借助网格的垂直特征：过点A作原线段的顺时针方向垂线，截取与原线段长度相等的线段，端点即为对应点。
【解析】
步骤1：明确旋转要求：以点A为旋转中心，将图形顺时针旋转90°，旋转前后对应线段长度相等、对应线段的夹角为90°。
步骤2：找B点的对应点B'：观察线段AB的长度，过点A作AB的顺时针方向垂线，在垂线上截取AB'=AB，得到点B的对应点B'。
步骤3：用同样的方法，过点A作AC的顺时针方向垂线，截取AC'=AC，得到点C的对应点C'。
步骤4：顺次连接点A、B'、C'，所得△AB'C'即为△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形。
【答案】
如图。
【知识点】
旋转的性质；旋转作图；网格作图
【点评】
本题是基础的旋转作图题，核心是掌握旋转的基本性质，准确把握旋转三要素，找到关键点的对应点即可完成作图，能有效考查学生的动手操作能力和对旋转性质的理解。
【难度系数】
0.8
要完成△ABC绕点A顺时针旋转90°的作图，首先需明确旋转的三要素：旋转中心为点A，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。解题思路为：先确定△ABC的关键点B、C，分别找到两点绕点A顺时针旋转90°后的对应点B'、C'，再顺次连接各对应点即可得到旋转后的图形。找对应点时，可借助网格的垂直特征：过点A作原线段的顺时针方向垂线，截取与原线段长度相等的线段，端点即为对应点。
【解析】
步骤1：明确旋转要求：以点A为旋转中心，将图形顺时针旋转90°，旋转前后对应线段长度相等、对应线段的夹角为90°。
步骤2：找B点的对应点B'：观察线段AB的长度，过点A作AB的顺时针方向垂线，在垂线上截取AB'=AB，得到点B的对应点B'。
步骤3：用同样的方法，过点A作AC的顺时针方向垂线，截取AC'=AC，得到点C的对应点C'。
步骤4：顺次连接点A、B'、C'，所得△AB'C'即为△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形。
【答案】
如图。
【知识点】
旋转的性质；旋转作图；网格作图
【点评】
本题是基础的旋转作图题，核心是掌握旋转的基本性质，准确把握旋转三要素，找到关键点的对应点即可完成作图，能有效考查学生的动手操作能力和对旋转性质的理解。
【难度系数】
0.8
