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7.如图,在扇形AOB中,点M在AO上,点N为$\overset{\frown}{AB}$上一点,连接MN,将扇形AOB沿MN折叠,点A恰好与点O重合,若$∠ AOB=100°$,$AO=4$,则$\overset{\frown}{BN}$的长为()
A.$\frac{4}{9}π$
B.$\frac{8}{9}π$
C.$\frac{4}{3}π$
D.$\frac{8}{3}π$
A.$\frac{4}{9}π$
B.$\frac{8}{9}π$
C.$\frac{4}{3}π$
D.$\frac{8}{3}π$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从折叠的性质入手：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，对应线段相等，由此可得AN=ON；结合扇形半径相等的特点，可知AN=ON=AO，即可判定△AON是等边三角形，得到∠AON的度数；再用∠AOB减去∠AON得到$\overset{\frown}{BN}$对应的圆心角∠NOB的度数，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵将扇形AOB沿MN折叠，点A恰好与点O重合，
∴MN垂直平分线段AO，
∴$AN=ON$。
∵ON、AO均为扇形AOB的半径，
∴$ON=AO=4$，
∴$AN=ON=AO=4$，即△AON为等边三角形，
∴$∠ AON=60°$。
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ NOB=∠ AOB-∠ AON=100°-60°=40°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧对应的圆心角度数，r为扇形半径），代入$n=40$，$r=4$得：
$\overset{\frown}{BN}$的长$=\frac{40π×4}{180}=\frac{8}{9}π$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，等边三角形的判定与性质，弧长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是利用折叠的性质推导出△AON为等边三角形，从而得到待求弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式求解，是弧长相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从折叠的性质入手：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，对应线段相等，由此可得AN=ON；结合扇形半径相等的特点，可知AN=ON=AO，即可判定△AON是等边三角形，得到∠AON的度数；再用∠AOB减去∠AON得到$\overset{\frown}{BN}$对应的圆心角∠NOB的度数，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵将扇形AOB沿MN折叠，点A恰好与点O重合，
∴MN垂直平分线段AO，
∴$AN=ON$。
∵ON、AO均为扇形AOB的半径，
∴$ON=AO=4$，
∴$AN=ON=AO=4$，即△AON为等边三角形，
∴$∠ AON=60°$。
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ NOB=∠ AOB-∠ AON=100°-60°=40°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧对应的圆心角度数，r为扇形半径），代入$n=40$，$r=4$得：
$\overset{\frown}{BN}$的长$=\frac{40π×4}{180}=\frac{8}{9}π$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，等边三角形的判定与性质，弧长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是利用折叠的性质推导出△AON为等边三角形，从而得到待求弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式求解，是弧长相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
8.运用图形变化的方法研究下列问题:如图，AB是$\odot O$的直径，CD，EF是$\odot O$的弦，且$AB// CD// EF$，$AB=10$，$CD=6$，$EF=8$，则图中阴影部分的面积是()
A.$\frac{25}{2}π$
B.$10π$
C.$24+4π$
D.$24+5π$
A.$\frac{25}{2}π$
B.$10π$
C.$24+4π$
D.$24+5π$
答案
A
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此考虑用等积转化法求解：首先由$AB// CD// EF$，根据平行线间距离相等，可得同底的$△ ACD$和$△ OCD$面积相等、$△ AEF$和$△ OEF$面积相等，因此阴影部分可转化为扇形$OCD$和扇形$OEF$的面积和；再通过垂径定理、勾股定理计算弦心距，推导得两个扇形的圆心角之和为$180°$，最后计算对应扇形面积即可。
【解析】
1. 连接$OC、OD、OE、OF$，过$O$作$OG⊥ CD$于$G$，$OH⊥ EF$于$H$。
2. 已知$AB$是$\odot O$的直径，$AB=10$，因此$\odot O$的半径$r=5$。
3. 因为$AB// CD$，点$A$和点$O$到$CD$的距离相等，因此$S_{△ ACD}=S_{△ OCD}$，可得$CD$附近的阴影面积等于扇形$OCD$的面积（阴影面积=弓形$CD$面积$+S_{△ ACD}=$弓形$CD$面积$+S_{△ OCD}=S_{\mathrm{扇形}OCD}$）。
4. 同理，$AB// EF$，点$A$和点$O$到$EF$的距离相等，因此$S_{△ AEF}=S_{△ OEF}$，可得$EF$附近的阴影面积等于扇形$OEF$的面积。
5. 由垂径定理得：$CG=\frac{CD}{2}=3$，$EH=\frac{EF}{2}=4$。
6. 由勾股定理计算弦心距：$OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，$OH=\sqrt{OE^2-EH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
7. 由三角函数关系可得$∠ COG+∠ EOH=90°$，因此$∠ COD+∠ EOF=2(∠ COG+∠ EOH)=180°$。
8. 阴影总面积等于圆心角为$180°$、半径为5的扇形面积：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{180°}{360°}×π×5^2=\frac{25}{2}π$。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，垂径定理，等积转化
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是运用等积转化思想将不规则阴影转化为规则的扇形面积，解题时要灵活运用平行线的性质、垂径定理和勾股定理，找到两个扇形圆心角之和为平角是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此考虑用等积转化法求解：首先由$AB// CD// EF$，根据平行线间距离相等，可得同底的$△ ACD$和$△ OCD$面积相等、$△ AEF$和$△ OEF$面积相等，因此阴影部分可转化为扇形$OCD$和扇形$OEF$的面积和；再通过垂径定理、勾股定理计算弦心距，推导得两个扇形的圆心角之和为$180°$，最后计算对应扇形面积即可。
【解析】
1. 连接$OC、OD、OE、OF$，过$O$作$OG⊥ CD$于$G$，$OH⊥ EF$于$H$。
2. 已知$AB$是$\odot O$的直径，$AB=10$，因此$\odot O$的半径$r=5$。
3. 因为$AB// CD$，点$A$和点$O$到$CD$的距离相等，因此$S_{△ ACD}=S_{△ OCD}$，可得$CD$附近的阴影面积等于扇形$OCD$的面积（阴影面积=弓形$CD$面积$+S_{△ ACD}=$弓形$CD$面积$+S_{△ OCD}=S_{\mathrm{扇形}OCD}$）。
4. 同理，$AB// EF$，点$A$和点$O$到$EF$的距离相等，因此$S_{△ AEF}=S_{△ OEF}$，可得$EF$附近的阴影面积等于扇形$OEF$的面积。
5. 由垂径定理得：$CG=\frac{CD}{2}=3$，$EH=\frac{EF}{2}=4$。
6. 由勾股定理计算弦心距：$OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，$OH=\sqrt{OE^2-EH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
7. 由三角函数关系可得$∠ COG+∠ EOH=90°$，因此$∠ COD+∠ EOF=2(∠ COG+∠ EOH)=180°$。
8. 阴影总面积等于圆心角为$180°$、半径为5的扇形面积：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{180°}{360°}×π×5^2=\frac{25}{2}π$。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，垂径定理，等积转化
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是运用等积转化思想将不规则阴影转化为规则的扇形面积，解题时要灵活运用平行线的性质、垂径定理和勾股定理，找到两个扇形圆心角之和为平角是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
9.如图,圆心角都是$90°$的扇形$OAB$与扇形$OCD$叠放在一起,$OA=3$,$OC=1$,分别连接$AC$,$BD$,则阴影部分的面积为()
A.$\dfrac{π}{3}$
B.$π$
C.$2π$
D.$4π$
A.$\dfrac{π}{3}$
B.$π$
C.$2π$
D.$4π$
答案
C
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，直接计算不规则阴影部分面积较复杂，可通过转化思想求解：首先观察到两个扇形圆心角均为90°，可证明△AOC和△BOD全等，因此两个三角形面积相等，进而可将阴影部分面积转化为大扇形OAB与小扇形OCD的面积差，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ ∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOC + ∠COB = ∠BOD + ∠COB，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB\\ ∠ AOC=∠ BOD\\ OC=OD\end{array} $
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$。
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAB} + S_{△ BOD} - S_{△ AOC} - S_{扇形OCD}=S_{扇形OAB}-S_{扇形OCD}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=90°，$r_{OA}=3$，$r_{OC}=1$：
$S_{扇形OAB}=\frac{90π × 3^2}{360}=\frac{9π}{4}$，$S_{扇形OCD}=\frac{90π × 1^2}{360}=\frac{π}{4}$
∴ $S_{阴影}=\frac{9π}{4}-\frac{π}{4}=2π$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算；全等三角形的判定与性质；割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，解题核心是通过全等三角形的性质对图形面积进行转化，将不规则阴影面积转化为两个规则扇形的面积差，简化了计算过程，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，直接计算不规则阴影部分面积较复杂，可通过转化思想求解：首先观察到两个扇形圆心角均为90°，可证明△AOC和△BOD全等，因此两个三角形面积相等，进而可将阴影部分面积转化为大扇形OAB与小扇形OCD的面积差，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ ∠AOB=∠COD=90°，
∴ ∠AOC + ∠COB = ∠BOD + ∠COB，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB\\ ∠ AOC=∠ BOD\\ OC=OD\end{array} $
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$。
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAB} + S_{△ BOD} - S_{△ AOC} - S_{扇形OCD}=S_{扇形OAB}-S_{扇形OCD}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=90°，$r_{OA}=3$，$r_{OC}=1$：
$S_{扇形OAB}=\frac{90π × 3^2}{360}=\frac{9π}{4}$，$S_{扇形OCD}=\frac{90π × 1^2}{360}=\frac{π}{4}$
∴ $S_{阴影}=\frac{9π}{4}-\frac{π}{4}=2π$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算；全等三角形的判定与性质；割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，解题核心是通过全等三角形的性质对图形面积进行转化，将不规则阴影面积转化为两个规则扇形的面积差，简化了计算过程，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
10.如图，BC是$\odot O$的直径，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接AD.
(1)求$∠ CBD$的度数；
(2)求图中阴影部分的面积.
(1)求$∠ CBD$的度数；
(2)求图中阴影部分的面积.
答案
解：
(1) ∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BDC = 90°，
∵ 点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ BD = CD，
∴ △BCD是等腰直角三角形，
∴ ∠CBD = 45°。
(2) ∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC = 90°，
在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∴ ⊙O的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ ∠BOD = 90°，
$S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}× OB× OD=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBD}-S_{△ OBD}=(\frac{25π}{4}-\frac{25}{2})\ \mathrm{cm}^2$。
(1) ∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BDC = 90°，
∵ 点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ BD = CD，
∴ △BCD是等腰直角三角形，
∴ ∠CBD = 45°。
(2) ∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC = 90°，
在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∴ ⊙O的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ ∠BOD = 90°，
$S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}× OB× OD=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBD}-S_{△ OBD}=(\frac{25π}{4}-\frac{25}{2})\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 求解∠CBD时，首先利用直径所对圆周角为直角得到∠BDC=90°，再根据弧中点的性质得到弧BD=弧CD，推出对应弦BD=CD，即可判断△BCD为等腰直角三角形，进而求出角度。
(2) 求阴影面积时，首先由直径所对圆周角为直角得∠BAC=90°，用勾股定理算出直径BC的长度得到圆的半径；再由弧中点的性质推出圆心角∠BOD=90°，阴影部分面积可转化为扇形OBD的面积减去△OBD的面积，分别计算两部分面积作差即可。
【解析】
(1)
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BDC = 90°，
∵ 点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ BD = CD，
∴ △BCD是等腰直角三角形，
∴ ∠CBD = 45°。
(2)
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC = 90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∴ ⊙O的半径$r=OB=OD=5\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ ∠BOD = 90°，
$S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}× OB× OD=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBD}-S_{△ OBD}=(\frac{25π}{4}-\frac{25}{2})\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{(\frac{25π}{4}-\frac{25}{2})\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆的相关性质转化已知条件，阴影面积采用和差法求解，是圆中面积计算的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠CBD时，首先利用直径所对圆周角为直角得到∠BDC=90°，再根据弧中点的性质得到弧BD=弧CD，推出对应弦BD=CD，即可判断△BCD为等腰直角三角形，进而求出角度。
(2) 求阴影面积时，首先由直径所对圆周角为直角得∠BAC=90°，用勾股定理算出直径BC的长度得到圆的半径；再由弧中点的性质推出圆心角∠BOD=90°，阴影部分面积可转化为扇形OBD的面积减去△OBD的面积，分别计算两部分面积作差即可。
【解析】
(1)
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BDC = 90°，
∵ 点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ BD = CD，
∴ △BCD是等腰直角三角形，
∴ ∠CBD = 45°。
(2)
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC = 90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∴ ⊙O的半径$r=OB=OD=5\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ ∠BOD = 90°，
$S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}× OB× OD=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBD}-S_{△ OBD}=(\frac{25π}{4}-\frac{25}{2})\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{(\frac{25π}{4}-\frac{25}{2})\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆的相关性质转化已知条件，阴影面积采用和差法求解，是圆中面积计算的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,AD=3 cm,$\overset{\frown}{CD}$的长为3π cm,求图中阴影部分的面积.
答案
解：
设$OD = r\ \mathrm{cm}$，
由弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$，将$∠ AOB=60°$，$\overset{\frown}{CD}$的长为$3π\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{60π r}{180}=3π$
解得 $r=9$，
$\therefore OA = OD + AD = 9 + 3 = 12\ \mathrm{cm}$，
阴影部分面积为大扇形$AOB$的面积减去小扇形$COD$的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}AOB} - S_{\mathrm{扇形}COD}\\&=\frac{60π × 12^2}{360} - \frac{60π × 9^2}{360}\\&=24π - 13.5π\\&=\frac{21}{2}π\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
答：图中阴影部分的面积为$\frac{21}{2}π\ \mathrm{cm}^2$。
设$OD = r\ \mathrm{cm}$，
由弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$，将$∠ AOB=60°$，$\overset{\frown}{CD}$的长为$3π\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{60π r}{180}=3π$
解得 $r=9$，
$\therefore OA = OD + AD = 9 + 3 = 12\ \mathrm{cm}$，
阴影部分面积为大扇形$AOB$的面积减去小扇形$COD$的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}AOB} - S_{\mathrm{扇形}COD}\\&=\frac{60π × 12^2}{360} - \frac{60π × 9^2}{360}\\&=24π - 13.5π\\&=\frac{21}{2}π\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
答：图中阴影部分的面积为$\frac{21}{2}π\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
阴影部分为同圆心角的扇环，面积等于大扇形AOB的面积减去小扇形COD的面积。解题时第一步先利用已知的弧CD长度和圆心角，通过弧长公式列方程求出小扇形的半径OD；第二步结合AD的长度算出大扇形的半径OA；第三步分别代入扇形面积公式计算两个扇形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
设$OD = r\ \mathrm{cm}$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，l为弧长），将$∠ AOB=60°$，$\overset{\frown}{CD}$的长为$3π\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{60π r}{180}=3π$
解得$r=9$，即$OD=9\ \mathrm{cm}$，
因此大扇形半径$OA = OD + AD = 9 + 3 = 12\ \mathrm{cm}$，
阴影部分面积为大扇形面积减小小扇形面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}AOB} - S_{\mathrm{扇形}COD}\\&=\frac{60π × 12^2}{360} - \frac{60π × 9^2}{360}\\&=24π - 13.5π\\&=\frac{21}{2}π\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{21}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长公式，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题属于弧长与扇形面积的基础应用题，解题核心是先通过弧长公式求出未知的小扇形半径，再用“大面积减小面积”的思路计算扇环面积，熟练掌握相关公式是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
阴影部分为同圆心角的扇环，面积等于大扇形AOB的面积减去小扇形COD的面积。解题时第一步先利用已知的弧CD长度和圆心角，通过弧长公式列方程求出小扇形的半径OD；第二步结合AD的长度算出大扇形的半径OA；第三步分别代入扇形面积公式计算两个扇形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
设$OD = r\ \mathrm{cm}$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，l为弧长），将$∠ AOB=60°$，$\overset{\frown}{CD}$的长为$3π\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{60π r}{180}=3π$
解得$r=9$，即$OD=9\ \mathrm{cm}$，
因此大扇形半径$OA = OD + AD = 9 + 3 = 12\ \mathrm{cm}$，
阴影部分面积为大扇形面积减小小扇形面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}AOB} - S_{\mathrm{扇形}COD}\\&=\frac{60π × 12^2}{360} - \frac{60π × 9^2}{360}\\&=24π - 13.5π\\&=\frac{21}{2}π\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{21}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长公式，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题属于弧长与扇形面积的基础应用题，解题核心是先通过弧长公式求出未知的小扇形半径，再用“大面积减小面积”的思路计算扇环面积，熟练掌握相关公式是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
12. 如图，BC是$\odot O$的直径，点A在$\odot O$上，$AD⊥ BC$，垂足为D，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，BE分别交AD，AC于点F，G.
(1)证明：$FA=FB$；
(2)若$BD=DO=2$，求$\overset{\frown}{EC}$的长.
(1)证明：$FA=FB$；
(2)若$BD=DO=2$，求$\overset{\frown}{EC}$的长.
答案
解：
(1) 证明：
∵ BC是$\odot O$的直径，$AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABD = 90°$。
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ C + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ BAD = ∠ C$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ ABE = ∠ C$，
∴ $∠ BAD = ∠ ABE$，
∴ $FA = FB$。
(2) 解：连接OA，
∵ $BD = DO = 2$，
∴ $OB = BD + DO = 4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
∵ $AD⊥ BC$，$OD=2$，$OA=4$，
∴ 在$Rt△ ADO$中，$\cos∠ AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $∠ AOD = 60°$，即$∠ AOB = 60°$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ AOE = ∠ AOB = 60°$，
∴ $∠ EOC = 180° - ∠ AOB - ∠ AOE = 60°$，
∴ $\overset{\frown}{EC}$的长为 $\frac{nπ r}{180} = \frac{60×π×4}{180} = \frac{4π}{3}$。
答：$\overset{\frown}{EC}$的长为$\frac{4π}{3}$。
(1) 证明：
∵ BC是$\odot O$的直径，$AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABD = 90°$。
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ C + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ BAD = ∠ C$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ ABE = ∠ C$，
∴ $∠ BAD = ∠ ABE$，
∴ $FA = FB$。
(2) 解：连接OA，
∵ $BD = DO = 2$，
∴ $OB = BD + DO = 4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
∵ $AD⊥ BC$，$OD=2$，$OA=4$，
∴ 在$Rt△ ADO$中，$\cos∠ AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $∠ AOD = 60°$，即$∠ AOB = 60°$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ AOE = ∠ AOB = 60°$，
∴ $∠ EOC = 180° - ∠ AOB - ∠ AOE = 60°$，
∴ $\overset{\frown}{EC}$的长为 $\frac{nπ r}{180} = \frac{60×π×4}{180} = \frac{4π}{3}$。
答：$\overset{\frown}{EC}$的长为$\frac{4π}{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$FA=FB$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，需证$∠BAD=∠ABE$。首先利用BC是直径可得$∠BAC=90°$，结合$AD⊥BC$的条件，通过“同角的余角相等”可推出$∠BAD=∠C$；再根据等弧所对的圆周角相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$得$∠ABE=∠C$，等量代换即可得到两角相等，进而证得结论。
(2) 要求$\overset{\frown}{EC}$的长，需用弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，因此要先求出$\odot O$的半径$r$和$\overset{\frown}{EC}$对应的圆心角$∠EOC$的度数。首先根据$BD=DO=2$可直接求出半径为4；再连接OA，在$Rt△ADO$中利用三角函数求出$∠AOB$的度数，结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$得$∠AOE=∠AOB$，最后根据平角的性质求出$∠EOC$，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ BC是$\odot O$的直径，$AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABD = 90°$。
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ C + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ BAD = ∠ C$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ ABE = ∠ C$，
∴ $∠ BAD = ∠ ABE$，
∴ $FA = FB$。
(2) 解：连接OA，
∵ $BD = DO = 2$，
∴ $OB = BD + DO = 4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
∵ $AD⊥ BC$，$OD=2$，$OA=4$，
∴ 在$Rt△ ADO$中，$\cos∠ AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $∠ AOD = 60°$，即$∠ AOB = 60°$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ AOE = ∠ AOB = 60°$，
∴ $∠ EOC = 180° - ∠ AOB - ∠ AOE = 60°$，
∴ $\overset{\frown}{EC}$的长为 $\frac{nπ r}{180} = \frac{60×π×4}{180} = \frac{4π}{3}$。
【答案】
(1) $FA=FB$，证明成立；
(2) $\overset{\frown}{EC}$的长为$\frac{4π}{3}$。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，弧长计算
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与弧长计算，解题核心是通过角的等量转化完成等腰三角形的判定，结合直角三角形的性质求出弧对应的圆心角，是圆章节的典型基础综合题，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$FA=FB$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，需证$∠BAD=∠ABE$。首先利用BC是直径可得$∠BAC=90°$，结合$AD⊥BC$的条件，通过“同角的余角相等”可推出$∠BAD=∠C$；再根据等弧所对的圆周角相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$得$∠ABE=∠C$，等量代换即可得到两角相等，进而证得结论。
(2) 要求$\overset{\frown}{EC}$的长，需用弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，因此要先求出$\odot O$的半径$r$和$\overset{\frown}{EC}$对应的圆心角$∠EOC$的度数。首先根据$BD=DO=2$可直接求出半径为4；再连接OA，在$Rt△ADO$中利用三角函数求出$∠AOB$的度数，结合$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$得$∠AOE=∠AOB$，最后根据平角的性质求出$∠EOC$，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ BC是$\odot O$的直径，$AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABD = 90°$。
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ C + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ BAD = ∠ C$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ ABE = ∠ C$，
∴ $∠ BAD = ∠ ABE$，
∴ $FA = FB$。
(2) 解：连接OA，
∵ $BD = DO = 2$，
∴ $OB = BD + DO = 4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
∵ $AD⊥ BC$，$OD=2$，$OA=4$，
∴ 在$Rt△ ADO$中，$\cos∠ AOD = \frac{OD}{OA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $∠ AOD = 60°$，即$∠ AOB = 60°$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $∠ AOE = ∠ AOB = 60°$，
∴ $∠ EOC = 180° - ∠ AOB - ∠ AOE = 60°$，
∴ $\overset{\frown}{EC}$的长为 $\frac{nπ r}{180} = \frac{60×π×4}{180} = \frac{4π}{3}$。
【答案】
(1) $FA=FB$，证明成立；
(2) $\overset{\frown}{EC}$的长为$\frac{4π}{3}$。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，弧长计算
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与弧长计算，解题核心是通过角的等量转化完成等腰三角形的判定，结合直角三角形的性质求出弧对应的圆心角，是圆章节的典型基础综合题，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,点$O$在斜边$AB$上,半径为2的$\odot O$过点$B$,切$AC$边于点$D$,交$BC$边于点$E$,求线段$CD$,$CE$及$\overset{\frown}{DE}$围成的阴影部分的面积.
答案
解：
连接OD，过点O作OF⊥BC于点F。
∵ ⊙O切AC于点D，
∴ OD⊥AC，OD=2。
∵ ∠C=90°，即BC⊥AC，
∴ OD//BC。
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=2，
∴ AO=2OD=4，∠AOD=60°，
∴ AB=AO+OB=4+2=6。
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB=3，AC=AB·cos30°=$3\sqrt{3}$，
∴ AD=$\sqrt{AO^2 - OD^2}$=$2\sqrt{3}$，
∴ CD=AC - AD=$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$。
∵ OD//BC，
∴ ∠B=∠AOD=60°，
又∵ OB=OE=2，
∴ △OBE是等边三角形，
∴ BE=OB=2，∠BOE=60°，
∴ CE=BC - BE=3-2=1，
∠DOE=180° - ∠AOD - ∠BOE=180°-60°-60°=60°。
∵ OD⊥AC，OF⊥BC，∠C=90°，
∴ 四边形ODCF是矩形，
∴ OF=CD=$\sqrt{3}$。
梯形ODCE的面积：
$S_{\mathrm{梯形}ODCE} = \frac{1}{2} × (CE + OD) × CD = \frac{1}{2} × (1+2) × \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
扇形ODE的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{60π × 2^2}{360} = \frac{2π}{3}$。
∴ 阴影部分的面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{梯形}ODCE} - S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2π}{3}$。
答：阴影部分的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2π}{3}$。
连接OD，过点O作OF⊥BC于点F。
∵ ⊙O切AC于点D，
∴ OD⊥AC，OD=2。
∵ ∠C=90°，即BC⊥AC，
∴ OD//BC。
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=2，
∴ AO=2OD=4，∠AOD=60°，
∴ AB=AO+OB=4+2=6。
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB=3，AC=AB·cos30°=$3\sqrt{3}$，
∴ AD=$\sqrt{AO^2 - OD^2}$=$2\sqrt{3}$，
∴ CD=AC - AD=$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$。
∵ OD//BC，
∴ ∠B=∠AOD=60°，
又∵ OB=OE=2，
∴ △OBE是等边三角形，
∴ BE=OB=2，∠BOE=60°，
∴ CE=BC - BE=3-2=1，
∠DOE=180° - ∠AOD - ∠BOE=180°-60°-60°=60°。
∵ OD⊥AC，OF⊥BC，∠C=90°，
∴ 四边形ODCF是矩形，
∴ OF=CD=$\sqrt{3}$。
梯形ODCE的面积：
$S_{\mathrm{梯形}ODCE} = \frac{1}{2} × (CE + OD) × CD = \frac{1}{2} × (1+2) × \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
扇形ODE的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{60π × 2^2}{360} = \frac{2π}{3}$。
∴ 阴影部分的面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{梯形}ODCE} - S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2π}{3}$。
答：阴影部分的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2π}{3}$。
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法，将其转化为规则图形的面积差求解。首先根据切线性质连接OD，得到OD⊥AC，结合∠C=90°可得OD//BC；再利用含30°角的直角三角形的性质，依次求出AO、AB、AC、BC、AD的长度，进而得到CD的长度；接着判断△OBE为等边三角形，求出CE的长度和∠DOE的度数；最后用梯形ODCE的面积减去扇形ODE的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
连接OD，过点O作OF⊥BC于点F。
∵ ⊙O切AC于点D，
∴ OD⊥AC，OD=2。
∵ ∠C=90°，即BC⊥AC，
∴ OD//BC。
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=2，
∴ AO=2OD=4，∠AOD=60°，
∴ AB=AO+OB=4+2=6。
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB=3，AC=AB·cos30°=$3\sqrt{3}$，
∴ AD=$\sqrt{AO^2 - OD^2}$=$2\sqrt{3}$，
∴ CD=AC - AD=$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$。
∵ OD//BC，
∴ ∠B=∠AOD=60°，
又
∵ OB=OE=2，
∴ △OBE是等边三角形，
∴ BE=OB=2，∠BOE=60°，
∴ CE=BC - BE=3-2=1，
∠DOE=180° - ∠AOD - ∠BOE=180°-60°-60°=60°。
∵ OD⊥AC，OF⊥BC，∠C=90°，
∴ 四边形ODCF是矩形。
梯形ODCE的面积：
$S_{\mathrm{梯形}ODCE} = \frac{1}{2} × (CE + OD) × CD = \frac{1}{2} × (1+2) × \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
扇形ODE的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{60π × 2^2}{360} = \frac{2π}{3}$。
∴ 阴影部分的面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{梯形}ODCE} - S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2π}{3}$
【知识点】
切线的性质；扇形面积计算；含30°直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的几何计算类题目，核心解题思路是割补法，将不规则阴影面积转化为规则的梯形与扇形的面积差。解题的关键是合理做辅助线：连接切线对应的半径，利用特殊角的性质快速求出各边长度和圆心角度数，能很好地考察几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法，将其转化为规则图形的面积差求解。首先根据切线性质连接OD，得到OD⊥AC，结合∠C=90°可得OD//BC；再利用含30°角的直角三角形的性质，依次求出AO、AB、AC、BC、AD的长度，进而得到CD的长度；接着判断△OBE为等边三角形，求出CE的长度和∠DOE的度数；最后用梯形ODCE的面积减去扇形ODE的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
连接OD，过点O作OF⊥BC于点F。
∵ ⊙O切AC于点D，
∴ OD⊥AC，OD=2。
∵ ∠C=90°，即BC⊥AC，
∴ OD//BC。
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=2，
∴ AO=2OD=4，∠AOD=60°，
∴ AB=AO+OB=4+2=6。
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB=3，AC=AB·cos30°=$3\sqrt{3}$，
∴ AD=$\sqrt{AO^2 - OD^2}$=$2\sqrt{3}$，
∴ CD=AC - AD=$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$。
∵ OD//BC，
∴ ∠B=∠AOD=60°，
又
∵ OB=OE=2，
∴ △OBE是等边三角形，
∴ BE=OB=2，∠BOE=60°，
∴ CE=BC - BE=3-2=1，
∠DOE=180° - ∠AOD - ∠BOE=180°-60°-60°=60°。
∵ OD⊥AC，OF⊥BC，∠C=90°，
∴ 四边形ODCF是矩形。
梯形ODCE的面积：
$S_{\mathrm{梯形}ODCE} = \frac{1}{2} × (CE + OD) × CD = \frac{1}{2} × (1+2) × \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
扇形ODE的面积：
$S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{60π × 2^2}{360} = \frac{2π}{3}$。
∴ 阴影部分的面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{梯形}ODCE} - S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{2π}{3}$
【知识点】
切线的性质；扇形面积计算；含30°直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的几何计算类题目，核心解题思路是割补法，将不规则阴影面积转化为规则的梯形与扇形的面积差。解题的关键是合理做辅助线：连接切线对应的半径，利用特殊角的性质快速求出各边长度和圆心角度数，能很好地考察几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
