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1.已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-2,7),B(6,7)$，则该抛物线的对称轴是直线$x=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
首先观察到抛物线经过的A、B两点纵坐标相等，说明这两个点是抛物线上关于对称轴对称的点。根据二次函数的轴对称性，抛物线的对称轴是过这两个对称点连线中点且垂直于x轴的直线，因此只需要计算两点横坐标的平均值，就能得到对称轴对应的x值。
【解析】
解：
∵ 点$A(-2,7)$和$B(6,7)$的纵坐标相等，
∴ 点A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，
∴ 抛物线的对称轴为两点横坐标的中点对应的直线，即：
$x=\frac{-2+6}{2}=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数的轴对称性质，解题突破口是发现两点纵坐标相同，从而判断两点为对称点，无需代入解析式求解即可快速得到对称轴，是二次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.9
首先观察到抛物线经过的A、B两点纵坐标相等，说明这两个点是抛物线上关于对称轴对称的点。根据二次函数的轴对称性，抛物线的对称轴是过这两个对称点连线中点且垂直于x轴的直线，因此只需要计算两点横坐标的平均值，就能得到对称轴对应的x值。
【解析】
解：
∵ 点$A(-2,7)$和$B(6,7)$的纵坐标相等，
∴ 点A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，
∴ 抛物线的对称轴为两点横坐标的中点对应的直线，即：
$x=\frac{-2+6}{2}=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数的轴对称性质，解题突破口是发现两点纵坐标相同，从而判断两点为对称点，无需代入解析式求解即可快速得到对称轴，是二次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.9
2.如图是抛物线$y=x^2 -6x +5$的部分图象，则抛物线的对称轴为直线$x=$.已知该抛物线与$x$轴的一个交点的坐标为$(1,0)$，则它与$x$轴的另一个交点的坐标为.
答案
$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{(5,0)}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：①求抛物线对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，可直接用对称轴公式计算；②求x轴上的另一个交点：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点坐标，利用对称性就能求出另一个交点的坐标。
【解析】
1. 计算抛物线对称轴：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=x^2 -6x +5$中，$a=1$，$b=-6$，代入公式得：
$x=-\frac{-6}{2×1}=3$，即对称轴为直线$x=3$。
2. 求与x轴的另一个交点坐标：
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$m$，则两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{1+m}{2}=3$
解得$m=5$，所以另一个交点坐标为$(5,0)$。
【答案】
$3$；$(5,0)$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，熟练掌握对称轴公式和抛物线的对称性是解题的关键，也可以通过因式分解求一元二次方程$x^2-6x+5=0$的根得到交点坐标。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分两步思考：①求抛物线对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，可直接用对称轴公式计算；②求x轴上的另一个交点：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点坐标，利用对称性就能求出另一个交点的坐标。
【解析】
1. 计算抛物线对称轴：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=x^2 -6x +5$中，$a=1$，$b=-6$，代入公式得：
$x=-\frac{-6}{2×1}=3$，即对称轴为直线$x=3$。
2. 求与x轴的另一个交点坐标：
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$m$，则两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{1+m}{2}=3$
解得$m=5$，所以另一个交点坐标为$(5,0)$。
【答案】
$3$；$(5,0)$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，熟练掌握对称轴公式和抛物线的对称性是解题的关键，也可以通过因式分解求一元二次方程$x^2-6x+5=0$的根得到交点坐标。
【难度系数】
0.8
3.将抛物线$y=x^2 -4x +5$向平移个单位长度，得到抛物线$y=x^2 -4x +9.$
答案
上；4
解析
【分析】
解决抛物线平移问题的核心是：抛物线平移本质是顶点的平移，平移过程中开口方向、形状不变，即二次项系数不变。本题中两个抛物线的二次项、一次项系数完全相同，说明仅发生上下平移，我们可以通过两种思路求解：一是将两个解析式配方为顶点式，对比顶点坐标的变化；二是直接计算相同x对应的函数值差值，判断平移的方向和距离。
【解析】
解法1：配方法对比顶点坐标
对两个抛物线分别配方得顶点式：
原抛物线：$y=x^2 -4x +5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1$，顶点坐标为$(2,1)$。
平移后抛物线：$y=x^2 -4x +9=(x^2-4x+4)+5=(x-2)^2+5$，顶点坐标为$(2,5)$。
顶点从$(2,1)$移动到$(2,5)$，横坐标不变，纵坐标增加4，根据二次函数平移“上加下减”的规律，可知抛物线向上平移了4个单位长度。
解法2：直接对比函数值
两个解析式的二次项、一次项系数完全相同，对任意相同的x值，两函数的差值为：
$(x^2-4x+9)-(x^2-4x+5)=4$，即新抛物线的函数值比原抛物线大4，因此是向上平移4个单位长度。
【答案】
上；4
【知识点】
二次函数图象平移规律、配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是掌握抛物线平移时顶点同步平移的性质，也可直接利用“左加右减、上加下减”的解析式变化规律快速判断，是对二次函数图象性质的基础考查。
【难度系数】
0.85
解决抛物线平移问题的核心是：抛物线平移本质是顶点的平移，平移过程中开口方向、形状不变，即二次项系数不变。本题中两个抛物线的二次项、一次项系数完全相同，说明仅发生上下平移，我们可以通过两种思路求解：一是将两个解析式配方为顶点式，对比顶点坐标的变化；二是直接计算相同x对应的函数值差值，判断平移的方向和距离。
【解析】
解法1：配方法对比顶点坐标
对两个抛物线分别配方得顶点式：
原抛物线：$y=x^2 -4x +5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1$，顶点坐标为$(2,1)$。
平移后抛物线：$y=x^2 -4x +9=(x^2-4x+4)+5=(x-2)^2+5$，顶点坐标为$(2,5)$。
顶点从$(2,1)$移动到$(2,5)$，横坐标不变，纵坐标增加4，根据二次函数平移“上加下减”的规律，可知抛物线向上平移了4个单位长度。
解法2：直接对比函数值
两个解析式的二次项、一次项系数完全相同，对任意相同的x值，两函数的差值为：
$(x^2-4x+9)-(x^2-4x+5)=4$，即新抛物线的函数值比原抛物线大4，因此是向上平移4个单位长度。
【答案】
上；4
【知识点】
二次函数图象平移规律、配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是掌握抛物线平移时顶点同步平移的性质，也可直接利用“左加右减、上加下减”的解析式变化规律快速判断，是对二次函数图象性质的基础考查。
【难度系数】
0.85
1.把$y=-x^2-2x-3$配方成$y=a(x-h)^2+k$的形式为$y=$.
答案
$\boldsymbol{-(x+1)^2 -2}$
解析
【分析】
要将二次函数一般式配方成顶点式，解题思路如下：首先把二次项和一次项组合在一起，提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1；再在括号内加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式；最后调整常数项，保证变形前后式子的数值相等，即可得到顶点式。
【解析】
对$y=-x^2-2x-3$进行配方：
1. 提取二次项系数$-1$，将含$x$的项放入括号内：
$y=-(x^2+2x)-3$
2. 括号内配完全平方：一次项系数为2，其一半的平方是$1^2=1$，括号内加1凑完全平方式，由于括号外有系数$-1$，相当于整体多减了1，因此需要在括号外加1保证式子值不变：
$y=-(x^2+2x+1)+1-3$
3. 把括号内写成完全平方形式，合并常数项：
$y=-(x+1)^2-2$
【答案】
$\boldsymbol{-(x+1)^2 -2}$
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，核心考查一般式转化为顶点式的配方操作，解题时要注意提取负号后括号内的符号变化，同时牢记配方过程中必须保证代数式的值不发生改变。
【难度系数】
0.8
要将二次函数一般式配方成顶点式，解题思路如下：首先把二次项和一次项组合在一起，提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1；再在括号内加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式；最后调整常数项，保证变形前后式子的数值相等，即可得到顶点式。
【解析】
对$y=-x^2-2x-3$进行配方：
1. 提取二次项系数$-1$，将含$x$的项放入括号内：
$y=-(x^2+2x)-3$
2. 括号内配完全平方：一次项系数为2，其一半的平方是$1^2=1$，括号内加1凑完全平方式，由于括号外有系数$-1$，相当于整体多减了1，因此需要在括号外加1保证式子值不变：
$y=-(x^2+2x+1)+1-3$
3. 把括号内写成完全平方形式，合并常数项：
$y=-(x+1)^2-2$
【答案】
$\boldsymbol{-(x+1)^2 -2}$
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，核心考查一般式转化为顶点式的配方操作，解题时要注意提取负号后括号内的符号变化，同时牢记配方过程中必须保证代数式的值不发生改变。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数 $ y = x^2 - 2x + 5 $ 的最小值是 .
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
要计算二次函数的最小值，首先观察二次项系数$a=1＞0$，可知抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为抛物线顶点的纵坐标。我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到最值，也可以代入顶点纵坐标公式计算，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y &= x^2 - 2x + 5 \\&= (x^2 - 2x + 1) + 4 \\&= (x-1)^2 + 4\end{aligned}$
因为平方数具有非负性，即$(x-1)^2≥0$，所以当$(x-1)^2=0$也就是$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$4$。
方法二（顶点坐标公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，即为函数的最值。
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=5$，代入公式得：
$\frac{4×1×5 - (-2)^2}{4×1} = \frac{20-4}{4} = 4$
因为$a=1＞0$，所以函数的最小值为$4$。
【答案】
$4$
【知识点】
二次函数最值、配方法、顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数最值求解的基础题型，核心是通过开口方向判断函数最值的存在性，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要计算二次函数的最小值，首先观察二次项系数$a=1＞0$，可知抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为抛物线顶点的纵坐标。我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到最值，也可以代入顶点纵坐标公式计算，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y &= x^2 - 2x + 5 \\&= (x^2 - 2x + 1) + 4 \\&= (x-1)^2 + 4\end{aligned}$
因为平方数具有非负性，即$(x-1)^2≥0$，所以当$(x-1)^2=0$也就是$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$4$。
方法二（顶点坐标公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，即为函数的最值。
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=5$，代入公式得：
$\frac{4×1×5 - (-2)^2}{4×1} = \frac{20-4}{4} = 4$
因为$a=1＞0$，所以函数的最小值为$4$。
【答案】
$4$
【知识点】
二次函数最值、配方法、顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数最值求解的基础题型，核心是通过开口方向判断函数最值的存在性，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
3. 抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}x^2 + x -4$ 的开口向，对称轴是，顶点坐标为.
答案
解：
在抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + x -4$中，二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此抛物线开口向下。
由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，其中$a=-\dfrac{1}{4}$，$b=1$，代入得：
$x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$，即对称轴是直线$x=2$。
将$x=2$代入函数解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{4}×2^2 + 2 -4 = -3$
因此顶点坐标为$(2,-3)$。
答案依次为：下；直线$x=2$；$(2,-3)$。
在抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + x -4$中，二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此抛物线开口向下。
由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，其中$a=-\dfrac{1}{4}$，$b=1$，代入得：
$x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$，即对称轴是直线$x=2$。
将$x=2$代入函数解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{4}×2^2 + 2 -4 = -3$
因此顶点坐标为$(2,-3)$。
答案依次为：下；直线$x=2$；$(2,-3)$。
解析
【分析】
要解决二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标问题，首先回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的相关性质：1. 二次项系数$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴可通过公式$x=-\dfrac{b}{2a}$直接计算；3. 顶点在对称轴上，将对称轴对应的$x$值代入解析式求出$y$值，即可得到顶点坐标。解题时先从给定解析式中确定$a、b、c$的取值，再按上述步骤依次求解即可。
【解析】
在抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + x -4$中，二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此抛物线开口向下。
由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，其中$a=-\dfrac{1}{4}$，$b=1$，代入得：
$x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$，即对称轴是直线$x=2$。
将$x=2$代入函数解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{4}×2^2 + 2 -4 = -3$
因此顶点坐标为$(2,-3)$。
【答案】
下；直线$x=2$；$(2,-3)$
【知识点】
二次函数开口判断；对称轴公式应用；顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础题，主要考查对二次函数一般式与图象性质对应关系的掌握，牢记相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要解决二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标问题，首先回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的相关性质：1. 二次项系数$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴可通过公式$x=-\dfrac{b}{2a}$直接计算；3. 顶点在对称轴上，将对称轴对应的$x$值代入解析式求出$y$值，即可得到顶点坐标。解题时先从给定解析式中确定$a、b、c$的取值，再按上述步骤依次求解即可。
【解析】
在抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + x -4$中，二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此抛物线开口向下。
由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，其中$a=-\dfrac{1}{4}$，$b=1$，代入得：
$x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$，即对称轴是直线$x=2$。
将$x=2$代入函数解析式，得：
$y=-\dfrac{1}{4}×2^2 + 2 -4 = -3$
因此顶点坐标为$(2,-3)$。
【答案】
下；直线$x=2$；$(2,-3)$
【知识点】
二次函数开口判断；对称轴公式应用；顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础题，主要考查对二次函数一般式与图象性质对应关系的掌握，牢记相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 抛物线 $ y = x^2 - 2x + m^2 + 2 $（$ m $ 是常数）的顶点在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
A
解析
【分析】
要判断抛物线顶点所在的象限，首先需要求出顶点的横、纵坐标，再根据坐标的正负判断所在象限。求二次函数顶点坐标可以用顶点坐标公式，或者通过配方法将一般式转化为顶点式得到顶点坐标；再结合平方的非负性判断纵坐标的符号，最终确定顶点所在象限。
【解析】
方法一：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$。
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=m^2+2$：
1. 计算顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1＞0$
2. 计算顶点纵坐标：
$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(m^2+2)-(-2)^2}{4×1}=\frac{4m^2+8-4}{4}=m^2+1$
根据平方的非负性，$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1＞0$。
顶点横、纵坐标均为正数，因此顶点在第一象限。
方法二：配方法
将抛物线解析式配方转化为顶点式：
$y=x^2-2x+m^2+2=(x^2-2x+1)+m^2+2-1=(x-1)^2+m^2+1$
可得顶点坐标为$(1, m^2+1)$，横坐标$1＞0$，纵坐标$m^2+1＞0$，因此顶点在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点坐标求法
2.象限的坐标符号特征
3.平方的非负性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是准确计算顶点坐标，结合平方的非负性判断纵坐标的正负即可快速得到结论，计算量较小。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线顶点所在的象限，首先需要求出顶点的横、纵坐标，再根据坐标的正负判断所在象限。求二次函数顶点坐标可以用顶点坐标公式，或者通过配方法将一般式转化为顶点式得到顶点坐标；再结合平方的非负性判断纵坐标的符号，最终确定顶点所在象限。
【解析】
方法一：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$。
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=m^2+2$：
1. 计算顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1＞0$
2. 计算顶点纵坐标：
$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(m^2+2)-(-2)^2}{4×1}=\frac{4m^2+8-4}{4}=m^2+1$
根据平方的非负性，$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1＞0$。
顶点横、纵坐标均为正数，因此顶点在第一象限。
方法二：配方法
将抛物线解析式配方转化为顶点式：
$y=x^2-2x+m^2+2=(x^2-2x+1)+m^2+2-1=(x-1)^2+m^2+1$
可得顶点坐标为$(1, m^2+1)$，横坐标$1＞0$，纵坐标$m^2+1＞0$，因此顶点在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点坐标求法
2.象限的坐标符号特征
3.平方的非负性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是准确计算顶点坐标，结合平方的非负性判断纵坐标的正负即可快速得到结论，计算量较小。
【难度系数】
0.8
5.如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交于点A(-1,0)，其对称轴为直线$x=1$，下面结论中正确的
第5题图
是()
A.$abc＞0$
B.$2a-b=0$
C.$4a+2b+c＜0$
D.$9a+3b+c=0$
第5题图是()
A.$abc＞0$
B.$2a-b=0$
C.$4a+2b+c＜0$
D.$9a+3b+c=0$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像和已知条件提取关键信息：首先根据开口方向判断a的符号，结合对称轴公式推导a与b的数量关系，再根据与y轴交点判断c的符号，最后利用二次函数的对称性求出x轴另一个交点坐标，逐个验证选项即可。
【解析】
1. 推导系数符号与关系：
抛物线开口向下，故$a＜0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＜0$，得$b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。
2. 逐个验证选项：
选项A：$a＜0,b＞0,c＞0$，因此$abc＜0$，A错误；
选项B：由$b=-2a$得$2a+b=0$，并非$2a-b=0$，B错误；
选项C：$x=2$与$x=0$关于对称轴$x=1$对称，$x=0$时$y=c＞0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c＞0$，C错误；
选项D：点$A(-1,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(3,0)$，即$x=3$时$y=0$，代入解析式得$9a+3b+c=0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数对称轴；二次函数对称性
【点评】
本题核心考查二次函数系数与图像的对应关系，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性得到对应点的函数值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数图像和已知条件提取关键信息：首先根据开口方向判断a的符号，结合对称轴公式推导a与b的数量关系，再根据与y轴交点判断c的符号，最后利用二次函数的对称性求出x轴另一个交点坐标，逐个验证选项即可。
【解析】
1. 推导系数符号与关系：
抛物线开口向下，故$a＜0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＜0$，得$b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。
2. 逐个验证选项：
选项A：$a＜0,b＞0,c＞0$，因此$abc＜0$，A错误；
选项B：由$b=-2a$得$2a+b=0$，并非$2a-b=0$，B错误；
选项C：$x=2$与$x=0$关于对称轴$x=1$对称，$x=0$时$y=c＞0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c＞0$，C错误；
选项D：点$A(-1,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(3,0)$，即$x=3$时$y=0$，代入解析式得$9a+3b+c=0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数对称轴；二次函数对称性
【点评】
本题核心考查二次函数系数与图像的对应关系，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性得到对应点的函数值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6.已知二次函数$y=ax^2 -2ax +1$（$a$为常数，且$a＞0$）的图象上有$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（）
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
D
解析
【分析】
要比较二次函数上三个点的函数值大小，首先需明确二次函数的开口方向与对称轴：当a＞0时抛物线开口向上，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大。首先用对称轴公式求出该函数的对称轴，再分别计算三个点到对称轴的水平距离，通过距离大小即可判断$y_1、y_2、y_3$的大小关系。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。本题中$b=-2a$，代入得对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
2. 判断开口方向：已知$a＞0$，因此抛物线开口向上，在对称轴$x=1$处函数值最小，即点$B(1,y_2)$对应的$y_2$是三个值中最小的。
3. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(-3,y_1)$到$x=1$的距离：$\vert -3-1 \vert=4$
点$C(2,y_3)$到$x=1$的距离：$\vert 2-1 \vert=1$
4. 比较函数值：因为$4＞1$，开口向上时距离对称轴越远函数值越大，因此$y_1＞y_3$。综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的典型基础题，无需代入计算具体函数值，只需通过开口方向和点到对称轴的距离即可快速判断函数值大小，是对二次函数基本性质的直接考察。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数上三个点的函数值大小，首先需明确二次函数的开口方向与对称轴：当a＞0时抛物线开口向上，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大。首先用对称轴公式求出该函数的对称轴，再分别计算三个点到对称轴的水平距离，通过距离大小即可判断$y_1、y_2、y_3$的大小关系。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。本题中$b=-2a$，代入得对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
2. 判断开口方向：已知$a＞0$，因此抛物线开口向上，在对称轴$x=1$处函数值最小，即点$B(1,y_2)$对应的$y_2$是三个值中最小的。
3. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(-3,y_1)$到$x=1$的距离：$\vert -3-1 \vert=4$
点$C(2,y_3)$到$x=1$的距离：$\vert 2-1 \vert=1$
4. 比较函数值：因为$4＞1$，开口向上时距离对称轴越远函数值越大，因此$y_1＞y_3$。综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的典型基础题，无需代入计算具体函数值，只需通过开口方向和点到对称轴的距离即可快速判断函数值大小，是对二次函数基本性质的直接考察。
【难度系数】
0.8
7.若抛物线$y=ax^2+x+2$经过点$A(-1,0)$，则该抛物线的顶点坐标为()
A.$(-1,0)$
B.$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$
C.$(0,2)$
D.$(2,0)$
A.$(-1,0)$
B.$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$
C.$(0,2)$
D.$(2,0)$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，抛物线经过点A(-1,0)，说明点A的坐标满足抛物线的解析式，将点A的横、纵坐标代入解析式即可求出未知参数a的值，得到完整的二次函数解析式；第二步，利用九年级所学的二次函数顶点坐标公式，计算出顶点坐标后匹配选项即可。
【解析】
第一步：求参数a的值
将点A(-1, 0)代入抛物线解析式$y=ax^2+x+2$，可得：
$0 = a·(-1)^2 + (-1) + 2$
化简计算：$0 = a + 1$，解得$a=-1$
因此抛物线的完整解析式为$y=-x^2 + x + 2$。
第二步：计算顶点坐标
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，本题中$a=-1$，$b=1$，$c=2$：
顶点横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-1)}=\frac{1}{2}$
顶点纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×2 - 1^2}{4×(-1)}=\frac{-9}{-4}=\frac{9}{4}$
因此抛物线顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象上点的特征
2. 二次函数顶点坐标计算
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，以及二次函数顶点坐标的计算方法，熟练掌握相关公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，抛物线经过点A(-1,0)，说明点A的坐标满足抛物线的解析式，将点A的横、纵坐标代入解析式即可求出未知参数a的值，得到完整的二次函数解析式；第二步，利用九年级所学的二次函数顶点坐标公式，计算出顶点坐标后匹配选项即可。
【解析】
第一步：求参数a的值
将点A(-1, 0)代入抛物线解析式$y=ax^2+x+2$，可得：
$0 = a·(-1)^2 + (-1) + 2$
化简计算：$0 = a + 1$，解得$a=-1$
因此抛物线的完整解析式为$y=-x^2 + x + 2$。
第二步：计算顶点坐标
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，本题中$a=-1$，$b=1$，$c=2$：
顶点横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-1)}=\frac{1}{2}$
顶点纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×2 - 1^2}{4×(-1)}=\frac{-9}{-4}=\frac{9}{4}$
因此抛物线顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象上点的特征
2. 二次函数顶点坐标计算
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，以及二次函数顶点坐标的计算方法，熟练掌握相关公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
8.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象
如图所示,则点$M(ab,c)$所在的象限是()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
如图所示,则点$M(ab,c)$所在的象限是()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
要判断点M所在象限，需先确定点M横、纵坐标的符号，即ab和c的符号，可通过二次函数图象性质逐步推导：①根据开口方向判断a的符号；②根据对称轴位置结合a的符号判断b的符号；③根据图象与y轴交点位置判断c的符号；④推导ab的符号后即可判断点M的象限。
【解析】
1. 判断a的符号：
∵二次函数图象开口向上，
∴$a＞0$。
2. 判断b的符号：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由图可知对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得$-b＞0$，即$b＜0$。
3. 判断c的符号：当$x=0$时，$y=c$，由图象可知函数与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
4. 判断ab的符号：
∵$a＞0$，$b＜0$，
∴$ab＜0$。
5. 判断点M的象限：点$M(ab,c)$的横坐标$ab＜0$，纵坐标$c＜0$，横纵坐标均为负的点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，需要熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点和系数的对应关系，能快速从图象中提取有效信息解题。
【难度系数】
0.7
要判断点M所在象限，需先确定点M横、纵坐标的符号，即ab和c的符号，可通过二次函数图象性质逐步推导：①根据开口方向判断a的符号；②根据对称轴位置结合a的符号判断b的符号；③根据图象与y轴交点位置判断c的符号；④推导ab的符号后即可判断点M的象限。
【解析】
1. 判断a的符号：
∵二次函数图象开口向上，
∴$a＞0$。
2. 判断b的符号：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由图可知对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得$-b＞0$，即$b＜0$。
3. 判断c的符号：当$x=0$时，$y=c$，由图象可知函数与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
4. 判断ab的符号：
∵$a＞0$，$b＜0$，
∴$ab＜0$。
5. 判断点M的象限：点$M(ab,c)$的横坐标$ab＜0$，纵坐标$c＜0$，横纵坐标均为负的点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，需要熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点和系数的对应关系，能快速从图象中提取有效信息解题。
【难度系数】
0.7
