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9. 下图为二次函数$y=x^2-2x-5$的图象.
(1)利用图象求方程$x^2-2x-5=0$的近似根（结果精确到0.1）；
(2)设该抛物线的顶点为M，它与直线$y=-3$的两个交点分别为C，D，求$△ MCD$的面积.
(1)利用图象求方程$x^2-2x-5=0$的近似根（结果精确到0.1）；
(2)设该抛物线的顶点为M，它与直线$y=-3$的两个交点分别为C，D，求$△ MCD$的面积.
答案
解：
(1) 观察二次函数$y=x^2-2x-5$的图象，可知抛物线与x轴的两个交点横坐标分别位于$-2∼-1$和$3∼4$之间。
通过代入数值验证：
当$x=-1.4$时，$y=-0.24$；当$x=-1.5$时，$y=0.25$，可得负根近似为$x_1\approx-1.4$；
当$x=3.4$时，$y=-0.24$；当$x=3.5$时，$y=0.25$，可得正根近似为$x_2\approx3.4$。
即方程$x^2-2x-5=0$的近似根为$x_1\approx-1.4$，$x_2\approx3.4$。
(2) 对二次函数解析式配方：
$y=x^2-2x-5=(x-1)^2-6$，
因此抛物线顶点$M$的坐标为$(1,-6)$。
令$y=-3$，代入函数得：
$x^2-2x-5=-3$，整理为$x^2-2x-2=0$，
解得$x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$，
因此线段$CD$的长度为$|x_2-x_1|=2\sqrt{3}$。
点$M$到直线$y=-3$的距离$h=|-3-(-6)|=3$，
所以$△ MCD$的面积为：
$S_{△ MCD}=\frac{1}{2}· CD· h=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 3=3\sqrt{3}$。
(1) 观察二次函数$y=x^2-2x-5$的图象，可知抛物线与x轴的两个交点横坐标分别位于$-2∼-1$和$3∼4$之间。
通过代入数值验证：
当$x=-1.4$时，$y=-0.24$；当$x=-1.5$时，$y=0.25$，可得负根近似为$x_1\approx-1.4$；
当$x=3.4$时，$y=-0.24$；当$x=3.5$时，$y=0.25$，可得正根近似为$x_2\approx3.4$。
即方程$x^2-2x-5=0$的近似根为$x_1\approx-1.4$，$x_2\approx3.4$。
(2) 对二次函数解析式配方：
$y=x^2-2x-5=(x-1)^2-6$，
因此抛物线顶点$M$的坐标为$(1,-6)$。
令$y=-3$，代入函数得：
$x^2-2x-5=-3$，整理为$x^2-2x-2=0$，
解得$x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$，
因此线段$CD$的长度为$|x_2-x_1|=2\sqrt{3}$。
点$M$到直线$y=-3$的距离$h=|-3-(-6)|=3$，
所以$△ MCD$的面积为：
$S_{△ MCD}=\frac{1}{2}· CD· h=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 3=3\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 一元二次方程$x^2-2x-5=0$的根就是二次函数$y=x^2-2x-5$图象与x轴交点的横坐标，首先观察图象确定交点横坐标所在的区间，再代入区间内的数值计算对应y值，找到y值接近0时对应的x值，即可得到方程的近似根。
(2) 求$△ MCD$的面积时，先通过配方求出二次函数顶点M的坐标；再令$y=-3$，解对应的一元二次方程得到C、D两点的横坐标，求出线段CD的长度；然后计算顶点M到直线$y=-3$的垂直距离，即$△ MCD$中CD边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 观察二次函数$y=x^2-2x-5$的图象，可知抛物线与x轴的两个交点横坐标分别位于$-2∼-1$和$3∼4$之间。
通过代入数值验证：
当$x=-1.4$时，$y=(-1.4)^2-2×(-1.4)-5=-0.24$；当$x=-1.5$时，$y=(-1.5)^2-2×(-1.5)-5=0.25$，可得负根近似为$x_1\approx-1.4$；
当$x=3.4$时，$y=3.4^2-2×3.4-5=-0.24$；当$x=3.5$时，$y=3.5^2-2×3.5-5=0.25$，可得正根近似为$x_2\approx3.4$。
(2) 对二次函数解析式配方：
$y=x^2-2x-5=(x-1)^2-6$，
因此抛物线顶点$M$的坐标为$(1,-6)$。
令$y=-3$，代入函数得：
$x^2-2x-5=-3$，整理为$x^2-2x-2=0$，
解得$x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$，
因此线段$CD$的长度为$|x_2-x_1|=2\sqrt{3}$。
点$M$到直线$y=-3$的距离$h=|-3-(-6)|=3$，
所以$△ MCD$的面积为：
$S_{△ MCD}=\frac{1}{2}· CD· h=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 3=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 方程$x^2-2x-5=0$的近似根为$x_1\approx-1.4$，$x_2\approx3.4$；
(2) $△ MCD$的面积为$3\sqrt{3}$。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的顶点坐标，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题结合二次函数图象，既考查了用图象法求一元二次方程近似根的方法，也考查了二次函数性质的应用和几何面积计算，需要同学们掌握数形结合思想，同时具备基础的代数运算能力，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程$x^2-2x-5=0$的根就是二次函数$y=x^2-2x-5$图象与x轴交点的横坐标，首先观察图象确定交点横坐标所在的区间，再代入区间内的数值计算对应y值，找到y值接近0时对应的x值，即可得到方程的近似根。
(2) 求$△ MCD$的面积时，先通过配方求出二次函数顶点M的坐标；再令$y=-3$，解对应的一元二次方程得到C、D两点的横坐标，求出线段CD的长度；然后计算顶点M到直线$y=-3$的垂直距离，即$△ MCD$中CD边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 观察二次函数$y=x^2-2x-5$的图象，可知抛物线与x轴的两个交点横坐标分别位于$-2∼-1$和$3∼4$之间。
通过代入数值验证：
当$x=-1.4$时，$y=(-1.4)^2-2×(-1.4)-5=-0.24$；当$x=-1.5$时，$y=(-1.5)^2-2×(-1.5)-5=0.25$，可得负根近似为$x_1\approx-1.4$；
当$x=3.4$时，$y=3.4^2-2×3.4-5=-0.24$；当$x=3.5$时，$y=3.5^2-2×3.5-5=0.25$，可得正根近似为$x_2\approx3.4$。
(2) 对二次函数解析式配方：
$y=x^2-2x-5=(x-1)^2-6$，
因此抛物线顶点$M$的坐标为$(1,-6)$。
令$y=-3$，代入函数得：
$x^2-2x-5=-3$，整理为$x^2-2x-2=0$，
解得$x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$，
因此线段$CD$的长度为$|x_2-x_1|=2\sqrt{3}$。
点$M$到直线$y=-3$的距离$h=|-3-(-6)|=3$，
所以$△ MCD$的面积为：
$S_{△ MCD}=\frac{1}{2}· CD· h=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 3=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 方程$x^2-2x-5=0$的近似根为$x_1\approx-1.4$，$x_2\approx3.4$；
(2) $△ MCD$的面积为$3\sqrt{3}$。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的顶点坐标，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题结合二次函数图象，既考查了用图象法求一元二次方程近似根的方法，也考查了二次函数性质的应用和几何面积计算，需要同学们掌握数形结合思想，同时具备基础的代数运算能力，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.已知抛物线$y=x^2-2x-8$.
(1)求证:该抛物线与$x$轴一定有两个交点;
(2)若抛物线与$x$轴的两个交点分别为点$A,B$,且它的顶点为$P$,求$△ ABP$的面积.
(1)求证:该抛物线与$x$轴一定有两个交点;
(2)若抛物线与$x$轴的两个交点分别为点$A,B$,且它的顶点为$P$,求$△ ABP$的面积.
答案
解：
(1) 证明：令$y=0$，得到一元二次方程$x^2 - 2x - 8 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-8$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-8) = 36 ＞ 0$，
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线$y=x^2-2x-8$与$x$轴一定有两个交点。
(2) 令$y=0$，即$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，
不妨设$A(-2,0)$，$B(4,0)$，则$AB = |4 - (-2)| = 6$。
将抛物线解析式配方得：$y=x^2-2x-8=(x-1)^2 - 9$，
因此顶点$P$的坐标为$(1,-9)$，
点$P$到$x$轴的距离，即$△ ABP$中$AB$边上的高$h = |-9| = 9$，
所以$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × AB × h = \frac{1}{2} × 6 × 9 = 27$。
答：$△ ABP$的面积为27。
(1) 证明：令$y=0$，得到一元二次方程$x^2 - 2x - 8 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-8$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-8) = 36 ＞ 0$，
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线$y=x^2-2x-8$与$x$轴一定有两个交点。
(2) 令$y=0$，即$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，
不妨设$A(-2,0)$，$B(4,0)$，则$AB = |4 - (-2)| = 6$。
将抛物线解析式配方得：$y=x^2-2x-8=(x-1)^2 - 9$，
因此顶点$P$的坐标为$(1,-9)$，
点$P$到$x$轴的距离，即$△ ABP$中$AB$边上的高$h = |-9| = 9$，
所以$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × AB × h = \frac{1}{2} × 6 × 9 = 27$。
答：$△ ABP$的面积为27。
解析
【分析】
第(1)问解题思路：抛物线与x轴的交点横坐标对应y=0时一元二次方程的根，要证明抛物线与x轴有两个交点，只需证明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判断判别式Δ的符号大于0即可。第(2)问解题思路：求△ABP的面积，先求解y=0时的方程得到A、B两点坐标，算出底边AB的长度，再通过配方求出抛物线顶点P的坐标，顶点到x轴的距离就是AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：令$y=0$，得到一元二次方程$x^2 - 2x - 8 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-8$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-8) = 36 ＞ 0$，
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线$y=x^2-2x-8$与$x$轴一定有两个交点。
(2) 解：令$y=0$，即$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，
不妨设$A(-2,0)$，$B(4,0)$，则$AB = |4 - (-2)| = 6$。
将抛物线解析式配方得：$y=x^2-2x-8=(x-1)^2 - 9$，
因此顶点$P$的坐标为$(1,-9)$，
点$P$到$x$轴的距离，即$△ ABP$中$AB$边上的高$h = |-9| = 9$，
所以$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × AB × h = \frac{1}{2} × 6 × 9 = 27$。
【答案】
(1) 该抛物线与x轴一定有两个交点得证；(2) $△ ABP$的面积为27。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数顶点坐标求解；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数板块的基础常考题，综合考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质以及坐标法求图形面积的方法，解题核心是掌握二次函数与一元二次方程的转化逻辑，熟练运用配方等基础运算方法。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：抛物线与x轴的交点横坐标对应y=0时一元二次方程的根，要证明抛物线与x轴有两个交点，只需证明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判断判别式Δ的符号大于0即可。第(2)问解题思路：求△ABP的面积，先求解y=0时的方程得到A、B两点坐标，算出底边AB的长度，再通过配方求出抛物线顶点P的坐标，顶点到x轴的距离就是AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：令$y=0$，得到一元二次方程$x^2 - 2x - 8 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-8$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-8) = 36 ＞ 0$，
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线$y=x^2-2x-8$与$x$轴一定有两个交点。
(2) 解：令$y=0$，即$x^2 - 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，
不妨设$A(-2,0)$，$B(4,0)$，则$AB = |4 - (-2)| = 6$。
将抛物线解析式配方得：$y=x^2-2x-8=(x-1)^2 - 9$，
因此顶点$P$的坐标为$(1,-9)$，
点$P$到$x$轴的距离，即$△ ABP$中$AB$边上的高$h = |-9| = 9$，
所以$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × AB × h = \frac{1}{2} × 6 × 9 = 27$。
【答案】
(1) 该抛物线与x轴一定有两个交点得证；(2) $△ ABP$的面积为27。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数顶点坐标求解；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数板块的基础常考题，综合考查了一元二次方程根的判别式、二次函数的性质以及坐标法求图形面积的方法，解题核心是掌握二次函数与一元二次方程的转化逻辑，熟练运用配方等基础运算方法。
【难度系数】
0.7
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点M,与平行于x轴的直线l交于A,B两点.若$AB=3$,求点M到直线l的距离.
答案
解：
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点，
∴ 一元二次方程$x^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4c = 0$。
设直线$l$对应的函数解析式为$y=k$，
则A、B两点的横坐标是方程$x^2+bx+c = k$的两个不同实数根，
即方程$x^2+bx + (c - k) = 0$的两个根，设为$x_1, x_2$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c - k$。
∵ $AB=3$，即$|x_1 - x_2|=3$，
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 9$。
又∵ $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入得：
$(-b)^2 - 4(c - k) = 9$，
整理得：$b^2 - 4c + 4k = 9$。
将$b^2 - 4c = 0$代入上式，得：
$4k = 9$，解得$k = \frac{9}{4}$。
∵ 点M是抛物线与x轴的唯一交点，点M的纵坐标为0，
∴ 点M到直线$l$的距离为$\frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$。
答：点M到直线l的距离为$\frac{9}{4}$。
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点，
∴ 一元二次方程$x^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4c = 0$。
设直线$l$对应的函数解析式为$y=k$，
则A、B两点的横坐标是方程$x^2+bx+c = k$的两个不同实数根，
即方程$x^2+bx + (c - k) = 0$的两个根，设为$x_1, x_2$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c - k$。
∵ $AB=3$，即$|x_1 - x_2|=3$，
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 9$。
又∵ $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入得：
$(-b)^2 - 4(c - k) = 9$，
整理得：$b^2 - 4c + 4k = 9$。
将$b^2 - 4c = 0$代入上式，得：
$4k = 9$，解得$k = \frac{9}{4}$。
∵ 点M是抛物线与x轴的唯一交点，点M的纵坐标为0，
∴ 点M到直线$l$的距离为$\frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$。
答：点M到直线l的距离为$\frac{9}{4}$。
解析
【分析】
解题首先从抛物线与x轴只有一个交点的条件入手，可得对应一元二次方程的判别式Δ=0，得到$b^2-4c=0$的关系；再设平行于x轴的直线l解析式为$y=k$，A、B两点的横坐标就是方程$x^2+bx+c=k$的两个根，AB的长度等于两个根差的绝对值，结合根与系数的关系，将根的差的平方转化为两根和与两根积的形式，代入已知的$b^2-4c=0$即可求出k的值；点M在x轴上纵坐标为0，直线l平行于x轴，纵坐标与0的差就是M到l的距离。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点，
∴ 一元二次方程$x^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4c = 0$。
设直线$l$对应的函数解析式为$y=k$，
则A、B两点的横坐标是方程$x^2+bx+c = k$的两个不同实数根，
即方程$x^2+bx + (c - k) = 0$的两个根，设为$x_1, x_2$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c - k$。
∵ $AB=3$，即$|x_1 - x_2|=3$，
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 9$。
又
∵ $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入得：
$(-b)^2 - 4(c - k) = 9$，
整理得：$b^2 - 4c + 4k = 9$。
将$b^2 - 4c = 0$代入上式，得：
$4k = 9$，解得$k = \frac{9}{4}$。
∵ 点M是抛物线与x轴的唯一交点，点M的纵坐标为0，直线$l$平行于x轴，
∴ 点M到直线$l$的距离为$\frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题将二次函数交点问题与一元二次方程知识结合考查，解题关键是把几何中的线段长度条件转化为代数中方程根的关系，通过整体代入的思想简化计算，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题首先从抛物线与x轴只有一个交点的条件入手，可得对应一元二次方程的判别式Δ=0，得到$b^2-4c=0$的关系；再设平行于x轴的直线l解析式为$y=k$，A、B两点的横坐标就是方程$x^2+bx+c=k$的两个根，AB的长度等于两个根差的绝对值，结合根与系数的关系，将根的差的平方转化为两根和与两根积的形式，代入已知的$b^2-4c=0$即可求出k的值；点M在x轴上纵坐标为0，直线l平行于x轴，纵坐标与0的差就是M到l的距离。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点，
∴ 一元二次方程$x^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4c = 0$。
设直线$l$对应的函数解析式为$y=k$，
则A、B两点的横坐标是方程$x^2+bx+c = k$的两个不同实数根，
即方程$x^2+bx + (c - k) = 0$的两个根，设为$x_1, x_2$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c - k$。
∵ $AB=3$，即$|x_1 - x_2|=3$，
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 9$。
又
∵ $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入得：
$(-b)^2 - 4(c - k) = 9$，
整理得：$b^2 - 4c + 4k = 9$。
将$b^2 - 4c = 0$代入上式，得：
$4k = 9$，解得$k = \frac{9}{4}$。
∵ 点M是抛物线与x轴的唯一交点，点M的纵坐标为0，直线$l$平行于x轴，
∴ 点M到直线$l$的距离为$\frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题将二次函数交点问题与一元二次方程知识结合考查，解题关键是把几何中的线段长度条件转化为代数中方程根的关系，通过整体代入的思想简化计算，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
12. 如图所示，二次函数 $y=-x^2+2x+m$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(3,0)$ 和点 $B$，与 $y$ 轴交于点 $C$。
(1) 求 $m$ 的值；
(2) 求点 $B$ 的坐标；
(3) 若在抛物线上有一点 $D(x,y)$（其中 $x＞0,y＞0$），使 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$，求点 $D$ 的坐标。
(1) 求 $m$ 的值；
(2) 求点 $B$ 的坐标；
(3) 若在抛物线上有一点 $D(x,y)$（其中 $x＞0,y＞0$），使 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$，求点 $D$ 的坐标。
答案
解：
(1) ∵ 点$A(3,0)$在二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象上，
将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$0=-3^2 + 2×3 + m$，
即$0=-3+m$，
解得$m=3$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，
整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
已知点$A$坐标为$(3,0)$，
∴ 点$B$的坐标为$(-1,0)$。
(3) 令$x=0$，代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，
∴ 点$C$的坐标为$(0,3)$。
$AB$的长度为$3 - (-1)=4$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × OC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∵ $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$，且点$D(x,y)$满足$y＞0$，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × y=6$，
即$\frac{1}{2}×4× y=6$，解得$y=3$。
将$y=3$代入$y=-x^2+2x+3$，得：
$3=-x^2+2x+3$，
整理得$x^2-2x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
∵ $x＞0$，
∴ $x=2$，
∴ 点$D$的坐标为$(2,3)$。
(1) ∵ 点$A(3,0)$在二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象上，
将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$0=-3^2 + 2×3 + m$，
即$0=-3+m$，
解得$m=3$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，
整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
已知点$A$坐标为$(3,0)$，
∴ 点$B$的坐标为$(-1,0)$。
(3) 令$x=0$，代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，
∴ 点$C$的坐标为$(0,3)$。
$AB$的长度为$3 - (-1)=4$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × OC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∵ $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$，且点$D(x,y)$满足$y＞0$，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × y=6$，
即$\frac{1}{2}×4× y=6$，解得$y=3$。
将$y=3$代入$y=-x^2+2x+3$，得：
$3=-x^2+2x+3$，
整理得$x^2-2x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
∵ $x＞0$，
∴ $x=2$，
∴ 点$D$的坐标为$(2,3)$。
解析
【分析】
（1）求解m的值时，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点A的坐标代入二次函数表达式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求得m的值。
（2）求点B的坐标时，点B是抛物线与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此先由（1）的结果得到完整的二次函数解析式，令y=0，解对应的一元二次方程，舍去已知点A的横坐标，即可得到点B的坐标。
（3）求点D的坐标时，△ABD与△ABC共底边AB，若二者面积相等，则AB边上的高相等，即点D的纵坐标等于点C的纵坐标；先求出点C的坐标，结合面积关系得到点D的纵坐标，将其代入二次函数解析式求出对应的x值，再根据x＞0、y＞0的条件筛选出符合要求的结果，即可得到点D的坐标。
【解析】
(1)
∵ 点$A(3,0)$在二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象上，
将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$0=-3^2 + 2×3 + m$，
即$0=-3+m$，
解得$m=3$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，
整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
已知点$A$坐标为$(3,0)$，
∴ 点$B$的坐标为$(-1,0)$。
(3) 令$x=0$，代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，
∴ 点$C$的坐标为$(0,3)$。
$AB$的长度为$3 - (-1)=4$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × OC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∵ $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$，且点$D(x,y)$满足$y＞0$，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × y=6$，
即$\frac{1}{2}×4× y=6$，解得$y=3$。
将$y=3$代入$y=-x^2+2x+3$，得：
$3=-x^2+2x+3$，
整理得$x^2-2x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
∵ $x＞0$，
∴ $x=2$，
∴ 点$D$的坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) $m=3$；(2) $B(-1,0)$；(3) $D(2,3)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题的关键是灵活运用函数图象上点的坐标满足解析式的性质，以及同底等高的三角形面积相等的结论进行转化，解题步骤清晰，是二次函数模块的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解m的值时，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点A的坐标代入二次函数表达式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求得m的值。
（2）求点B的坐标时，点B是抛物线与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此先由（1）的结果得到完整的二次函数解析式，令y=0，解对应的一元二次方程，舍去已知点A的横坐标，即可得到点B的坐标。
（3）求点D的坐标时，△ABD与△ABC共底边AB，若二者面积相等，则AB边上的高相等，即点D的纵坐标等于点C的纵坐标；先求出点C的坐标，结合面积关系得到点D的纵坐标，将其代入二次函数解析式求出对应的x值，再根据x＞0、y＞0的条件筛选出符合要求的结果，即可得到点D的坐标。
【解析】
(1)
∵ 点$A(3,0)$在二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象上，
将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$0=-3^2 + 2×3 + m$，
即$0=-3+m$，
解得$m=3$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，
整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
已知点$A$坐标为$(3,0)$，
∴ 点$B$的坐标为$(-1,0)$。
(3) 令$x=0$，代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=3$，
∴ 点$C$的坐标为$(0,3)$。
$AB$的长度为$3 - (-1)=4$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × OC=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∵ $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$，且点$D(x,y)$满足$y＞0$，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × y=6$，
即$\frac{1}{2}×4× y=6$，解得$y=3$。
将$y=3$代入$y=-x^2+2x+3$，得：
$3=-x^2+2x+3$，
整理得$x^2-2x=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
∵ $x＞0$，
∴ $x=2$，
∴ 点$D$的坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) $m=3$；(2) $B(-1,0)$；(3) $D(2,3)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题的关键是灵活运用函数图象上点的坐标满足解析式的性质，以及同底等高的三角形面积相等的结论进行转化，解题步骤清晰，是二次函数模块的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
