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例1 把下列二次函数写成$y=a(x-h)^2+k$的形式.
(1)$y=x^2-4x+6$；
(2)$y=-2x^2+8x-10$.
【思路导析】用配方法把等式右边进行配方,写成$a(x-h)^2+k$的形式.
【请你解答】
(1)$y=x^2-4x+6$；
(2)$y=-2x^2+8x-10$.
【思路导析】用配方法把等式右边进行配方,写成$a(x-h)^2+k$的形式.
【请你解答】
答案
解：
(1) $y=x^2-4x+6$
$=x^2-4x+4-4+6$
$=(x-2)^2+2$
(2) $y=-2x^2+8x-10$
$=-2(x^2-4x)-10$
$=-2(x^2-4x+4-4)-10$
$=-2(x-2)^2 +8 -10$
$=-2(x-2)^2-2$
(1) $y=x^2-4x+6$
$=x^2-4x+4-4+6$
$=(x-2)^2+2$
(2) $y=-2x^2+8x-10$
$=-2(x^2-4x)-10$
$=-2(x^2-4x+4-4)-10$
$=-2(x-2)^2 +8 -10$
$=-2(x-2)^2-2$
解析
【分析】
要将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，使用配方法即可，思路如下：①若二次项系数为1，直接在二次项、一次项后加上一次项系数一半的平方，再减去同一个数保证原式值不变，最后整理为完全平方加常数的形式；②若二次项系数不为1，先把二次项和一次项提取二次项系数，将括号内的多项式转化为二次项系数为1的形式，再按上述方法配方，最后去括号合并常数项即可。
【解析】
(1) $y=x^2-4x+6$
$=x^2-4x+4-4+6$
$=(x-2)^2+2$
(2) $y=-2x^2+8x-10$
$=-2(x^2-4x)-10$
$=-2(x^2-4x+4-4)-10$
$=-2(x-2)^2 +8 -10$
$=-2(x-2)^2-2$
【答案】
(1)$y=(x-2)^2+2$；(2)$y=-2(x-2)^2-2$
【知识点】
配方法，二次函数一般式转顶点式
【点评】
本题属于二次函数配方的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意：二次项系数不为1时，括号内配方增减的常数需要乘以外层的系数，避免出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
要将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，使用配方法即可，思路如下：①若二次项系数为1，直接在二次项、一次项后加上一次项系数一半的平方，再减去同一个数保证原式值不变，最后整理为完全平方加常数的形式；②若二次项系数不为1，先把二次项和一次项提取二次项系数，将括号内的多项式转化为二次项系数为1的形式，再按上述方法配方，最后去括号合并常数项即可。
【解析】
(1) $y=x^2-4x+6$
$=x^2-4x+4-4+6$
$=(x-2)^2+2$
(2) $y=-2x^2+8x-10$
$=-2(x^2-4x)-10$
$=-2(x^2-4x+4-4)-10$
$=-2(x-2)^2 +8 -10$
$=-2(x-2)^2-2$
【答案】
(1)$y=(x-2)^2+2$；(2)$y=-2(x-2)^2-2$
【知识点】
配方法，二次函数一般式转顶点式
【点评】
本题属于二次函数配方的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意：二次项系数不为1时，括号内配方增减的常数需要乘以外层的系数，避免出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
例2 求抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$ 的顶点坐标及对称轴，并指出其开口方向.当x为何值时，y随x的增大而增大？
【思路导析】顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$，对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}$。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 二次函数 $y=ax^2 +bx +c$ 的图象及性质
【思路导析】顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$，对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}$。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 二次函数 $y=ax^2 +bx +c$ 的图象及性质
答案
解：
在抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$ 中，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-4$，$c=3$。
对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}=4$
顶点的纵坐标为：
$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×\frac{1}{2}×3 - (-4)^2}{4×\frac{1}{2}}=\frac{6-16}{2}=-5$
∴ 该抛物线的顶点坐标为 $(4,-5)$，对称轴为直线 $x=4$。
∵ $a=\frac{1}{2}＞0$，
∴ 抛物线开口向上。
因此，当 $x＞4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
在抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$ 中，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-4$，$c=3$。
对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}=4$
顶点的纵坐标为：
$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×\frac{1}{2}×3 - (-4)^2}{4×\frac{1}{2}}=\frac{6-16}{2}=-5$
∴ 该抛物线的顶点坐标为 $(4,-5)$，对称轴为直线 $x=4$。
∵ $a=\frac{1}{2}＞0$，
∴ 抛物线开口向上。
因此，当 $x＞4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
解析
【分析】
本题考查二次函数一般式的图象与性质，解题思路如下：首先从给定的二次函数解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$中识别出$a、b、c$的取值；再分别代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$、顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，求出对称轴和顶点坐标；接着根据$a$的正负判断抛物线的开口方向；最后结合开口方向和对称轴，确定y随x增大而增大的x的取值范围：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大；开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大。
【解析】
在抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$ 中，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-4$，$c=3$。
对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}=4$
顶点的纵坐标为：
$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×\frac{1}{2}×3 - (-4)^2}{4×\frac{1}{2}}=\frac{6-16}{2}=-5$
∴ 该抛物线的顶点坐标为 $(4,-5)$，对称轴为直线 $x=4$。
∵ $a=\frac{1}{2}＞0$，
∴ 抛物线开口向上。
因此，当 $x＞4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
【答案】
顶点坐标为$(4,-5)$，对称轴为直线$x=4$，开口向上；当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
二次函数的性质；顶点与对称轴公式；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础题型，核心考察对二次函数一般式相关公式的记忆与应用，只要熟练掌握对称轴、顶点坐标的计算方法，以及开口方向和增减性的对应规律，即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数一般式的图象与性质，解题思路如下：首先从给定的二次函数解析式$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$中识别出$a、b、c$的取值；再分别代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$、顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，求出对称轴和顶点坐标；接着根据$a$的正负判断抛物线的开口方向；最后结合开口方向和对称轴，确定y随x增大而增大的x的取值范围：开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大；开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大。
【解析】
在抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$ 中，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-4$，$c=3$。
对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×\frac{1}{2}}=4$
顶点的纵坐标为：
$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×\frac{1}{2}×3 - (-4)^2}{4×\frac{1}{2}}=\frac{6-16}{2}=-5$
∴ 该抛物线的顶点坐标为 $(4,-5)$，对称轴为直线 $x=4$。
∵ $a=\frac{1}{2}＞0$，
∴ 抛物线开口向上。
因此，当 $x＞4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
【答案】
顶点坐标为$(4,-5)$，对称轴为直线$x=4$，开口向上；当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
二次函数的性质；顶点与对称轴公式；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础题型，核心考察对二次函数一般式相关公式的记忆与应用，只要熟练掌握对称轴、顶点坐标的计算方法，以及开口方向和增减性的对应规律，即可快速解答。
【难度系数】
0.8
例3 在平面直角坐标系中，画出二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{2}$ 的图象，并根据图象回答下列问题：
回答下列问题：
(1)x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
(2)函数值 y 有最大值还是最小值，最大(小)值是多少？
【探究点拨】先求出顶点坐标和对称轴，再根据对称性列表，结合函数图象回答问题。
【规范解答】把 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{2}$ 配方得
$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+2.$
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标是$(3,2)$，对称轴是直线 $x=3.$
列表：
描点连线得：
(1)从图象可以看出，$x＜3$时，y随x的增大而增大；$x＞3$时，y随x的增大而减小。
(2)函数有最大值，当 $x=3$ 时，函数 y 取得最大值，最大值为2.
变式探究
回答下列问题：
(1)x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
(2)函数值 y 有最大值还是最小值，最大(小)值是多少？
【探究点拨】先求出顶点坐标和对称轴，再根据对称性列表，结合函数图象回答问题。
【规范解答】把 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{2}$ 配方得
$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+2.$
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标是$(3,2)$，对称轴是直线 $x=3.$
列表：
描点连线得：
(1)从图象可以看出，$x＜3$时，y随x的增大而增大；$x＞3$时，y随x的增大而减小。
(2)函数有最大值，当 $x=3$ 时，函数 y 取得最大值，最大值为2.
变式探究
答案
解：
先将二次函数配方：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x^2-6x)-\frac{5}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\end{aligned}$
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(3,2)$，对称轴是直线$x=3$。
根据对称性列表：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2$ | $\dots$ | $-\frac{5}{2}$ | 0 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 0 | $-\frac{5}{2}$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑的曲线依次连接各点，即得到该二次函数的图象。
(1) 观察图象可得：
当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) $\because a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 函数值$y$有最大值，当$x=3$时，$y$取得最大值，最大值为$2$。
先将二次函数配方：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x^2-6x)-\frac{5}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\end{aligned}$
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(3,2)$，对称轴是直线$x=3$。
根据对称性列表：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2$ | $\dots$ | $-\frac{5}{2}$ | 0 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 0 | $-\frac{5}{2}$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑的曲线依次连接各点，即得到该二次函数的图象。
(1) 观察图象可得：
当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) $\because a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 函数值$y$有最大值，当$x=3$时，$y$取得最大值，最大值为$2$。
解析
【分析】
解决本题需要结合二次函数的图象性质逐步推导：首先，二次函数的增减性、最值由开口方向、对称轴、顶点坐标决定，因此第一步先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，快速得到对称轴和顶点坐标；第二步根据对称轴的对称性选取x的取值列表、描点、用平滑曲线连线，画出函数图象；最后结合开口方向（二次项系数为负，开口向下）分析性质：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，顶点处为函数的最大值点，即可得到对应结果。
【解析】
1. 配方转化顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x^2-6x)-\frac{5}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\end{aligned}$
由此可得抛物线的顶点坐标为$(3,2)$，对称轴是直线$x=3$。
2. 列表（利用对称轴x=3的对称性取点）：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $\dots$ | $-\frac{5}{2}$ | 0 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 0 | $-\frac{5}{2}$ | $\dots$ |
3. 描点、连线：在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到二次函数的图象。
4. 结合图象回答问题：
(1) 由于二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小，即当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 抛物线开口向下，顶点为图象最高点，因此函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，即当$x=3$时，$y$取得最大值2。
【答案】
1. 函数图象绘制：先将函数配方为$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+2$，取对称轴两侧对称点列表、描点，用平滑曲线连接即可得到图象。
(1) 当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 函数值$y$有最大值，最大值为$2$。
【知识点】
二次函数配方、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考察题，核心是掌握一般式转化为顶点式的配方方法，结合开口方向和对称轴即可快速判断函数的增减性与最值，是二次函数模块的核心基础考点。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合二次函数的图象性质逐步推导：首先，二次函数的增减性、最值由开口方向、对称轴、顶点坐标决定，因此第一步先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，快速得到对称轴和顶点坐标；第二步根据对称轴的对称性选取x的取值列表、描点、用平滑曲线连线，画出函数图象；最后结合开口方向（二次项系数为负，开口向下）分析性质：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，顶点处为函数的最大值点，即可得到对应结果。
【解析】
1. 配方转化顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x^2-6x)-\frac{5}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\end{aligned}$
由此可得抛物线的顶点坐标为$(3,2)$，对称轴是直线$x=3$。
2. 列表（利用对称轴x=3的对称性取点）：
| $x$ | $\dots$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $\dots$ | $-\frac{5}{2}$ | 0 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 0 | $-\frac{5}{2}$ | $\dots$ |
3. 描点、连线：在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到二次函数的图象。
4. 结合图象回答问题：
(1) 由于二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小，即当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 抛物线开口向下，顶点为图象最高点，因此函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，即当$x=3$时，$y$取得最大值2。
【答案】
1. 函数图象绘制：先将函数配方为$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+2$，取对称轴两侧对称点列表、描点，用平滑曲线连接即可得到图象。
(1) 当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 函数值$y$有最大值，最大值为$2$。
【知识点】
二次函数配方、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考察题，核心是掌握一般式转化为顶点式的配方方法，结合开口方向和对称轴即可快速判断函数的增减性与最值，是二次函数模块的核心基础考点。
【难度系数】
0.8
