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8.若二次函数$y=(x-m)^2 -1$，当$x≤3$时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）
A.$m=3$
B.$m＞3$
C.$m≥3$
D.$m≤3$
A.$m=3$
B.$m＞3$
C.$m≥3$
D.$m≤3$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二次函数顶点式的基本性质：先判断开口方向，再确定对称轴，结合开口方向明确函数的增减区间，最后根据题目给出的x≤3时y随x增大而减小的条件，分析对称轴和x=3的位置关系，即可求出m的取值范围。
【解析】
1. 对于二次函数$y=(x-m)^2 -1$，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数是顶点式，其对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴左侧（即$x＜m$时），y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；
4. 已知当$x≤3$时，y随x的增大而减小，说明$x≤3$这个区间全部在对称轴$x=m$的左侧（包含对称轴本身），因此可得$m≥3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的核心是准确掌握顶点式下二次函数对称轴的求法，以及开口方向对增减性的影响，要注意端点值是否符合要求，避免遗漏$m=3$的情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确二次函数顶点式的基本性质：先判断开口方向，再确定对称轴，结合开口方向明确函数的增减区间，最后根据题目给出的x≤3时y随x增大而减小的条件，分析对称轴和x=3的位置关系，即可求出m的取值范围。
【解析】
1. 对于二次函数$y=(x-m)^2 -1$，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数是顶点式，其对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴左侧（即$x＜m$时），y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；
4. 已知当$x≤3$时，y随x的增大而减小，说明$x≤3$这个区间全部在对称轴$x=m$的左侧（包含对称轴本身），因此可得$m≥3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的核心是准确掌握顶点式下二次函数对称轴的求法，以及开口方向对增减性的影响，要注意端点值是否符合要求，避免遗漏$m=3$的情况。
【难度系数】
0.7
9.如图,抛物线$y_1=a(x-h)^2+k$与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线顶点坐标为(1,4),直线AB的解析式为$y_2=mx+n$.
(1)$a=$,$n=$;当$y_1＞y_2$时,自变量x的取值范围是;
(2)当$-3≤x≤2$时,求二次函数值$y_1$的取值范围.
(1)$a=$,$n=$;当$y_1＞y_2$时,自变量x的取值范围是;
(2)当$-3≤x≤2$时,求二次函数值$y_1$的取值范围.
答案
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{0＜x＜3}$；
(2) $\boldsymbol{-12≤ y_1≤4}$。
(2) $\boldsymbol{-12≤ y_1≤4}$。
解析
【分析】
(1) 求a的值：已知抛物线顶点坐标，可直接写出顶点式，代入点A的坐标即可求出a；求n的值：先求出抛物线与y轴交点B的坐标，B点也是直线与y轴的交点，代入直线解析式即可得到n的值；求$y_1＞y_2$时x的取值范围：观察图像，抛物线在直线上方的部分对应的x范围就是所求，找到两个函数交点的横坐标即可确定范围。
(2) 求指定区间内$y_1$的取值范围：先判断抛物线开口方向和对称轴，先确定区间内的最大值（顶点在区间内，最大值为顶点纵坐标），再计算区间两个端点对应的函数值，比较后得到最小值，即可确定$y_1$的取值范围。
【解析】
(1) ①已知抛物线顶点为$(1,4)$，则抛物线解析式为$y_1=a(x-1)^2+4$，将$A(3,0)$代入得：
$0=a(3-1)^2+4$，即$4a+4=0$，解得$a=-1$。
②将$a=-1$代入得抛物线解析式为$y_1=-(x-1)^2+4$，求与y轴交点B，令$x=0$：
$y_1=-(0-1)^2+4=3$，即$B(0,3)$。
直线$y_2=mx+n$过$B(0,3)$，代入得$n=3$。
③观察图像，抛物线与直线的交点为$B(0,3)$和$A(3,0)$，当抛物线在直线上方时，对应x的取值范围是$0＜x＜3$，即$y_1＞y_2$时$0＜x＜3$。
(2) 由$a=-1＜0$可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，
$\because 1\in[-3,2]$，$\therefore$当$x=1$时，$y_1$取最大值，最大值为4。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-3$时，$y_1=-(-3-1)^2+4=-16+4=-12$；
当$x=2$时，$y_1=-(2-1)^2+4=-1+4=3$。
$\because -12＜3$，$\therefore$当$x=-3$时，$y_1$取最小值-12。
故当$-3≤ x≤2$时，$y_1$的取值范围是$-12≤ y_1≤4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{0＜x＜3}$；
(2) $\boldsymbol{-12≤ y_1≤4}$。
【知识点】
二次函数顶点式，一次函数解析式，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，结合图像性质解题可简化过程，重点考察对二次函数顶点式、增减性的掌握，以及数形结合思想的应用，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值：已知抛物线顶点坐标，可直接写出顶点式，代入点A的坐标即可求出a；求n的值：先求出抛物线与y轴交点B的坐标，B点也是直线与y轴的交点，代入直线解析式即可得到n的值；求$y_1＞y_2$时x的取值范围：观察图像，抛物线在直线上方的部分对应的x范围就是所求，找到两个函数交点的横坐标即可确定范围。
(2) 求指定区间内$y_1$的取值范围：先判断抛物线开口方向和对称轴，先确定区间内的最大值（顶点在区间内，最大值为顶点纵坐标），再计算区间两个端点对应的函数值，比较后得到最小值，即可确定$y_1$的取值范围。
【解析】
(1) ①已知抛物线顶点为$(1,4)$，则抛物线解析式为$y_1=a(x-1)^2+4$，将$A(3,0)$代入得：
$0=a(3-1)^2+4$，即$4a+4=0$，解得$a=-1$。
②将$a=-1$代入得抛物线解析式为$y_1=-(x-1)^2+4$，求与y轴交点B，令$x=0$：
$y_1=-(0-1)^2+4=3$，即$B(0,3)$。
直线$y_2=mx+n$过$B(0,3)$，代入得$n=3$。
③观察图像，抛物线与直线的交点为$B(0,3)$和$A(3,0)$，当抛物线在直线上方时，对应x的取值范围是$0＜x＜3$，即$y_1＞y_2$时$0＜x＜3$。
(2) 由$a=-1＜0$可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，
$\because 1\in[-3,2]$，$\therefore$当$x=1$时，$y_1$取最大值，最大值为4。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-3$时，$y_1=-(-3-1)^2+4=-16+4=-12$；
当$x=2$时，$y_1=-(2-1)^2+4=-1+4=3$。
$\because -12＜3$，$\therefore$当$x=-3$时，$y_1$取最小值-12。
故当$-3≤ x≤2$时，$y_1$的取值范围是$-12≤ y_1≤4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{0＜x＜3}$；
(2) $\boldsymbol{-12≤ y_1≤4}$。
【知识点】
二次函数顶点式，一次函数解析式，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，结合图像性质解题可简化过程，重点考察对二次函数顶点式、增减性的掌握，以及数形结合思想的应用，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
10.已知二次函数$y=(x-1)^2+2$.
(1)写出该函数图象的顶点$M_1$的坐标；
(2)求把$y=(x-1)^2+2$的图象绕原点旋转$180°$后的函数的解析式；
(3)若$y=(x-1)^2+2$的图象与$y$轴交于点$A$,(2)中旋转后的新图象的顶点为$M_2$,与$y$轴的交点为$B$,求四边形$AM_1BM_2$的面积.
(1)写出该函数图象的顶点$M_1$的坐标；
(2)求把$y=(x-1)^2+2$的图象绕原点旋转$180°$后的函数的解析式；
(3)若$y=(x-1)^2+2$的图象与$y$轴交于点$A$,(2)中旋转后的新图象的顶点为$M_2$,与$y$轴的交点为$B$,求四边形$AM_1BM_2$的面积.
答案
解：
(1) 二次函数$y=(x-1)^2+2$为顶点式，对照$y=a(x-h)^2+k$，得$h=1$，$k=2$，
因此顶点$M_1$的坐标为$(1,2)$。
(2) 点$M_1(1,2)$绕原点旋转$180°$后，得到对应点$M_2(-1,-2)$，
图象绕原点旋转$180°$后，二次项系数变为原系数的相反数，即$a=-1$，
因此旋转后的函数解析式为$y=-(x+1)^2-2$。
(3) 令$x=0$，代入$y=(x-1)^2+2$，得$y=3$，即$A(0,3)$。
令$x=0$，代入$y=-(x+1)^2-2$，得$y=-3$，即$B(0,-3)$。
由(2)知$M_2(-1,-2)$，线段$AB$在$y$轴上，长度$AB=|3-(-3)|=6$。
将四边形$AM_1BM_2$拆分为$△ AM_1B$和$△ AM_2B$：
点$M_1$到$y$轴的距离为$1$，即$△ AM_1B$中$AB$边上的高为$1$；
点$M_2$到$y$轴的距离为$1$，即$△ AM_2B$中$AB$边上的高为$1$。
因此四边形$AM_1BM_2$的面积为：
$S_{AM_1BM_2}=S_{△ AM_1B}+S_{△ AM_2B}=\frac{1}{2}×6×1 + \frac{1}{2}×6×1=6$。
(1) 二次函数$y=(x-1)^2+2$为顶点式，对照$y=a(x-h)^2+k$，得$h=1$，$k=2$，
因此顶点$M_1$的坐标为$(1,2)$。
(2) 点$M_1(1,2)$绕原点旋转$180°$后，得到对应点$M_2(-1,-2)$，
图象绕原点旋转$180°$后，二次项系数变为原系数的相反数，即$a=-1$，
因此旋转后的函数解析式为$y=-(x+1)^2-2$。
(3) 令$x=0$，代入$y=(x-1)^2+2$，得$y=3$，即$A(0,3)$。
令$x=0$，代入$y=-(x+1)^2-2$，得$y=-3$，即$B(0,-3)$。
由(2)知$M_2(-1,-2)$，线段$AB$在$y$轴上，长度$AB=|3-(-3)|=6$。
将四边形$AM_1BM_2$拆分为$△ AM_1B$和$△ AM_2B$：
点$M_1$到$y$轴的距离为$1$，即$△ AM_1B$中$AB$边上的高为$1$；
点$M_2$到$y$轴的距离为$1$，即$△ AM_2B$中$AB$边上的高为$1$。
因此四边形$AM_1BM_2$的面积为：
$S_{AM_1BM_2}=S_{△ AM_1B}+S_{△ AM_2B}=\frac{1}{2}×6×1 + \frac{1}{2}×6×1=6$。
解析
【分析】
(1) 第一问考察二次函数顶点式的基本性质，回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，直接对照给定解析式提取对应$h、k$的值即可得到顶点$M_1$的坐标。
(2) 第二问考察二次函数图象绕原点旋转$180°$的变化规律：旋转$180°$后图象开口方向相反，因此二次项系数$a$变为原来的相反数；同时顶点关于原点中心对称，先求出原顶点旋转后的对应点坐标，再代入顶点式即可得到旋转后的解析式。
(3) 第三问求四边形面积，首先令两个函数的$x=0$，分别求出与$y$轴交点$A、B$的坐标，观察到$A、B$均在$y$轴上，可将不规则四边形拆分为$△ AM_1B$和$△ AM_2B$两个三角形，两个三角形公共底为$AB$，高分别为$M_1、M_2$到$y$轴的距离，分别计算两个三角形面积求和即可得到四边形面积。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-1)^2+2$为顶点式，对照$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得$h=1$，$k=2$，因此顶点$M_1$的坐标为$(1,2)$。
(2) 点绕原点旋转$180°$后横、纵坐标均变为原来的相反数，因此$M_1(1,2)$旋转后的对应点$M_2$坐标为$(-1,-2)$。图象旋转$180°$后开口反向，二次项系数变为原系数的相反数即$a=-1$，代入顶点式得旋转后的函数解析式为$y=-(x+1)^2-2$。
(3) 求原函数与$y$轴交点$A$：令$x=0$，代入$y=(x-1)^2+2$，得$y=(0-1)^2+2=3$，即$A(0,3)$。
求旋转后函数与$y$轴交点$B$：令$x=0$，代入$y=-(x+1)^2-2$，得$y=-(0+1)^2-2=-3$，即$B(0,-3)$。
线段$AB$在$y$轴上，长度$AB=|3-(-3)|=6$。
将四边形$AM_1BM_2$拆分为$△ AM_1B$和$△ AM_2B$：
点$M_1$到$y$轴的距离为1，即$△ AM_1B$中$AB$边上的高为1；
点$M_2$到$y$轴的距离为1，即$△ AM_2B$中$AB$边上的高为1。
因此四边形面积为：
$S_{AM_1BM_2}=S_{△ AM_1B}+S_{△ AM_2B}=\frac{1}{2}×6×1 + \frac{1}{2}×6×1=6$。
【答案】
(1) $(1,2)$；(2) $y=-(x+1)^2-2$；(3) $6$
【知识点】
二次函数顶点式、图形旋转变换、割补法求面积
【点评】
本题综合考察二次函数基本性质、图象变换规律和面积计算，解题核心是熟练掌握顶点式的特征，理解旋转前后函数的变化规律，灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形求解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问考察二次函数顶点式的基本性质，回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，直接对照给定解析式提取对应$h、k$的值即可得到顶点$M_1$的坐标。
(2) 第二问考察二次函数图象绕原点旋转$180°$的变化规律：旋转$180°$后图象开口方向相反，因此二次项系数$a$变为原来的相反数；同时顶点关于原点中心对称，先求出原顶点旋转后的对应点坐标，再代入顶点式即可得到旋转后的解析式。
(3) 第三问求四边形面积，首先令两个函数的$x=0$，分别求出与$y$轴交点$A、B$的坐标，观察到$A、B$均在$y$轴上，可将不规则四边形拆分为$△ AM_1B$和$△ AM_2B$两个三角形，两个三角形公共底为$AB$，高分别为$M_1、M_2$到$y$轴的距离，分别计算两个三角形面积求和即可得到四边形面积。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-1)^2+2$为顶点式，对照$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得$h=1$，$k=2$，因此顶点$M_1$的坐标为$(1,2)$。
(2) 点绕原点旋转$180°$后横、纵坐标均变为原来的相反数，因此$M_1(1,2)$旋转后的对应点$M_2$坐标为$(-1,-2)$。图象旋转$180°$后开口反向，二次项系数变为原系数的相反数即$a=-1$，代入顶点式得旋转后的函数解析式为$y=-(x+1)^2-2$。
(3) 求原函数与$y$轴交点$A$：令$x=0$，代入$y=(x-1)^2+2$，得$y=(0-1)^2+2=3$，即$A(0,3)$。
求旋转后函数与$y$轴交点$B$：令$x=0$，代入$y=-(x+1)^2-2$，得$y=-(0+1)^2-2=-3$，即$B(0,-3)$。
线段$AB$在$y$轴上，长度$AB=|3-(-3)|=6$。
将四边形$AM_1BM_2$拆分为$△ AM_1B$和$△ AM_2B$：
点$M_1$到$y$轴的距离为1，即$△ AM_1B$中$AB$边上的高为1；
点$M_2$到$y$轴的距离为1，即$△ AM_2B$中$AB$边上的高为1。
因此四边形面积为：
$S_{AM_1BM_2}=S_{△ AM_1B}+S_{△ AM_2B}=\frac{1}{2}×6×1 + \frac{1}{2}×6×1=6$。
【答案】
(1) $(1,2)$；(2) $y=-(x+1)^2-2$；(3) $6$
【知识点】
二次函数顶点式、图形旋转变换、割补法求面积
【点评】
本题综合考察二次函数基本性质、图象变换规律和面积计算，解题核心是熟练掌握顶点式的特征，理解旋转前后函数的变化规律，灵活运用割补法将不规则图形转化为规则图形求解。
【难度系数】
0.7
11.已知一个二次函数,当$x=1$时,函数有最大值$-6$,且图象过点$(2,-8)$.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若抛物线$l$(如图)的开口大小与(1)中抛物线开口大小相同,且与$x$轴的交点为$(-1,0),(5,0)$,求抛物线$l$的解析式及顶点坐标.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若抛物线$l$(如图)的开口大小与(1)中抛物线开口大小相同,且与$x$轴的交点为$(-1,0),(5,0)$,求抛物线$l$的解析式及顶点坐标.
答案
解：
(1) 由题意得，该二次函数的顶点坐标为$(1,-6)$，
设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2 -6$，
将点$(2,-8)$代入解析式，得：
$-8 = a·(2-1)^2 -6$，
解得$a=-2$，
∴此二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2 -6$。
(2) ∵抛物线$l$的开口大小与(1)中抛物线开口大小相同，且由图可知抛物线$l$开口向下，
∴抛物线$l$的二次项系数$a=-2$，
又∵抛物线$l$与$x$轴的交点为$(-1,0)$，$(5,0)$，
∴设抛物线$l$的解析式为$y=-2(x+1)(x-5)$，
整理得$y=-2x^2 +8x +10$，
抛物线$l$的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$，
将$x=2$代入解析式，得$y=-2×(2+1)×(2-5)=18$，
∴抛物线$l$的解析式为$y=-2x^2 +8x +10$，顶点坐标为$(2,18)$。
(1) 由题意得，该二次函数的顶点坐标为$(1,-6)$，
设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2 -6$，
将点$(2,-8)$代入解析式，得：
$-8 = a·(2-1)^2 -6$，
解得$a=-2$，
∴此二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2 -6$。
(2) ∵抛物线$l$的开口大小与(1)中抛物线开口大小相同，且由图可知抛物线$l$开口向下，
∴抛物线$l$的二次项系数$a=-2$，
又∵抛物线$l$与$x$轴的交点为$(-1,0)$，$(5,0)$，
∴设抛物线$l$的解析式为$y=-2(x+1)(x-5)$，
整理得$y=-2x^2 +8x +10$，
抛物线$l$的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$，
将$x=2$代入解析式，得$y=-2×(2+1)×(2-5)=18$，
∴抛物线$l$的解析式为$y=-2x^2 +8x +10$，顶点坐标为$(2,18)$。
解析
【分析】
(1) 已知二次函数在$x=1$时取得最大值$-6$，说明该函数的顶点坐标为$(1,-6)$，因此选择顶点式设解析式，代入已知点即可求出未知系数$a$，得到解析式。
(2) 抛物线开口大小由二次项系数的绝对值决定，结合图象开口向下可得抛物线$l$的二次项系数$a=-2$；已知抛物线与$x$轴的两个交点，选择交点式设解析式，代入系数和交点坐标整理即可得到解析式；再利用抛物线的对称性，对称轴为两交点横坐标的平均值，代入对称轴横坐标即可求出顶点纵坐标，得到顶点坐标。
【解析】
(1) 由题意可知，二次函数的顶点坐标为$(1,-6)$，设该二次函数的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2 -6$。
将点$(2,-8)$代入解析式，得：
$-8 = a·(2-1)^2 -6$
解得$a=-2$
因此此二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2 -6$。
(2) 因为抛物线$l$的开口大小与(1)中抛物线相同，且由图象可知抛物线$l$开口向下，所以抛物线$l$的二次项系数$a=-2$。
已知抛物线$l$与$x$轴交点为$(-1,0)$、$(5,0)$，设抛物线$l$的解析式为交点式：$y=-2(x+1)(x-5)$
展开整理得：$y=-2x^2 +8x +10$
根据抛物线的对称性，抛物线$l$的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$
将$x=2$代入解析式，得$y=-2×(2+1)×(2-5)=18$
因此抛物线$l$的解析式为$y=-2x^2 +8x +10$，顶点坐标为$(2,18)$。
【答案】
(1) $y=-2(x-1)^2 -6$
(2) 解析式为$y=-2x^2 +8x +10$，顶点坐标为$(2,18)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数交点式；二次函数图象与性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，属于基础常考题，解题的关键是根据已知条件选择合适的解析式形式（顶点式/交点式），可大大简化计算，解题时需注意结合图象判断二次项系数的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数在$x=1$时取得最大值$-6$，说明该函数的顶点坐标为$(1,-6)$，因此选择顶点式设解析式，代入已知点即可求出未知系数$a$，得到解析式。
(2) 抛物线开口大小由二次项系数的绝对值决定，结合图象开口向下可得抛物线$l$的二次项系数$a=-2$；已知抛物线与$x$轴的两个交点，选择交点式设解析式，代入系数和交点坐标整理即可得到解析式；再利用抛物线的对称性，对称轴为两交点横坐标的平均值，代入对称轴横坐标即可求出顶点纵坐标，得到顶点坐标。
【解析】
(1) 由题意可知，二次函数的顶点坐标为$(1,-6)$，设该二次函数的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2 -6$。
将点$(2,-8)$代入解析式，得：
$-8 = a·(2-1)^2 -6$
解得$a=-2$
因此此二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2 -6$。
(2) 因为抛物线$l$的开口大小与(1)中抛物线相同，且由图象可知抛物线$l$开口向下，所以抛物线$l$的二次项系数$a=-2$。
已知抛物线$l$与$x$轴交点为$(-1,0)$、$(5,0)$，设抛物线$l$的解析式为交点式：$y=-2(x+1)(x-5)$
展开整理得：$y=-2x^2 +8x +10$
根据抛物线的对称性，抛物线$l$的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$
将$x=2$代入解析式，得$y=-2×(2+1)×(2-5)=18$
因此抛物线$l$的解析式为$y=-2x^2 +8x +10$，顶点坐标为$(2,18)$。
【答案】
(1) $y=-2(x-1)^2 -6$
(2) 解析式为$y=-2x^2 +8x +10$，顶点坐标为$(2,18)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数交点式；二次函数图象与性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，属于基础常考题，解题的关键是根据已知条件选择合适的解析式形式（顶点式/交点式），可大大简化计算，解题时需注意结合图象判断二次项系数的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7
