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例1 已知抛物线经过$(1,0),(-1,-2),(3,10)$三点,求此抛物线的解析式.
【思路导析】设该抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$,把三点的坐标分别代入解析式中,解关于$a,b,c$的三元一次方程组即可.
【请你解答】
【思路导析】设该抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$,把三点的坐标分别代入解析式中,解关于$a,b,c$的三元一次方程组即可.
【请你解答】
答案
解：设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）。
将点$(1,0)$，$(-1,-2)$，$(3,10)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\a - b + c = -2 \\9a + 3b + c = 10\end{cases}$
解这个方程组：
用第一个方程减去第二个方程，得$2b=2$，解得$b=1$。
将$b=1$代入第一个方程，得$a + c = -1$。
将$b=1$代入第三个方程，得$9a + c = 7$。
用$9a + c =7$减去$a + c = -1$，得$8a=8$，解得$a=1$。
将$a=1$代入$a + c = -1$，得$c=-2$。
即方程组的解为$\begin{cases}a=1\\b=1\\c=-2\end{cases}$
因此，此抛物线的解析式为$y=x^2 + x - 2$。
将点$(1,0)$，$(-1,-2)$，$(3,10)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\a - b + c = -2 \\9a + 3b + c = 10\end{cases}$
解这个方程组：
用第一个方程减去第二个方程，得$2b=2$，解得$b=1$。
将$b=1$代入第一个方程，得$a + c = -1$。
将$b=1$代入第三个方程，得$9a + c = 7$。
用$9a + c =7$减去$a + c = -1$，得$8a=8$，解得$a=1$。
将$a=1$代入$a + c = -1$，得$c=-2$。
即方程组的解为$\begin{cases}a=1\\b=1\\c=-2\end{cases}$
因此，此抛物线的解析式为$y=x^2 + x - 2$。
解析
【分析】
已知抛物线经过三个无特殊特征的点，我们选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。解题时先将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，再通过消元法逐步解出$a、b、c$的取值，最后将系数代回一般式即可得到抛物线的解析式。
【解析】
解：设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）。
将点$(1,0)$，$(-1,-2)$，$(3,10)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a + b + c = 0 ①\\a - b + c = -2 ②\\9a + 3b + c = 10 ③\end{cases}$
解这个方程组：
用①-②，得$2b=2$，解得$b=1$。
将$b=1$代入①，得$a + c = -1$ ④。
将$b=1$代入③，得$9a + c = 7$ ⑤。
用⑤-④，得$8a=8$，解得$a=1$。
将$a=1$代入④，得$1 + c = -1$，解得$c=-2$。
即方程组的解为$\begin{cases}a=1\\b=1\\c=-2\end{cases}$
将$a、b、c$的值代回所设解析式，得此抛物线的解析式。
【答案】
$y=x^2 + x - 2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是用待定系数法求二次函数解析式的典型基础题，解题关键是根据已知点的类型选择合适的解析式形式，本题给出三个普通点，选用一般式求解最直接，计算时运用消元法可快速求出系数，注意计算时符号不要出错。
【难度系数】
0.8
已知抛物线经过三个无特殊特征的点，我们选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。解题时先将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，再通过消元法逐步解出$a、b、c$的取值，最后将系数代回一般式即可得到抛物线的解析式。
【解析】
解：设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）。
将点$(1,0)$，$(-1,-2)$，$(3,10)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a + b + c = 0 ①\\a - b + c = -2 ②\\9a + 3b + c = 10 ③\end{cases}$
解这个方程组：
用①-②，得$2b=2$，解得$b=1$。
将$b=1$代入①，得$a + c = -1$ ④。
将$b=1$代入③，得$9a + c = 7$ ⑤。
用⑤-④，得$8a=8$，解得$a=1$。
将$a=1$代入④，得$1 + c = -1$，解得$c=-2$。
即方程组的解为$\begin{cases}a=1\\b=1\\c=-2\end{cases}$
将$a、b、c$的值代回所设解析式，得此抛物线的解析式。
【答案】
$y=x^2 + x - 2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是用待定系数法求二次函数解析式的典型基础题，解题关键是根据已知点的类型选择合适的解析式形式，本题给出三个普通点，选用一般式求解最直接，计算时运用消元法可快速求出系数，注意计算时符号不要出错。
【难度系数】
0.8
例2 抛物线的顶点为$(0,-2)$，且过点$(1,4)$，求此抛物线的解析式.
【思路导析】设抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2 +k$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】设抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2 +k$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
设抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
∵抛物线的顶点为$(0,-2)$，
∴$h=0$，$k=-2$，
代入得抛物线解析式为$y=ax^2 - 2$。
把点$(1,4)$代入$y=ax^2 - 2$，得：
$4 = a·1^2 - 2$，
解得$a=6$。
∴此抛物线的解析式为$y=6x^2 - 2$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
∵抛物线的顶点为$(0,-2)$，
∴$h=0$，$k=-2$，
代入得抛物线解析式为$y=ax^2 - 2$。
把点$(1,4)$代入$y=ax^2 - 2$，得：
$4 = a·1^2 - 2$，
解得$a=6$。
∴此抛物线的解析式为$y=6x^2 - 2$。
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，求解解析式时优先选择二次函数的顶点式进行求解。首先根据顶点式的结构特征，代入顶点坐标即可直接确定解析式中的h、k两个参数，此时解析式中仅剩下未知参数a，再将题目给出的抛物线上另一个点的坐标代入含参数a的解析式，解方程求出a的值，即可得到完整的抛物线解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
∵抛物线的顶点为$(0,-2)$，
∴$h=0$，$k=-2$，代入得抛物线解析式为$y=ax^2 - 2$。
把点$(1,4)$代入$y=ax^2 - 2$，得：
$4 = a·1^2 - 2$，
解得$a=6$。
∴此抛物线的解析式为$y=6x^2 - 2$。
【答案】
$y=6x^2 - 2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，当已知顶点坐标时选用顶点式设解析式可大幅简化计算，熟悉不同形式的二次函数解析式的适用场景，就能快速选择最优方法解题。
【难度系数】
0.85
已知抛物线的顶点坐标，求解解析式时优先选择二次函数的顶点式进行求解。首先根据顶点式的结构特征，代入顶点坐标即可直接确定解析式中的h、k两个参数，此时解析式中仅剩下未知参数a，再将题目给出的抛物线上另一个点的坐标代入含参数a的解析式，解方程求出a的值，即可得到完整的抛物线解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
∵抛物线的顶点为$(0,-2)$，
∴$h=0$，$k=-2$，代入得抛物线解析式为$y=ax^2 - 2$。
把点$(1,4)$代入$y=ax^2 - 2$，得：
$4 = a·1^2 - 2$，
解得$a=6$。
∴此抛物线的解析式为$y=6x^2 - 2$。
【答案】
$y=6x^2 - 2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，当已知顶点坐标时选用顶点式设解析式可大幅简化计算，熟悉不同形式的二次函数解析式的适用场景，就能快速选择最优方法解题。
【难度系数】
0.85
例3 已知抛物线与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,抛物线与y轴的交点为C,若△ABC的面积为3,抛物线的对称轴为直线$x=4$,求抛物线的解析式.
【探究点拨】由抛物线的对称性求出点B的坐标,由三角形面积可求点C的坐标,再求解析式.
【规范解答】∵ 抛物线的对称轴为直线$x=4$且过点$A(3,0)$,
∴ 点B的坐标为$(5,0)$.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=3$,
∴ $\frac{1}{2}×(5-3)×OC=3$,
∴ $OC=3$.
故点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$.
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$.
当点C的坐标为$(0,3)$时,有
$\begin{cases}9a+3b+c=0,\\25a+5b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{1}{5},\\b=-\frac{8}{5},\\c=3.\end{cases}$
∴ $y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$.
当点C的坐标为$(0,-3)$时,同理可求得
$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$.
综上所述,抛物线的解析式为
$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$ 或 $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$.
【探究点拨】由抛物线的对称性求出点B的坐标,由三角形面积可求点C的坐标,再求解析式.
【规范解答】∵ 抛物线的对称轴为直线$x=4$且过点$A(3,0)$,
∴ 点B的坐标为$(5,0)$.
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=3$,
∴ $\frac{1}{2}×(5-3)×OC=3$,
∴ $OC=3$.
故点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$.
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$.
当点C的坐标为$(0,3)$时,有
$\begin{cases}9a+3b+c=0,\\25a+5b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{1}{5},\\b=-\frac{8}{5},\\c=3.\end{cases}$
∴ $y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$.
当点C的坐标为$(0,-3)$时,同理可求得
$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$.
综上所述,抛物线的解析式为
$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$ 或 $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$.
答案
解：
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=4$且过点$A(3,0)$，
∴ 点B的坐标为$(5,0)$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC = 3$，
∴ $\frac{1}{2} × (5-3) × OC = 3$，
解得$OC=3$。
∴ 点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$。
当点C的坐标为$(0,3)$时，代入三点坐标得：
$\begin{cases}9a+3b+c=0\\25a+5b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=\frac{1}{5}\\b=-\frac{8}{5}\\c=3\end{cases}$
∴ 此时抛物线的解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$。
当点C的坐标为$(0,-3)$时，代入三点坐标得：
$\begin{cases}9a+3b+c=0\\25a+5b+c=0\\c=-3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=-\frac{1}{5}\\b=\frac{8}{5}\\c=-3\end{cases}$
∴ 此时抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$。
综上所述，抛物线的解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$或$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$。
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=4$且过点$A(3,0)$，
∴ 点B的坐标为$(5,0)$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC = 3$，
∴ $\frac{1}{2} × (5-3) × OC = 3$，
解得$OC=3$。
∴ 点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$。
当点C的坐标为$(0,3)$时，代入三点坐标得：
$\begin{cases}9a+3b+c=0\\25a+5b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=\frac{1}{5}\\b=-\frac{8}{5}\\c=3\end{cases}$
∴ 此时抛物线的解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$。
当点C的坐标为$(0,-3)$时，代入三点坐标得：
$\begin{cases}9a+3b+c=0\\25a+5b+c=0\\c=-3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=-\frac{1}{5}\\b=\frac{8}{5}\\c=-3\end{cases}$
∴ 此时抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$。
综上所述，抛物线的解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$或$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$。
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知对称轴和点A的坐标，即可求出另一个x轴交点B的坐标。接着△ABC以AB为底，点C到x轴的距离（即OC的长度）为高，结合已知的三角形面积可算出OC的长度，注意点C在y轴上，坐标存在(0,3)和(0,-3)两种可能。最后分两种情况，用待定系数法将三个点的坐标代入二次函数一般式，解三元一次方程组即可求出对应的解析式。
【解析】
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=4$且过点$A(3,0)$，
∴ 点B的坐标为$(5,0)$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC = 3$，
∴ $\frac{1}{2} × (5-3) × OC = 3$，
解得$OC=3$。
∴ 点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$。
当点C的坐标为$(0,3)$时，代入三点坐标得：
$\begin{cases}9a+3b+c=0\\25a+5b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=\frac{1}{5}\\b=-\frac{8}{5}\\c=3\end{cases}$
∴ 此时抛物线的解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$。
当点C的坐标为$(0,-3)$时，代入三点坐标得：
$\begin{cases}9a+3b+c=0\\25a+5b+c=0\\c=-3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=-\frac{1}{5}\\b=\frac{8}{5}\\c=-3\end{cases}$
∴ 此时抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$。
综上所述，抛物线的解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$或$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$。
【答案】
$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$ 或 $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是熟练运用二次函数的对称性确定交点坐标，同时要注意抛物线与y轴交点的两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用二次函数的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知对称轴和点A的坐标，即可求出另一个x轴交点B的坐标。接着△ABC以AB为底，点C到x轴的距离（即OC的长度）为高，结合已知的三角形面积可算出OC的长度，注意点C在y轴上，坐标存在(0,3)和(0,-3)两种可能。最后分两种情况，用待定系数法将三个点的坐标代入二次函数一般式，解三元一次方程组即可求出对应的解析式。
【解析】
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=4$且过点$A(3,0)$，
∴ 点B的坐标为$(5,0)$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC = 3$，
∴ $\frac{1}{2} × (5-3) × OC = 3$，
解得$OC=3$。
∴ 点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$。
当点C的坐标为$(0,3)$时，代入三点坐标得：
$\begin{cases}9a+3b+c=0\\25a+5b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=\frac{1}{5}\\b=-\frac{8}{5}\\c=3\end{cases}$
∴ 此时抛物线的解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$。
当点C的坐标为$(0,-3)$时，代入三点坐标得：
$\begin{cases}9a+3b+c=0\\25a+5b+c=0\\c=-3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a=-\frac{1}{5}\\b=\frac{8}{5}\\c=-3\end{cases}$
∴ 此时抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$。
综上所述，抛物线的解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$或$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$。
【答案】
$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$ 或 $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是熟练运用二次函数的对称性确定交点坐标，同时要注意抛物线与y轴交点的两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
1. 已知二次函数的图象经过原点及点(2,0)，且顶点到x轴的距离为3，则该二次函数的解析式是。
答案
解：
∵二次函数图象经过原点$(0,0)$和点$(2,0)$，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
∵顶点到$x$轴的距离为3，
∴顶点坐标为$(1,3)$或$(1,-3)$。
①当顶点为$(1,3)$时，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+3$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a·(0-1)^2+3$，
解得$a=-3$，
此时二次函数解析式为$y=-3(x-1)^2+3=-3x^2+6x$。
②当顶点为$(1,-3)$时，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2-3$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a·(0-1)^2-3$，
解得$a=3$，
此时二次函数解析式为$y=3(x-1)^2-3=3x^2-6x$。
综上，该二次函数的解析式为$y=3x^2-6x$或$y=-3x^2+6x$。
∵二次函数图象经过原点$(0,0)$和点$(2,0)$，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
∵顶点到$x$轴的距离为3，
∴顶点坐标为$(1,3)$或$(1,-3)$。
①当顶点为$(1,3)$时，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+3$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a·(0-1)^2+3$，
解得$a=-3$，
此时二次函数解析式为$y=-3(x-1)^2+3=-3x^2+6x$。
②当顶点为$(1,-3)$时，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2-3$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a·(0-1)^2-3$，
解得$a=3$，
此时二次函数解析式为$y=3(x-1)^2-3=3x^2-6x$。
综上，该二次函数的解析式为$y=3x^2-6x$或$y=-3x^2+6x$。
解析
【分析】
已知二次函数经过x轴上的两个交点(0,0)和(2,0)，首先可推出对称轴为两点横坐标的平均值对应的直线$x=1$；顶点在对称轴上，结合顶点到x轴的距离为3，可得顶点坐标有两种可能：$(1,3)$或$(1,-3)$。接下来选择顶点式设二次函数解析式，代入已知点求出参数$a$即可得到对应的解析式，注意不要漏解。
【解析】
∵二次函数图象经过原点$(0,0)$和点$(2,0)$，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
∵顶点到$x$轴的距离为3，
∴顶点坐标为$(1,3)$或$(1,-3)$，分两种情况讨论：
①当顶点为$(1,3)$时，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+3$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a·(0-1)^2+3$，
解得$a=-3$，
此时二次函数解析式为$y=-3(x-1)^2+3=-3x^2+6x$。
②当顶点为$(1,-3)$时，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2-3$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a·(0-1)^2-3$，
解得$a=3$，
此时二次函数解析式为$y=3(x-1)^2-3=3x^2-6x$。
综上，可得到二次函数的解析式。
【答案】
$y=3x^2-6x$或$y=-3x^2+6x$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数顶点式
【点评】
本题解题的关键是根据函数与x轴的交点确定对称轴，再结合顶点到x轴的距离得到顶点坐标，需要注意距离为3对应顶点纵坐标有正负两种情况，避免漏解，使用顶点式求解能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
已知二次函数经过x轴上的两个交点(0,0)和(2,0)，首先可推出对称轴为两点横坐标的平均值对应的直线$x=1$；顶点在对称轴上，结合顶点到x轴的距离为3，可得顶点坐标有两种可能：$(1,3)$或$(1,-3)$。接下来选择顶点式设二次函数解析式，代入已知点求出参数$a$即可得到对应的解析式，注意不要漏解。
【解析】
∵二次函数图象经过原点$(0,0)$和点$(2,0)$，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
∵顶点到$x$轴的距离为3，
∴顶点坐标为$(1,3)$或$(1,-3)$，分两种情况讨论：
①当顶点为$(1,3)$时，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+3$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a·(0-1)^2+3$，
解得$a=-3$，
此时二次函数解析式为$y=-3(x-1)^2+3=-3x^2+6x$。
②当顶点为$(1,-3)$时，设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2-3$，
将$(0,0)$代入解析式得：$0=a·(0-1)^2-3$，
解得$a=3$，
此时二次函数解析式为$y=3(x-1)^2-3=3x^2-6x$。
综上，可得到二次函数的解析式。
【答案】
$y=3x^2-6x$或$y=-3x^2+6x$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数顶点式
【点评】
本题解题的关键是根据函数与x轴的交点确定对称轴，再结合顶点到x轴的距离得到顶点坐标，需要注意距离为3对应顶点纵坐标有正负两种情况，避免漏解，使用顶点式求解能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
2.已知一个二次函数，当$x=-1$时，$y=-1$；当$x=0$时，$y=-2$；当$x=1$时，$y=1.$
(1)求二次函数的解析式；
(2)写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
(1)求二次函数的解析式；
(2)写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
答案
解：
(1) 设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，
将$x=-1,y=-1$；$x=0,y=-2$；$x=1,y=1$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = -2 \\a + b + c = 1\end{cases}$
把$c=-2$代入另外两个方程，可得：
$\begin{cases}a - b = 1 \\a + b = 3\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，
将$a=2$代入$a - b=1$，解得$b=1$。
所以二次函数的解析式为$y=2x^2+x-2$。
(2) 对解析式配方变形：
$y=2x^2+x-2=2(x^2+\frac{1}{2}x)-2=2(x+\frac{1}{4})^2-\frac{17}{8}$
因此，该二次函数图象的顶点坐标为$(-\frac{1}{4},-\frac{17}{8})$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{4}$。
(1) 设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，
将$x=-1,y=-1$；$x=0,y=-2$；$x=1,y=1$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = -2 \\a + b + c = 1\end{cases}$
把$c=-2$代入另外两个方程，可得：
$\begin{cases}a - b = 1 \\a + b = 3\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，
将$a=2$代入$a - b=1$，解得$b=1$。
所以二次函数的解析式为$y=2x^2+x-2$。
(2) 对解析式配方变形：
$y=2x^2+x-2=2(x^2+\frac{1}{2}x)-2=2(x+\frac{1}{4})^2-\frac{17}{8}$
因此，该二次函数图象的顶点坐标为$(-\frac{1}{4},-\frac{17}{8})$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
(1) 已知三个不同点的坐标求二次函数解析式，优先选择二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，利用待定系数法，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数即可得到解析式。
(2) 求顶点坐标和对称轴时，可将求出的一般式通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接读出顶点坐标$(h,k)$和对称轴直线$x=h$，也可以用顶点坐标公式计算。
【解析】
(1) 设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，
将$x=-1,y=-1$；$x=0,y=-2$；$x=1,y=1$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = -2 \\a + b + c = 1\end{cases}$
把$c=-2$代入另外两个方程，可得：
$\begin{cases}a - b = 1 \\a + b = 3\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，
将$a=2$代入$a - b=1$，解得$b=1$。
所以二次函数的解析式为$y=2x^2+x-2$。
(2) 对解析式配方变形：
$y=2x^2+x-2=2(x^2+\frac{1}{2}x)-2=2(x+\frac{1}{4})^2-\frac{17}{8}$
因此，该二次函数图象的顶点坐标为$(-\frac{1}{4},-\frac{17}{8})$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $y=2x^2+x-2$；
(2) 顶点坐标为$(-\frac{1}{4},-\frac{17}{8})$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数配方
3. 二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，以及二次函数顶点、对称轴的求解方法，解题时注意计算准确性，熟练掌握配方法步骤即可顺利解答，是二次函数基础知识点的典型考查题。
【难度系数】
0.8
(1) 已知三个不同点的坐标求二次函数解析式，优先选择二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，利用待定系数法，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数即可得到解析式。
(2) 求顶点坐标和对称轴时，可将求出的一般式通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接读出顶点坐标$(h,k)$和对称轴直线$x=h$，也可以用顶点坐标公式计算。
【解析】
(1) 设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，
将$x=-1,y=-1$；$x=0,y=-2$；$x=1,y=1$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}a - b + c = -1 \\c = -2 \\a + b + c = 1\end{cases}$
把$c=-2$代入另外两个方程，可得：
$\begin{cases}a - b = 1 \\a + b = 3\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，
将$a=2$代入$a - b=1$，解得$b=1$。
所以二次函数的解析式为$y=2x^2+x-2$。
(2) 对解析式配方变形：
$y=2x^2+x-2=2(x^2+\frac{1}{2}x)-2=2(x+\frac{1}{4})^2-\frac{17}{8}$
因此，该二次函数图象的顶点坐标为$(-\frac{1}{4},-\frac{17}{8})$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $y=2x^2+x-2$；
(2) 顶点坐标为$(-\frac{1}{4},-\frac{17}{8})$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数配方
3. 二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，以及二次函数顶点、对称轴的求解方法，解题时注意计算准确性，熟练掌握配方法步骤即可顺利解答，是二次函数基础知识点的典型考查题。
【难度系数】
0.8
