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如图,有长为24 m的篱笆,利用一面墙(墙的最大可用长度为10 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(篱笆的厚度不计),设花圃的宽AB为x m,面积为S m².
(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x取何值时S有最大值?并求出最大值.
(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x取何值时S有最大值?并求出最大值.
答案
解：
(1) 由题意可知，花圃的宽AB为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长$BC=(24-3x)\ \mathrm{m}$，
因此面积$S$与$x$的函数关系式为：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
由墙的最大可用长度为$10\ \mathrm{m}$，列不等式组：
$\begin{cases}24-3x＞0 \\24-3x≤10\end{cases}$
解$24-3x＞0$得$x＜8$，
解$24-3x≤10$得$x≥\frac{14}{3}$，
所以自变量$x$的取值范围是$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
(2) 对于二次函数$S=-3x^2+24x$，
$\because a=-3＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
$\because$ 自变量取值范围$\frac{14}{3}≤ x＜8$在对称轴$x=4$的右侧，
$\therefore S$在$\frac{14}{3}≤ x＜8$上随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=\frac{14}{3}$时，$S$取得最大值，
最大值为$S=-3×(\frac{14}{3})^2+24×\frac{14}{3}=\frac{140}{3}$。
答：当$x$为$\frac{14}{3}\ \mathrm{m}$时，$S$有最大值，最大值为$\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$。
(1) 由题意可知，花圃的宽AB为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长$BC=(24-3x)\ \mathrm{m}$，
因此面积$S$与$x$的函数关系式为：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
由墙的最大可用长度为$10\ \mathrm{m}$，列不等式组：
$\begin{cases}24-3x＞0 \\24-3x≤10\end{cases}$
解$24-3x＞0$得$x＜8$，
解$24-3x≤10$得$x≥\frac{14}{3}$，
所以自变量$x$的取值范围是$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
(2) 对于二次函数$S=-3x^2+24x$，
$\because a=-3＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
$\because$ 自变量取值范围$\frac{14}{3}≤ x＜8$在对称轴$x=4$的右侧，
$\therefore S$在$\frac{14}{3}≤ x＜8$上随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=\frac{14}{3}$时，$S$取得最大值，
最大值为$S=-3×(\frac{14}{3})^2+24×\frac{14}{3}=\frac{140}{3}$。
答：当$x$为$\frac{14}{3}\ \mathrm{m}$时，$S$有最大值，最大值为$\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 首先分析篱笆构成：垂直于墙的篱笆共有3段，每段长度等于花圃的宽AB=x m，因此平行于墙的边BC的长度为总篱笆长减去3段垂直篱笆的长度，即(24-3x)m，再根据长方形面积公式即可写出S与x的函数关系式；接下来结合实际限制列不等式：平行于墙的边长不能超过墙的最大可用长度10m，且边长必须为正数，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
(2) 先通过对称轴公式找到二次函数的对称轴，结合二次函数开口方向判断增减性，由于自变量有取值范围，需先判断对称轴是否在取值范围内，若不在，则根据函数在取值范围内的增减性确定最值点，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 已知花圃的宽AB为x m，垂直于墙的篱笆共3段，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积公式可得：
$S = x(24-3x) = -3x^2 +24x$
结合墙的最大可用长度为10m，且边长为正，列不等式组：
$\begin{cases}24-3x ＞0 \\24-3x ≤10\end{cases}$
解不等式$24-3x＞0$，得$x＜8$；
解不等式$24-3x≤10$，得$x≥\frac{14}{3}$；
因此自变量x的取值范围为$\frac{14}{3}≤ x ＜8$。
(2) 对于二次函数$S=-3x^2+24x$，其中$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
由于自变量的取值范围$\frac{14}{3}≤ x ＜8$在对称轴$x=4$的右侧，二次函数开口向下，因此S在$\frac{14}{3}≤ x ＜8$范围内随x的增大而减小。
因此当$x=\frac{14}{3}$时，S取得最大值，代入计算：
$S=-3×(\frac{14}{3})^2 +24×\frac{14}{3} = \frac{140}{3}$
【答案】
(1) $S=-3x^2+24x$，自变量x的取值范围是$\frac{14}{3}≤ x ＜8$；
(2) 当$x=\frac{14}{3}\ \mathrm{m}$时，S有最大值，最大值为$\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围确定，二次函数最值求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是结合实际限制条件准确确定自变量的取值范围，求最值时需注意判断顶点是否在自变量的取值范围内，不可直接套用顶点坐标求最值。
【难度系数】
0.6
(1) 首先分析篱笆构成：垂直于墙的篱笆共有3段，每段长度等于花圃的宽AB=x m，因此平行于墙的边BC的长度为总篱笆长减去3段垂直篱笆的长度，即(24-3x)m，再根据长方形面积公式即可写出S与x的函数关系式；接下来结合实际限制列不等式：平行于墙的边长不能超过墙的最大可用长度10m，且边长必须为正数，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
(2) 先通过对称轴公式找到二次函数的对称轴，结合二次函数开口方向判断增减性，由于自变量有取值范围，需先判断对称轴是否在取值范围内，若不在，则根据函数在取值范围内的增减性确定最值点，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 已知花圃的宽AB为x m，垂直于墙的篱笆共3段，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积公式可得：
$S = x(24-3x) = -3x^2 +24x$
结合墙的最大可用长度为10m，且边长为正，列不等式组：
$\begin{cases}24-3x ＞0 \\24-3x ≤10\end{cases}$
解不等式$24-3x＞0$，得$x＜8$；
解不等式$24-3x≤10$，得$x≥\frac{14}{3}$；
因此自变量x的取值范围为$\frac{14}{3}≤ x ＜8$。
(2) 对于二次函数$S=-3x^2+24x$，其中$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
由于自变量的取值范围$\frac{14}{3}≤ x ＜8$在对称轴$x=4$的右侧，二次函数开口向下，因此S在$\frac{14}{3}≤ x ＜8$范围内随x的增大而减小。
因此当$x=\frac{14}{3}$时，S取得最大值，代入计算：
$S=-3×(\frac{14}{3})^2 +24×\frac{14}{3} = \frac{140}{3}$
【答案】
(1) $S=-3x^2+24x$，自变量x的取值范围是$\frac{14}{3}≤ x ＜8$；
(2) 当$x=\frac{14}{3}\ \mathrm{m}$时，S有最大值，最大值为$\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围确定，二次函数最值求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是结合实际限制条件准确确定自变量的取值范围，求最值时需注意判断顶点是否在自变量的取值范围内，不可直接套用顶点坐标求最值。
【难度系数】
0.6
1.已知直角三角形两直角边长的和等于10，两条直角边长分别为时，这个直角三角形面积最大，最大值为。
答案
解：设该直角三角形的一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$10-x$（$0＜x＜10$），设三角形面积为$S$。
由直角三角形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(10-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2+5x\end{aligned}$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 二次函数图象开口向下，$S$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，$10-x=5$，
代入得面积最大值$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}=12.5$。
答：两条直角边长分别为5和5时，这个直角三角形面积最大，最大值为12.5。
由直角三角形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(10-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2+5x\end{aligned}$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 二次函数图象开口向下，$S$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，$10-x=5$，
代入得面积最大值$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}=12.5$。
答：两条直角边长分别为5和5时，这个直角三角形面积最大，最大值为12.5。
解析
【分析】
遇到这类求图形面积最值的问题，需先将几何问题转化为函数问题求解：第一步先设定变量，设其中一条直角边长为$x$，根据两直角边和为10，可得另一条直角边长为$10-x$，同时注意边长为正数，因此$x$的取值范围是$0＜x＜10$；第二步根据直角三角形面积公式写出面积$S$关于$x$的函数解析式；第三步观察到解析式为二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求出$x$的值，再代入计算最大面积即可。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$10-x$（$0＜x＜10$），设三角形面积为$S$。
由直角三角形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(10-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2+5x\end{aligned}$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 二次函数图象开口向下，$S$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，$10-x=10-5=5$，
代入得面积最大值$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}=12.5$。
【答案】
5和5；12.5
【知识点】
直角三角形面积计算；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数与几何面积结合的基础题型，解题关键是建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
遇到这类求图形面积最值的问题，需先将几何问题转化为函数问题求解：第一步先设定变量，设其中一条直角边长为$x$，根据两直角边和为10，可得另一条直角边长为$10-x$，同时注意边长为正数，因此$x$的取值范围是$0＜x＜10$；第二步根据直角三角形面积公式写出面积$S$关于$x$的函数解析式；第三步观察到解析式为二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求出$x$的值，再代入计算最大面积即可。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$10-x$（$0＜x＜10$），设三角形面积为$S$。
由直角三角形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(10-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2+5x\end{aligned}$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 二次函数图象开口向下，$S$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，$10-x=10-5=5$，
代入得面积最大值$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}=12.5$。
【答案】
5和5；12.5
【知识点】
直角三角形面积计算；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数与几何面积结合的基础题型，解题关键是建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AB=10\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$沿$AC$向点$C$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,同时点$Q$从点$C$沿$CB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(点$Q$运动到点$B$停止).在运动过程中,四边形$PABQ$的面积的最小值为.
答案
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得$0 ≤ t ≤ 4$，
则$AP = t\ \mathrm{cm}$，$PC = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$。
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ \mathrm{cm^2}$，
$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2} × PC × CQ = \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = -t^2 + 6t$。
设四边形$PABQ$的面积为$S\ \mathrm{cm^2}$，则：
$\begin{aligned}S &= S_{△ ABC} - S_{△ PCQ}\\&= 24 - (-t^2 + 6t)\\&= t^2 - 6t + 24\\&= (t - 3)^2 + 15\end{aligned}$
$\because a=1＞0$，且$0 ≤ t ≤ 4$，
$\therefore$ 当$t=3$时，$S$取得最小值，最小值为$15\ \mathrm{cm^2}$。
答：四边形$PABQ$的面积的最小值为$\boldsymbol{15\ \mathrm{cm^2}}$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得$0 ≤ t ≤ 4$，
则$AP = t\ \mathrm{cm}$，$PC = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$。
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ \mathrm{cm^2}$，
$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2} × PC × CQ = \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = -t^2 + 6t$。
设四边形$PABQ$的面积为$S\ \mathrm{cm^2}$，则：
$\begin{aligned}S &= S_{△ ABC} - S_{△ PCQ}\\&= 24 - (-t^2 + 6t)\\&= t^2 - 6t + 24\\&= (t - 3)^2 + 15\end{aligned}$
$\because a=1＞0$，且$0 ≤ t ≤ 4$，
$\therefore$ 当$t=3$时，$S$取得最小值，最小值为$15\ \mathrm{cm^2}$。
答：四边形$PABQ$的面积的最小值为$\boldsymbol{15\ \mathrm{cm^2}}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们可以利用勾股定理求出Rt△ABC的直角边AC的长度。因为四边形PABQ是不规则图形，直接计算面积难度较大，所以采用“割补法”，用△ABC的总面积减去△PCQ的面积来表示四边形的面积更简便。接下来设运动时间为t，用含t的代数式表示出PC、CQ的长度，进而写出△PCQ的面积表达式，就能得到四边形面积关于t的二次函数，最后结合二次函数的最值性质和t的取值范围，即可求出面积的最小值。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意知点Q运动到B点停止，故t的取值范围是$0 ≤ t ≤ 4$，
则$AP = t\ \mathrm{cm}$，$PC = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$。
先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ \mathrm{cm^2}$，
再计算△PCQ的面积：
$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2} × PC × CQ = \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = -t^2 + 6t$。
设四边形$PABQ$的面积为$S\ \mathrm{cm^2}$，则：
$\begin{aligned}S &= S_{△ ABC} - S_{△ PCQ}\\&= 24 - (-t^2 + 6t)\\&= t^2 - 6t + 24\\&= (t - 3)^2 + 15\end{aligned}$
$\because$二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，且$t=3$在取值范围$0 ≤ t ≤ 4$内，
$\therefore$ 当$t=3$时，$S$取得最小值，最小值为$15\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$\boldsymbol{15\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
勾股定理；二次函数的最值；三角形面积计算
【点评】
本题属于动点与二次函数结合的典型题型，解题的核心是通过割补法将不规则四边形的面积转化为规则图形面积的差，进而建立二次函数模型求解最值，解题时要注意结合动点的运动限制确定自变量的取值范围，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先我们可以利用勾股定理求出Rt△ABC的直角边AC的长度。因为四边形PABQ是不规则图形，直接计算面积难度较大，所以采用“割补法”，用△ABC的总面积减去△PCQ的面积来表示四边形的面积更简便。接下来设运动时间为t，用含t的代数式表示出PC、CQ的长度，进而写出△PCQ的面积表达式，就能得到四边形面积关于t的二次函数，最后结合二次函数的最值性质和t的取值范围，即可求出面积的最小值。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意知点Q运动到B点停止，故t的取值范围是$0 ≤ t ≤ 4$，
则$AP = t\ \mathrm{cm}$，$PC = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$。
先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\ \mathrm{cm^2}$，
再计算△PCQ的面积：
$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2} × PC × CQ = \frac{1}{2} × (6 - t) × 2t = -t^2 + 6t$。
设四边形$PABQ$的面积为$S\ \mathrm{cm^2}$，则：
$\begin{aligned}S &= S_{△ ABC} - S_{△ PCQ}\\&= 24 - (-t^2 + 6t)\\&= t^2 - 6t + 24\\&= (t - 3)^2 + 15\end{aligned}$
$\because$二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，且$t=3$在取值范围$0 ≤ t ≤ 4$内，
$\therefore$ 当$t=3$时，$S$取得最小值，最小值为$15\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$\boldsymbol{15\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
勾股定理；二次函数的最值；三角形面积计算
【点评】
本题属于动点与二次函数结合的典型题型，解题的核心是通过割补法将不规则四边形的面积转化为规则图形面积的差，进而建立二次函数模型求解最值，解题时要注意结合动点的运动限制确定自变量的取值范围，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
3.已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，当$0≤ x≤3$时，$y$的最大值为________，最小值为________。
答案
最大值为$\boldsymbol{0}$，最小值为$\boldsymbol{-4}$。
解析
【分析】
要解决二次函数在给定区间的最值问题，首先需明确二次函数的开口方向、对称轴位置，再结合给定区间判断最值的取值位置：①先根据二次函数一般式求出对称轴，判断开口方向；②判断对称轴是否落在给定区间$[0,3]$内，若开口向上，对称轴处取得最小值，区间内离对称轴最远的端点处取得最大值；③分别计算对应点的函数值即可得到结果。
【解析】
第一步，将二次函数化为顶点式确定其性质：
对$y=x^2-2x-3$配方得：$y=(x-1)^2-4$，
由$a=1＞0$可知，该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
第二步，判断对称轴与区间的位置关系：
对称轴$x=1$在区间$0≤ x≤3$内，因此函数在$x=1$处取得最小值。
第三步，计算最值：
最小值为顶点的纵坐标，即当$x=1$时，$y_{\mathrm{min}}=-4$；
再计算区间两个端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-3=0$；
比较两个端点的函数值，$0＞-3$，因此最大值为$0$。
【答案】
$0$；$-4$
【知识点】
二次函数的性质，配方法，区间最值计算
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，解题核心是先确定二次函数的开口方向和对称轴，再结合给定区间判断最值的对应位置，避免直接代入端点计算的误区，当对称轴落在区间内时，顶点处必为其中一个最值。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数在给定区间的最值问题，首先需明确二次函数的开口方向、对称轴位置，再结合给定区间判断最值的取值位置：①先根据二次函数一般式求出对称轴，判断开口方向；②判断对称轴是否落在给定区间$[0,3]$内，若开口向上，对称轴处取得最小值，区间内离对称轴最远的端点处取得最大值；③分别计算对应点的函数值即可得到结果。
【解析】
第一步，将二次函数化为顶点式确定其性质：
对$y=x^2-2x-3$配方得：$y=(x-1)^2-4$，
由$a=1＞0$可知，该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
第二步，判断对称轴与区间的位置关系：
对称轴$x=1$在区间$0≤ x≤3$内，因此函数在$x=1$处取得最小值。
第三步，计算最值：
最小值为顶点的纵坐标，即当$x=1$时，$y_{\mathrm{min}}=-4$；
再计算区间两个端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-3=0$；
比较两个端点的函数值，$0＞-3$，因此最大值为$0$。
【答案】
$0$；$-4$
【知识点】
二次函数的性质，配方法，区间最值计算
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，解题核心是先确定二次函数的开口方向和对称轴，再结合给定区间判断最值的对应位置，避免直接代入端点计算的误区，当对称轴落在区间内时，顶点处必为其中一个最值。
【难度系数】
0.8
4.如图是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，现需要将它的长缩短x m，宽增加x m，要使改后的花园面积达到最大，则x为 m.
答案
解：设改造后花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
由题意可知改造后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜20$，
则：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2 +4x +320\end{aligned}$
二次项系数$a=-1＜0$，因此$S$存在最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$时，$S$取得最大值，且$x=2$满足$0＜x＜20$的取值要求。
$\boldsymbol{2}$
由题意可知改造后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜20$，
则：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2 +4x +320\end{aligned}$
二次项系数$a=-1＜0$，因此$S$存在最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$时，$S$取得最大值，且$x=2$满足$0＜x＜20$的取值要求。
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要解决这个求最大面积对应x值的问题，首先先明确改造后矩形的长和宽：原长20m，缩短x m后为(20-x)m，原宽16m，增加x m后为(16+x)m；再根据矩形面积公式列出面积S关于x的函数关系式；由于得到的是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，因此用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可，最后要验证x的取值是否符合实际意义。
【解析】
设改造后花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
由题意可知改造后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜20$，
则：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2 +4x +320\end{aligned}$
二次项系数$a=-1＜0$，因此该二次函数图象开口向下，S存在最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$时，S取得最大值，且$x=2$满足$0＜x＜20$的取值要求，符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值、矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题核心是正确列出面积关于x的函数表达式，再结合二次函数的性质求解，注意要判断所求的自变量取值是否符合实际场景的限制。
【难度系数】
0.7
要解决这个求最大面积对应x值的问题，首先先明确改造后矩形的长和宽：原长20m，缩短x m后为(20-x)m，原宽16m，增加x m后为(16+x)m；再根据矩形面积公式列出面积S关于x的函数关系式；由于得到的是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，因此用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可，最后要验证x的取值是否符合实际意义。
【解析】
设改造后花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，
由题意可知改造后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜20$，
则：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2 +4x +320\end{aligned}$
二次项系数$a=-1＜0$，因此该二次函数图象开口向下，S存在最大值，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$时，S取得最大值，且$x=2$满足$0＜x＜20$的取值要求，符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值、矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题核心是正确列出面积关于x的函数表达式，再结合二次函数的性质求解，注意要判断所求的自变量取值是否符合实际场景的限制。
【难度系数】
0.7
5.如图,四边形ABCD中的两条对角线AC,BD互相垂直,AC+BD=10,当AC为时,四边形ABCD的面积最大.
答案
解：
设AC的长为x，四边形ABCD的面积为S，
由AC + BD = 10，得BD = 10 - x，其中0 ＜ x ＜ 10。
∵ AC⊥BD，
∴ $S = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2}x(10-x)$
整理得 $S = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$。
∵ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 当$x = -\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，S取得最大值。
答：当AC为5时，四边形ABCD的面积最大。
设AC的长为x，四边形ABCD的面积为S，
由AC + BD = 10，得BD = 10 - x，其中0 ＜ x ＜ 10。
∵ AC⊥BD，
∴ $S = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2}x(10-x)$
整理得 $S = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$。
∵ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 当$x = -\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，S取得最大值。
答：当AC为5时，四边形ABCD的面积最大。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆对角线互相垂直的四边形的面积公式，其面积等于两条对角线乘积的一半；接下来结合已知条件AC+BD=10，我们可以设AC的长为x，将BD用含x的代数式表示；随后把AC和BD代入面积公式，得到面积关于x的二次函数关系式；最后利用二次函数的最值性质，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，代入公式计算即可求出AC的长度。
【解析】
设AC的长为x，四边形ABCD的面积为S，
由AC + BD = 10，可得BD = 10 - x，其中0 ＜ x ＜ 10。
∵ AC⊥BD，
∴ 四边形面积$S = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2}x(10-x)$
整理得 $S = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$。
∵ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，该二次函数图像开口向下，
∴ 当$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，S取得最大值。
【答案】
5
【知识点】
对角线垂直四边形面积计算；二次函数的最值；二次函数的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，既考查了对角线互相垂直的四边形的面积计算方法，又考查了利用二次函数求实际问题最值的知识点，掌握相关公式和性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆对角线互相垂直的四边形的面积公式，其面积等于两条对角线乘积的一半；接下来结合已知条件AC+BD=10，我们可以设AC的长为x，将BD用含x的代数式表示；随后把AC和BD代入面积公式，得到面积关于x的二次函数关系式；最后利用二次函数的最值性质，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，代入公式计算即可求出AC的长度。
【解析】
设AC的长为x，四边形ABCD的面积为S，
由AC + BD = 10，可得BD = 10 - x，其中0 ＜ x ＜ 10。
∵ AC⊥BD，
∴ 四边形面积$S = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2}x(10-x)$
整理得 $S = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$。
∵ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，该二次函数图像开口向下，
∴ 当$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5$时，S取得最大值。
【答案】
5
【知识点】
对角线垂直四边形面积计算；二次函数的最值；二次函数的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，既考查了对角线互相垂直的四边形的面积计算方法，又考查了利用二次函数求实际问题最值的知识点，掌握相关公式和性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图所示，$△ ABC$为等腰直角三角形，点$P_1$，$P_2$分别从点$A$，$B$出发，速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，点$P_1$运动到点$C$停止，$AB=100\ \mathrm{cm}$，$t\ \mathrm{s}$后$△ AP_1P_2$的面积$S$与$t$的函数关系式为（）
A.$S = t(100-t)$
B.$S = \frac{\sqrt{2}}{2}t^2 -50\sqrt{2}t$
C.$S = \frac{\sqrt{2}}{2}t^2$
D.$S = -\frac{\sqrt{2}}{4}t^2 +25\sqrt{2}t$
A.$S = t(100-t)$
B.$S = \frac{\sqrt{2}}{2}t^2 -50\sqrt{2}t$
C.$S = \frac{\sqrt{2}}{2}t^2$
D.$S = -\frac{\sqrt{2}}{4}t^2 +25\sqrt{2}t$
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据等腰直角三角形的性质，求出∠A的度数；第二步，用含t的代数式表示出t秒后△AP₁P₂的底AP₂的长度，以及AP₁边上对应AB的高的长度；第三步，代入三角形面积公式计算并化简，即可得到S与t的函数关系式。
【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AB=100cm，
∴∠A=45°。
由题意得：t s后，$AP_1=t\ \mathrm{cm}$，$BP_2=t\ \mathrm{cm}$，
∴$AP_2=AB-BP_2=(100-t)\ \mathrm{cm}$。
过点$P_1$作$P_1H⊥ AB$于点H，在$\mathrm{Rt}△ AP_1H$中，
$P_1H=AP_1·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}t\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× AP_2× P_1H=\frac{1}{2}×(100-t)×\frac{\sqrt{2}}{2}t$
化简得：
$S=-\frac{\sqrt{2}}{4}t^2+25\sqrt{2}t$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质，三角形面积计算，动点与二次函数
【点评】
本题是动点结合二次函数的基础题型，解题关键是正确用含t的代数式表示出三角形的底和高，再代入面积公式化简即可，计算时注意特殊角三角函数值的正确使用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据等腰直角三角形的性质，求出∠A的度数；第二步，用含t的代数式表示出t秒后△AP₁P₂的底AP₂的长度，以及AP₁边上对应AB的高的长度；第三步，代入三角形面积公式计算并化简，即可得到S与t的函数关系式。
【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AB=100cm，
∴∠A=45°。
由题意得：t s后，$AP_1=t\ \mathrm{cm}$，$BP_2=t\ \mathrm{cm}$，
∴$AP_2=AB-BP_2=(100-t)\ \mathrm{cm}$。
过点$P_1$作$P_1H⊥ AB$于点H，在$\mathrm{Rt}△ AP_1H$中，
$P_1H=AP_1·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}t\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× AP_2× P_1H=\frac{1}{2}×(100-t)×\frac{\sqrt{2}}{2}t$
化简得：
$S=-\frac{\sqrt{2}}{4}t^2+25\sqrt{2}t$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质，三角形面积计算，动点与二次函数
【点评】
本题是动点结合二次函数的基础题型，解题关键是正确用含t的代数式表示出三角形的底和高，再代入面积公式化简即可，计算时注意特殊角三角函数值的正确使用。
【难度系数】
0.7
