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例1 (1)线段的对称中心是，平行四边形的对称中心是，圆的对称中心是；
(2)下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()
A. 三角形 B. 平行四边形
C. 正方形 D. 梯形
【思路导析】(1)运用中心对称的定义回答；(2)运用中心对称和轴对称的定义回答。
【请你解答】(1)；
(2)。
(2)下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()
A. 三角形 B. 平行四边形
C. 正方形 D. 梯形
【思路导析】(1)运用中心对称的定义回答；(2)运用中心对称和轴对称的定义回答。
【请你解答】(1)；
(2)。
答案
解：
(1) 线段的中点；两条对角线的交点；圆心
(2) C
(1) 线段的中点；两条对角线的交点；圆心
(2) C
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆对称中心的定义：若一个图形绕某点旋转180°后能与自身重合，该点即为这个图形的对称中心。再分别结合线段、平行四边形、圆的特征推导对应对称中心：①线段绕中点旋转180°后两端点互换，与原线段重合；②平行四边形绕两条对角线的交点旋转180°后，相对的顶点、边完全重合；③圆绕圆心旋转180°后与原圆完全重合，即可得出对应答案。
(2) 需同时满足轴对称图形（沿一条直线对折后直线两侧部分完全重合）和中心对称图形的定义，逐个分析选项，先排除仅满足其中一个条件或都不满足的选项，最终选出符合要求的答案。
【解析】
(1) 根据对称中心的定义：
①线段绕其中点旋转180°后可与自身重合，故线段的对称中心是线段的中点；
②平行四边形绕两条对角线的交点旋转180°后可与自身重合，故平行四边形的对称中心是两条对角线的交点；
③圆绕圆心旋转180°后可与自身重合，故圆的对称中心是圆心。
(2) 逐个分析选项：
A. 三角形：仅等腰、等边三角形属于轴对称图形，所有三角形都不是中心对称图形，不符合要求；
B. 平行四边形：属于中心对称图形，但普通平行四边形不是轴对称图形，不符合要求；
C. 正方形：沿对边中点连线、对角线对折后均可重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后可与自身重合，是中心对称图形，符合要求；
D. 梯形：仅等腰梯形属于轴对称图形，所有梯形都不是中心对称图形，不符合要求。
因此选C。
【答案】
(1) 线段的中点；两条对角线的交点；圆心
(2) C
【知识点】
中心对称图形的定义；轴对称图形的定义；常见几何图形的对称性
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对中心对称、轴对称相关定义的掌握情况，解题时要注意区分普通图形和特殊图形的对称性，不要混淆一般平行四边形与特殊平行四边形的性质，熟记常见图形的对称性即可快速解题。
【难度系数】
0.85
(1) 解题时先回忆对称中心的定义：若一个图形绕某点旋转180°后能与自身重合，该点即为这个图形的对称中心。再分别结合线段、平行四边形、圆的特征推导对应对称中心：①线段绕中点旋转180°后两端点互换，与原线段重合；②平行四边形绕两条对角线的交点旋转180°后，相对的顶点、边完全重合；③圆绕圆心旋转180°后与原圆完全重合，即可得出对应答案。
(2) 需同时满足轴对称图形（沿一条直线对折后直线两侧部分完全重合）和中心对称图形的定义，逐个分析选项，先排除仅满足其中一个条件或都不满足的选项，最终选出符合要求的答案。
【解析】
(1) 根据对称中心的定义：
①线段绕其中点旋转180°后可与自身重合，故线段的对称中心是线段的中点；
②平行四边形绕两条对角线的交点旋转180°后可与自身重合，故平行四边形的对称中心是两条对角线的交点；
③圆绕圆心旋转180°后可与自身重合，故圆的对称中心是圆心。
(2) 逐个分析选项：
A. 三角形：仅等腰、等边三角形属于轴对称图形，所有三角形都不是中心对称图形，不符合要求；
B. 平行四边形：属于中心对称图形，但普通平行四边形不是轴对称图形，不符合要求；
C. 正方形：沿对边中点连线、对角线对折后均可重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后可与自身重合，是中心对称图形，符合要求；
D. 梯形：仅等腰梯形属于轴对称图形，所有梯形都不是中心对称图形，不符合要求。
因此选C。
【答案】
(1) 线段的中点；两条对角线的交点；圆心
(2) C
【知识点】
中心对称图形的定义；轴对称图形的定义；常见几何图形的对称性
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对中心对称、轴对称相关定义的掌握情况，解题时要注意区分普通图形和特殊图形的对称性，不要混淆一般平行四边形与特殊平行四边形的性质，熟记常见图形的对称性即可快速解题。
【难度系数】
0.85
例2 如图,线段AC与BD相交于点O,且AB//CD,AB=CD,点E,F关于点O对称,证明:BF=DE.
【思路导析】连接AD,BC,先证四边形ABCD是平行四边形,可知OA=OC,再由E,F关于点O对称知OE=OF,故可证BF=DE.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】连接AD,BC,先证四边形ABCD是平行四边形,可知OA=OC,再由E,F关于点O对称知OE=OF,故可证BF=DE.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
证明：
连接AD，BC。
∵ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OB=OD$。
∵ 点E，F关于点O对称，
∴ $OE=OF$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中，
$\{\begin{array}{l}OB=OD \\∠ BOF=∠ DOE \\OF=OE\end{array} $
∴ $△ BOF ≌ △ DOE$（SAS），
∴ $BF=DE$。
连接AD，BC。
∵ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OB=OD$。
∵ 点E，F关于点O对称，
∴ $OE=OF$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中，
$\{\begin{array}{l}OB=OD \\∠ BOF=∠ DOE \\OF=OE\end{array} $
∴ $△ BOF ≌ △ DOE$（SAS），
∴ $BF=DE$。
解析
【分析】
要证明BF=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先结合已知AB//CD且AB=CD，连接AD、BC可先判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OB=OD；再根据点E、F关于点O对称的性质可得OE=OF，结合对顶角相等，即可利用SAS判定△BOF≌△DOE，进而得到对应边BF=DE。
【解析】
证明：
连接AD，BC。
∵ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OB=OD$。
∵ 点E，F关于点O对称，
∴ $OE=OF$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中，
$\{\begin{array}{l}OB=OD \\∠ BOF=∠ DOE \\OF=OE\end{array} $
∴ $△ BOF ≌ △ DOE$（SAS），
∴ $BF=DE$。
【答案】
BF=DE
【知识点】
平行四边形的判定与性质；中心对称的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造平行四边形，再结合中心对称的性质得到全等三角形的判定条件，通过证明三角形全等得到线段相等，能够有效锻炼学生对几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明BF=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先结合已知AB//CD且AB=CD，连接AD、BC可先判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OB=OD；再根据点E、F关于点O对称的性质可得OE=OF，结合对顶角相等，即可利用SAS判定△BOF≌△DOE，进而得到对应边BF=DE。
【解析】
证明：
连接AD，BC。
∵ $AB// CD$，$AB=CD$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OB=OD$。
∵ 点E，F关于点O对称，
∴ $OE=OF$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中，
$\{\begin{array}{l}OB=OD \\∠ BOF=∠ DOE \\OF=OE\end{array} $
∴ $△ BOF ≌ △ DOE$（SAS），
∴ $BF=DE$。
【答案】
BF=DE
【知识点】
平行四边形的判定与性质；中心对称的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造平行四边形，再结合中心对称的性质得到全等三角形的判定条件，通过证明三角形全等得到线段相等，能够有效锻炼学生对几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
例3 如图，已知△ABC为等边三角形，若将△ABC绕点B旋转180°，得△EFB.
(1)探索线段EC与AB的数量关系，并说明理由；
(2)若AEFC是正方形，则∠ABC应为多少度？
【探究点拨】(1)证明△AEC是直角三角形，且∠AEC=30°；
(2)原等边三角形变为等腰直角三角形.
【规范解答】(1)EC=2AB.
理由:由旋转得BE=BC=AB,∴∠1=∠2.
而∠ABC=60°,
∴ ∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∴ ∠EAC=30°+60°=90°.
在Rt△AEC中,∠AEC=30°,
∴ EC=2AC=2AB.
(2)原等边三角形改为等腰直角三角形,即∠ABC=90°,才能得到正方形AEFC.
(1)探索线段EC与AB的数量关系，并说明理由；
(2)若AEFC是正方形，则∠ABC应为多少度？
【探究点拨】(1)证明△AEC是直角三角形，且∠AEC=30°；
(2)原等边三角形变为等腰直角三角形.
【规范解答】(1)EC=2AB.
理由:由旋转得BE=BC=AB,∴∠1=∠2.
而∠ABC=60°,
∴ ∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∴ ∠EAC=30°+60°=90°.
在Rt△AEC中,∠AEC=30°,
∴ EC=2AC=2AB.
(2)原等边三角形改为等腰直角三角形,即∠ABC=90°,才能得到正方形AEFC.
答案
解：
(1) $EC=2AB$，理由如下：
由旋转$180°$的性质可得$BE=BC$。
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC$，$∠ ABC=∠ BAC=60°$，
$\therefore BE=AB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\because ∠ ABE=180°-∠ ABC=120°$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2=30°$，
$\therefore ∠ EAC=∠ 2+∠ BAC=30°+60°=90°$。
在$Rt△ AEC$中，$∠ AEC=30°$，
$\therefore EC=2AC=2AB$。
(2) 若$AEFC$是正方形，结合旋转性质可知点$B$是$EC$和$AF$的中点，当对角线$EC⊥ AF$时四边形$AEFC$为正方形，此时$∠ ABC=90°$，即$∠ ABC$应为$90°$。
(1) $EC=2AB$，理由如下：
由旋转$180°$的性质可得$BE=BC$。
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC$，$∠ ABC=∠ BAC=60°$，
$\therefore BE=AB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\because ∠ ABE=180°-∠ ABC=120°$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2=30°$，
$\therefore ∠ EAC=∠ 2+∠ BAC=30°+60°=90°$。
在$Rt△ AEC$中，$∠ AEC=30°$，
$\therefore EC=2AC=2AB$。
(2) 若$AEFC$是正方形，结合旋转性质可知点$B$是$EC$和$AF$的中点，当对角线$EC⊥ AF$时四边形$AEFC$为正方形，此时$∠ ABC=90°$，即$∠ ABC$应为$90°$。
解析
【分析】
(1)要探索EC与AB的数量关系，首先利用旋转180°的性质得到BE=BC；再结合等边三角形三边相等的特征，推出BE=AB，进而得到∠1=∠2，通过角度计算得出∠EAC=90°，得到Rt△AEC，最后利用直角三角形中30°角所对直角边为斜边一半的性质，即可推导EC和AB的数量关系。
(2)若AEFC是正方形，先由旋转性质可知B是EC、AF的中点，即四边形AEFC首先是平行四边形，结合正方形对角线互相垂直的判定条件，即可推出∠ABC的度数。
【解析】
(1) $EC=2AB$，理由如下：
由旋转$180°$的性质可得$BE=BC$。
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC$，$∠ ABC=∠ BAC=60°$，
$\therefore BE=AB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\because ∠ ABE=180°-∠ ABC=120°$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2=30°$，
$\therefore ∠ EAC=∠ 2+∠ BAC=30°+60°=90°$。
在$Rt△ AEC$中，$∠ AEC=30°$，
$\therefore EC=2AC=2AB$。
(2) 若$AEFC$是正方形，结合旋转性质可知点$B$是$EC$和$AF$的中点，此时四边形$AEFC$为平行四边形，当对角线$EC⊥ AF$时，平行四边形$AEFC$为正方形，此时$∠ ABC=90°$，即$∠ ABC$应为$90°$。
【答案】
(1) $EC=2AB$；(2) $∠ABC=90°$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的判定
【点评】
本题综合了旋转、特殊三角形与正方形的相关知识，解题关键是抓住旋转前后图形的边、角对应关系，结合特殊几何图形的性质推导，能有效提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1)要探索EC与AB的数量关系，首先利用旋转180°的性质得到BE=BC；再结合等边三角形三边相等的特征，推出BE=AB，进而得到∠1=∠2，通过角度计算得出∠EAC=90°，得到Rt△AEC，最后利用直角三角形中30°角所对直角边为斜边一半的性质，即可推导EC和AB的数量关系。
(2)若AEFC是正方形，先由旋转性质可知B是EC、AF的中点，即四边形AEFC首先是平行四边形，结合正方形对角线互相垂直的判定条件，即可推出∠ABC的度数。
【解析】
(1) $EC=2AB$，理由如下：
由旋转$180°$的性质可得$BE=BC$。
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC$，$∠ ABC=∠ BAC=60°$，
$\therefore BE=AB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\because ∠ ABE=180°-∠ ABC=120°$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2=30°$，
$\therefore ∠ EAC=∠ 2+∠ BAC=30°+60°=90°$。
在$Rt△ AEC$中，$∠ AEC=30°$，
$\therefore EC=2AC=2AB$。
(2) 若$AEFC$是正方形，结合旋转性质可知点$B$是$EC$和$AF$的中点，此时四边形$AEFC$为平行四边形，当对角线$EC⊥ AF$时，平行四边形$AEFC$为正方形，此时$∠ ABC=90°$，即$∠ ABC$应为$90°$。
【答案】
(1) $EC=2AB$；(2) $∠ABC=90°$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的判定
【点评】
本题综合了旋转、特殊三角形与正方形的相关知识，解题关键是抓住旋转前后图形的边、角对应关系，结合特殊几何图形的性质推导，能有效提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
1. 如图，将$△ ABC$绕点$C(0,1)$旋转$180°$得到$△ A'B'C$，设点$A$的坐标为$(a,b)$，则点$A'$的坐标为()
A.$(-a,-b)$
B.$(-a,-b-1)$
C.$(-a,-b+1)$
D.$(-a,-b+2)$
A.$(-a,-b)$
B.$(-a,-b-1)$
C.$(-a,-b+1)$
D.$(-a,-b+2)$
答案
D
解析
【分析】
本题可根据中心对称的性质确定点C是线段AA'的中点，再结合中点坐标公式列方程求解点A'的坐标。首先明确：将图形绕某点旋转180°后，两个图形关于该点中心对称，对称中心是任意一组对应点连线的中点，因此点C是A、A'的中点，已知中点和其中一个端点的坐标，用中点坐标公式即可求出另一个端点的坐标。
【解析】
设点$A'$的坐标为$(x,y)$。
$\because △ ABC$绕点$C(0,1)$旋转$180°$得到$△ A'B'C$，
$\therefore$ 点$C$是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入已知坐标可得：
$\begin{cases}\frac{a+x}{2}=0 \\\frac{b+y}{2}=1\end{cases}$
解第一个方程：$a+x=0$，得$x=-a$；
解第二个方程：$b+y=2$，得$y=2-b=-b+2$。
因此点$A'$的坐标为$(-a,-b+2)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 中心对称的性质
2. 中点坐标公式
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用题型，解题的核心是抓住旋转180°后旋转中心为对应点连线中点的特征，结合中点坐标公式列方程计算即可，容易出错的地方是误将原点当作对称中心直接求坐标，计算纵坐标时要注意避免符号错误。
【难度系数】
0.7
本题可根据中心对称的性质确定点C是线段AA'的中点，再结合中点坐标公式列方程求解点A'的坐标。首先明确：将图形绕某点旋转180°后，两个图形关于该点中心对称，对称中心是任意一组对应点连线的中点，因此点C是A、A'的中点，已知中点和其中一个端点的坐标，用中点坐标公式即可求出另一个端点的坐标。
【解析】
设点$A'$的坐标为$(x,y)$。
$\because △ ABC$绕点$C(0,1)$旋转$180°$得到$△ A'B'C$，
$\therefore$ 点$C$是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入已知坐标可得：
$\begin{cases}\frac{a+x}{2}=0 \\\frac{b+y}{2}=1\end{cases}$
解第一个方程：$a+x=0$，得$x=-a$；
解第二个方程：$b+y=2$，得$y=2-b=-b+2$。
因此点$A'$的坐标为$(-a,-b+2)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 中心对称的性质
2. 中点坐标公式
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用题型，解题的核心是抓住旋转180°后旋转中心为对应点连线中点的特征，结合中点坐标公式列方程计算即可，容易出错的地方是误将原点当作对称中心直接求坐标，计算纵坐标时要注意避免符号错误。
【难度系数】
0.7
