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7.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,E,F,G,H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE的长为x,则S关于x的函数的图象大致是()
答案
解：
由题意可知，正方形ABCD的边长为1，AE=x，则AH=1-x。
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
$EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (1-x)^2$
小正方形EFGH的面积$S=EH^2$，整理得：
$S = x^2 + (1-x)^2 = 2x^2 - 2x + 1$
其中自变量x的取值范围是$0＜x＜1$。
该二次函数的二次项系数$2＞0$，图象开口向上，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，当$x=0$或$x=1$时，$S=1$，两端点为空心点，符合该特征的图象为选项B。
答：B。
由题意可知，正方形ABCD的边长为1，AE=x，则AH=1-x。
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
$EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (1-x)^2$
小正方形EFGH的面积$S=EH^2$，整理得：
$S = x^2 + (1-x)^2 = 2x^2 - 2x + 1$
其中自变量x的取值范围是$0＜x＜1$。
该二次函数的二次项系数$2＞0$，图象开口向上，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，当$x=0$或$x=1$时，$S=1$，两端点为空心点，符合该特征的图象为选项B。
答：B。
解析
【分析】
要确定S关于x的函数图象，需先推导二者的函数解析式，再分析函数图象特征。首先根据正方形边长为1、AE=x，可表示出Rt△AEH的另一条直角边AH的长度；再利用勾股定理求出小正方形边长EH的平方，即小正方形的面积S，整理得到二次函数解析式；最后结合自变量x的取值范围、二次函数的开口方向、对称轴等特征，匹配对应的图象即可。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为1，AE=x，且AE=DH，因此AH=AD-DH=1-x。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，在Rt△AEH中，由勾股定理得：
$EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (1-x)^2$
∵小正方形EFGH的面积$S=EH^2$，代入整理得：
$S = x^2 + (1-x)^2 = 2x^2 - 2x + 1$
其中自变量x的取值范围是$0＜x＜1$。
该二次函数的二次项系数$2＞0$，因此图象开口向上；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2×2}=\frac{1}{2}$；当$x=0$或$x=1$时，$S=1$，且两端点为空心点，符合该特征的图象为选项B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题核心是通过勾股定理建立面积与边长的函数关系，再结合二次函数的图象性质判断对应图象，同时需注意自变量的实际取值范围对图象端点的影响。
【难度系数】
0.7
要确定S关于x的函数图象，需先推导二者的函数解析式，再分析函数图象特征。首先根据正方形边长为1、AE=x，可表示出Rt△AEH的另一条直角边AH的长度；再利用勾股定理求出小正方形边长EH的平方，即小正方形的面积S，整理得到二次函数解析式；最后结合自变量x的取值范围、二次函数的开口方向、对称轴等特征，匹配对应的图象即可。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为1，AE=x，且AE=DH，因此AH=AD-DH=1-x。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，在Rt△AEH中，由勾股定理得：
$EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (1-x)^2$
∵小正方形EFGH的面积$S=EH^2$，代入整理得：
$S = x^2 + (1-x)^2 = 2x^2 - 2x + 1$
其中自变量x的取值范围是$0＜x＜1$。
该二次函数的二次项系数$2＞0$，因此图象开口向上；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2×2}=\frac{1}{2}$；当$x=0$或$x=1$时，$S=1$，且两端点为空心点，符合该特征的图象为选项B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题核心是通过勾股定理建立面积与边长的函数关系，再结合二次函数的图象性质判断对应图象，同时需注意自变量的实际取值范围对图象端点的影响。
【难度系数】
0.7
8.如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD.为美化环境,用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计).若四块矩形花圃的面积相等,设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m².
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
答案
解：
(1) ∵ 四块矩形花圃的面积相等，
∴ $S_{\mathrm{矩形}AMGH}=S_{\mathrm{矩形}HDNG}=S_{\mathrm{矩形}MEFB}=S_{\mathrm{矩形}EFCN}$，
∴ $AH=HD=\frac{1}{2}x$，且 $AM· AH = ME· x$，
代入 $AH=\frac{1}{2}x$，得 $AM· \frac{x}{2}=ME· x$，即 $AM=2ME$。
同理可得 $ME=EB$，因此 $AB=AM+ME+EB=2AM$。
由题意，篱笆总长度为：
$AB + CD + BC + MN + EF + HG = 100$，
其中 $CD=AB$，$MN=EF=BC=x$，$HG=AM$，
代入得：$2AB + 3x + AM = 100$，
又 $AB=2AM$，即 $AM=\frac{AB}{2}$，代入整理得：
$AB=\frac{200-6x}{5}$。
因此 $y = BC· AB = x· \frac{200-6x}{5} = -\frac{6}{5}x^2 + 40x$。
由 $AB＞0$ 且 $x＞0$，得 $200-6x＞0$，解得 $x＜\frac{100}{3}$，
∴ 自变量$x$的取值范围是 $0＜x＜\frac{100}{3}$。
(2) ∵ $y=-\frac{6}{5}x^2 + 40x$，其中 $a=-\frac{6}{5}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，在顶点处$y$取得最大值，
顶点横坐标 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-\frac{6}{5})}=\frac{50}{3}$，该值在 $0＜x＜\frac{100}{3}$ 范围内。
将 $x=\frac{50}{3}$ 代入函数得：
$y_{\mathrm{最大值}}=-\frac{6}{5}×(\frac{50}{3})^2 + 40×\frac{50}{3}=\frac{1000}{3}$。
答：当$x$为$\frac{50}{3}\ \mathrm{m}$时，$y$有最大值，最大值是$\frac{1000}{3}\ \mathrm{m}^2$。
(1) ∵ 四块矩形花圃的面积相等，
∴ $S_{\mathrm{矩形}AMGH}=S_{\mathrm{矩形}HDNG}=S_{\mathrm{矩形}MEFB}=S_{\mathrm{矩形}EFCN}$，
∴ $AH=HD=\frac{1}{2}x$，且 $AM· AH = ME· x$，
代入 $AH=\frac{1}{2}x$，得 $AM· \frac{x}{2}=ME· x$，即 $AM=2ME$。
同理可得 $ME=EB$，因此 $AB=AM+ME+EB=2AM$。
由题意，篱笆总长度为：
$AB + CD + BC + MN + EF + HG = 100$，
其中 $CD=AB$，$MN=EF=BC=x$，$HG=AM$，
代入得：$2AB + 3x + AM = 100$，
又 $AB=2AM$，即 $AM=\frac{AB}{2}$，代入整理得：
$AB=\frac{200-6x}{5}$。
因此 $y = BC· AB = x· \frac{200-6x}{5} = -\frac{6}{5}x^2 + 40x$。
由 $AB＞0$ 且 $x＞0$，得 $200-6x＞0$，解得 $x＜\frac{100}{3}$，
∴ 自变量$x$的取值范围是 $0＜x＜\frac{100}{3}$。
(2) ∵ $y=-\frac{6}{5}x^2 + 40x$，其中 $a=-\frac{6}{5}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，在顶点处$y$取得最大值，
顶点横坐标 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-\frac{6}{5})}=\frac{50}{3}$，该值在 $0＜x＜\frac{100}{3}$ 范围内。
将 $x=\frac{50}{3}$ 代入函数得：
$y_{\mathrm{最大值}}=-\frac{6}{5}×(\frac{50}{3})^2 + 40×\frac{50}{3}=\frac{1000}{3}$。
答：当$x$为$\frac{50}{3}\ \mathrm{m}$时，$y$有最大值，最大值是$\frac{1000}{3}\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1)要得到y与x的函数关系式，已知y是矩形ABCD的面积，且BC=x，因此只需将AB用含x的代数式表示即可。首先根据四块矩形花圃面积相等的条件，先推导AD、AB边上的各分段线段的数量关系，再结合篱笆总长度为100m的条件列出等式，整理得到AB关于x的表达式，即可由矩形面积公式得到y与x的函数关系式；再结合线段长度为正的实际意义，求出自变量x的取值范围。
(2)对于得到的二次函数，由于二次项系数小于0，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，可利用二次函数顶点坐标公式求出对应的x值，验证其在自变量取值范围内后，代入函数式计算得到最大值。
【解析】
(1)
∵ 四块矩形花圃的面积相等，
∴ $S_{\mathrm{矩形}AMGH}=S_{\mathrm{矩形}HDNG}=S_{\mathrm{矩形}MEFB}=S_{\mathrm{矩形}EFCN}$，
∴ $AH=HD=\frac{1}{2}x$，且 $AM· AH = ME· x$，
代入 $AH=\frac{1}{2}x$，得 $AM· \frac{x}{2}=ME· x$，即 $AM=2ME$。
同理可得 $ME=EB$，因此 $AB=AM+ME+EB=2AM$。
由题意，篱笆总长度为：
$AB + CD + BC + MN + EF + HG = 100$，
其中 $CD=AB$，$MN=EF=BC=x$，$HG=AM$，
代入得：$2AB + 3x + AM = 100$，
又 $AB=2AM$，即 $AM=\frac{AB}{2}$，代入整理得：
$AB=\frac{200-6x}{5}$。
因此 $y = BC· AB = x· \frac{200-6x}{5} = -\frac{6}{5}x^2 + 40x$。
由 $AB＞0$ 且 $x＞0$，得 $200-6x＞0$，解得 $x＜\frac{100}{3}$，
∴ 自变量$x$的取值范围是 $0＜x＜\frac{100}{3}$。
(2)
∵ $y=-\frac{6}{5}x^2 + 40x$，其中 $a=-\frac{6}{5}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，在顶点处$y$取得最大值，
顶点横坐标 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-\frac{6}{5})}=\frac{50}{3}$，该值在 $0＜x＜\frac{100}{3}$ 范围内。
将 $x=\frac{50}{3}$ 代入函数得：
$y_{\mathrm{最大值}}=-\frac{6}{5}×(\frac{50}{3})^2 + 40×\frac{50}{3}=\frac{1000}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{6}{5}x^2 + 40x$，自变量x的取值范围为$0＜x＜\frac{100}{3}$；
(2) 当$x=\frac{50}{3}\ \mathrm{m}$时，y有最大值，最大值为$\frac{1000}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
矩形的性质，二次函数解析式求解，二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数结合几何图形的实际应用题，解题关键是根据面积相等的条件理清各线段的数量关系，结合篱笆总长建立函数关系，求解最值时要注意验证顶点横坐标是否符合自变量的实际取值范围，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
(1)要得到y与x的函数关系式，已知y是矩形ABCD的面积，且BC=x，因此只需将AB用含x的代数式表示即可。首先根据四块矩形花圃面积相等的条件，先推导AD、AB边上的各分段线段的数量关系，再结合篱笆总长度为100m的条件列出等式，整理得到AB关于x的表达式，即可由矩形面积公式得到y与x的函数关系式；再结合线段长度为正的实际意义，求出自变量x的取值范围。
(2)对于得到的二次函数，由于二次项系数小于0，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，可利用二次函数顶点坐标公式求出对应的x值，验证其在自变量取值范围内后，代入函数式计算得到最大值。
【解析】
(1)
∵ 四块矩形花圃的面积相等，
∴ $S_{\mathrm{矩形}AMGH}=S_{\mathrm{矩形}HDNG}=S_{\mathrm{矩形}MEFB}=S_{\mathrm{矩形}EFCN}$，
∴ $AH=HD=\frac{1}{2}x$，且 $AM· AH = ME· x$，
代入 $AH=\frac{1}{2}x$，得 $AM· \frac{x}{2}=ME· x$，即 $AM=2ME$。
同理可得 $ME=EB$，因此 $AB=AM+ME+EB=2AM$。
由题意，篱笆总长度为：
$AB + CD + BC + MN + EF + HG = 100$，
其中 $CD=AB$，$MN=EF=BC=x$，$HG=AM$，
代入得：$2AB + 3x + AM = 100$，
又 $AB=2AM$，即 $AM=\frac{AB}{2}$，代入整理得：
$AB=\frac{200-6x}{5}$。
因此 $y = BC· AB = x· \frac{200-6x}{5} = -\frac{6}{5}x^2 + 40x$。
由 $AB＞0$ 且 $x＞0$，得 $200-6x＞0$，解得 $x＜\frac{100}{3}$，
∴ 自变量$x$的取值范围是 $0＜x＜\frac{100}{3}$。
(2)
∵ $y=-\frac{6}{5}x^2 + 40x$，其中 $a=-\frac{6}{5}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，在顶点处$y$取得最大值，
顶点横坐标 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-\frac{6}{5})}=\frac{50}{3}$，该值在 $0＜x＜\frac{100}{3}$ 范围内。
将 $x=\frac{50}{3}$ 代入函数得：
$y_{\mathrm{最大值}}=-\frac{6}{5}×(\frac{50}{3})^2 + 40×\frac{50}{3}=\frac{1000}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{6}{5}x^2 + 40x$，自变量x的取值范围为$0＜x＜\frac{100}{3}$；
(2) 当$x=\frac{50}{3}\ \mathrm{m}$时，y有最大值，最大值为$\frac{1000}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
矩形的性质，二次函数解析式求解，二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数结合几何图形的实际应用题，解题关键是根据面积相等的条件理清各线段的数量关系，结合篱笆总长建立函数关系，求解最值时要注意验证顶点横坐标是否符合自变量的实际取值范围，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
9. 如图所示，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动。设点P的运动时间为t（单位：s），解答下列问题：
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
(2)设四边形APQC的面积为y（单位：cm²），求y与t的函数关系式。是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积有最值？若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由。
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
(2)设四边形APQC的面积为y（单位：cm²），求y与t的函数关系式。是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积有最值？若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由。
答案
解：
(1) 根据题意，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = t\ \mathrm{cm}$，
$\because △ ABC$是边长为$3\ \mathrm{cm}$的等边三角形，
$\therefore AB = BC = 3\ \mathrm{cm}$，$∠ B = 60°$，
$\therefore PB = (3 - t)\ \mathrm{cm}$，其中$0 ≤ t ≤ 3$。
若$△ PBQ$是直角三角形，分两种情况：
① 当$∠ PQB = 90°$时，$BQ = PB·\cos60°$，
即 $t = \frac{1}{2}(3 - t)$，
解得 $t = 1$；
② 当$∠ BPQ = 90°$时，$PB = BQ·\cos60°$，
即 $3 - t = \frac{1}{2}t$，
解得 $t = 2$。
综上，当$t$为$1\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是直角三角形。
(2) 等边$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 3 × \sin60° = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ · \sin60° = \frac{1}{2}(3 - t) · t · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}t(3 - t)$，
$\therefore$ 四边形$APQC$的面积$y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ}$，
整理得：$y = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}t + \frac{9\sqrt{3}}{4}$，
自变量$t$的取值范围是$0 ≤ t ≤ 3$。
该二次函数的二次项系数$a = \frac{\sqrt{3}}{4} ＞ 0$，抛物线开口向上，
对称轴为直线$t = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{2 × \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{2}$，在取值范围$0 ≤ t ≤ 3$内。
$\therefore$ 当$t = \frac{3}{2}$时，$y$取得最小值：
$y_{\mathrm{min}} = \frac{\sqrt{3}}{4} × (\frac{3}{2})^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4} × \frac{3}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{16}\ \mathrm{cm}^2$；
当$t = 0$或$t = 3$时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
综上，$y$与$t$的函数关系式为$\boldsymbol{y = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}t + \frac{9\sqrt{3}}{4}\ (0 ≤ t ≤ 3)}$，四边形$APQC$的面积存在最值：当$t = \frac{3}{2}\ \mathrm{s}$时，面积最小，最小值为$\frac{27\sqrt{3}}{16}\ \mathrm{cm}^2$；当$t = 0\ \mathrm{s}$或$3\ \mathrm{s}$时，面积最大，最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 根据题意，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = t\ \mathrm{cm}$，
$\because △ ABC$是边长为$3\ \mathrm{cm}$的等边三角形，
$\therefore AB = BC = 3\ \mathrm{cm}$，$∠ B = 60°$，
$\therefore PB = (3 - t)\ \mathrm{cm}$，其中$0 ≤ t ≤ 3$。
若$△ PBQ$是直角三角形，分两种情况：
① 当$∠ PQB = 90°$时，$BQ = PB·\cos60°$，
即 $t = \frac{1}{2}(3 - t)$，
解得 $t = 1$；
② 当$∠ BPQ = 90°$时，$PB = BQ·\cos60°$，
即 $3 - t = \frac{1}{2}t$，
解得 $t = 2$。
综上，当$t$为$1\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是直角三角形。
(2) 等边$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 3 × \sin60° = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ · \sin60° = \frac{1}{2}(3 - t) · t · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}t(3 - t)$，
$\therefore$ 四边形$APQC$的面积$y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ}$，
整理得：$y = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}t + \frac{9\sqrt{3}}{4}$，
自变量$t$的取值范围是$0 ≤ t ≤ 3$。
该二次函数的二次项系数$a = \frac{\sqrt{3}}{4} ＞ 0$，抛物线开口向上，
对称轴为直线$t = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{2 × \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{2}$，在取值范围$0 ≤ t ≤ 3$内。
$\therefore$ 当$t = \frac{3}{2}$时，$y$取得最小值：
$y_{\mathrm{min}} = \frac{\sqrt{3}}{4} × (\frac{3}{2})^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4} × \frac{3}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{16}\ \mathrm{cm}^2$；
当$t = 0$或$t = 3$时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
综上，$y$与$t$的函数关系式为$\boldsymbol{y = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}t + \frac{9\sqrt{3}}{4}\ (0 ≤ t ≤ 3)}$，四边形$APQC$的面积存在最值：当$t = \frac{3}{2}\ \mathrm{s}$时，面积最小，最小值为$\frac{27\sqrt{3}}{16}\ \mathrm{cm}^2$；当$t = 0\ \mathrm{s}$或$3\ \mathrm{s}$时，面积最大，最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 首先根据动点的运动速度和时间t，分别表示出AP、BQ的长度，结合等边△ABC的边长得到PB的长度，已知∠B=60°，若△PBQ是直角三角形，需分两种情况讨论：∠PQB=90°或∠BPQ=90°，再根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质列方程求解，同时注意t的取值范围为0≤t≤3。
(2) 四边形APQC为不规则图形，采用割补法计算面积：用等边△ABC的总面积减去△PBQ的面积，即可得到y与t的关系式，再根据得到的二次函数的性质，结合t的取值范围求解面积的最值。
【解析】
(1) 根据题意，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = t\ \mathrm{cm}$，
$\because △ ABC$是边长为$3\ \mathrm{cm}$的等边三角形，
$\therefore AB = BC = 3\ \mathrm{cm}$，$∠ B = 60°$，
$\therefore PB = (3 - t)\ \mathrm{cm}$，其中$0 ≤ t ≤ 3$。
若$△ PBQ$是直角三角形，分两种情况：
① 当$∠ PQB = 90°$时，$∠BPQ=30°$，因此$BQ = \frac{1}{2}PB$，
即 $t = \frac{1}{2}(3 - t)$，
解得 $t = 1$；
② 当$∠ BPQ = 90°$时，$∠PQB=30°$，因此$PB = \frac{1}{2}BQ$，
即 $3 - t = \frac{1}{2}t$，
解得 $t = 2$。
综上，当$t$为$1\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是直角三角形。
(2) 等边$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 3 × \sin60° = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ · \sin60° = \frac{1}{2}(3 - t) · t · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}t(3 - t)$，
$\therefore$ 四边形$APQC$的面积$y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ}$，
整理得：$y = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}t + \frac{9\sqrt{3}}{4}$，
自变量$t$的取值范围是$0 ≤ t ≤ 3$。
该二次函数的二次项系数$a = \frac{\sqrt{3}}{4} ＞ 0$，抛物线开口向上，
对称轴为直线$t = -\frac{b}{2a}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{2 × \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{2}$，在取值范围$0 ≤ t ≤ 3$内。
$\therefore$ 当$t = \frac{3}{2}$时，$y$取得最小值：
$y_{\mathrm{min}} = \frac{\sqrt{3}}{4} × (\frac{3}{2})^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4} × \frac{3}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{16}\ \mathrm{cm}^2$；
当$t = 0$或$t = 3$时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $t=1\ \mathrm{s}$或$t=2\ \mathrm{s}$；
(2) 函数关系式为$\boldsymbol{y = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}t + \frac{9\sqrt{3}}{4}\ (0 ≤ t ≤ 3)}$；存在最值，当$t=\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$时，面积最小值为$\frac{27\sqrt{3}}{16}\ \mathrm{cm}^2$；当$t=0\ \mathrm{s}$或$t=3\ \mathrm{s}$时，面积最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
等边三角形的性质，分类讨论思想，二次函数的最值应用
【点评】
本题属于几何动点综合题，融合了三角形性质和二次函数的应用，解题时需注意直角三角形的直角顶点不确定时要分类讨论，避免漏解；求面积最值时要结合自变量的实际取值范围判断最值的位置。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据动点的运动速度和时间t，分别表示出AP、BQ的长度，结合等边△ABC的边长得到PB的长度，已知∠B=60°，若△PBQ是直角三角形，需分两种情况讨论：∠PQB=90°或∠BPQ=90°，再根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质列方程求解，同时注意t的取值范围为0≤t≤3。
(2) 四边形APQC为不规则图形，采用割补法计算面积：用等边△ABC的总面积减去△PBQ的面积，即可得到y与t的关系式，再根据得到的二次函数的性质，结合t的取值范围求解面积的最值。
【解析】
(1) 根据题意，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = t\ \mathrm{cm}$，
$\because △ ABC$是边长为$3\ \mathrm{cm}$的等边三角形，
$\therefore AB = BC = 3\ \mathrm{cm}$，$∠ B = 60°$，
$\therefore PB = (3 - t)\ \mathrm{cm}$，其中$0 ≤ t ≤ 3$。
若$△ PBQ$是直角三角形，分两种情况：
① 当$∠ PQB = 90°$时，$∠BPQ=30°$，因此$BQ = \frac{1}{2}PB$，
即 $t = \frac{1}{2}(3 - t)$，
解得 $t = 1$；
② 当$∠ BPQ = 90°$时，$∠PQB=30°$，因此$PB = \frac{1}{2}BQ$，
即 $3 - t = \frac{1}{2}t$，
解得 $t = 2$。
综上，当$t$为$1\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是直角三角形。
(2) 等边$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 3 × \sin60° = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$△ PBQ$的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · PB · BQ · \sin60° = \frac{1}{2}(3 - t) · t · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}t(3 - t)$，
$\therefore$ 四边形$APQC$的面积$y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ}$，
整理得：$y = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}t + \frac{9\sqrt{3}}{4}$，
自变量$t$的取值范围是$0 ≤ t ≤ 3$。
该二次函数的二次项系数$a = \frac{\sqrt{3}}{4} ＞ 0$，抛物线开口向上，
对称轴为直线$t = -\frac{b}{2a}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{2 × \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{2}$，在取值范围$0 ≤ t ≤ 3$内。
$\therefore$ 当$t = \frac{3}{2}$时，$y$取得最小值：
$y_{\mathrm{min}} = \frac{\sqrt{3}}{4} × (\frac{3}{2})^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4} × \frac{3}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{16}\ \mathrm{cm}^2$；
当$t = 0$或$t = 3$时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $t=1\ \mathrm{s}$或$t=2\ \mathrm{s}$；
(2) 函数关系式为$\boldsymbol{y = \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 - \frac{3\sqrt{3}}{4}t + \frac{9\sqrt{3}}{4}\ (0 ≤ t ≤ 3)}$；存在最值，当$t=\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$时，面积最小值为$\frac{27\sqrt{3}}{16}\ \mathrm{cm}^2$；当$t=0\ \mathrm{s}$或$t=3\ \mathrm{s}$时，面积最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
等边三角形的性质，分类讨论思想，二次函数的最值应用
【点评】
本题属于几何动点综合题，融合了三角形性质和二次函数的应用，解题时需注意直角三角形的直角顶点不确定时要分类讨论，避免漏解；求面积最值时要结合自变量的实际取值范围判断最值的位置。
【难度系数】
0.6
