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1.已知抛物线$y=x^2+mx-5$经过点$(2,-5)$，则抛物线的解析式为。
答案
解：
把点$(2,-5)$代入$y=x^2+mx-5$，得
$-5 = 2^2 + 2m -5$
化简得：$-5 = 2m -1$
解得：$m=-2$
将$m=-2$代入原式，得抛物线的解析式为$y=x^2-2x-5$。
把点$(2,-5)$代入$y=x^2+mx-5$，得
$-5 = 2^2 + 2m -5$
化简得：$-5 = 2m -1$
解得：$m=-2$
将$m=-2$代入原式，得抛物线的解析式为$y=x^2-2x-5$。
解析
【分析】
解题思路：首先明确函数图象与点的坐标的关系：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标代入函数解析式后等式成立。本题中抛物线解析式含未知参数m，且已知抛物线过点$(2,-5)$，因此先将点的坐标代入解析式，得到关于m的一元一次方程，解出m的值后，再将m代回原式，即可得到完整的抛物线解析式。
【解析】
把点$(2,-5)$代入$y=x^2+mx-5$，得：
$-5 = 2^2 + 2m -5$
化简得：
$-5 = 2m -1$
移项计算得：
$2m = -4$
解得$m=-2$
将$m=-2$代入原解析式，可得抛物线的解析式为$y=x^2-2x-5$。
【答案】
$y=x^2-2x-5$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查函数图象与点的坐标的对应关系，解题思路直接，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确函数图象与点的坐标的关系：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标代入函数解析式后等式成立。本题中抛物线解析式含未知参数m，且已知抛物线过点$(2,-5)$，因此先将点的坐标代入解析式，得到关于m的一元一次方程，解出m的值后，再将m代回原式，即可得到完整的抛物线解析式。
【解析】
把点$(2,-5)$代入$y=x^2+mx-5$，得：
$-5 = 2^2 + 2m -5$
化简得：
$-5 = 2m -1$
移项计算得：
$2m = -4$
解得$m=-2$
将$m=-2$代入原解析式，可得抛物线的解析式为$y=x^2-2x-5$。
【答案】
$y=x^2-2x-5$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查函数图象与点的坐标的对应关系，解题思路直接，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
2.已知抛物线与x轴的交点为A(-1,0)，B(3,0)，当抛物线与y轴交点为(0,4)时，该抛物线的解析式为。
答案
解：∵抛物线与x轴的交点为A(-1,0)，B(3,0)
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3) \quad (a≠0)$
将点$(0,4)$代入上式，得：
$4=a·(0+1)·(0-3)$
解得$a=-\frac{4}{3}$
将$a=-\frac{4}{3}$代入所设解析式并展开：
$y=-\frac{4}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
$y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3) \quad (a≠0)$
将点$(0,4)$代入上式，得：
$4=a·(0+1)·(0-3)$
解得$a=-\frac{4}{3}$
将$a=-\frac{4}{3}$代入所设解析式并展开：
$y=-\frac{4}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
$y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
解析
【分析】
已知抛物线与x轴的两个交点坐标，求二次函数解析式时，优先选择交点式（两根式）设解析式，可简化计算过程。解题思路为：①根据两个x轴交点的横坐标，写出交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$，$x_1、x_2$为抛物线与x轴交点的横坐标）；②将抛物线与y轴的交点坐标代入所设解析式，求出未知参数$a$的值；③将$a$代回交点式，展开为一般式即可得到最终解析式。
【解析】
∵抛物线与x轴的交点为$A(-1,0)$，$B(3,0)$
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3) \quad (a≠0)$
将点$(0,4)$代入上式，得：
$4=a·(0+1)·(0-3)$
解得$a=-\frac{4}{3}$
将$a=-\frac{4}{3}$代入所设解析式并展开：
$y=-\frac{4}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
【答案】
$y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的交点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知条件选择最优的解析式形式，已知抛物线与x轴的两个交点时选用交点式，可避免解多元方程组，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
已知抛物线与x轴的两个交点坐标，求二次函数解析式时，优先选择交点式（两根式）设解析式，可简化计算过程。解题思路为：①根据两个x轴交点的横坐标，写出交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$，$x_1、x_2$为抛物线与x轴交点的横坐标）；②将抛物线与y轴的交点坐标代入所设解析式，求出未知参数$a$的值；③将$a$代回交点式，展开为一般式即可得到最终解析式。
【解析】
∵抛物线与x轴的交点为$A(-1,0)$，$B(3,0)$
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3) \quad (a≠0)$
将点$(0,4)$代入上式，得：
$4=a·(0+1)·(0-3)$
解得$a=-\frac{4}{3}$
将$a=-\frac{4}{3}$代入所设解析式并展开：
$y=-\frac{4}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
【答案】
$y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的交点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知条件选择最优的解析式形式，已知抛物线与x轴的两个交点时选用交点式，可避免解多元方程组，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
3.已知二次函数图象的顶点为$(1,-3)$，且该抛物线经过点$P(2,0)$，则这个二次函数的解析式为。
答案
解：
∵二次函数图象的顶点为$(1,-3)$，
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2 - 3\ (a≠0)$。
将点$P(2,0)$代入解析式，得：
$0=a·(2-1)^2 - 3$
解得$a=3$。
将$a=3$代入顶点式并整理：
$y=3(x-1)^2 - 3 = 3x^2 -6x$
∴这个二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=3x^2 -6x}$。
∵二次函数图象的顶点为$(1,-3)$，
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2 - 3\ (a≠0)$。
将点$P(2,0)$代入解析式，得：
$0=a·(2-1)^2 - 3$
解得$a=3$。
将$a=3$代入顶点式并整理：
$y=3(x-1)^2 - 3 = 3x^2 -6x$
∴这个二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=3x^2 -6x}$。
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，求解解析式时优先选用顶点式可简化计算步骤。首先回忆二次函数顶点式的形式：若顶点坐标为$(h,k)$，则可设解析式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，本题中$h=1$，$k=-3$，代入后解析式只含有一个未知参数$a$；再将已知的抛物线上的点$P(2,0)$代入所设解析式，解一元一次方程即可求出$a$的值，最后将$a$代回顶点式，整理为一般式即可得到最终解析式。
【解析】
$\because$ 二次函数图象的顶点为$(1,-3)$，
$\therefore$ 设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2 - 3\ (a≠0)$。
将点$P(2,0)$代入解析式，得：
$0=a·(2-1)^2 - 3$
解得$a=3$。
将$a=3$代入顶点式并整理：
$y=3(x-1)^2 - 3 = 3(x^2-2x+1)-3=3x^2 -6x+3-3=3x^2-6x$
$\therefore$ 这个二次函数的解析式为$y=3x^2 -6x$。
【答案】
$\boldsymbol{y=3x^2 -6x}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅降低计算量，这类题型是二次函数部分的基础考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，求解解析式时优先选用顶点式可简化计算步骤。首先回忆二次函数顶点式的形式：若顶点坐标为$(h,k)$，则可设解析式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，本题中$h=1$，$k=-3$，代入后解析式只含有一个未知参数$a$；再将已知的抛物线上的点$P(2,0)$代入所设解析式，解一元一次方程即可求出$a$的值，最后将$a$代回顶点式，整理为一般式即可得到最终解析式。
【解析】
$\because$ 二次函数图象的顶点为$(1,-3)$，
$\therefore$ 设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2 - 3\ (a≠0)$。
将点$P(2,0)$代入解析式，得：
$0=a·(2-1)^2 - 3$
解得$a=3$。
将$a=3$代入顶点式并整理：
$y=3(x-1)^2 - 3 = 3(x^2-2x+1)-3=3x^2 -6x+3-3=3x^2-6x$
$\therefore$ 这个二次函数的解析式为$y=3x^2 -6x$。
【答案】
$\boldsymbol{y=3x^2 -6x}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅降低计算量，这类题型是二次函数部分的基础考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4.二次函数$y=ax^2+bx+c$中的$x,y$的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为，$m$的值为。
则该二次函数的解析式为，$m$的值为。答案
二次函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2-3x+1}$，$m$的值为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
本题利用待定系数法求解，思路如下：1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，从表格中选取3组已知的x、y对应值代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组；2. 解方程组求出a、b、c的数值，即可确定二次函数解析式；3. 将$x=-1$代入已求出的解析式，计算得到的y值就是m的值。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
从表格中选取三组对应值$\begin{cases}x=0,y=1\\x=1,y=-1\\x=2,y=-1\end{cases}$，分别代入解析式得：
$\begin{cases}c=1 \\a+b+c=-1 \\4a+2b+c=-1\end{cases}$
把$c=1$代入后两个方程，化简得：
$\begin{cases}a+b=-2 \\2a+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=-2$，解得$b=-3$，
因此$a=1,b=-3,c=1$，二次函数解析式为$y=x^2-3x+1$。
求m的值：将$x=-1$代入解析式得：
$m=(-1)^2 -3×(-1)+1=1+3+1=5$。
【答案】
$y=x^2-3x+1$；$5$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时只要准确代入点的坐标、正确求解方程组即可得到答案，是巩固二次函数解析式求解方法的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题利用待定系数法求解，思路如下：1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，从表格中选取3组已知的x、y对应值代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组；2. 解方程组求出a、b、c的数值，即可确定二次函数解析式；3. 将$x=-1$代入已求出的解析式，计算得到的y值就是m的值。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
从表格中选取三组对应值$\begin{cases}x=0,y=1\\x=1,y=-1\\x=2,y=-1\end{cases}$，分别代入解析式得：
$\begin{cases}c=1 \\a+b+c=-1 \\4a+2b+c=-1\end{cases}$
把$c=1$代入后两个方程，化简得：
$\begin{cases}a+b=-2 \\2a+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=-2$，解得$b=-3$，
因此$a=1,b=-3,c=1$，二次函数解析式为$y=x^2-3x+1$。
求m的值：将$x=-1$代入解析式得：
$m=(-1)^2 -3×(-1)+1=1+3+1=5$。
【答案】
$y=x^2-3x+1$；$5$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时只要准确代入点的坐标、正确求解方程组即可得到答案，是巩固二次函数解析式求解方法的典型习题。
【难度系数】
0.8
5.若抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A(-1,0)$和$B(1,-4)$两点，则$b,c$的值分别为()
A.$-2,-3$
B.$-2,-2$
C.$-4,-2$
D.$2,-4$
A.$-2,-3$
B.$-2,-2$
C.$-4,-2$
D.$2,-4$
答案
A
解析
【分析】
已知抛物线经过两个坐标确定的点，根据二次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，可将两个点的坐标分别代入抛物线解析式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解方程组就能求出b、c的取值，这是待定系数法求函数参数的常规解题思路。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A(-1,0)$和$B(1,-4)$两点
∴ 将两点坐标分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}(-1)^2 -b + c = 0 \\1^2 +b + c = -4\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}-b + c = -1 \quad ① \\b + c = -5 \quad ②\end{cases}$
①+②得：$2c=-6$，解得$c=-3$
把$c=-3$代入②得：$b -3 = -5$，解得$b=-2$
因此$b=-2$，$c=-3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；解二元一次方程组
【点评】
本题是二次函数参数求解的基础题型，解题核心是掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系，代入列方程组求解即可，属于常考的基础类题型。
【难度系数】
0.8
已知抛物线经过两个坐标确定的点，根据二次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，可将两个点的坐标分别代入抛物线解析式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解方程组就能求出b、c的取值，这是待定系数法求函数参数的常规解题思路。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A(-1,0)$和$B(1,-4)$两点
∴ 将两点坐标分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}(-1)^2 -b + c = 0 \\1^2 +b + c = -4\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}-b + c = -1 \quad ① \\b + c = -5 \quad ②\end{cases}$
①+②得：$2c=-6$，解得$c=-3$
把$c=-3$代入②得：$b -3 = -5$，解得$b=-2$
因此$b=-2$，$c=-3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；解二元一次方程组
【点评】
本题是二次函数参数求解的基础题型，解题核心是掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系，代入列方程组求解即可，属于常考的基础类题型。
【难度系数】
0.8
6. 抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，若$S_{△ ABC}=3$，则此抛物线的解析式为()
A.$y=-x^2+4x-3$
B.$y=4x^2-x+3$
C.$y=x^2+4x-3$
D.$y=x^2-4x+3$
A.$y=-x^2+4x-3$
B.$y=4x^2-x+3$
C.$y=x^2+4x-3$
D.$y=x^2-4x+3$
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先从图像提取信息：抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)，可先算出底AB的长度；2. 结合△ABC的面积公式，求出y轴上点C的纵坐标，即解析式中的常数项c的值；3. 利用抛物线与x轴的两个交点，设交点式解析式，代入C点坐标求出a的值，展开即可得到解析式；也可以结合抛物线开口方向、与坐标轴交点特征用排除法快速筛选选项。
【解析】
步骤1：由图像可知，抛物线与x轴交点为A(1,0)、B(3,0)，因此AB的长度为$3-1=2$。
步骤2：点C是抛物线与y轴的交点，设C(0,c)，且C在y轴正半轴，故$c＞0$，△ABC的高即为OC的长度$c$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知$S_{△ ABC}=3$，得：
$\frac{1}{2}×2×c=3$，解得$c=3$，即C点坐标为(0,3)。
步骤3：已知抛物线过x轴上两点A(1,0)、B(3,0)，设抛物线的交点式为$y=a(x-1)(x-3)（a≠0）$。
将C(0,3)代入交点式得：$a×(0-1)×(0-3)=3$，即$3a=3$，解得$a=1$。
步骤4：将解析式展开：$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。
也可用排除法验证：选项A中$a=-1＜0$，抛物线开口向下，与图像不符，排除；选项B的判别式$\Delta=(-1)^2-4×4×3=-47＜0$，与x轴无交点，排除；选项C中当$x=0$时$y=-3$，与C点在y轴正半轴不符，排除，故选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数图像特征和解析式的求解，解题的关键是从图像中提取交点坐标，结合面积公式求出未知参数，也可通过排除法快速锁定答案，是二次函数的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先从图像提取信息：抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)，可先算出底AB的长度；2. 结合△ABC的面积公式，求出y轴上点C的纵坐标，即解析式中的常数项c的值；3. 利用抛物线与x轴的两个交点，设交点式解析式，代入C点坐标求出a的值，展开即可得到解析式；也可以结合抛物线开口方向、与坐标轴交点特征用排除法快速筛选选项。
【解析】
步骤1：由图像可知，抛物线与x轴交点为A(1,0)、B(3,0)，因此AB的长度为$3-1=2$。
步骤2：点C是抛物线与y轴的交点，设C(0,c)，且C在y轴正半轴，故$c＞0$，△ABC的高即为OC的长度$c$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知$S_{△ ABC}=3$，得：
$\frac{1}{2}×2×c=3$，解得$c=3$，即C点坐标为(0,3)。
步骤3：已知抛物线过x轴上两点A(1,0)、B(3,0)，设抛物线的交点式为$y=a(x-1)(x-3)（a≠0）$。
将C(0,3)代入交点式得：$a×(0-1)×(0-3)=3$，即$3a=3$，解得$a=1$。
步骤4：将解析式展开：$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$。
也可用排除法验证：选项A中$a=-1＜0$，抛物线开口向下，与图像不符，排除；选项B的判别式$\Delta=(-1)^2-4×4×3=-47＜0$，与x轴无交点，排除；选项C中当$x=0$时$y=-3$，与C点在y轴正半轴不符，排除，故选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数图像特征和解析式的求解，解题的关键是从图像中提取交点坐标，结合面积公式求出未知参数，也可通过排除法快速锁定答案，是二次函数的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7.已知二次函数$y=4x^2 - mx +5$，当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，则当$x=1$时，$y$的值为()
A.$-7$
B.$1$
C.$17$
D.$25$
A.$-7$
B.$1$
C.$17$
D.$25$
答案
D
解析
【分析】
对于开口向上的二次函数，其图象的增减性以对称轴为分界：对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大。结合题目给出的增减性规律，可先确定该二次函数的对称轴为直线$x=-2$；再利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$代入系数，即可求出参数m的值，得到完整的函数解析式；最后将$x=1$代入解析式计算出y的值，对应选项即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=4x^2 - mx +5$中，$a=4＞0$，图象开口向上，
且当$x＜-2$时y随x增大而减小，$x＞-2$时y随x增大而增大，
∴该函数的对称轴为直线$x=-2$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=4$，$b=-m$，代入得：
$\frac{m}{2×4}=-2$
解得$m=-16$。
∴二次函数解析式为$y=4x^2 +16x +5$。
当$x=1$时，代入解析式得：
$y=4×1^2 +16×1 +5=4+16+5=25$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；待定系数法求解析式
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是根据函数的增减性确定对称轴，进而求出未知参数m的值，整体难度不高，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
对于开口向上的二次函数，其图象的增减性以对称轴为分界：对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大。结合题目给出的增减性规律，可先确定该二次函数的对称轴为直线$x=-2$；再利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$代入系数，即可求出参数m的值，得到完整的函数解析式；最后将$x=1$代入解析式计算出y的值，对应选项即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=4x^2 - mx +5$中，$a=4＞0$，图象开口向上，
且当$x＜-2$时y随x增大而减小，$x＞-2$时y随x增大而增大，
∴该函数的对称轴为直线$x=-2$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=4$，$b=-m$，代入得：
$\frac{m}{2×4}=-2$
解得$m=-16$。
∴二次函数解析式为$y=4x^2 +16x +5$。
当$x=1$时，代入解析式得：
$y=4×1^2 +16×1 +5=4+16+5=25$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称轴；待定系数法求解析式
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是根据函数的增减性确定对称轴，进而求出未知参数m的值，整体难度不高，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
8.如果抛物线经过点$A(2,0)$和$B(-1,0)$，且与$y$轴交于点$C$，若$OC=2$，则这条抛物线的解析式是()
A.$y=x^2 -x -2$
B.$y=-x^2 -x -2$或$y=x^2 +x +2$
C.$y=-x^2 +x +2$
D.$y=x^2 -x -2$或$y=-x^2 +x +2$
A.$y=x^2 -x -2$
B.$y=-x^2 -x -2$或$y=x^2 +x +2$
C.$y=-x^2 +x +2$
D.$y=x^2 -x -2$或$y=-x^2 +x +2$
答案
D
解析
【分析】
已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可优先选用交点式设二次函数的解析式，简化计算；由OC=2可知，抛物线与y轴的交点C的纵坐标为2或-2（OC是线段长度，C点可在y轴正半轴或负半轴），分两种情况将C点坐标代入所设解析式，求出未知系数a，即可得到抛物线解析式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：
∵抛物线经过点$A(2,0)$和$B(-1,0)$，
∴设抛物线的解析式为交点式：$y=a(x-2)(x+1)$（$a≠0$）。
∵抛物线与y轴交于点C，且$OC=2$，
∴点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况代入计算：
① 把$C(0,2)$代入解析式得：
$2=a(0-2)(0+1)$，
即$2=-2a$，解得$a=-1$，
此时解析式为$y=-(x-2)(x+1)$，展开得$y=-x^2 +x +2$；
② 把$C(0,-2)$代入解析式得：
$-2=a(0-2)(0+1)$，
即$-2=-2a$，解得$a=1$，
此时解析式为$y=(x-2)(x+1)$，展开得$y=x^2 -x -2$。
综上，抛物线的解析式为$y=x^2 -x -2$或$y=-x^2 +x +2$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数交点式；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题解题的关键是合理选择二次函数的解析式形式简化计算，同时要注意OC是线段长度，对应的点C坐标有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可优先选用交点式设二次函数的解析式，简化计算；由OC=2可知，抛物线与y轴的交点C的纵坐标为2或-2（OC是线段长度，C点可在y轴正半轴或负半轴），分两种情况将C点坐标代入所设解析式，求出未知系数a，即可得到抛物线解析式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：
∵抛物线经过点$A(2,0)$和$B(-1,0)$，
∴设抛物线的解析式为交点式：$y=a(x-2)(x+1)$（$a≠0$）。
∵抛物线与y轴交于点C，且$OC=2$，
∴点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况代入计算：
① 把$C(0,2)$代入解析式得：
$2=a(0-2)(0+1)$，
即$2=-2a$，解得$a=-1$，
此时解析式为$y=-(x-2)(x+1)$，展开得$y=-x^2 +x +2$；
② 把$C(0,-2)$代入解析式得：
$-2=a(0-2)(0+1)$，
即$-2=-2a$，解得$a=1$，
此时解析式为$y=(x-2)(x+1)$，展开得$y=x^2 -x -2$。
综上，抛物线的解析式为$y=x^2 -x -2$或$y=-x^2 +x +2$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数交点式；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题解题的关键是合理选择二次函数的解析式形式简化计算，同时要注意OC是线段长度，对应的点C坐标有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.已知抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$B(-1,0)$和点$C(2,3)$.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点$(-2,-1)$，试确定平移的方向和平移的距离.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点$(-2,-1)$，试确定平移的方向和平移的距离.
答案
解：
(1) 将点$B(-1,0)$、$C(2,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 -b + c = 0 \\ -4 + 2b + c = 3 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} c - b = 1 \\ 2b + c = 7 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=2 \\ c=3 \end{cases}$
所以此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 设上下平移后的抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3 + k$，
将点$(-2,-1)$代入得：
$-(-2)^2 + 2×(-2) + 3 + k = -1$
整理得$-5 + k = -1$，
解得$k=4$。
所以该抛物线向上平移4个单位长度后，经过点$(-2,-1)$。
(1) 将点$B(-1,0)$、$C(2,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 -b + c = 0 \\ -4 + 2b + c = 3 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} c - b = 1 \\ 2b + c = 7 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=2 \\ c=3 \end{cases}$
所以此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 设上下平移后的抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3 + k$，
将点$(-2,-1)$代入得：
$-(-2)^2 + 2×(-2) + 3 + k = -1$
整理得$-5 + k = -1$，
解得$k=4$。
所以该抛物线向上平移4个单位长度后，经过点$(-2,-1)$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的一般式和经过的两个点坐标，可使用待定系数法求解：将两个点的横、纵坐标分别代入抛物线解析式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解出b、c的值就能确定抛物线的解析式。
(2) 抛物线上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律，平移前后二次项系数、一次项系数不变，只有常数项变化。可设平移后的解析式为原解析式加上平移参数k（k＞0为向上平移，k＜0为向下平移，|k|为平移距离），再将已知点代入平移后的解析式求出k，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
(1) 将点$B(-1,0)$、$C(2,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 -b + c = 0 \\ -4 + 2b + c = 3 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} c - b = 1 \\ 2b + c = 7 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3b=6$，解得$b=2$，将$b=2$代入$c - b=1$得$c=3$。
(2) 设上下平移后的抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3 + k$，
将点$(-2,-1)$代入得：
$-(-2)^2 + 2×(-2) + 3 + k = -1$
整理得$-5 + k = -1$，解得$k=4$，$k＞0$说明平移方向为向上，平移距离为4个单位长度。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 抛物线向上平移4个单位长度。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用和二次函数平移规律，熟练掌握代入解方程组和平移“上加下减”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线的一般式和经过的两个点坐标，可使用待定系数法求解：将两个点的横、纵坐标分别代入抛物线解析式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解出b、c的值就能确定抛物线的解析式。
(2) 抛物线上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律，平移前后二次项系数、一次项系数不变，只有常数项变化。可设平移后的解析式为原解析式加上平移参数k（k＞0为向上平移，k＜0为向下平移，|k|为平移距离），再将已知点代入平移后的解析式求出k，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
(1) 将点$B(-1,0)$、$C(2,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 -b + c = 0 \\ -4 + 2b + c = 3 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} c - b = 1 \\ 2b + c = 7 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3b=6$，解得$b=2$，将$b=2$代入$c - b=1$得$c=3$。
(2) 设上下平移后的抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3 + k$，
将点$(-2,-1)$代入得：
$-(-2)^2 + 2×(-2) + 3 + k = -1$
整理得$-5 + k = -1$，解得$k=4$，$k＞0$说明平移方向为向上，平移距离为4个单位长度。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 抛物线向上平移4个单位长度。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用和二次函数平移规律，熟练掌握代入解方程组和平移“上加下减”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
