登录
1.二次函数$y=\frac{1}{3}(x-1)(x+1)$的图象与x轴有个交点，交点的坐标分别为。
答案
解：
令$y=0$，得$\frac{1}{3}(x-1)(x+1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
因此二次函数的图象与$x$轴有$\boldsymbol{2}$个交点，交点的坐标分别为$\boldsymbol{(1,0)、(-1,0)}$。
令$y=0$，得$\frac{1}{3}(x-1)(x+1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
因此二次函数的图象与$x$轴有$\boldsymbol{2}$个交点，交点的坐标分别为$\boldsymbol{(1,0)、(-1,0)}$。
解析
【分析】
要确定二次函数图象与x轴的交点个数及坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标均为0，因此可将函数问题转化为方程问题求解：令函数表达式中y=0，得到对应的一元二次方程，方程的不同实根个数就是交点个数，每个实根就是对应交点的横坐标，交点坐标为(实根, 0)。
【解析】
令$y=0$，可得方程：$\frac{1}{3}(x-1)(x+1)=0$，
因为$\frac{1}{3}≠0$，所以要使等式成立则$(x-1)(x+1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
因此二次函数的图象与x轴有2个交点，交点坐标分别为$(1,0)$、$(-1,0)$。
【答案】
2；$(1,0)$、$(-1,0)$
【知识点】
二次函数与x轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查二次函数与x轴交点的相关内容，解题核心是利用x轴上点的纵坐标为0的特征，将函数交点问题转化为一元二次方程求解问题，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数图象与x轴的交点个数及坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标均为0，因此可将函数问题转化为方程问题求解：令函数表达式中y=0，得到对应的一元二次方程，方程的不同实根个数就是交点个数，每个实根就是对应交点的横坐标，交点坐标为(实根, 0)。
【解析】
令$y=0$，可得方程：$\frac{1}{3}(x-1)(x+1)=0$，
因为$\frac{1}{3}≠0$，所以要使等式成立则$(x-1)(x+1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
因此二次函数的图象与x轴有2个交点，交点坐标分别为$(1,0)$、$(-1,0)$。
【答案】
2；$(1,0)$、$(-1,0)$
【知识点】
二次函数与x轴交点求解；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查二次函数与x轴交点的相关内容，解题核心是利用x轴上点的纵坐标为0的特征，将函数交点问题转化为一元二次方程求解问题，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.9
2.二次函数$y=ax^2+bx+c$($a≠0$)的图象如图
所示，则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a≠0$)的两根分别为 。
所示，则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a≠0$)的两根分别为 。答案
解：∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，
由题图可知，二次函数图象与x轴交于点$(-1,0)$和$(4,0)$，
∴该一元二次方程的两根分别为$x_1=-1$，$x_2=4$。
由题图可知，二次函数图象与x轴交于点$(-1,0)$和$(4,0)$，
∴该一元二次方程的两根分别为$x_1=-1$，$x_2=4$。
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。因此我们只需要从给出的函数图象中，找到图象与x轴两个交点的横坐标，即可得到方程的两根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根。
由题图可得，二次函数图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(4,0)$，因此两个交点的横坐标就是方程的两根。
【答案】
$x_1=-1$，$x_2=4$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查二次函数图象与对应一元二次方程的关联，不需要复杂计算，只要准确理解二者的对应关系，正确读取图象信息即可解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。因此我们只需要从给出的函数图象中，找到图象与x轴两个交点的横坐标，即可得到方程的两根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根。
由题图可得，二次函数图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(4,0)$，因此两个交点的横坐标就是方程的两根。
【答案】
$x_1=-1$，$x_2=4$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查二次函数图象与对应一元二次方程的关联，不需要复杂计算，只要准确理解二者的对应关系，正确读取图象信息即可解题。
【难度系数】
0.9
3. 当$m=\_\_\_\_\_\_$时，抛物线$y=2x^2+3x - m$的顶点在$x$轴上（即抛物线与$x$轴只有一个交点）。
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{9}{8}}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确抛物线顶点在x轴上等价于抛物线与x轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0。我们只需确定二次函数对应的一元二次方程的各项系数，代入判别式公式列方程求解即可得到m的值。
【解析】
已知抛物线$y=2x^2+3x - m$的顶点在x轴上，说明抛物线与x轴有且只有一个交点，因此对应的一元二次方程$2x^2+3x - m=0$有两个相等的实数根，根的判别式$\Delta=0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=2$，$b=3$，$c=-m$，代入得：
$\Delta=3^2 - 4×2×(-m)=9+8m$
令$\Delta=0$，即：
$9+8m=0$
解得：
$m=-\frac{9}{8}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{9}{8}}$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，解题的关键是熟记“抛物线与x轴只有一个交点时$\Delta=0$”的结论，计算时注意常数项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确抛物线顶点在x轴上等价于抛物线与x轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0。我们只需确定二次函数对应的一元二次方程的各项系数，代入判别式公式列方程求解即可得到m的值。
【解析】
已知抛物线$y=2x^2+3x - m$的顶点在x轴上，说明抛物线与x轴有且只有一个交点，因此对应的一元二次方程$2x^2+3x - m=0$有两个相等的实数根，根的判别式$\Delta=0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=2$，$b=3$，$c=-m$，代入得：
$\Delta=3^2 - 4×2×(-m)=9+8m$
令$\Delta=0$，即：
$9+8m=0$
解得：
$m=-\frac{9}{8}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{9}{8}}$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，解题的关键是熟记“抛物线与x轴只有一个交点时$\Delta=0$”的结论，计算时注意常数项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
4.已知二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$，当自变量x的值满足$1≤ x≤3$时，与其对应的函数值y的最大值为-2，则常数h的值为()
A.1或3
B.−1或1
C.3或5
D.−1或5
A.1或3
B.−1或1
C.3或5
D.−1或5
答案
D
解析
【分析】
首先明确该二次函数是顶点式，开口向下，顶点为最高点，函数最大值为0。题目中给定1≤x≤3时y的最大值为-2＜0，说明对称轴x=h不在1~3的区间内，因此需要分两种情况讨论：①对称轴在区间左侧（h＜1），此时区间内函数单调递减，x=1时取最大值；②对称轴在区间右侧（h＞3），此时区间内函数单调递增，x=3时取最大值。分别代入最大值列方程求解，再结合h的范围舍去不符合的解即可。
【解析】
二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$的开口向下（$a=-\frac{1}{2}＜0$），对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，函数的最大值为0。
∵当$1≤x≤3$时，函数值$y$的最大值为$-2＜0$，
∴对称轴$x=h$不在区间$1≤x≤3$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜1$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=1$时$y$取最大值$-2$，代入得：
$-\frac{1}{2}(1-h)^2=-2$
整理得$(1-h)^2=4$
解得$h=-1$或$h=3$
∵$h＜1$，
∴$h=3$舍去，保留$h=-1$。
2. 当$h＞3$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=3$时$y$取最大值$-2$，代入得：
$-\frac{1}{2}(3-h)^2=-2$
整理得$(3-h)^2=4$
解得$h=1$或$h=5$
∵$h＞3$，
∴$h=1$舍去，保留$h=5$。
综上，$h$的值为$-1$或$5$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题的核心是先结合函数最值判断对称轴与给定区间的位置关系，再分情况计算，求解后要注意结合分类的前提条件验证解的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先明确该二次函数是顶点式，开口向下，顶点为最高点，函数最大值为0。题目中给定1≤x≤3时y的最大值为-2＜0，说明对称轴x=h不在1~3的区间内，因此需要分两种情况讨论：①对称轴在区间左侧（h＜1），此时区间内函数单调递减，x=1时取最大值；②对称轴在区间右侧（h＞3），此时区间内函数单调递增，x=3时取最大值。分别代入最大值列方程求解，再结合h的范围舍去不符合的解即可。
【解析】
二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$的开口向下（$a=-\frac{1}{2}＜0$），对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，函数的最大值为0。
∵当$1≤x≤3$时，函数值$y$的最大值为$-2＜0$，
∴对称轴$x=h$不在区间$1≤x≤3$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜1$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=1$时$y$取最大值$-2$，代入得：
$-\frac{1}{2}(1-h)^2=-2$
整理得$(1-h)^2=4$
解得$h=-1$或$h=3$
∵$h＜1$，
∴$h=3$舍去，保留$h=-1$。
2. 当$h＞3$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=3$时$y$取最大值$-2$，代入得：
$-\frac{1}{2}(3-h)^2=-2$
整理得$(3-h)^2=4$
解得$h=1$或$h=5$
∵$h＞3$，
∴$h=1$舍去，保留$h=5$。
综上，$h$的值为$-1$或$5$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题的核心是先结合函数最值判断对称轴与给定区间的位置关系，再分情况计算，求解后要注意结合分类的前提条件验证解的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
5.若函数$y=(m-1)x^2 -6x + \frac{3}{2}m$的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）
A.$-2$或$3$
B.$-2$或$-3$
C.$1$或$-2$或$3$
D.$1$或$-2$或$-3$
A.$-2$或$3$
B.$-2$或$-3$
C.$1$或$-2$或$3$
D.$1$或$-2$或$-3$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要注意题目未明确该函数是二次函数，因此需分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，此时一次函数与x轴必有1个交点；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，图像与x轴有且只有一个交点等价于一元二次方程判别式Δ=0，代入公式计算即可，最后汇总两种情况的结果就能得到所有符合条件的m值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m-1=0$，即$m=1$时，函数解析式为$y=-6x+\frac{3}{2}$，属于一次函数，其图像为直线，与x轴有且只有一个交点，符合题意；
2. 当$m-1≠0$，即$m≠1$时，该函数为二次函数，若图像与x轴有且只有一个交点，则判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
其中$a=m-1$，$b=-6$，$c=\frac{3}{2}m$，代入得：
$\Delta=(-6)^2 - 4×(m-1)×\frac{3}{2}m=0$
化简得：$36-6m(m-1)=0$，整理为$m^2 - m -6=0$，
因式分解得$(m-3)(m+2)=0$，解得$m=3$或$m=-2$，均满足$m≠1$，符合题意。
综上，$m$的值为$1$或$-2$或$3$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；二次函数与x轴交点判定；一元二次方程判别式
【点评】
本题的易错点是忽略函数为一次函数的情况，直接默认函数为二次函数计算导致漏解，遇到未明确说明是二次函数的题目时，一定要优先考虑二次项系数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意题目未明确该函数是二次函数，因此需分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，此时一次函数与x轴必有1个交点；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，图像与x轴有且只有一个交点等价于一元二次方程判别式Δ=0，代入公式计算即可，最后汇总两种情况的结果就能得到所有符合条件的m值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m-1=0$，即$m=1$时，函数解析式为$y=-6x+\frac{3}{2}$，属于一次函数，其图像为直线，与x轴有且只有一个交点，符合题意；
2. 当$m-1≠0$，即$m≠1$时，该函数为二次函数，若图像与x轴有且只有一个交点，则判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。
其中$a=m-1$，$b=-6$，$c=\frac{3}{2}m$，代入得：
$\Delta=(-6)^2 - 4×(m-1)×\frac{3}{2}m=0$
化简得：$36-6m(m-1)=0$，整理为$m^2 - m -6=0$，
因式分解得$(m-3)(m+2)=0$，解得$m=3$或$m=-2$，均满足$m≠1$，符合题意。
综上，$m$的值为$1$或$-2$或$3$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；二次函数与x轴交点判定；一元二次方程判别式
【点评】
本题的易错点是忽略函数为一次函数的情况，直接默认函数为二次函数计算导致漏解，遇到未明确说明是二次函数的题目时，一定要优先考虑二次项系数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.6
6. 已知二次函数$y=x^2+bx-2$的图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，则另一个交点为()
A.$(1,0)$
B.$(2,0)$
C.$(-2,0)$
D.$(-1,0)$
A.$(1,0)$
B.$(2,0)$
C.$(-2,0)$
D.$(-1,0)$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用二次函数与x轴交点的性质：二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。解题有两种常用思路：第一种是先将已知交点坐标代入函数解析式，求出未知系数b的值，再令y=0解一元二次方程，得到的另一个根就是另一个交点的横坐标；第二种是直接利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根直接求出另一个根，步骤更简便。
【解析】
方法一：
1. 将交点$(1,0)$代入二次函数$y=x^2+bx-2$，把$x=1,y=0$代入得：
$0=1^2 + b×1 - 2$
解得$b=1$
2. 因此二次函数解析式为$y=x^2+x-2$
3. 令$y=0$，即解方程$x^2+x-2=0$，因式分解得：
$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-2$
所以另一个交点坐标为$(-2,0)$。
方法二（根与系数的关系）：
二次函数$y=x^2+bx-2$对应的一元二次方程为$x^2+bx-2=0$，设方程的两个根为$x_1,x_2$，分别对应两个交点的横坐标。
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$
已知其中一个根$x_1=1$，则另一个根$x_2=\frac{-2}{x_1}=\frac{-2}{1}=-2$
所以另一个交点坐标为$(-2,0)$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；待定系数法求解析式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心是掌握二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，两种解题方法都需要熟练掌握，其中根与系数的关系可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以利用二次函数与x轴交点的性质：二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。解题有两种常用思路：第一种是先将已知交点坐标代入函数解析式，求出未知系数b的值，再令y=0解一元二次方程，得到的另一个根就是另一个交点的横坐标；第二种是直接利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根直接求出另一个根，步骤更简便。
【解析】
方法一：
1. 将交点$(1,0)$代入二次函数$y=x^2+bx-2$，把$x=1,y=0$代入得：
$0=1^2 + b×1 - 2$
解得$b=1$
2. 因此二次函数解析式为$y=x^2+x-2$
3. 令$y=0$，即解方程$x^2+x-2=0$，因式分解得：
$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-2$
所以另一个交点坐标为$(-2,0)$。
方法二（根与系数的关系）：
二次函数$y=x^2+bx-2$对应的一元二次方程为$x^2+bx-2=0$，设方程的两个根为$x_1,x_2$，分别对应两个交点的横坐标。
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$
已知其中一个根$x_1=1$，则另一个根$x_2=\frac{-2}{x_1}=\frac{-2}{1}=-2$
所以另一个交点坐标为$(-2,0)$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；待定系数法求解析式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心是掌握二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，两种解题方法都需要熟练掌握，其中根与系数的关系可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7.下表给出了满足二次函数$y=ax^2+bx+c$的五组数据，若$x_1$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个解，根据表格，下列所给的$x_1$的取值范围正确的一组是()
A.$1.6＜x_1＜1.8$
B.$1.8＜x_1＜2.0$
C.$2.0＜x_1＜2.2$
D.$2.2＜x_1＜2.4$
A.$1.6＜x_1＜1.8$
B.$1.8＜x_1＜2.0$
C.$2.0＜x_1＜2.2$
D.$2.2＜x_1＜2.4$
答案
C
解析
【分析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，此时函数值$y=0$。由于二次函数图象是连续的曲线，若相邻两个x对应的y值符号相反（一正一负），则这两个x之间一定存在使$y=0$的x，也就是方程的解。因此我们只需观察表格中y值正负发生改变的相邻x区间即可。
【解析】
观察表格中y的取值：
当$x=2.0$时，$y=-0.20＜0$；
当$x=2.2$时，$y=0.22＞0$；
说明在$2.0＜x＜2.2$这个区间内，存在某个$x_1$使得$y=0$，即$x_1$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个解。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、函数值的应用
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，无需计算方程的解，仅通过判断函数值的正负变化就能确定解的区间，体现了数形结合的解题思想，解题的关键是精准找到y值正负切换对应的x范围。
【难度系数】
0.8
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，此时函数值$y=0$。由于二次函数图象是连续的曲线，若相邻两个x对应的y值符号相反（一正一负），则这两个x之间一定存在使$y=0$的x，也就是方程的解。因此我们只需观察表格中y值正负发生改变的相邻x区间即可。
【解析】
观察表格中y的取值：
当$x=2.0$时，$y=-0.20＜0$；
当$x=2.2$时，$y=0.22＞0$；
说明在$2.0＜x＜2.2$这个区间内，存在某个$x_1$使得$y=0$，即$x_1$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个解。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、函数值的应用
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，无需计算方程的解，仅通过判断函数值的正负变化就能确定解的区间，体现了数形结合的解题思想，解题的关键是精准找到y值正负切换对应的x范围。
【难度系数】
0.8
8. 利用函数$y=x^2-4x+3$的图象，直接回答：
(1)方程$x^2-4x+3=0$的解为；
(2)不等式$x^2-4x+3＞0$的解集为；
(3)当$x$时，$y$随$x$的增大而减小；
(4)当$x$满足时，函数值小于0；
(5)当$0＜x≤3$时，$y$的取值范围是；
(6)若当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的范围是；
(7)若方程$x^2-4x+3-m=0$有实数根，则$m$的范围是；
(8)若$t≤x≤5$时，函数$y$的最小值为1，则$t$的值为；
(9)若$t≤x≤t+3$时，函数$y$的最大值为8，则$t$的值为。
(1)方程$x^2-4x+3=0$的解为；
(2)不等式$x^2-4x+3＞0$的解集为；
(3)当$x$时，$y$随$x$的增大而减小；
(4)当$x$满足时，函数值小于0；
(5)当$0＜x≤3$时，$y$的取值范围是；
(6)若当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的范围是；
(7)若方程$x^2-4x+3-m=0$有实数根，则$m$的范围是；
(8)若$t≤x≤5$时，函数$y$的最小值为1，则$t$的值为；
(9)若$t≤x≤t+3$时，函数$y$的最大值为8，则$t$的值为。
答案
解：
(1) 抛物线$y=x^2-4x+3$与x轴交点的横坐标为1和3，因此方程$x^2-4x+3=0$的解为$\boldsymbol{x_1=1,\ x_2=3}$；
(2) 抛物线位于x轴上方对应的x的取值范围是$x＜1$或$x＞3$，因此不等式$x^2-4x+3＞0$的解集为$\boldsymbol{x＜1或x＞3}$；
(3) 抛物线配方得$y=(x-2)^2-1$，对称轴为直线$x=2$，开口向上，因此当$\boldsymbol{＜2}$时，$y$随$x$的增大而减小；
(4) 抛物线位于x轴下方对应的x的取值范围是$1＜x＜3$，因此函数值小于0时，$x$满足$\boldsymbol{1＜x＜3}$；
(5) 当$0＜x≤3$时，顶点$x=2$处$y$取最小值$-1$，$x=0$处$y=3$，因此$y$的取值范围是$\boldsymbol{-1≤y＜3}$；
(6) 抛物线在$x＜2$时$y$随$x$增大而减小，若$x＜m$时$y$随$x$的增大而减小，则$m$的范围是$\boldsymbol{m≤2}$；
(7) 方程$x^2-4x+3-m=0$有实数根，等价于抛物线$y=x^2-4x+3$与直线$y=m$有交点，抛物线最小值为$-1$，因此$m$的范围是$\boldsymbol{m≥-1}$；
(8) 令$y=1$，即$x^2-4x+3=1$，解得$x=2±\sqrt{2}$，若区间$t≤x≤5$包含对称轴$x=2$，则函数最小值为$-1$，不符合题意，因此区间全部在对称轴右侧，函数在区间上单调递增，最小值在$x=t$处，得$t=\boldsymbol{2+\sqrt{2}}$；
(9) 令$y=8$，即$x^2-4x+3=8$，解得$x_1=-1,\ x_2=5$，结合区间长度为3，验证得$t=-1$时区间为$-1≤x≤2$，最大值为8；$t=2$时区间为$2≤x≤5$，最大值为8，因此$t$的值为$\boldsymbol{-1或2}$。
(1) 抛物线$y=x^2-4x+3$与x轴交点的横坐标为1和3，因此方程$x^2-4x+3=0$的解为$\boldsymbol{x_1=1,\ x_2=3}$；
(2) 抛物线位于x轴上方对应的x的取值范围是$x＜1$或$x＞3$，因此不等式$x^2-4x+3＞0$的解集为$\boldsymbol{x＜1或x＞3}$；
(3) 抛物线配方得$y=(x-2)^2-1$，对称轴为直线$x=2$，开口向上，因此当$\boldsymbol{＜2}$时，$y$随$x$的增大而减小；
(4) 抛物线位于x轴下方对应的x的取值范围是$1＜x＜3$，因此函数值小于0时，$x$满足$\boldsymbol{1＜x＜3}$；
(5) 当$0＜x≤3$时，顶点$x=2$处$y$取最小值$-1$，$x=0$处$y=3$，因此$y$的取值范围是$\boldsymbol{-1≤y＜3}$；
(6) 抛物线在$x＜2$时$y$随$x$增大而减小，若$x＜m$时$y$随$x$的增大而减小，则$m$的范围是$\boldsymbol{m≤2}$；
(7) 方程$x^2-4x+3-m=0$有实数根，等价于抛物线$y=x^2-4x+3$与直线$y=m$有交点，抛物线最小值为$-1$，因此$m$的范围是$\boldsymbol{m≥-1}$；
(8) 令$y=1$，即$x^2-4x+3=1$，解得$x=2±\sqrt{2}$，若区间$t≤x≤5$包含对称轴$x=2$，则函数最小值为$-1$，不符合题意，因此区间全部在对称轴右侧，函数在区间上单调递增，最小值在$x=t$处，得$t=\boldsymbol{2+\sqrt{2}}$；
(9) 令$y=8$，即$x^2-4x+3=8$，解得$x_1=-1,\ x_2=5$，结合区间长度为3，验证得$t=-1$时区间为$-1≤x≤2$，最大值为8；$t=2$时区间为$2≤x≤5$，最大值为8，因此$t$的值为$\boldsymbol{-1或2}$。
解析
【分析】
这道题围绕二次函数的图像性质、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关联展开，核心解题思路是数形结合：首先从图像和函数解析式提取关键信息：抛物线开口向上，与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,3)$，配方得$y=(x-2)^2-1$，可知对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$，即函数最小值为$-1$；再对应各小问转化求解：方程的解对应抛物线与x轴交点的横坐标，不等式解集对应抛物线在x轴上下方的x取值范围，增减性结合对称轴和开口方向判断，取值范围、最值类问题结合给定区间与对称轴的位置关系找最值点，方程有实根问题转化为两个函数图像有交点的问题即可。
【解析】
已知$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，结合图像得：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点$(2,-1)$，与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,3)$。
(1) 方程$x^2-4x+3=0$的解是抛物线与x轴交点的横坐标，因此解为$x_1=1,x_2=3$；
(2) $x^2-4x+3＞0$即函数值$y＞0$，对应抛物线在x轴上方的部分，对应x的取值为$x＜1$或$x＞3$；
(3) 抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，因此$x＜2$时，y随x的增大而减小；
(4) 函数值小于0即$y＜0$，对应抛物线在x轴下方的部分，对应x的取值为$1＜x＜3$；
(5) 当$0＜x≤3$时，对称轴$x=2$在区间内，y取最小值$-1$；区间内x越靠近0y值越大，$x=0$时$y=3$且x取不到0，因此y的取值范围是$-1≤y＜3$；
(6) 抛物线仅在$x＜2$时y随x增大而减小，若$x＜m$时y随x增大而减小，则m不能超过对称轴位置，即$m≤2$；
(7) $x^2-4x+3-m=0$有实根等价于$y=x^2-4x+3$与直线$y=m$有交点，抛物线最小值为$-1$，因此$m≥-1$；
(8) 令$y=1$，得$x^2-4x+3=1$，解得$x=2±\sqrt{2}$。若区间$t≤x≤5$包含对称轴$x=2$，函数最小值为$-1$不符合要求，因此区间全部在对称轴右侧，函数单调递增，最小值在$x=t$处取得，故$t=2+\sqrt{2}$；
(9) 令$y=8$，得$x^2-4x+3=8$，解得$x_1=-1,x_2=5$。区间长度为3：当$t=-1$时区间为$-1≤x≤2$，最大值在$x=-1$处为8；当$t=2$时区间为$2≤x≤5$，最大值在$x=5$处为8，因此t为$-1$或$2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x_1=1,\ x_2=3}$
(2) $\boldsymbol{x＜1或x＞3}$
(3) $\boldsymbol{＜2}$
(4) $\boldsymbol{1＜x＜3}$
(5) $\boldsymbol{-1≤y＜3}$
(6) $\boldsymbol{m≤2}$
(7) $\boldsymbol{m≥-1}$
(8) $\boldsymbol{2+\sqrt{2}}$
(9) $\boldsymbol{-1或2}$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与方程不等式的联系；二次函数的增减性与最值
【点评】
这道题综合考查数形结合思想的应用，需要熟练提取二次函数图像的关键信息，将方程、不等式问题转化为函数图像问题求解，对二次函数增减性、最值的应用要求较高，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.6
这道题围绕二次函数的图像性质、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关联展开，核心解题思路是数形结合：首先从图像和函数解析式提取关键信息：抛物线开口向上，与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,3)$，配方得$y=(x-2)^2-1$，可知对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$，即函数最小值为$-1$；再对应各小问转化求解：方程的解对应抛物线与x轴交点的横坐标，不等式解集对应抛物线在x轴上下方的x取值范围，增减性结合对称轴和开口方向判断，取值范围、最值类问题结合给定区间与对称轴的位置关系找最值点，方程有实根问题转化为两个函数图像有交点的问题即可。
【解析】
已知$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，结合图像得：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点$(2,-1)$，与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,3)$。
(1) 方程$x^2-4x+3=0$的解是抛物线与x轴交点的横坐标，因此解为$x_1=1,x_2=3$；
(2) $x^2-4x+3＞0$即函数值$y＞0$，对应抛物线在x轴上方的部分，对应x的取值为$x＜1$或$x＞3$；
(3) 抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，因此$x＜2$时，y随x的增大而减小；
(4) 函数值小于0即$y＜0$，对应抛物线在x轴下方的部分，对应x的取值为$1＜x＜3$；
(5) 当$0＜x≤3$时，对称轴$x=2$在区间内，y取最小值$-1$；区间内x越靠近0y值越大，$x=0$时$y=3$且x取不到0，因此y的取值范围是$-1≤y＜3$；
(6) 抛物线仅在$x＜2$时y随x增大而减小，若$x＜m$时y随x增大而减小，则m不能超过对称轴位置，即$m≤2$；
(7) $x^2-4x+3-m=0$有实根等价于$y=x^2-4x+3$与直线$y=m$有交点，抛物线最小值为$-1$，因此$m≥-1$；
(8) 令$y=1$，得$x^2-4x+3=1$，解得$x=2±\sqrt{2}$。若区间$t≤x≤5$包含对称轴$x=2$，函数最小值为$-1$不符合要求，因此区间全部在对称轴右侧，函数单调递增，最小值在$x=t$处取得，故$t=2+\sqrt{2}$；
(9) 令$y=8$，得$x^2-4x+3=8$，解得$x_1=-1,x_2=5$。区间长度为3：当$t=-1$时区间为$-1≤x≤2$，最大值在$x=-1$处为8；当$t=2$时区间为$2≤x≤5$，最大值在$x=5$处为8，因此t为$-1$或$2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x_1=1,\ x_2=3}$
(2) $\boldsymbol{x＜1或x＞3}$
(3) $\boldsymbol{＜2}$
(4) $\boldsymbol{1＜x＜3}$
(5) $\boldsymbol{-1≤y＜3}$
(6) $\boldsymbol{m≤2}$
(7) $\boldsymbol{m≥-1}$
(8) $\boldsymbol{2+\sqrt{2}}$
(9) $\boldsymbol{-1或2}$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与方程不等式的联系；二次函数的增减性与最值
【点评】
这道题综合考查数形结合思想的应用，需要熟练提取二次函数图像的关键信息，将方程、不等式问题转化为函数图像问题求解，对二次函数增减性、最值的应用要求较高，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.6
