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9.已知抛物线$y=-x^2 -4x -3$与直线$y=t$有两个交点$M,N$,若$MN≤6$,则$t$的取值范围为()
A.$t≥-8$
B.$-8≤t＜1$
C.$-8＜t＜1$
D.$-8≤t≤1$
A.$t≥-8$
B.$-8≤t＜1$
C.$-8＜t＜1$
D.$-8≤t≤1$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 抛物线与直线y=t有两个交点，说明联立后得到的一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过判别式Δ＞0求出t的取值上限；2. 两个交点纵坐标相同，所以MN的长度等于两个交点横坐标差的绝对值，可利用一元二次方程根与系数的关系将横坐标差的绝对值转化为含t的表达式；3. 结合MN≤6的条件列不等式求解t的下限，最终整合两个范围得到结果。
【解析】
将y=t代入抛物线解析式$y=-x^2 -4x -3$，整理得：
$x^2 + 4x + 3 + t = 0$
∵抛物线与直线有两个交点M、N
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta＞0$
计算判别式：$\Delta=4^2 -4×1×(3+t)=16-12-4t=4-4t＞0$
解得：$t＜1$
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，即M、N的横坐标，由韦达定理得：
$x_1+x_2=-4$，$x_1x_2=3+t$
∵M、N纵坐标均为t，
∴$MN=|x_1-x_2|$
由根与系数的关系变形得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(-4)^2-4(3+t)}=\sqrt{4-4t}=2\sqrt{1-t}$
根据题意$MN≤6$，代入得：
$2\sqrt{1-t}≤6$
两边同除以2得：$\sqrt{1-t}≤3$
两边平方（两边均非负，不等号方向不变）得：$1-t≤9$
解得：$t≥-8$
综上，t的取值范围是$-8≤t＜1$
【答案】
B
【知识点】
二次函数交点问题，一元二次方程判别式，韦达定理
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题关键是将两点距离转化为方程根的差的绝对值，求解时要注意“有两个交点”对应判别式严格大于0，避免误取等号。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 抛物线与直线y=t有两个交点，说明联立后得到的一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过判别式Δ＞0求出t的取值上限；2. 两个交点纵坐标相同，所以MN的长度等于两个交点横坐标差的绝对值，可利用一元二次方程根与系数的关系将横坐标差的绝对值转化为含t的表达式；3. 结合MN≤6的条件列不等式求解t的下限，最终整合两个范围得到结果。
【解析】
将y=t代入抛物线解析式$y=-x^2 -4x -3$，整理得：
$x^2 + 4x + 3 + t = 0$
∵抛物线与直线有两个交点M、N
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta＞0$
计算判别式：$\Delta=4^2 -4×1×(3+t)=16-12-4t=4-4t＞0$
解得：$t＜1$
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，即M、N的横坐标，由韦达定理得：
$x_1+x_2=-4$，$x_1x_2=3+t$
∵M、N纵坐标均为t，
∴$MN=|x_1-x_2|$
由根与系数的关系变形得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(-4)^2-4(3+t)}=\sqrt{4-4t}=2\sqrt{1-t}$
根据题意$MN≤6$，代入得：
$2\sqrt{1-t}≤6$
两边同除以2得：$\sqrt{1-t}≤3$
两边平方（两边均非负，不等号方向不变）得：$1-t≤9$
解得：$t≥-8$
综上，t的取值范围是$-8≤t＜1$
【答案】
B
【知识点】
二次函数交点问题，一元二次方程判别式，韦达定理
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题关键是将两点距离转化为方程根的差的绝对值，求解时要注意“有两个交点”对应判别式严格大于0，避免误取等号。
【难度系数】
0.6
10.将抛物线$C_1: y=x^2+2x+3$先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线$C_2$.
(1)直接写出抛物线$C_2$的函数解析式；
(2)动点$P(a,-6)$是否在抛物线$C_2$上？请说明理由；
(3)若点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0$，比较$y_1$与$y_2$的大小，并说明理由.
(1)直接写出抛物线$C_2$的函数解析式；
(2)动点$P(a,-6)$是否在抛物线$C_2$上？请说明理由；
(3)若点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0$，比较$y_1$与$y_2$的大小，并说明理由.
答案
解：
(1) 先将抛物线$C_1$配方得：
$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$，
根据平移规则“左加右减，上加下减”，向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，可得抛物线$C_2$的解析式为：
$y=(x+1-4)^2+2-3=(x-3)^2-3$，
即$y=(x-3)^2-3$（或展开为$y=x^2-6x+6$）。
(2) 动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由如下：
∵抛物线$C_2$的二次项系数$a=1＞0$，开口向上，顶点坐标为$(3,-3)$，
∴抛物线$C_2$的函数最小值为$-3$。
∵$-6＜-3$，
∴动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。
(3) $y_1＞y_2$，理由如下：
抛物线$C_2:y=(x-3)^2-3$的对称轴为直线$x=3$，开口向上，
∴当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小。
又∵$m＜n＜0＜3$，点$A$、$B$都在对称轴左侧，
∴$y_1＞y_2$。
(1) 先将抛物线$C_1$配方得：
$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$，
根据平移规则“左加右减，上加下减”，向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，可得抛物线$C_2$的解析式为：
$y=(x+1-4)^2+2-3=(x-3)^2-3$，
即$y=(x-3)^2-3$（或展开为$y=x^2-6x+6$）。
(2) 动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由如下：
∵抛物线$C_2$的二次项系数$a=1＞0$，开口向上，顶点坐标为$(3,-3)$，
∴抛物线$C_2$的函数最小值为$-3$。
∵$-6＜-3$，
∴动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。
(3) $y_1＞y_2$，理由如下：
抛物线$C_2:y=(x-3)^2-3$的对称轴为直线$x=3$，开口向上，
∴当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小。
又∵$m＜n＜0＜3$，点$A$、$B$都在对称轴左侧，
∴$y_1＞y_2$。
解析
【分析】
(1) 求平移后的抛物线解析式，首先将原抛物线$C_1$的一般式配方为顶点式，再根据二次函数“左加右减、上加下减”的平移规则，调整顶点式的横坐标和常数项，即可得到$C_2$的解析式；
(2) 判断点是否在抛物线上，先结合抛物线$C_2$的开口方向和顶点坐标确定函数最小值，再对比点$P$的纵坐标与最小值的大小，若纵坐标小于最小值，则点不在抛物线上；
(3) 比较函数值大小，先确定抛物线$C_2$的对称轴和开口方向，得到对称轴一侧的函数增减性，再结合$m、n$的取值范围，根据增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 先将抛物线$C_1$配方为顶点式：
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$
根据平移规则“左加右减（针对横坐标），上加下减（针对常数项）”，向右平移4个单位即横坐标减4，向下平移5个单位即常数项减5，可得$C_2$的解析式：
$y=(x+1-4)^2+2-5=(x-3)^2-3$，展开为一般式为$y=x^2-6x+6$。
(2) 动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由如下：
∵抛物线$C_2$的二次项系数为$1＞0$，开口向上，顶点坐标为$(3,-3)$，
∴函数的最小值为$-3$。
∵$-6＜-3$，点$P$的纵坐标小于函数最小值，
∴动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。
(3) $y_1＞y_2$，理由如下：
抛物线$C_2:y=(x-3)^2-3$的对称轴为直线$x=3$，且开口向上，
∴当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵$m＜n＜0＜3$，点$A、B$都在对称轴左侧的递减区间，
∴$x$越大对应的函数值越小，故$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $y=(x-3)^2-3$（或$y=x^2-6x+6$）；
(2) 不在，理由见解析；
(3) $y_1＞y_2$，理由见解析。
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数基础性质设题，考查了平移规则、最值判断和增减性的应用，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的相关性质，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
(1) 求平移后的抛物线解析式，首先将原抛物线$C_1$的一般式配方为顶点式，再根据二次函数“左加右减、上加下减”的平移规则，调整顶点式的横坐标和常数项，即可得到$C_2$的解析式；
(2) 判断点是否在抛物线上，先结合抛物线$C_2$的开口方向和顶点坐标确定函数最小值，再对比点$P$的纵坐标与最小值的大小，若纵坐标小于最小值，则点不在抛物线上；
(3) 比较函数值大小，先确定抛物线$C_2$的对称轴和开口方向，得到对称轴一侧的函数增减性，再结合$m、n$的取值范围，根据增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 先将抛物线$C_1$配方为顶点式：
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$
根据平移规则“左加右减（针对横坐标），上加下减（针对常数项）”，向右平移4个单位即横坐标减4，向下平移5个单位即常数项减5，可得$C_2$的解析式：
$y=(x+1-4)^2+2-5=(x-3)^2-3$，展开为一般式为$y=x^2-6x+6$。
(2) 动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由如下：
∵抛物线$C_2$的二次项系数为$1＞0$，开口向上，顶点坐标为$(3,-3)$，
∴函数的最小值为$-3$。
∵$-6＜-3$，点$P$的纵坐标小于函数最小值，
∴动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。
(3) $y_1＞y_2$，理由如下：
抛物线$C_2:y=(x-3)^2-3$的对称轴为直线$x=3$，且开口向上，
∴当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵$m＜n＜0＜3$，点$A、B$都在对称轴左侧的递减区间，
∴$x$越大对应的函数值越小，故$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $y=(x-3)^2-3$（或$y=x^2-6x+6$）；
(2) 不在，理由见解析；
(3) $y_1＞y_2$，理由见解析。
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数基础性质设题，考查了平移规则、最值判断和增减性的应用，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的相关性质，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
11.如图，抛物线$y=x^2+mx+n$与直线$y=-x+b$交于点$A(2,0)$和点$B$。
(1)求$m,n$和$b$的值；
(2)求点$B$的坐标，并结合图象写出不等式$x^2+mx ＞ -x + b$的解集。
(1)求$m,n$和$b$的值；
(2)求点$B$的坐标，并结合图象写出不等式$x^2+mx ＞ -x + b$的解集。
答案
解：
(1) 由图象可知抛物线$y=x^2+mx+n$过点$O(0,0)$和$A(2,0)$，
将$(0,0)$代入抛物线解析式得：$0 = 0 + 0 + n$，解得$n=0$，
将$A(2,0)$、$n=0$代入抛物线解析式得：$0 = 2^2 + 2m + 0$，
解得$m=-2$。
将$A(2,0)$代入直线$y=-x+b$得：$0 = -2 + b$，解得$b=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases}y=x^2-2x \\ y=-x+2 \end{cases}$
消去$y$得：$x^2 - 2x = -x + 2$，
整理得$x^2 - x - 2 = 0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，
将$x=-1$代入$y=-x+2$得$y=3$，
所以点$B$的坐标为$(-1,3)$。
结合图象可得不等式$x^2+mx ＞ -x + b$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 2$。
(1) 由图象可知抛物线$y=x^2+mx+n$过点$O(0,0)$和$A(2,0)$，
将$(0,0)$代入抛物线解析式得：$0 = 0 + 0 + n$，解得$n=0$，
将$A(2,0)$、$n=0$代入抛物线解析式得：$0 = 2^2 + 2m + 0$，
解得$m=-2$。
将$A(2,0)$代入直线$y=-x+b$得：$0 = -2 + b$，解得$b=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases}y=x^2-2x \\ y=-x+2 \end{cases}$
消去$y$得：$x^2 - 2x = -x + 2$，
整理得$x^2 - x - 2 = 0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，
将$x=-1$代入$y=-x+2$得$y=3$，
所以点$B$的坐标为$(-1,3)$。
结合图象可得不等式$x^2+mx ＞ -x + b$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 2$。
解析
【分析】
(1) 求解参数可采用待定系数法：观察图象可知抛物线过原点O(0,0)和已知点A(2,0)，将两点坐标代入抛物线解析式即可求出m、n的值；直线经过点A(2,0)，将A点坐标代入直线解析式即可求出b的值。
(2) 两个函数图象的交点坐标对应两个解析式联立所得方程组的解，联立抛物线和直线的解析式，解方程即可得到点B的坐标；不等式$x^2+mx ＞ -x + b$的几何意义是抛物线图象位于直线图象上方时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标即可直接写出解集。
【解析】
(1) 由图象得抛物线$y=x^2+mx+n$过点$O(0,0)$和$A(2,0)$：
把$(0,0)$代入抛物线解析式得：$0=0+0+n$，解得$n=0$；
把$A(2,0)$、$n=0$代入抛物线解析式得：$0=2^2+2m+0$，解得$m=-2$；
把$A(2,0)$代入直线$y=-x+b$得：$0=-2+b$，解得$b=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=x^2-2x \\ y=-x+2 \end{cases}$
消去y得：$x^2-2x=-x+2$，整理得$x^2-x-2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，
将$x=-1$代入$y=-x+2$得$y=1+2=3$，故点B的坐标为$(-1,3)$。
观察图象可得：当$x＜-1$或$x＞2$时，抛物线图象在直线图象上方，即$x^2+mx ＞ -x + b$，故不等式的解集为$x＜-1$或$x＞2$。
【答案】
(1) $m=-2$，$n=0$，$b=2$；
(2) 点B坐标为$(-1,3)$，不等式解集为$x＜-1$或$x＞2$。
【知识点】
待定系数法求解析式；函数交点求解；数形结合解不等式
【点评】
本题属于一次函数与二次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的运用和数形结合思想，解题时要理解函数图象的上下位置关系对应函数值的大小关系，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
(1) 求解参数可采用待定系数法：观察图象可知抛物线过原点O(0,0)和已知点A(2,0)，将两点坐标代入抛物线解析式即可求出m、n的值；直线经过点A(2,0)，将A点坐标代入直线解析式即可求出b的值。
(2) 两个函数图象的交点坐标对应两个解析式联立所得方程组的解，联立抛物线和直线的解析式，解方程即可得到点B的坐标；不等式$x^2+mx ＞ -x + b$的几何意义是抛物线图象位于直线图象上方时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标即可直接写出解集。
【解析】
(1) 由图象得抛物线$y=x^2+mx+n$过点$O(0,0)$和$A(2,0)$：
把$(0,0)$代入抛物线解析式得：$0=0+0+n$，解得$n=0$；
把$A(2,0)$、$n=0$代入抛物线解析式得：$0=2^2+2m+0$，解得$m=-2$；
把$A(2,0)$代入直线$y=-x+b$得：$0=-2+b$，解得$b=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=x^2-2x \\ y=-x+2 \end{cases}$
消去y得：$x^2-2x=-x+2$，整理得$x^2-x-2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，
将$x=-1$代入$y=-x+2$得$y=1+2=3$，故点B的坐标为$(-1,3)$。
观察图象可得：当$x＜-1$或$x＞2$时，抛物线图象在直线图象上方，即$x^2+mx ＞ -x + b$，故不等式的解集为$x＜-1$或$x＞2$。
【答案】
(1) $m=-2$，$n=0$，$b=2$；
(2) 点B坐标为$(-1,3)$，不等式解集为$x＜-1$或$x＞2$。
【知识点】
待定系数法求解析式；函数交点求解；数形结合解不等式
【点评】
本题属于一次函数与二次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的运用和数形结合思想，解题时要理解函数图象的上下位置关系对应函数值的大小关系，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
12. 在平面直角坐标系中, 关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 + px + q $ 的图象过点 $ (-1,0),(2,0) $.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当 $ -2≤ x≤1 $ 时, 求 $ y $ 的最大值与最小值的差；
(3)一次函数 $ y=(2-m)x+2-m $ 的图象与二次函数 $ y=x^2+px+q $ 的图象交点的横坐标分别是 $ a $ 和 $ b $, 且 $ a＜3＜b $, 求 $ m $ 的取值范围.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当 $ -2≤ x≤1 $ 时, 求 $ y $ 的最大值与最小值的差；
(3)一次函数 $ y=(2-m)x+2-m $ 的图象与二次函数 $ y=x^2+px+q $ 的图象交点的横坐标分别是 $ a $ 和 $ b $, 且 $ a＜3＜b $, 求 $ m $ 的取值范围.
答案
解：
(1) 将点$(-1,0)$，$(2,0)$代入二次函数解析式$y=x^2+px+q$，得：
$\begin{cases} 1 - p + q = 0 \\ 4 + 2p + q = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} p=-1 \\ q=-2 \end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$y=x^2 - x - 2$。
(2) 二次函数$y=x^2 - x - 2$开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，且$\frac{1}{2}$在取值范围$-2≤ x≤1$内。
当$x=\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值：$y=(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4}$。
当$x=-2$时，$y=(-2)^2 - (-2) - 2 = 4$；当$x=1$时，$y=1^2 - 1 - 2 = -2$。
∴ 当$x=-2$时，$y$取得最大值$4$。
∴ $y$的最大值与最小值的差为$4 - (-\frac{9}{4}) = \frac{25}{4}$。
(3) 联立两个函数的解析式：
$x^2 - x - 2 = (2 - m)x + 2 - m$
整理得：$x^2 + (m - 3)x + m - 4 = 0$
因式分解得：$(x + 1)(x + m - 4) = 0$
解得$x_1=-1$，$x_2=4 - m$。
由$a＜3＜b$，且$-1＜3$，可知$a=-1$，$b=4 - m$，
∴ $4 - m ＞ 3$，
解得$m ＜ 1$。
即$m$的取值范围是$m ＜ 1$。
(1) 将点$(-1,0)$，$(2,0)$代入二次函数解析式$y=x^2+px+q$，得：
$\begin{cases} 1 - p + q = 0 \\ 4 + 2p + q = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} p=-1 \\ q=-2 \end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$y=x^2 - x - 2$。
(2) 二次函数$y=x^2 - x - 2$开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，且$\frac{1}{2}$在取值范围$-2≤ x≤1$内。
当$x=\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值：$y=(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4}$。
当$x=-2$时，$y=(-2)^2 - (-2) - 2 = 4$；当$x=1$时，$y=1^2 - 1 - 2 = -2$。
∴ 当$x=-2$时，$y$取得最大值$4$。
∴ $y$的最大值与最小值的差为$4 - (-\frac{9}{4}) = \frac{25}{4}$。
(3) 联立两个函数的解析式：
$x^2 - x - 2 = (2 - m)x + 2 - m$
整理得：$x^2 + (m - 3)x + m - 4 = 0$
因式分解得：$(x + 1)(x + m - 4) = 0$
解得$x_1=-1$，$x_2=4 - m$。
由$a＜3＜b$，且$-1＜3$，可知$a=-1$，$b=4 - m$，
∴ $4 - m ＞ 3$，
解得$m ＜ 1$。
即$m$的取值范围是$m ＜ 1$。
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象经过两个定点，将两点坐标代入给定的二次函数一般式，可得到关于p、q的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数解析式。
(2) 求指定区间内二次函数的最值时，先判断抛物线开口方向，再求出对称轴，确认对称轴是否落在给定区间内：开口向上的抛物线，对称轴处取最小值，最大值为区间两个端点对应函数值中较大的那个，最后计算最值的差即可。
(3) 两个函数图象交点的横坐标就是联立两个函数解析式所得方程的根，先联立方程整理为一元二次方程，求解得到两个根，再结合$a＜3＜b$的大小关系，确定大于3的根，列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(-1,0)$，$(2,0)$代入二次函数解析式$y=x^2+px+q$，得：
$\begin{cases} 1 - p + q = 0 \\ 4 + 2p + q = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} p=-1 \\ q=-2 \end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$y=x^2 - x - 2$。
(2) 二次函数$y=x^2 - x - 2$开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，且$\frac{1}{2}$在取值范围$-2≤ x≤1$内。
当$x=\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值：$y=(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4}$。
当$x=-2$时，$y=(-2)^2 - (-2) - 2 = 4$；当$x=1$时，$y=1^2 - 1 - 2 = -2$。
∴ 当$x=-2$时，$y$取得最大值$4$。
∴ $y$的最大值与最小值的差为$4 - (-\frac{9}{4}) = \frac{25}{4}$。
(3) 联立两个函数的解析式：
$x^2 - x - 2 = (2 - m)x + 2 - m$
整理得：$x^2 + (m - 3)x + m - 4 = 0$
因式分解得：$(x + 1)(x + m - 4) = 0$
解得$x_1=-1$，$x_2=4 - m$。
由$a＜3＜b$，且$-1＜3$，可知$a=-1$，$b=4 - m$，
∴ $4 - m ＞ 3$，
解得$m ＜ 1$。
即$m$的取值范围是$m ＜ 1$。
【答案】
(1) $y=x^2 - x - 2$；(2) $\frac{25}{4}$；(3) $m＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，函数交点问题
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质展开考查，前两问为常规基础考点，第三问结合一次函数考查函数与方程的关联，整体侧重对基础解题方法的掌握，运算量较小。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数图象经过两个定点，将两点坐标代入给定的二次函数一般式，可得到关于p、q的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数解析式。
(2) 求指定区间内二次函数的最值时，先判断抛物线开口方向，再求出对称轴，确认对称轴是否落在给定区间内：开口向上的抛物线，对称轴处取最小值，最大值为区间两个端点对应函数值中较大的那个，最后计算最值的差即可。
(3) 两个函数图象交点的横坐标就是联立两个函数解析式所得方程的根，先联立方程整理为一元二次方程，求解得到两个根，再结合$a＜3＜b$的大小关系，确定大于3的根，列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(-1,0)$，$(2,0)$代入二次函数解析式$y=x^2+px+q$，得：
$\begin{cases} 1 - p + q = 0 \\ 4 + 2p + q = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} p=-1 \\ q=-2 \end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$y=x^2 - x - 2$。
(2) 二次函数$y=x^2 - x - 2$开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，且$\frac{1}{2}$在取值范围$-2≤ x≤1$内。
当$x=\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值：$y=(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4}$。
当$x=-2$时，$y=(-2)^2 - (-2) - 2 = 4$；当$x=1$时，$y=1^2 - 1 - 2 = -2$。
∴ 当$x=-2$时，$y$取得最大值$4$。
∴ $y$的最大值与最小值的差为$4 - (-\frac{9}{4}) = \frac{25}{4}$。
(3) 联立两个函数的解析式：
$x^2 - x - 2 = (2 - m)x + 2 - m$
整理得：$x^2 + (m - 3)x + m - 4 = 0$
因式分解得：$(x + 1)(x + m - 4) = 0$
解得$x_1=-1$，$x_2=4 - m$。
由$a＜3＜b$，且$-1＜3$，可知$a=-1$，$b=4 - m$，
∴ $4 - m ＞ 3$，
解得$m ＜ 1$。
即$m$的取值范围是$m ＜ 1$。
【答案】
(1) $y=x^2 - x - 2$；(2) $\frac{25}{4}$；(3) $m＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，函数交点问题
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质展开考查，前两问为常规基础考点，第三问结合一次函数考查函数与方程的关联，整体侧重对基础解题方法的掌握，运算量较小。
【难度系数】
0.7
