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例1 已知直角三角形的两直角边长的和为20，写出其面积y与其中一条直角边长x之间的函数关系式。
【思路导析】因为直角三角形的一直角边长为x，则另一直角边长为20－x，根据直角三角形的面积公式可求y与x之间的函数关系式。
【请你解答】
【思路导析】因为直角三角形的一直角边长为x，则另一直角边长为20－x，根据直角三角形的面积公式可求y与x之间的函数关系式。
【请你解答】
答案
解：
由题意可知，一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$20-x$。
根据直角三角形面积公式，得：
$y=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理得：
$y=-\frac{1}{2}x^2 + 10x$
由直角边长为正，可得$x＞0$且$20-x＞0$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜20$。
答：面积$y$与边长$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\ (0＜x＜20)}$。
由题意可知，一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$20-x$。
根据直角三角形面积公式，得：
$y=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理得：
$y=-\frac{1}{2}x^2 + 10x$
由直角边长为正，可得$x＞0$且$20-x＞0$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜20$。
答：面积$y$与边长$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\ (0＜x＜20)}$。
解析
【分析】
解题时可按照以下思路思考：第一步，根据“两直角边长的和为20，其中一条直角边长为x”，先表示出另一条直角边的长度为20-x；第二步，回忆直角三角形的面积计算公式：面积=1/2×一条直角边×另一条直角边，将两条直角边的表达式代入公式，即可得到y与x的关系式；第三步，结合实际意义，直角三角形的边长必须为正数，因此需要确定自变量x的取值范围，保证两条直角边的长度都大于0。
【解析】
由题意可知，一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$20-x$。
根据直角三角形面积公式，得：
$y=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理得：
$y=-\frac{1}{2}x^2 + 10x$
由直角边长为正，可得$x＞0$且$20-x＞0$，解得自变量$x$的取值范围是$0＜x＜20$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\ (0＜x＜20)}$
【知识点】
1. 二次函数实际应用 2. 直角三角形面积计算 3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数结合几何面积的基础题型，解题的核心是先用含自变量的式子表示出相关的几何量，再结合对应的公式列函数关系式，解题时需注意不要遗漏实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时可按照以下思路思考：第一步，根据“两直角边长的和为20，其中一条直角边长为x”，先表示出另一条直角边的长度为20-x；第二步，回忆直角三角形的面积计算公式：面积=1/2×一条直角边×另一条直角边，将两条直角边的表达式代入公式，即可得到y与x的关系式；第三步，结合实际意义，直角三角形的边长必须为正数，因此需要确定自变量x的取值范围，保证两条直角边的长度都大于0。
【解析】
由题意可知，一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$20-x$。
根据直角三角形面积公式，得：
$y=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理得：
$y=-\frac{1}{2}x^2 + 10x$
由直角边长为正，可得$x＞0$且$20-x＞0$，解得自变量$x$的取值范围是$0＜x＜20$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\ (0＜x＜20)}$
【知识点】
1. 二次函数实际应用 2. 直角三角形面积计算 3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数结合几何面积的基础题型，解题的核心是先用含自变量的式子表示出相关的几何量，再结合对应的公式列函数关系式，解题时需注意不要遗漏实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
例2 用20 m长的竹篱笆围成一个矩形，矩形的一边长为x m，面积为 y m²（篱笆厚度不计），当面积最大时，边长x为多少？
【思路导析】由矩形的面积=长×宽，建立函数关系式，由二次函数的性质求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】由矩形的面积=长×宽，建立函数关系式，由二次函数的性质求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
已知矩形周长为20 m，一边长为x m，则与其相邻的另一边长为 $\frac{20}{2}-x=(10-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得面积y与x的函数关系式：
$y=x(10-x)=-x^2+10x$
由边长为正，得自变量取值范围是 $0＜x＜10$。
在二次函数 $y=-x^2+10x$ 中，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，且 $x=5$ 在取值范围 $0＜x＜10$ 内。
答：当面积最大时，边长x为5 m。
已知矩形周长为20 m，一边长为x m，则与其相邻的另一边长为 $\frac{20}{2}-x=(10-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得面积y与x的函数关系式：
$y=x(10-x)=-x^2+10x$
由边长为正，得自变量取值范围是 $0＜x＜10$。
在二次函数 $y=-x^2+10x$ 中，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，且 $x=5$ 在取值范围 $0＜x＜10$ 内。
答：当面积最大时，边长x为5 m。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下逻辑逐步思考：第一步，结合矩形周长为20m的已知条件，用边长x表示出矩形相邻的另一边长度；第二步，根据矩形面积公式写出面积y关于x的函数关系式，同时结合边长为正数的实际要求，确定x的取值范围；第三步，判断得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，因此函数在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标的公式计算对应的x值，验证该值在自变量取值范围内即可。
【解析】
已知矩形周长为20 m，一边长为x m，则与其相邻的另一边长为 $\frac{20}{2}-x=(10-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得面积y与x的函数关系式：
$y=x(10-x)=-x^2+10x$
由边长为正，得自变量取值范围是 $0＜x＜10$。
在二次函数 $y=-x^2+10x$ 中，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，且 $x=5$ 在取值范围 $0＜x＜10$ 内，符合实际意义。
【答案】
当面积最大时，边长x为5 m。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题核心是先结合几何数量关系建立二次函数模型，同时要注意自变量的取值要符合实际意义，再利用二次函数的性质求解最值，掌握这类题型能为后续解决更复杂的实际最值问题打好基础。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按以下逻辑逐步思考：第一步，结合矩形周长为20m的已知条件，用边长x表示出矩形相邻的另一边长度；第二步，根据矩形面积公式写出面积y关于x的函数关系式，同时结合边长为正数的实际要求，确定x的取值范围；第三步，判断得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，因此函数在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标的公式计算对应的x值，验证该值在自变量取值范围内即可。
【解析】
已知矩形周长为20 m，一边长为x m，则与其相邻的另一边长为 $\frac{20}{2}-x=(10-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得面积y与x的函数关系式：
$y=x(10-x)=-x^2+10x$
由边长为正，得自变量取值范围是 $0＜x＜10$。
在二次函数 $y=-x^2+10x$ 中，$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，且 $x=5$ 在取值范围 $0＜x＜10$ 内，符合实际意义。
【答案】
当面积最大时，边长x为5 m。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题核心是先结合几何数量关系建立二次函数模型，同时要注意自变量的取值要符合实际意义，再利用二次函数的性质求解最值，掌握这类题型能为后续解决更复杂的实际最值问题打好基础。
【难度系数】
0.8
例3 星光中学课外
活动小组准备围建一个矩形生
物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成（篱笆的厚度不计）。已知墙长为18 m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m。
（1）若平行于墙的一边的长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88 m²时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。
【探究点拨】（1）求自变量x的取值范围时要考虑墙长；（2）可以用配方法，也可以用公式法求最大值；（3）画出图象进行分析。
【规范解答】（1）$y＝30－2x$，$6≤x＜15$。
（2）设矩形的面积为$S$，则
$S＝xy＝x(30－2x)＝−2x²＋30x$
$＝−2(x−7.5)²＋112.5$。
由（1）知$6≤x＜15$，所以当$x＝7.5$时，
$S_{最大值}＝112.5$。
即当苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5 m时，这个苗圃园的面积最大，最大值为$112.5\ \mathrm{m}^2$。
（3）令$−2x²＋30x＝88$，变形为$x²−15x＋44＝0$，
解得$x₁＝4$，$x₂＝11$。
画草图如图所示，$4≤x≤11$。
又结合$6≤x＜15$知，当$y≥88$时，$6≤x≤11$。
活动小组准备围建一个矩形生
物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成（篱笆的厚度不计）。已知墙长为18 m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m。
（1）若平行于墙的一边的长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88 m²时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。
【探究点拨】（1）求自变量x的取值范围时要考虑墙长；（2）可以用配方法，也可以用公式法求最大值；（3）画出图象进行分析。
【规范解答】（1）$y＝30－2x$，$6≤x＜15$。
（2）设矩形的面积为$S$，则
$S＝xy＝x(30－2x)＝−2x²＋30x$
$＝−2(x−7.5)²＋112.5$。
由（1）知$6≤x＜15$，所以当$x＝7.5$时，
$S_{最大值}＝112.5$。
即当苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5 m时，这个苗圃园的面积最大，最大值为$112.5\ \mathrm{m}^2$。
（3）令$−2x²＋30x＝88$，变形为$x²−15x＋44＝0$，
解得$x₁＝4$，$x₂＝11$。
画草图如图所示，$4≤x≤11$。
又结合$6≤x＜15$知，当$y≥88$时，$6≤x≤11$。
答案
解：
(1) $y$与$x$之间的函数关系式为$y=30-2x$，自变量$x$的取值范围是$6≤ x＜15$。
(2) 设矩形苗圃园的面积为$S$，则
$S=xy=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-7.5)^2+112.5$
由$6≤ x＜15$可知，该二次函数的对称轴$x=7.5$在自变量取值范围内，函数图象开口向下，
因此当$x=7.5$时，$S$取得最大值，$S_{\mathrm{最大值}}=112.5$。
答：当垂直于墙的一边的长为$7.5\ \mathrm{m}$时，这个苗圃园的面积最大，最大值为$112.5\ \mathrm{m}^2$。
(3) $x$的取值范围是$6≤ x≤11$。
(1) $y$与$x$之间的函数关系式为$y=30-2x$，自变量$x$的取值范围是$6≤ x＜15$。
(2) 设矩形苗圃园的面积为$S$，则
$S=xy=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-7.5)^2+112.5$
由$6≤ x＜15$可知，该二次函数的对称轴$x=7.5$在自变量取值范围内，函数图象开口向下，
因此当$x=7.5$时，$S$取得最大值，$S_{\mathrm{最大值}}=112.5$。
答：当垂直于墙的一边的长为$7.5\ \mathrm{m}$时，这个苗圃园的面积最大，最大值为$112.5\ \mathrm{m}^2$。
(3) $x$的取值范围是$6≤ x≤11$。
解析
【分析】
（1）首先根据三边篱笆总长为30m，垂直于墙的边长为x，可得两个垂直边的总长度为2x，因此平行于墙的边长y=总篱笆长度-2x，即y=30-2x；再结合实际限制条件：平行于墙的边长不能超过墙长18m，且必须大于0，列不等式组求解即可得到自变量x的取值范围。
（2）矩形面积=垂直于墙的边长×平行于墙的边长，将y=30-2x代入得到面积S关于x的二次函数，将函数配方为顶点式后，结合二次函数开口方向和自变量的取值范围，即可找到最大值对应的x值和最大面积。
（3）面积不小于88m²即S≥88，先令S=88解一元二次方程得到两个根，结合二次函数开口向下的性质得到S≥88时x的初步范围，再与（1）中x的取值范围取交集，即可得到最终的x取值范围。
【解析】
(1) 由三边篱笆总长为30m，垂直于墙的边长为x m，可得平行于墙的边长$y = 30 - 2x$；
根据实际限制条件列不等式组：
$\begin{cases}30-2x ≤ 18 \\30-2x ＞0 \end{cases}$
解得$6≤ x＜15$。
(2) 设矩形苗圃园的面积为S，则
$S=xy=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-7.5)^2+112.5$
由$6≤ x＜15$可知，该二次函数的对称轴$x=7.5$在自变量取值范围内，且二次项系数为-2＜0，函数图象开口向下，
因此当$x=7.5$时，$S$取得最大值，$S_{\mathrm{最大值}}=112.5$。
(3) 令$S=-2x^2+30x=88$，整理得$x^2-15x+44=0$，解得$x_1=4$，$x_2=11$。
由于二次函数图象开口向下，因此当$S≥88$时，$4≤ x≤11$，结合自变量取值范围$6≤ x＜15$，取交集得x的取值范围为$6≤ x≤11$。
【答案】
(1) $y$与$x$之间的函数关系式为$y=30-2x$，自变量$x$的取值范围是$6≤ x＜15$；
(2) 当垂直于墙的一边的长为$7.5\ \mathrm{m}$时，这个苗圃园的面积最大，最大值为$112.5\ \mathrm{m}^2$；
(3) $x$的取值范围是$6≤ x≤11$。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值求解，一元二次方程解法
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题关键是结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用二次函数的图象和性质求解最值、不等式相关问题，需注意最终结果要符合实际限制条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.65
（1）首先根据三边篱笆总长为30m，垂直于墙的边长为x，可得两个垂直边的总长度为2x，因此平行于墙的边长y=总篱笆长度-2x，即y=30-2x；再结合实际限制条件：平行于墙的边长不能超过墙长18m，且必须大于0，列不等式组求解即可得到自变量x的取值范围。
（2）矩形面积=垂直于墙的边长×平行于墙的边长，将y=30-2x代入得到面积S关于x的二次函数，将函数配方为顶点式后，结合二次函数开口方向和自变量的取值范围，即可找到最大值对应的x值和最大面积。
（3）面积不小于88m²即S≥88，先令S=88解一元二次方程得到两个根，结合二次函数开口向下的性质得到S≥88时x的初步范围，再与（1）中x的取值范围取交集，即可得到最终的x取值范围。
【解析】
(1) 由三边篱笆总长为30m，垂直于墙的边长为x m，可得平行于墙的边长$y = 30 - 2x$；
根据实际限制条件列不等式组：
$\begin{cases}30-2x ≤ 18 \\30-2x ＞0 \end{cases}$
解得$6≤ x＜15$。
(2) 设矩形苗圃园的面积为S，则
$S=xy=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-7.5)^2+112.5$
由$6≤ x＜15$可知，该二次函数的对称轴$x=7.5$在自变量取值范围内，且二次项系数为-2＜0，函数图象开口向下，
因此当$x=7.5$时，$S$取得最大值，$S_{\mathrm{最大值}}=112.5$。
(3) 令$S=-2x^2+30x=88$，整理得$x^2-15x+44=0$，解得$x_1=4$，$x_2=11$。
由于二次函数图象开口向下，因此当$S≥88$时，$4≤ x≤11$，结合自变量取值范围$6≤ x＜15$，取交集得x的取值范围为$6≤ x≤11$。
【答案】
(1) $y$与$x$之间的函数关系式为$y=30-2x$，自变量$x$的取值范围是$6≤ x＜15$；
(2) 当垂直于墙的一边的长为$7.5\ \mathrm{m}$时，这个苗圃园的面积最大，最大值为$112.5\ \mathrm{m}^2$；
(3) $x$的取值范围是$6≤ x≤11$。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值求解，一元二次方程解法
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题关键是结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用二次函数的图象和性质求解最值、不等式相关问题，需注意最终结果要符合实际限制条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.65
