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5.(2025,部分区期末,24)在平面直角坐标系中,O为原点,∠ACB=90°,AC=BC,点A(2,0),点B在x轴的负半轴上,点C在y轴的正半轴上,D是BC的中点,连接AD.
(1)填空:如图①,点B的坐标为
(2)以点A为旋转中心,顺时针旋转△ACD得到△AEF,点C,D的对应点分别为点E,F,旋转角为α(0°≤α≤360°).
①如图②,当α=90°时,连接DF,求DF的长及点F的坐标;
②连接CF,当CF//x轴时,求点F的坐标(直接写出结果即可).
(1)填空:如图①,点B的坐标为
$(-2,0)$
,线段AD的长为$\sqrt{10}$
.(2)以点A为旋转中心,顺时针旋转△ACD得到△AEF,点C,D的对应点分别为点E,F,旋转角为α(0°≤α≤360°).
①如图②,当α=90°时,连接DF,求DF的长及点F的坐标;
②连接CF,当CF//x轴时,求点F的坐标(直接写出结果即可).
答案
5.【解】(1)$(-2,0),\sqrt{10}$
(2)$\because$以点 A 为旋转中心,顺时针旋转$△ ACD$得到$△ AEF$,
$\therefore △ ACD≌△ AEF.\therefore AD=AF=\sqrt{10}.$
$\because$旋转角$α=90°,\therefore ∠ DAF=90°.$
$\therefore DF^2=AD^2+AF^2=20.$
$\therefore DF=2\sqrt{5}.$
如图,分别过点 D,F 作 x 轴的垂线,垂足分别为$D',F'$.
在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=BC,A(2,0),$
$\therefore ∠ CAB=∠ CBA=45°.$
$\therefore △ AOC$和$△ BOC$都是等腰直角三角形.
$\therefore OA=OB=OC=2.$
$\because D$是 BC 的中点,
$\therefore DD'=\frac{1}{2}OC=1,OD'=\frac{1}{2}OB=1.$
又$DD'⊥ D'A,FF'⊥ F'A,$
$\therefore ∠ DD'A=∠ AF'F=90°.$
$\therefore ∠ FAF'+∠ AFF'=90°.$
$\because ∠ DAD'+∠ FAF'=90°,$
$\therefore ∠ DAD'=∠ AFF'.$
$\therefore △ AF'F≌△ DD'A(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AF'=DD'=1,$
$FF'=AD'=AO+OD'=3.$
$\therefore OF'=3.$
$\therefore F(3,3).$
②$(2+\sqrt{6},2)$或$(2-\sqrt{6},2).$
解析
【分析】
(1) 首先根据等腰直角三角形三线合一的性质，结合点A的坐标可推出点B的坐标，再得到点C坐标后求出BC中点D的坐标，最后用两点间距离公式计算AD的长度。
(2) ①根据旋转的性质可得AD=AF，结合旋转角为90°可知△DAF是等腰直角三角形，用勾股定理即可求DF的长；求F点坐标时，通过过D、F分别作x轴的垂线构造全等直角三角形，利用全等三角形对应边相等求出F到坐标轴的距离，即可得到F的坐标。
②CF平行x轴时，F的纵坐标与C点纵坐标相同，再结合AF=AD的长度关系列方程求解即可，注意旋转角范围是0°~360°，需分两种情况讨论。
【解析】
(1)
∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB，
∴O为AB中点，OA=OB，
∵A(2,0)，B在x轴负半轴，
∴B(-2,0)，同时可得OC=OA=2，即C(0,2)，
∵D是BC中点，
∴D点坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{0+2}{2})=(-1,1)$，
由两点间距离公式得：$AD=\sqrt{(2-(-1))^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
(2) ①
∵以点A为旋转中心，顺时针旋转△ACD得到△AEF，
∴△ACD≌△AEF，
∴AD=AF=$\sqrt{10}$，
∵旋转角α=90°，
∴∠DAF=90°，
在Rt△DAF中，由勾股定理得：$DF^2=AD^2+AF^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=20$，
∴$DF=2\sqrt{5}$。
分别过点D、F作x轴的垂线，垂足分别为D'、F'，
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴△AOC、△BOC均为等腰直角三角形，OA=OB=OC=2，
∵D是BC中点，DD'⊥x轴，即DD'是△BOC的中位线，
∴$DD'=\frac{1}{2}OC=1$，$OD'=\frac{1}{2}OB=1$，则AD'=AO+OD'=3，
∵DD'⊥D'A，FF'⊥F'A，
∴∠DD'A=∠AF'F=90°，
∴∠FAF'+∠AFF'=90°，又∠DAD'+∠FAF'=∠DAF=90°，
∴∠DAD'=∠AFF'，
在△AF'F和△DD'A中：
$\begin{cases}∠AF'F=∠DD'A \\∠AFF'=∠DAD' \\AF=AD\end{cases}$
∴△AF'F≌△DD'A(AAS)，
∴AF'=DD'=1，FF'=AD'=3，
∴OF'=OA+AF'=3，即F(3,3)。
②当CF//x轴时，F的纵坐标与C点相同为2，设F(x,2)，
∵AF=AD=$\sqrt{10}$，
∴$\sqrt{(x-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{10}$，
解得$(x-2)^2=6$，即$x=2+\sqrt{6}$或$x=2-\sqrt{6}$，
故F点坐标为$(2+\sqrt{6},2)$或$(2-\sqrt{6},2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,0)}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$
(2) ①$DF=2\sqrt{5}$，F的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$；②$\boldsymbol{(2+\sqrt{6},2)}$或$\boldsymbol{(2-\sqrt{6},2)}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，旋转的性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题是坐标系与几何变换的综合题，解题核心是抓住旋转前后图形全等的不变性，求点坐标常用构造垂线、证明全等的方法，涉及平行于坐标轴的点的坐标特征时，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据等腰直角三角形三线合一的性质，结合点A的坐标可推出点B的坐标，再得到点C坐标后求出BC中点D的坐标，最后用两点间距离公式计算AD的长度。
(2) ①根据旋转的性质可得AD=AF，结合旋转角为90°可知△DAF是等腰直角三角形，用勾股定理即可求DF的长；求F点坐标时，通过过D、F分别作x轴的垂线构造全等直角三角形，利用全等三角形对应边相等求出F到坐标轴的距离，即可得到F的坐标。
②CF平行x轴时，F的纵坐标与C点纵坐标相同，再结合AF=AD的长度关系列方程求解即可，注意旋转角范围是0°~360°，需分两种情况讨论。
【解析】
(1)
∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB，
∴O为AB中点，OA=OB，
∵A(2,0)，B在x轴负半轴，
∴B(-2,0)，同时可得OC=OA=2，即C(0,2)，
∵D是BC中点，
∴D点坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{0+2}{2})=(-1,1)$，
由两点间距离公式得：$AD=\sqrt{(2-(-1))^2+(0-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
(2) ①
∵以点A为旋转中心，顺时针旋转△ACD得到△AEF，
∴△ACD≌△AEF，
∴AD=AF=$\sqrt{10}$，
∵旋转角α=90°，
∴∠DAF=90°，
在Rt△DAF中，由勾股定理得：$DF^2=AD^2+AF^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=20$，
∴$DF=2\sqrt{5}$。
分别过点D、F作x轴的垂线，垂足分别为D'、F'，
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴△AOC、△BOC均为等腰直角三角形，OA=OB=OC=2，
∵D是BC中点，DD'⊥x轴，即DD'是△BOC的中位线，
∴$DD'=\frac{1}{2}OC=1$，$OD'=\frac{1}{2}OB=1$，则AD'=AO+OD'=3，
∵DD'⊥D'A，FF'⊥F'A，
∴∠DD'A=∠AF'F=90°，
∴∠FAF'+∠AFF'=90°，又∠DAD'+∠FAF'=∠DAF=90°，
∴∠DAD'=∠AFF'，
在△AF'F和△DD'A中：
$\begin{cases}∠AF'F=∠DD'A \\∠AFF'=∠DAD' \\AF=AD\end{cases}$
∴△AF'F≌△DD'A(AAS)，
∴AF'=DD'=1，FF'=AD'=3，
∴OF'=OA+AF'=3，即F(3,3)。
②当CF//x轴时，F的纵坐标与C点相同为2，设F(x,2)，
∵AF=AD=$\sqrt{10}$，
∴$\sqrt{(x-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{10}$，
解得$(x-2)^2=6$，即$x=2+\sqrt{6}$或$x=2-\sqrt{6}$，
故F点坐标为$(2+\sqrt{6},2)$或$(2-\sqrt{6},2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,0)}$，$\boldsymbol{\sqrt{10}}$
(2) ①$DF=2\sqrt{5}$，F的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$；②$\boldsymbol{(2+\sqrt{6},2)}$或$\boldsymbol{(2-\sqrt{6},2)}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，旋转的性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题是坐标系与几何变换的综合题，解题核心是抓住旋转前后图形全等的不变性，求点坐标常用构造垂线、证明全等的方法，涉及平行于坐标轴的点的坐标特征时，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
