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10.如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线$y=x+1$相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连接AM,BM.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断$△ ABM$的形状,并说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断$△ ABM$的形状,并说明理由.
答案
解：
(1) 在直线$y=x+1$中：
令$y=0$，得$x+1=0$，解得$x=-1$，因此$A(-1,0)$。
令$x=2$，得$y=2+1=3$，因此$B(2,3)$。
因为抛物线顶点$M$在$y$轴上，设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，
将$A(-1,0)$、$B(2,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}a + c = 0 \\4a + c = 3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=1 \\c=-1\end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=x^2-1$。
(2) $△ ABM$是直角三角形，理由如下：
由抛物线解析式$y=x^2-1$，得顶点$M$的坐标为$(0,-1)$。
由两点间距离公式计算三边的平方：
$AM^2=(-1-0)^2+(0+1)^2=2$，
$AB^2=(2+1)^2+(3-0)^2=18$，
$BM^2=(2-0)^2+(3+1)^2=20$，
可得$AM^2 + AB^2 = 2 + 18 = 20 = BM^2$，
根据勾股定理的逆定理，$∠ BAM=90°$，
因此$△ ABM$是直角三角形。
(1) 在直线$y=x+1$中：
令$y=0$，得$x+1=0$，解得$x=-1$，因此$A(-1,0)$。
令$x=2$，得$y=2+1=3$，因此$B(2,3)$。
因为抛物线顶点$M$在$y$轴上，设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，
将$A(-1,0)$、$B(2,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}a + c = 0 \\4a + c = 3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=1 \\c=-1\end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=x^2-1$。
(2) $△ ABM$是直角三角形，理由如下：
由抛物线解析式$y=x^2-1$，得顶点$M$的坐标为$(0,-1)$。
由两点间距离公式计算三边的平方：
$AM^2=(-1-0)^2+(0+1)^2=2$，
$AB^2=(2+1)^2+(3-0)^2=18$，
$BM^2=(2-0)^2+(3+1)^2=20$，
可得$AM^2 + AB^2 = 2 + 18 = 20 = BM^2$，
根据勾股定理的逆定理，$∠ BAM=90°$，
因此$△ ABM$是直角三角形。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线顶点在y轴上，因此可设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，只需得到两个点的坐标代入即可求解。首先求A、B两点坐标：点A是直线$y=x+1$与x轴的交点，令直线解析式中$y=0$即可求出A点横坐标；点B横坐标为2，代入直线解析式即可求出B点纵坐标。将A、B两点坐标代入所设抛物线解析式，解二元一次方程组得到a、c的值，即可得到抛物线解析式。
(2) 判断$△ ABM$的形状时，先根据抛物线解析式得到顶点M的坐标，再利用勾股定理分别计算$△ ABM$三边长度的平方，验证是否存在两边的平方和等于第三边的平方，若存在则可根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形。
【解析】
(1) 在直线$y=x+1$中：
令$y=0$，得$x+1=0$，解得$x=-1$，因此$A(-1,0)$。
令$x=2$，得$y=2+1=3$，因此$B(2,3)$。
因为抛物线顶点$M$在$y$轴上，设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，
将$A(-1,0)$、$B(2,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}a + c = 0 \\4a + c = 3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=1 \\c=-1\end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=x^2-1$。
(2) $△ ABM$是直角三角形，理由如下：
由抛物线解析式$y=x^2-1$，得顶点$M$的坐标为$(0,-1)$。
由两点间距离公式（勾股定理）计算三边的平方：
$AM^2=(-1-0)^2+(0+1)^2=2$，
$AB^2=(2+1)^2+(3-0)^2=18$，
$BM^2=(2-0)^2+(3+1)^2=20$，
可得$AM^2 + AB^2 = 2 + 18 = 20 = BM^2$，
根据勾股定理的逆定理，$∠ BAM=90°$，
因此$△ ABM$是直角三角形。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=x^2-1}$；
(2) $△ ABM$是$\boldsymbol{直角三角形}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 一次函数的点坐标特征
3. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题是一次函数、二次函数与三角形判定结合的基础综合题，解题思路清晰，核心是先利用一次函数性质求得交点坐标，再结合抛物线的特征用待定系数法求解析式，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，是需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线顶点在y轴上，因此可设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，只需得到两个点的坐标代入即可求解。首先求A、B两点坐标：点A是直线$y=x+1$与x轴的交点，令直线解析式中$y=0$即可求出A点横坐标；点B横坐标为2，代入直线解析式即可求出B点纵坐标。将A、B两点坐标代入所设抛物线解析式，解二元一次方程组得到a、c的值，即可得到抛物线解析式。
(2) 判断$△ ABM$的形状时，先根据抛物线解析式得到顶点M的坐标，再利用勾股定理分别计算$△ ABM$三边长度的平方，验证是否存在两边的平方和等于第三边的平方，若存在则可根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形。
【解析】
(1) 在直线$y=x+1$中：
令$y=0$，得$x+1=0$，解得$x=-1$，因此$A(-1,0)$。
令$x=2$，得$y=2+1=3$，因此$B(2,3)$。
因为抛物线顶点$M$在$y$轴上，设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，
将$A(-1,0)$、$B(2,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}a + c = 0 \\4a + c = 3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=1 \\c=-1\end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=x^2-1$。
(2) $△ ABM$是直角三角形，理由如下：
由抛物线解析式$y=x^2-1$，得顶点$M$的坐标为$(0,-1)$。
由两点间距离公式（勾股定理）计算三边的平方：
$AM^2=(-1-0)^2+(0+1)^2=2$，
$AB^2=(2+1)^2+(3-0)^2=18$，
$BM^2=(2-0)^2+(3+1)^2=20$，
可得$AM^2 + AB^2 = 2 + 18 = 20 = BM^2$，
根据勾股定理的逆定理，$∠ BAM=90°$，
因此$△ ABM$是直角三角形。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=x^2-1}$；
(2) $△ ABM$是$\boldsymbol{直角三角形}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 一次函数的点坐标特征
3. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题是一次函数、二次函数与三角形判定结合的基础综合题，解题思路清晰，核心是先利用一次函数性质求得交点坐标，再结合抛物线的特征用待定系数法求解析式，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，是需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-5,0),B(-1,0)$,与$y$轴交于点$C(0,-5)$,$P$是抛物线上的一点,连接$PA$,$PC$,$PC$与$x$轴交于点$D$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点$P$的坐标为$(-2,3)$,求$△ APC$的面积.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点$P$的坐标为$(-2,3)$,求$△ APC$的面积.
答案
解：
(1) ∵ 抛物线与x轴交于点$A(-5,0)$，$B(-1,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x+5)(x+1)$
将$C(0,-5)$代入解析式，得：
$a·(0+5)·(0+1) = -5$
解得$a=-1$
∴ $y=-(x+5)(x+1) = -x^2-6x-5$
即抛物线的解析式为$y=-x^2-6x-5$。
(2) 设直线$PC$的解析式为$y=kx+m$，将$P(-2,3)$，$C(0,-5)$代入得：
$\begin{cases} -2k + m = 3 \\ m = -5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-4 \\ m=-5 \end{cases}$
∴ 直线$PC$的解析式为$y=-4x-5$
令$y=0$，得$-4x-5=0$，解得$x=-\dfrac{5}{4}$
∴ 点$D$的坐标为$(-\dfrac{5}{4},0)$
$AD = -\dfrac{5}{4} - (-5) = \dfrac{15}{4}$
$S_{△ APC} = S_{△ APD} + S_{△ ACD}$
$= \dfrac{1}{2} · AD · |y_P| + \dfrac{1}{2} · AD · |y_C|$
$= \dfrac{1}{2} × \dfrac{15}{4} × 3 + \dfrac{1}{2} × \dfrac{15}{4} × 5$
$= 15$
综上，抛物线解析式为$y=-x^2-6x-5$，$△ APC$的面积为$15$。
(1) ∵ 抛物线与x轴交于点$A(-5,0)$，$B(-1,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x+5)(x+1)$
将$C(0,-5)$代入解析式，得：
$a·(0+5)·(0+1) = -5$
解得$a=-1$
∴ $y=-(x+5)(x+1) = -x^2-6x-5$
即抛物线的解析式为$y=-x^2-6x-5$。
(2) 设直线$PC$的解析式为$y=kx+m$，将$P(-2,3)$，$C(0,-5)$代入得：
$\begin{cases} -2k + m = 3 \\ m = -5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-4 \\ m=-5 \end{cases}$
∴ 直线$PC$的解析式为$y=-4x-5$
令$y=0$，得$-4x-5=0$，解得$x=-\dfrac{5}{4}$
∴ 点$D$的坐标为$(-\dfrac{5}{4},0)$
$AD = -\dfrac{5}{4} - (-5) = \dfrac{15}{4}$
$S_{△ APC} = S_{△ APD} + S_{△ ACD}$
$= \dfrac{1}{2} · AD · |y_P| + \dfrac{1}{2} · AD · |y_C|$
$= \dfrac{1}{2} × \dfrac{15}{4} × 3 + \dfrac{1}{2} × \dfrac{15}{4} × 5$
$= 15$
综上，抛物线解析式为$y=-x^2-6x-5$，$△ APC$的面积为$15$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，优先选择交点式设抛物线的解析式来减少计算量，再代入抛物线与y轴交点C的坐标求出未知系数a，最后整理为一般式即可得到抛物线解析式。
(2) 求△APC的面积时，由于△APC是斜三角形，直接用底乘高计算较复杂，可采用割补法：利用PC与x轴的交点D，将△APC分割为以AD为公共底的△APD和△ACD，两个三角形的高分别为点P纵坐标的绝对值、点C纵坐标的绝对值。因此先求直线PC的解析式，得到点D的坐标，计算AD的长度后，分别求出两个三角形的面积再求和即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线与x轴交于点$A(-5,0)$，$B(-1,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x+5)(x+1)$
将$C(0,-5)$代入解析式，得：
$a·(0+5)·(0+1) = -5$
解得$a=-1$
∴ $y=-(x+5)(x+1) = -x^2-6x-5$
即抛物线的解析式为$y=-x^2-6x-5$。
(2) 设直线$PC$的解析式为$y=kx+m$，将$P(-2,3)$，$C(0,-5)$代入得：
$\begin{cases} -2k + m = 3 \\ m = -5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-4 \\ m=-5 \end{cases}$
∴ 直线$PC$的解析式为$y=-4x-5$
令$y=0$，得$-4x-5=0$，解得$x=-\dfrac{5}{4}$
∴ 点$D$的坐标为$(-\dfrac{5}{4},0)$
$AD = -\dfrac{5}{4} - (-5) = \dfrac{15}{4}$
$S_{△ APC} = S_{△ APD} + S_{△ ACD}$
$= \dfrac{1}{2} · AD · |y_P| + \dfrac{1}{2} · AD · |y_C|$
$= \dfrac{1}{2} × \dfrac{15}{4} × 3 + \dfrac{1}{2} × \dfrac{15}{4} × 5$
$= 15$
【答案】
抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2-6x-5}$；$△ APC$的面积为$\boldsymbol{15}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；一次函数解析式求解；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，第一问合理选择交点式求解析式可简化计算，第二问用到的割补法是解决坐标系中斜三角形面积问题的常用方法，熟练掌握该思路能高效解决同类面积计算问题。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，优先选择交点式设抛物线的解析式来减少计算量，再代入抛物线与y轴交点C的坐标求出未知系数a，最后整理为一般式即可得到抛物线解析式。
(2) 求△APC的面积时，由于△APC是斜三角形，直接用底乘高计算较复杂，可采用割补法：利用PC与x轴的交点D，将△APC分割为以AD为公共底的△APD和△ACD，两个三角形的高分别为点P纵坐标的绝对值、点C纵坐标的绝对值。因此先求直线PC的解析式，得到点D的坐标，计算AD的长度后，分别求出两个三角形的面积再求和即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线与x轴交于点$A(-5,0)$，$B(-1,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x+5)(x+1)$
将$C(0,-5)$代入解析式，得：
$a·(0+5)·(0+1) = -5$
解得$a=-1$
∴ $y=-(x+5)(x+1) = -x^2-6x-5$
即抛物线的解析式为$y=-x^2-6x-5$。
(2) 设直线$PC$的解析式为$y=kx+m$，将$P(-2,3)$，$C(0,-5)$代入得：
$\begin{cases} -2k + m = 3 \\ m = -5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-4 \\ m=-5 \end{cases}$
∴ 直线$PC$的解析式为$y=-4x-5$
令$y=0$，得$-4x-5=0$，解得$x=-\dfrac{5}{4}$
∴ 点$D$的坐标为$(-\dfrac{5}{4},0)$
$AD = -\dfrac{5}{4} - (-5) = \dfrac{15}{4}$
$S_{△ APC} = S_{△ APD} + S_{△ ACD}$
$= \dfrac{1}{2} · AD · |y_P| + \dfrac{1}{2} · AD · |y_C|$
$= \dfrac{1}{2} × \dfrac{15}{4} × 3 + \dfrac{1}{2} × \dfrac{15}{4} × 5$
$= 15$
【答案】
抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2-6x-5}$；$△ APC$的面积为$\boldsymbol{15}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；一次函数解析式求解；坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，第一问合理选择交点式求解析式可简化计算，第二问用到的割补法是解决坐标系中斜三角形面积问题的常用方法，熟练掌握该思路能高效解决同类面积计算问题。
【难度系数】
0.8
12.如图，抛物线$y=-x^2+2x+c$与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA=OB，G为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标$y_Q$的取值范围.
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标$y_Q$的取值范围.
答案
(1) 求解抛物线解析式及点G的坐标
解：
对于抛物线 $y=-x^2+2x+c$，
令 $x=0$，得 $y=c$，因此抛物线与y轴正半轴的交点 $B$ 的坐标为 $(0,c)$，故 $OB=c$。
由 $OA=OB$，且点A在x轴正半轴上，可得点A的坐标为 $(c,0)$。
将 $A(c,0)$ 代入抛物线解析式：
$0=-c^2+2c+c$
整理得 $-c^2+3c=0$，即 $c(-c+3)=0$，解得 $c=3$（$c=0$ 不符合题意，舍去）。
因此抛物线的解析式为 $y=-x^2+2x+3$。
将解析式配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
因此抛物线的顶点G的坐标为 $(1,4)$。
(2) 求点Q的纵坐标$y_Q$的取值范围
解：
由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为直线 $x=1$。
点M到对称轴的距离为3个单位长度，则点M的横坐标为 $1-3=-2$ 或 $1+3=4$；
将横坐标代入抛物线解析式，得对应纵坐标为：
当 $x=-2$ 时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；
当 $x=4$ 时，$y=-4^2+2×4+3=-5$，即点M的坐标为 $(-2,-5)$ 或 $(4,-5)$。
点N到对称轴的距离为5个单位长度，则点N的横坐标为 $1-5=-4$ 或 $1+5=6$；
将横坐标代入抛物线解析式，得对应纵坐标为：
当 $x=-4$ 时，$y=-(-4)^2+2×(-4)+3=-21$；
当 $x=6$ 时，$y=-6^2+2×6+3=-21$，即点N的坐标为 $(-4,-21)$ 或 $(6,-21)$。
结合“点M在点N的左侧”的条件，可得两组符合要求的点：
- 情况1：$N(-4,-21)$，$M(-2,-5)$，此时M在N右侧，不符合要求，排除；
- 情况2：$M(-2,-5)$，$N(6,-21)$，满足点M在点N左侧；
- 情况3：$N(-4,-21)$，$M(4,-5)$，满足点M在点N左侧；
- 情况4：$M(4,-5)$，$N(6,-21)$，此时M在N左侧，但该区间的纵坐标范围包含于情况2的结果中。
抛物线开口向下，顶点G$(1,4)$是抛物线上的最高点，在点M、N之间的区域内，纵坐标的最大值为顶点的纵坐标4，最小值为点N的纵坐标-21。
因此点Q的纵坐标 $y_Q$ 的取值范围是 $\boldsymbol{-21 ≤ y_Q ≤ 4}$。
解：
对于抛物线 $y=-x^2+2x+c$，
令 $x=0$，得 $y=c$，因此抛物线与y轴正半轴的交点 $B$ 的坐标为 $(0,c)$，故 $OB=c$。
由 $OA=OB$，且点A在x轴正半轴上，可得点A的坐标为 $(c,0)$。
将 $A(c,0)$ 代入抛物线解析式：
$0=-c^2+2c+c$
整理得 $-c^2+3c=0$，即 $c(-c+3)=0$，解得 $c=3$（$c=0$ 不符合题意，舍去）。
因此抛物线的解析式为 $y=-x^2+2x+3$。
将解析式配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
因此抛物线的顶点G的坐标为 $(1,4)$。
(2) 求点Q的纵坐标$y_Q$的取值范围
解：
由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为直线 $x=1$。
点M到对称轴的距离为3个单位长度，则点M的横坐标为 $1-3=-2$ 或 $1+3=4$；
将横坐标代入抛物线解析式，得对应纵坐标为：
当 $x=-2$ 时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；
当 $x=4$ 时，$y=-4^2+2×4+3=-5$，即点M的坐标为 $(-2,-5)$ 或 $(4,-5)$。
点N到对称轴的距离为5个单位长度，则点N的横坐标为 $1-5=-4$ 或 $1+5=6$；
将横坐标代入抛物线解析式，得对应纵坐标为：
当 $x=-4$ 时，$y=-(-4)^2+2×(-4)+3=-21$；
当 $x=6$ 时，$y=-6^2+2×6+3=-21$，即点N的坐标为 $(-4,-21)$ 或 $(6,-21)$。
结合“点M在点N的左侧”的条件，可得两组符合要求的点：
- 情况1：$N(-4,-21)$，$M(-2,-5)$，此时M在N右侧，不符合要求，排除；
- 情况2：$M(-2,-5)$，$N(6,-21)$，满足点M在点N左侧；
- 情况3：$N(-4,-21)$，$M(4,-5)$，满足点M在点N左侧；
- 情况4：$M(4,-5)$，$N(6,-21)$，此时M在N左侧，但该区间的纵坐标范围包含于情况2的结果中。
抛物线开口向下，顶点G$(1,4)$是抛物线上的最高点，在点M、N之间的区域内，纵坐标的最大值为顶点的纵坐标4，最小值为点N的纵坐标-21。
因此点Q的纵坐标 $y_Q$ 的取值范围是 $\boldsymbol{-21 ≤ y_Q ≤ 4}$。
解析
【分析】
(1) 首先求出抛物线与y轴交点B的坐标，得到OB的长度，结合OA=OB的条件推出点A的坐标，将A点坐标代入抛物线解析式即可求出参数c，得到解析式后通过配方即可求出顶点G的坐标。
(2) 先确定抛物线的对称轴，根据点M、N到对称轴的距离求出两点所有可能的横坐标，代入解析式得到对应纵坐标，再结合“点M在点N左侧”的条件筛选出符合要求的点对，结合抛物线开口向下的性质，区间内的最大值为顶点纵坐标，最小值为点N的纵坐标，最终得到$y_Q$的取值范围。
【解析】
(1) 求抛物线解析式及点G的坐标：
对于抛物线$y=-x^2+2x+c$，令$x=0$，得$y=c$，即点B的坐标为$(0,c)$，因此$OB=c$。
已知$OA=OB$，且点A在x轴正半轴上，可得点A的坐标为$(c,0)$。
将$A(c,0)$代入抛物线解析式：
$0=-c^2+2c+c$
整理得$-c^2+3c=0$，因式分解得$c(-c+3)=0$，解得$c=3$（$c=0$不符合抛物线与y轴正半轴相交的条件，舍去）。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
对解析式配方得：$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，因此顶点G的坐标为$(1,4)$。
(2) 求点Q的纵坐标$y_Q$的取值范围：
由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为直线$x=1$，且抛物线开口向下。
点M到对称轴的距离为3个单位长度，因此点M的横坐标为$1-3=-2$或$1+3=4$，代入解析式得对应纵坐标：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；当$x=4$时，$y=-4^2+2×4+3=-5$，即点M的坐标为$(-2,-5)$或$(4,-5)$。
点N到对称轴的距离为5个单位长度，因此点N的横坐标为$1-5=-4$或$1+5=6$，代入解析式得对应纵坐标：
当$x=-4$时，$y=-(-4)^2+2×(-4)+3=-21$；当$x=6$时，$y=-6^2+2×6+3=-21$，即点N的坐标为$(-4,-21)$或$(6,-21)$。
结合“点M在点N左侧”的条件筛选，所有符合的点对对应的M、N区间均包含顶点$x=1$：
抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点，因此区间内纵坐标最大值为顶点的纵坐标4，区间内纵坐标最小值为点N的纵坐标-21，故$y_Q$的取值范围是$-21 ≤ y_Q ≤ 4$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$，点G的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$；
(2) 点Q的纵坐标取值范围为$\boldsymbol{-21 ≤ y_Q ≤ 4}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题围绕二次函数的核心基础知识点展开，结合了坐标与线段长度的转换，解题时需要对M、N的位置进行分类讨论，同时要结合抛物线开口方向判断区间内的最值，能有效考查学生对二次函数基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 首先求出抛物线与y轴交点B的坐标，得到OB的长度，结合OA=OB的条件推出点A的坐标，将A点坐标代入抛物线解析式即可求出参数c，得到解析式后通过配方即可求出顶点G的坐标。
(2) 先确定抛物线的对称轴，根据点M、N到对称轴的距离求出两点所有可能的横坐标，代入解析式得到对应纵坐标，再结合“点M在点N左侧”的条件筛选出符合要求的点对，结合抛物线开口向下的性质，区间内的最大值为顶点纵坐标，最小值为点N的纵坐标，最终得到$y_Q$的取值范围。
【解析】
(1) 求抛物线解析式及点G的坐标：
对于抛物线$y=-x^2+2x+c$，令$x=0$，得$y=c$，即点B的坐标为$(0,c)$，因此$OB=c$。
已知$OA=OB$，且点A在x轴正半轴上，可得点A的坐标为$(c,0)$。
将$A(c,0)$代入抛物线解析式：
$0=-c^2+2c+c$
整理得$-c^2+3c=0$，因式分解得$c(-c+3)=0$，解得$c=3$（$c=0$不符合抛物线与y轴正半轴相交的条件，舍去）。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
对解析式配方得：$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，因此顶点G的坐标为$(1,4)$。
(2) 求点Q的纵坐标$y_Q$的取值范围：
由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为直线$x=1$，且抛物线开口向下。
点M到对称轴的距离为3个单位长度，因此点M的横坐标为$1-3=-2$或$1+3=4$，代入解析式得对应纵坐标：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；当$x=4$时，$y=-4^2+2×4+3=-5$，即点M的坐标为$(-2,-5)$或$(4,-5)$。
点N到对称轴的距离为5个单位长度，因此点N的横坐标为$1-5=-4$或$1+5=6$，代入解析式得对应纵坐标：
当$x=-4$时，$y=-(-4)^2+2×(-4)+3=-21$；当$x=6$时，$y=-6^2+2×6+3=-21$，即点N的坐标为$(-4,-21)$或$(6,-21)$。
结合“点M在点N左侧”的条件筛选，所有符合的点对对应的M、N区间均包含顶点$x=1$：
抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点，因此区间内纵坐标最大值为顶点的纵坐标4，区间内纵坐标最小值为点N的纵坐标-21，故$y_Q$的取值范围是$-21 ≤ y_Q ≤ 4$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$，点G的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$；
(2) 点Q的纵坐标取值范围为$\boldsymbol{-21 ≤ y_Q ≤ 4}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题围绕二次函数的核心基础知识点展开，结合了坐标与线段长度的转换，解题时需要对M、N的位置进行分类讨论，同时要结合抛物线开口方向判断区间内的最值，能有效考查学生对二次函数基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.65
