10. 如图，在$△ ABC$中，$O$是$AC$上一点，$△ DEF$和$△ ABC$关于点$O$对称，连接$BF$，$CE$.
(1)求证:四边形$BCEF$是平行四边形；
(2)已知$AB=AC=5$，$BC=2\sqrt{5}$，当$AO$的长为时，四边形$BCEF$是菱形.

(1) 证明：
∵ $△ DEF$ 和 $△ ABC$ 关于点 $O$ 对称，
∴ 点 $B$ 与点 $E$、点 $C$ 与点 $F$ 分别为对应点，
由中心对称的性质可得：$OB=OE$，$OC=OF$，
即四边形 $BCEF$ 的对角线互相平分，
∴ 四边形 $BCEF$ 是平行四边形。
---
(2) 解：
若四边形 $BCEF$ 是菱形，则其对角线互相垂直，即 $BE ⊥ CF$，也就是 $BO ⊥ AC$。
过点 $A$ 作 $AH ⊥ BC$ 于点 $H$，
∵ $AB=AC=5$，
∴ $AH$ 平分 $BC$，即 $CH=\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中：
$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$
$△ ABC$ 的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AH=\frac{1}{2}× 2\sqrt{5}× 2\sqrt{5}=10$
又 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BO$，代入得：
$\frac{1}{2}× 5× BO=10$
解得 $BO=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABO$ 中，由勾股定理：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
故答案为 $\boldsymbol{3}$。

【分析】
(1) 要证明四边形BCEF是平行四边形，可通过“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。已知两个三角形关于点O中心对称，根据中心对称的性质，对应点的连线被对称中心平分，可得OB=OE、OC=OF，即可满足平行四边形的判定条件。
(2) 若平行四边形BCEF是菱形，根据菱形“对角线互相垂直”的性质，可得BE⊥AC，即BO⊥AC。此时先利用等腰三角形三线合一的性质求出底边BC上的高，再通过面积法求出BO的长度，最后在直角三角形ABO中用勾股定理计算AO的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ △DEF和△ABC关于点O对称，
∴ 点B与点E、点C与点F分别为对应点，
由中心对称的性质可得：$OB=OE$，$OC=OF$，
即四边形BCEF的对角线互相平分，
∴ 四边形BCEF是平行四边形。
(2) 解：
若四边形BCEF是菱形，则其对角线互相垂直，即$BE ⊥ CF$，也就是$BO ⊥ AC$。
过点A作$AH ⊥ BC$于点H，
∵ $AB=AC=5$，
∴ AH平分BC，即$CH=\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中：
$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$
$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AH=\frac{1}{2}× 2\sqrt{5}× 2\sqrt{5}=10$
又 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BO$，代入得：
$\frac{1}{2}× 5× BO=10$
解得 $BO=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，由勾股定理：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定；菱形的性质与判定
【点评】
本题综合考查了中心对称性质、特殊四边形的判定和性质，同时涉及勾股定理、面积法求高的应用，解题关键是熟练掌握相关几何定理，灵活选择方法计算线段长度。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$△ ABC$与$△ DEC$关于点$C$成中心对称,连接$AE$,$BD$.
(1)线段$AE$,$BD$具有怎样的位置关系和大小关系?请说明理由;
(2)若$△ ABC$的面积为$5\ \mathrm{cm}^2$,求四边形$ABDE$的面积;
(3)当$∠ ACB$为多少度时,四边形$ABDE$为矩形?说明你的理由.

解：
(1) $AE // BD$，且$AE = BD$，理由如下：
$\because △ ABC$与$△ DEC$关于点$C$成中心对称，
$\therefore AC = DC$，$BC = EC$，
$\therefore$ 四边形$ABDE$是平行四边形，
$\therefore AE // BD$，且$AE = BD$。
(2) 由(1)可知四边形$ABDE$是平行四边形，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ BCD} = S_{△ CDE} = S_{△ ACE}$，
$\because S_{△ ABC} = 5\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABDE} = 4 × S_{△ ABC} = 4 × 5 = 20\ \mathrm{cm}^2$。
(3) 当$∠ ACB = 60°$时，四边形$ABDE$为矩形，理由如下：
$\because AB = AC$，$∠ ACB = 60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AC = BC$，
$\because$ 四边形$ABDE$是平行四边形，
$\therefore AD = 2AC$，$BE = 2BC$，
$\therefore AD = BE$，
$\therefore$ 平行四边形$ABDE$是矩形。

【分析】
(1) 要判断AE和BD的位置与大小关系，首先结合中心对称的性质，可得对应点连线被对称中心C平分，即AC=DC、BC=EC，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABDE是平行四边形，再结合平行四边形对边的性质即可得到结论。
(2) 求四边形ABDE的面积时，由(1)知ABDE是平行四边形，其两条对角线会把平行四边形分成4个面积相等的三角形，且每个三角形的面积都和△ABC相等，因此用4乘△ABC的面积即可求出四边形总面积。
(3) 平行四边形要变为矩形，根据矩形的判定定理，需要对角线相等，即AD=BE。已知AB=AC，要满足AD=BE（AD=2AC，BE=2BC），则需要AC=BC，即△ABC为等边三角形，对应∠ACB=60°，由此推导即可得到结果。
【解析】
(1) $AE // BD$，且$AE = BD$，理由如下：
$\because △ ABC$与$△ DEC$关于点$C$成中心对称，
$\therefore AC = DC$，$BC = EC$，
$\therefore$ 四边形$ABDE$是平行四边形，
$\therefore AE // BD$，且$AE = BD$。
(2) 由(1)可知四边形$ABDE$是平行四边形，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ BCD} = S_{△ CDE} = S_{△ ACE}$，
$\because S_{△ ABC} = 5\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABDE} = 4 × S_{△ ABC} = 4 × 5 = 20\ \mathrm{cm}^2$。
(3) 当$∠ ACB = 60°$时，四边形$ABDE$为矩形，理由如下：
$\because AB = AC$，$∠ ACB = 60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AC = BC$，
$\because$ 四边形$ABDE$是平行四边形，
$\therefore AD = 2AC$，$BE = 2BC$，
$\therefore AD = BE$，
$\therefore$ 平行四边形$ABDE$是矩形。
【答案】
(1) $AE // BD$且$AE=BD$；
(2) $20\ \mathrm{cm}^2$；
(3) $60°$
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【点评】
本题综合考查了中心对称、特殊四边形的判定与性质，解题时需要结合图形特征逐步推导，先利用中心对称得到边的关系判定平行四边形，再结合平行四边形性质和矩形判定条件求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7