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例1 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交于点$(-3,0),(2,0)$，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为 。
【思路导析】二次函数的图象与$x$轴相交，则$y=0$，此时有$ax^2+bx+c=0$。
【请你解答】。
【思路导析】二次函数的图象与$x$轴相交，则$y=0$，此时有$ax^2+bx+c=0$。
【请你解答】。
答案
解：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根。
已知该二次函数图象与$x$轴交于点$(-3,0)$、$(2,0)$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1=-3$，$x_2=2$。
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根。
已知该二次函数图象与$x$轴交于点$(-3,0)$、$(2,0)$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1=-3$，$x_2=2$。
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关联：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根。因此我们只需要从题目给出的两个x轴交点坐标中提取横坐标，就能得到方程的两根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根。
已知该二次函数图象与x轴交于点$(-3,0)$、$(2,0)$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1=-3$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-3$，$x_2=2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，牢记相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关联：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根。因此我们只需要从题目给出的两个x轴交点坐标中提取横坐标，就能得到方程的两根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根。
已知该二次函数图象与x轴交于点$(-3,0)$、$(2,0)$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1=-3$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-3$，$x_2=2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，牢记相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
例2 下列函数图象与x轴有两个交点的是()
A.$y=x^2$
B.$y=x^2+4$
C.$y=3x^2-2x+5$
D.$y=3x^2+5x-1$
【思路导析】抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与x轴的交点的个数就是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实数根的个数.
【请你解答】.
A.$y=x^2$
B.$y=x^2+4$
C.$y=3x^2-2x+5$
D.$y=3x^2+5x-1$
【思路导析】抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与x轴的交点的个数就是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实数根的个数.
【请你解答】.
答案
D
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，核心依据是一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac：当Δ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=0时，有1个交点；Δ＜0时，没有交点。解题时只需分别计算四个选项中二次函数对应的判别式，找到Δ＞0的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：$y=x^2$中，$a=1,b=0,c=0$，$\Delta=0^2-4×1×0=0$，与x轴只有1个交点，不符合要求；
选项B：$y=x^2+4$中，$a=1,b=0,c=4$，$\Delta=0^2-4×1×4=-16＜0$，与x轴没有交点，不符合要求；
选项C：$y=3x^2-2x+5$中，$a=3,b=-2,c=5$，$\Delta=(-2)^2-4×3×5=4-60=-56＜0$，与x轴没有交点，不符合要求；
选项D：$y=3x^2+5x-1$中，$a=3,b=5,c=-1$，$\Delta=5^2-4×3×(-1)=25+12=37＞0$，与x轴有2个交点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础考点，主要考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题的关键是牢记判别式的取值与交点个数的对应规律，准确代入系数计算即可。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，核心依据是一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac：当Δ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=0时，有1个交点；Δ＜0时，没有交点。解题时只需分别计算四个选项中二次函数对应的判别式，找到Δ＞0的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：$y=x^2$中，$a=1,b=0,c=0$，$\Delta=0^2-4×1×0=0$，与x轴只有1个交点，不符合要求；
选项B：$y=x^2+4$中，$a=1,b=0,c=4$，$\Delta=0^2-4×1×4=-16＜0$，与x轴没有交点，不符合要求；
选项C：$y=3x^2-2x+5$中，$a=3,b=-2,c=5$，$\Delta=(-2)^2-4×3×5=4-60=-56＜0$，与x轴没有交点，不符合要求；
选项D：$y=3x^2+5x-1$中，$a=3,b=5,c=-1$，$\Delta=5^2-4×3×(-1)=25+12=37＞0$，与x轴有2个交点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础考点，主要考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题的关键是牢记判别式的取值与交点个数的对应规律，准确代入系数计算即可。
【难度系数】
0.8
例3 二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象如图所示，则方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的两根是 。
【思路导析】抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
由二次函数$y=x^2+bx+c$的图象可知，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(2,0)$。
根据二次函数与一元二次方程的对应关系，抛物线与$x$轴交点的横坐标就是一元二次方程$x^2+bx+c=0$的根，
因此方程$x^2+bx+c=0$的两根是$x_1=-1$，$x_2=2$。
由二次函数$y=x^2+bx+c$的图象可知，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(2,0)$。
根据二次函数与一元二次方程的对应关系，抛物线与$x$轴交点的横坐标就是一元二次方程$x^2+bx+c=0$的根，
因此方程$x^2+bx+c=0$的两根是$x_1=-1$，$x_2=2$。
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：当二次函数的函数值y=0时，对应的x的取值就是一元二次方程的根，反映在函数图象上，就是抛物线与x轴交点的横坐标。所以我们只需要从给出的二次函数图象中，找到抛物线与x轴交点的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
观察二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象，可得抛物线与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(2,0)$。
根据二次函数与一元二次方程的对应关系：抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$的根，
因此方程$x^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1=-1$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-1$，$x_2=2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的根的对应关系，熟练掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：当二次函数的函数值y=0时，对应的x的取值就是一元二次方程的根，反映在函数图象上，就是抛物线与x轴交点的横坐标。所以我们只需要从给出的二次函数图象中，找到抛物线与x轴交点的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
观察二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象，可得抛物线与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(2,0)$。
根据二次函数与一元二次方程的对应关系：抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$的根，
因此方程$x^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1=-1$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-1$，$x_2=2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的根的对应关系，熟练掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
例4 已知抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3$ 与 $x$ 轴的两个交点关于 $y$ 轴对称.
(1)求 $m$ 的值；
(2)求抛物线的解析式.
【探究点拨】抛物线与 $x$ 轴的两交点关于 $y$ 轴对称，就是对应的一元二次方程的两根互为相反数.
【规范解答】(1)设抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3$ 与 $x$ 轴的两交点为 $(x_1,0)$，$(x_2,0)$.
由 $x_1+x_2=0$ 可得 $|m|=6$，即 $m=\pm6$.
当 $m=-6$ 时，抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^2-9$，此时抛物线与 $x$ 轴没有交点，不合题意，舍去；
当 $m=6$ 时，抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$，符合题意，故 $m=6$.
(2)抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$.
(1)求 $m$ 的值；
(2)求抛物线的解析式.
【探究点拨】抛物线与 $x$ 轴的两交点关于 $y$ 轴对称，就是对应的一元二次方程的两根互为相反数.
【规范解答】(1)设抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3$ 与 $x$ 轴的两交点为 $(x_1,0)$，$(x_2,0)$.
由 $x_1+x_2=0$ 可得 $|m|=6$，即 $m=\pm6$.
当 $m=-6$ 时，抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^2-9$，此时抛物线与 $x$ 轴没有交点，不合题意，舍去；
当 $m=6$ 时，抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$，符合题意，故 $m=6$.
(2)抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$.
答案
解：
(1) 设抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3$与$x$轴的两个交点为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$。
由两交点关于$y$轴对称，可知对应一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3=0$的两根互为相反数，即$x_1+x_2=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=-\frac{6-\sqrt{m^2}}{-\frac{1}{2}}=2(6-\sqrt{m^2})=0$，
即$6-\sqrt{m^2}=0$，解得$|m|=6$，$m=\pm6$。
当$m=-6$时，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2-9$，此时方程$-\frac{1}{2}x^2-9=0$无实数根，抛物线与$x$轴没有交点，不合题意，舍去；
当$m=6$时，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3$，此时方程$-\frac{1}{2}x^2+3=0$有两个互为相反数的实数根，符合题意。
故$m=6$。
(2) 将$m=6$代入原式，可得抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3$。
(1) 设抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3$与$x$轴的两个交点为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$。
由两交点关于$y$轴对称，可知对应一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3=0$的两根互为相反数，即$x_1+x_2=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=-\frac{6-\sqrt{m^2}}{-\frac{1}{2}}=2(6-\sqrt{m^2})=0$，
即$6-\sqrt{m^2}=0$，解得$|m|=6$，$m=\pm6$。
当$m=-6$时，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2-9$，此时方程$-\frac{1}{2}x^2-9=0$无实数根，抛物线与$x$轴没有交点，不合题意，舍去；
当$m=6$时，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3$，此时方程$-\frac{1}{2}x^2+3=0$有两个互为相反数的实数根，符合题意。
故$m=6$。
(2) 将$m=6$代入原式，可得抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3$。
解析
【分析】
解题时首先将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程的根的问题：抛物线与x轴的两个交点关于y轴对称，说明对应一元二次方程的两根互为相反数，即两根之和为0；接下来利用一元二次方程根与系数的关系列关于m的方程，求出m的候选值；由于题目明确抛物线与x轴有两个交点，因此需要将候选的m值代入验证，判断对应方程是否有两个不同实根，舍去不符合条件的取值；最后将符合条件的m代入原表达式，即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1) 设抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3$与$x$轴的两个交点为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$。
由两交点关于$y$轴对称，可知对应一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3=0$的两根互为相反数，即$x_1+x_2=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=-\frac{6-\sqrt{m^2}}{-\frac{1}{2}}=2(6-\sqrt{m^2})=0$，
即$6-\sqrt{m^2}=0$，解得$|m|=6$，$m=\pm6$。
当$m=-6$时，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2-9$，此时方程$-\frac{1}{2}x^2-9=0$无实数根，抛物线与$x$轴没有交点，不合题意，舍去；
当$m=6$时，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3$，此时方程$-\frac{1}{2}x^2+3=0$有两个互为相反数的实数根，符合题意。
故$m=6$。
(2) 将$m=6$代入原式，可得抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3$。
【答案】
(1) $m=6$；(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，根与系数的关系，二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数图像特征与一元二次方程根的性质的结合应用，解题核心是将交点关于y轴对称的条件转化为两根之和为0，注意求出参数后要验证是否满足抛物线与x轴有两个交点的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
解题时首先将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程的根的问题：抛物线与x轴的两个交点关于y轴对称，说明对应一元二次方程的两根互为相反数，即两根之和为0；接下来利用一元二次方程根与系数的关系列关于m的方程，求出m的候选值；由于题目明确抛物线与x轴有两个交点，因此需要将候选的m值代入验证，判断对应方程是否有两个不同实根，舍去不符合条件的取值；最后将符合条件的m代入原表达式，即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1) 设抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3$与$x$轴的两个交点为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$。
由两交点关于$y$轴对称，可知对应一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3=0$的两根互为相反数，即$x_1+x_2=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=-\frac{6-\sqrt{m^2}}{-\frac{1}{2}}=2(6-\sqrt{m^2})=0$，
即$6-\sqrt{m^2}=0$，解得$|m|=6$，$m=\pm6$。
当$m=-6$时，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2-9$，此时方程$-\frac{1}{2}x^2-9=0$无实数根，抛物线与$x$轴没有交点，不合题意，舍去；
当$m=6$时，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3$，此时方程$-\frac{1}{2}x^2+3=0$有两个互为相反数的实数根，符合题意。
故$m=6$。
(2) 将$m=6$代入原式，可得抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3$。
【答案】
(1) $m=6$；(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，根与系数的关系，二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数图像特征与一元二次方程根的性质的结合应用，解题核心是将交点关于y轴对称的条件转化为两根之和为0，注意求出参数后要验证是否满足抛物线与x轴有两个交点的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
1.已知二次函数$y=mx^2+5x-10$的图象与$x$轴有交点，求$m$的取值范围.
2.求证：不论$m$为何实数，抛物线$y=x^2-2mx+m^2+3$与$x$轴始终没有交点.
2.求证：不论$m$为何实数，抛物线$y=x^2-2mx+m^2+3$与$x$轴始终没有交点.
答案
第1题
解：∵ 函数$y=mx^2+5x-10$是二次函数，
∴ $m ≠ 0$。
∵ 二次函数图象与$x$轴有交点，
∴ 对应的一元二次方程$mx^2+5x-10=0$有实数根，
其判别式满足：
$\Delta = 5^2 - 4 · m · (-10) ≥ 0$，
即$25 + 40m ≥ 0$，
解得$m ≥ -\frac{5}{8}$。
综上，$m$的取值范围是$\boldsymbol{m ≥ -\frac{5}{8} 且 m ≠ 0}$。
---
第2题
证明：令$y=0$，得到对应的一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0$，
该方程的判别式为：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2m)^2 - 4 × 1 × (m^2 + 3) \\&=4m^2 - 4m^2 -12 \\&=-12 ＜ 0\end{aligned}$
∴ 不论$m$为何实数，该一元二次方程都没有实数根，
即抛物线$y=x^2-2mx+m^2+3$与$x$轴始终没有交点。
解：∵ 函数$y=mx^2+5x-10$是二次函数，
∴ $m ≠ 0$。
∵ 二次函数图象与$x$轴有交点，
∴ 对应的一元二次方程$mx^2+5x-10=0$有实数根，
其判别式满足：
$\Delta = 5^2 - 4 · m · (-10) ≥ 0$，
即$25 + 40m ≥ 0$，
解得$m ≥ -\frac{5}{8}$。
综上，$m$的取值范围是$\boldsymbol{m ≥ -\frac{5}{8} 且 m ≠ 0}$。
---
第2题
证明：令$y=0$，得到对应的一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0$，
该方程的判别式为：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2m)^2 - 4 × 1 × (m^2 + 3) \\&=4m^2 - 4m^2 -12 \\&=-12 ＜ 0\end{aligned}$
∴ 不论$m$为何实数，该一元二次方程都没有实数根，
即抛物线$y=x^2-2mx+m^2+3$与$x$轴始终没有交点。
解析
【分析】
第1题：解题时首先明确题目给出的是二次函数，因此首先要满足二次项系数不为0的条件；其次二次函数图象与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
第2题：要证明抛物线与x轴始终没有交点，只需令y=0得到对应的一元二次方程，计算该方程的根的判别式，证明无论m取何值，判别式都恒小于0，即可说明方程无实数根，对应抛物线与x轴无交点。
【解析】
第1题
∵ 函数$y=mx^2+5x-10$是二次函数，
∴ 二次项系数$m ≠ 0$。
∵ 二次函数图象与$x$轴有交点，
∴ 对应的一元二次方程$mx^2+5x-10=0$有实数根，根的判别式满足：
$\Delta = 5^2 - 4 · m · (-10) ≥ 0$，
即$25 + 40m ≥ 0$，
解得$m ≥ -\frac{5}{8}$。
综上可得m的取值范围。
第2题
证明：令$y=0$，可得一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0$，
计算该方程的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2m)^2 - 4 × 1 × (m^2 + 3) \\&=4m^2 - 4m^2 -12 \\&=-12 ＜ 0\end{aligned}$
∴ 不论$m$为何实数，该一元二次方程都没有实数根，即可得抛物线与x轴的交点情况。
【答案】
1. $\boldsymbol{m ≥ -\frac{5}{8}且m ≠ 0}$
2. 不论$m$为何实数，抛物线$y=x^2-2mx+m^2+3$与$x$轴始终没有交点，得证。
【知识点】
二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式的应用
【点评】
这两道题是二次函数章节的基础典型题，第一题解题时需注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解；第二题核心是通过判断对应一元二次方程的判别式符号，确定抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握判别式的用法是解题关键。
【难度系数】
0.7
第1题：解题时首先明确题目给出的是二次函数，因此首先要满足二次项系数不为0的条件；其次二次函数图象与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
第2题：要证明抛物线与x轴始终没有交点，只需令y=0得到对应的一元二次方程，计算该方程的根的判别式，证明无论m取何值，判别式都恒小于0，即可说明方程无实数根，对应抛物线与x轴无交点。
【解析】
第1题
∵ 函数$y=mx^2+5x-10$是二次函数，
∴ 二次项系数$m ≠ 0$。
∵ 二次函数图象与$x$轴有交点，
∴ 对应的一元二次方程$mx^2+5x-10=0$有实数根，根的判别式满足：
$\Delta = 5^2 - 4 · m · (-10) ≥ 0$，
即$25 + 40m ≥ 0$，
解得$m ≥ -\frac{5}{8}$。
综上可得m的取值范围。
第2题
证明：令$y=0$，可得一元二次方程$x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0$，
计算该方程的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2m)^2 - 4 × 1 × (m^2 + 3) \\&=4m^2 - 4m^2 -12 \\&=-12 ＜ 0\end{aligned}$
∴ 不论$m$为何实数，该一元二次方程都没有实数根，即可得抛物线与x轴的交点情况。
【答案】
1. $\boldsymbol{m ≥ -\frac{5}{8}且m ≠ 0}$
2. 不论$m$为何实数，抛物线$y=x^2-2mx+m^2+3$与$x$轴始终没有交点，得证。
【知识点】
二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式的应用
【点评】
这两道题是二次函数章节的基础典型题，第一题解题时需注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解；第二题核心是通过判断对应一元二次方程的判别式符号，确定抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握判别式的用法是解题关键。
【难度系数】
0.7
