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2.如图,在$△ OAB$中,$OA=OB=4$,$∠ A=30°$,$AB$与$\odot O$相切于点$C$,求图中阴影部分的面积.
答案
解：连接OC，
∵ AB与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AB。
∵ OA=OB=4，
∴ AC=BC，∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°。
在Rt△AOC中，
OC=OA·sin30°=4×$\frac{1}{2}$=2，
AC=OA·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ AB=2AC=4$\sqrt{3}$，∠AOC=90°-∠A=60°，
∴ ∠AOB=2∠AOC=120°。
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}·AB·OC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$，
$S_{扇形}=\frac{120π×OC^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{△ OAB}-S_{扇形}=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
答：图中阴影部分的面积为$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
∵ AB与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AB。
∵ OA=OB=4，
∴ AC=BC，∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°。
在Rt△AOC中，
OC=OA·sin30°=4×$\frac{1}{2}$=2，
AC=OA·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ AB=2AC=4$\sqrt{3}$，∠AOC=90°-∠A=60°，
∴ ∠AOB=2∠AOC=120°。
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}·AB·OC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$，
$S_{扇形}=\frac{120π×OC^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{△ OAB}-S_{扇形}=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
答：图中阴影部分的面积为$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可采用割补法，用△OAB的面积减去圆内空白扇形的面积求解。第一步，根据切线的性质，遇到切线优先连接过切点的半径，因此连接OC可得OC⊥AB；第二步，结合OA=OB可知△OAB是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质，可知OC同时是△OAB的中线和角平分线；第三步，在Rt△AOC中利用三角函数求出OC、AC的长度，进一步得到AB的长度和圆心角∠AOB的度数；第四步，分别计算△OAB的面积和扇形的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
连接OC，
∵ AB与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AB。
∵ OA=OB=4，
∴ AC=BC，∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°。
在Rt△AOC中，
OC=OA·sin30°=4×$\frac{1}{2}$=2，
AC=OA·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ AB=2AC=4$\sqrt{3}$，∠AOC=90°-∠A=60°，
∴ ∠AOB=2∠AOC=120°。
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}·AB·OC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$，
$S_{扇形}=\frac{120π×OC^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{△ OAB}-S_{扇形}=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，需要熟练掌握切线、等腰三角形的性质，以及三角函数、扇形面积公式的应用。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可采用割补法，用△OAB的面积减去圆内空白扇形的面积求解。第一步，根据切线的性质，遇到切线优先连接过切点的半径，因此连接OC可得OC⊥AB；第二步，结合OA=OB可知△OAB是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质，可知OC同时是△OAB的中线和角平分线；第三步，在Rt△AOC中利用三角函数求出OC、AC的长度，进一步得到AB的长度和圆心角∠AOB的度数；第四步，分别计算△OAB的面积和扇形的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
连接OC，
∵ AB与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AB。
∵ OA=OB=4，
∴ AC=BC，∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°。
在Rt△AOC中，
OC=OA·sin30°=4×$\frac{1}{2}$=2，
AC=OA·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ AB=2AC=4$\sqrt{3}$，∠AOC=90°-∠A=60°，
∴ ∠AOB=2∠AOC=120°。
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}·AB·OC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$，
$S_{扇形}=\frac{120π×OC^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{△ OAB}-S_{扇形}=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，需要熟练掌握切线、等腰三角形的性质，以及三角函数、扇形面积公式的应用。
【难度系数】
0.6
1.(1)$60°$的圆心角所对的弧长是$3.5π \ \mathrm{cm}$，则此弧所在圆的半径是 $\mathrm{cm}$；
(2)扇形的弧长是$20π \ \mathrm{cm}$，面积是$240π \ \mathrm{cm}^2$，则扇形的圆心角为。
(2)扇形的弧长是$20π \ \mathrm{cm}$，面积是$240π \ \mathrm{cm}^2$，则扇形的圆心角为。
答案
(1) $\boldsymbol{10.5}$；(2) $\boldsymbol{150°}$
解析
【分析】
(1) 已知圆心角度数和其对应的弧长，求圆的半径，可直接代入弧长公式，通过解方程求出半径。
(2) 已知扇形的弧长和面积，求圆心角，可先利用含弧长、半径的扇形面积公式求出半径，再代入弧长公式反推圆心角度数即可。
【解析】
(1) 弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），将$n=60°$，$l=3.5π$代入公式：
$3.5π=\frac{60π r}{180}$
化简得：$3.5π=\frac{π r}{3}$
两边同时约去$π$，解得$r=3.5×3=10.5\ \mathrm{cm}$。
(2) 扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径），将$S=240π$，$l=20π$代入公式：
$240π=\frac{1}{2}×20π× r$
化简得：$240π=10π r$
两边同时约去$π$，解得$r=24\ \mathrm{cm}$。
再将$l=20π$，$r=24$代入弧长公式：
$20π=\frac{nπ×24}{180}$
两边同时约去$π$，解得$n=\frac{20×180}{24}=150°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10.5}$；(2) $\boldsymbol{150°}$
【知识点】
1. 弧长公式
2. 扇形面积公式
【点评】
本题是弧长和扇形面积的基础应用题，解题核心是熟练掌握两个公式，能根据已知条件灵活变形公式求解未知量，计算时注意约分可简化运算。
【难度系数】
0.8
(1) 已知圆心角度数和其对应的弧长，求圆的半径，可直接代入弧长公式，通过解方程求出半径。
(2) 已知扇形的弧长和面积，求圆心角，可先利用含弧长、半径的扇形面积公式求出半径，再代入弧长公式反推圆心角度数即可。
【解析】
(1) 弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），将$n=60°$，$l=3.5π$代入公式：
$3.5π=\frac{60π r}{180}$
化简得：$3.5π=\frac{π r}{3}$
两边同时约去$π$，解得$r=3.5×3=10.5\ \mathrm{cm}$。
(2) 扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径），将$S=240π$，$l=20π$代入公式：
$240π=\frac{1}{2}×20π× r$
化简得：$240π=10π r$
两边同时约去$π$，解得$r=24\ \mathrm{cm}$。
再将$l=20π$，$r=24$代入弧长公式：
$20π=\frac{nπ×24}{180}$
两边同时约去$π$，解得$n=\frac{20×180}{24}=150°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10.5}$；(2) $\boldsymbol{150°}$
【知识点】
1. 弧长公式
2. 扇形面积公式
【点评】
本题是弧长和扇形面积的基础应用题，解题核心是熟练掌握两个公式，能根据已知条件灵活变形公式求解未知量，计算时注意约分可简化运算。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是。
答案
$\boldsymbol{5\sqrt{3}-2π}$
解析
【分析】
要求阴影部分的不规则图形面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的差：阴影面积=Rt△ABC的面积 - △ODC的面积 - 扇形BOD的面积。首先根据直角三角形30°角的性质求出BC、AC的长度，再连接OD，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角性质求出扇形BOD的圆心角度数，最后分别计算各规则图形的面积，作差即可得到结果。
【解析】
解：连接OD，过点D作DE⊥BC于点E。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8，$BC=AB÷\tan30°=4\sqrt{3}$。
∵O为BC中点，半圆O半径为OB，
∴$OB=OC=OD=2\sqrt{3}$。
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠ACB=30°，
∴∠BOD=∠ODC+∠ACB=60°（三角形外角等于不相邻两个内角的和）。
∵BC是半圆的直径，
∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△BDC中，$DC=BC·\cos30°=4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$，
在Rt△DEC中，$DE=DC·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3$。
分别计算各部分面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC=\frac{1}{2} × 4 × 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，
$S_{△ ODC}=\frac{1}{2} × OC × DE=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 3=3\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}BOD}=\frac{60°}{360°} × π × (2\sqrt{3})^2=\frac{1}{6} × π × 12=2π$，
∴阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{△ ODC}-S_{\mathrm{扇形}BOD}=8\sqrt{3}-3\sqrt{3}-2π=5\sqrt{3}-2π$。
【答案】
$5\sqrt{3}-2π$
【知识点】
直角三角形的性质；扇形面积计算；圆周角定理
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心思路是将不规则面积转化为规则图形面积的和差，解题时需要熟练运用直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识，准确求出各规则图形的面积是得分关键。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的不规则图形面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的差：阴影面积=Rt△ABC的面积 - △ODC的面积 - 扇形BOD的面积。首先根据直角三角形30°角的性质求出BC、AC的长度，再连接OD，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角性质求出扇形BOD的圆心角度数，最后分别计算各规则图形的面积，作差即可得到结果。
【解析】
解：连接OD，过点D作DE⊥BC于点E。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8，$BC=AB÷\tan30°=4\sqrt{3}$。
∵O为BC中点，半圆O半径为OB，
∴$OB=OC=OD=2\sqrt{3}$。
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠ACB=30°，
∴∠BOD=∠ODC+∠ACB=60°（三角形外角等于不相邻两个内角的和）。
∵BC是半圆的直径，
∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△BDC中，$DC=BC·\cos30°=4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$，
在Rt△DEC中，$DE=DC·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3$。
分别计算各部分面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC=\frac{1}{2} × 4 × 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，
$S_{△ ODC}=\frac{1}{2} × OC × DE=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 3=3\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}BOD}=\frac{60°}{360°} × π × (2\sqrt{3})^2=\frac{1}{6} × π × 12=2π$，
∴阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{△ ODC}-S_{\mathrm{扇形}BOD}=8\sqrt{3}-3\sqrt{3}-2π=5\sqrt{3}-2π$。
【答案】
$5\sqrt{3}-2π$
【知识点】
直角三角形的性质；扇形面积计算；圆周角定理
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心思路是将不规则面积转化为规则图形面积的和差，解题时需要熟练运用直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识，准确求出各规则图形的面积是得分关键。
【难度系数】
0.6
3.如图,在$△ ABC$中,$CA=CB$,$∠ ACB=90°$,$AB=2$,$D$为$AB$的中点,以点$D$为圆心作圆心角为$90°$的扇形$DEF$,点$C$恰在$\overset{\frown}{EF}$上,则图中阴影部分的面积为.
答案
$\boldsymbol{\frac{π}{4}-\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可将其转化为扇形DEF的面积减去两线段重叠区域的四边形面积。首先连接CD，利用等腰直角三角形斜边中点的性质得到CD与AB的关系、相关角的度数；再通过角度推导证明两个小三角形全等，从而将重叠四边形的面积转化为△CDB的面积；最后分别计算扇形面积和△CDB的面积，相减即可得到结果。
【解析】
连接CD，
∵ 在△ABC中，$CA=CB$，$∠ACB=90°$，D为AB中点，
∴ $CD=BD=\frac{1}{2}AB=1$，$CD⊥AB$，$∠B=∠DCE=45°$，$∠CDB=90°$，
∵ 扇形DEF的圆心角$∠EDF=90°$，
∴ $∠CDB=∠EDF$，即$∠BDF+∠CDF=∠CDE+∠CDF$，
∴ $∠BDF=∠CDE$。
在$△ BDF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠B=∠DCE \\BD=CD \\∠BDF=∠CDE\end{cases}$
∴ $△ BDF≌△ CDE$（ASA），
∴ $S_{△ BDF}=S_{△ CDE}$，
∴ 重叠四边形的面积$=S_{△ CDE}+S_{△ CDF}=S_{△ BDF}+S_{△ CDF}=S_{△ CDB}$。
计算得$S_{△ CDB}=\frac{1}{2}×CD×BD=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
扇形DEF的面积：$S_{扇形}=\frac{90°}{360°}×π×1^2=\frac{π}{4}$，
∴ 阴影部分面积$=S_{扇形}-S_{△ CDB}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是用割补法将不规则面积转化为规则图形的面积差，解题的关键是通过全等三角形将未知的四边形面积转化为已知的三角形面积。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可将其转化为扇形DEF的面积减去两线段重叠区域的四边形面积。首先连接CD，利用等腰直角三角形斜边中点的性质得到CD与AB的关系、相关角的度数；再通过角度推导证明两个小三角形全等，从而将重叠四边形的面积转化为△CDB的面积；最后分别计算扇形面积和△CDB的面积，相减即可得到结果。
【解析】
连接CD，
∵ 在△ABC中，$CA=CB$，$∠ACB=90°$，D为AB中点，
∴ $CD=BD=\frac{1}{2}AB=1$，$CD⊥AB$，$∠B=∠DCE=45°$，$∠CDB=90°$，
∵ 扇形DEF的圆心角$∠EDF=90°$，
∴ $∠CDB=∠EDF$，即$∠BDF+∠CDF=∠CDE+∠CDF$，
∴ $∠BDF=∠CDE$。
在$△ BDF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠B=∠DCE \\BD=CD \\∠BDF=∠CDE\end{cases}$
∴ $△ BDF≌△ CDE$（ASA），
∴ $S_{△ BDF}=S_{△ CDE}$，
∴ 重叠四边形的面积$=S_{△ CDE}+S_{△ CDF}=S_{△ BDF}+S_{△ CDF}=S_{△ CDB}$。
计算得$S_{△ CDB}=\frac{1}{2}×CD×BD=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
扇形DEF的面积：$S_{扇形}=\frac{90°}{360°}×π×1^2=\frac{π}{4}$，
∴ 阴影部分面积$=S_{扇形}-S_{△ CDB}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是用割补法将不规则面积转化为规则图形的面积差，解题的关键是通过全等三角形将未知的四边形面积转化为已知的三角形面积。
【难度系数】
0.6
4.如图，四边形ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在四边形相邻的两边上），则这4条弧长的和是（）
A.$6π$
B.$5π$
C.$2π$
D.$8π$
A.$6π$
B.$5π$
C.$2π$
D.$8π$
答案
C
解析
【分析】
要求4条弧长的和，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），本题中所有弧的半径均为1，因此只需要求出4条弧对应的圆心角总和即可。根据多边形内角和定理，四边形的内角和为$360°$，而这4条弧的圆心角恰好对应四边形的4个内角，因此可将圆心角总和代入弧长公式直接计算总弧长，不需要单独计算每条弧的长度。
【解析】
设四边形$ABCD$的四个内角的度数分别为$n_1°、n_2°、n_3°、n_4°$，根据四边形内角和定理可得：
$n_1+n_2+n_3+n_4=360$
已知每条弧的半径$r=1$，根据弧长公式，4条弧长的和为：
$\begin{aligned}L&=\frac{n_1π r}{180}+\frac{n_2π r}{180}+\frac{n_3π r}{180}+\frac{n_4π r}{180}\\&=\frac{π×1}{180}×(n_1+n_2+n_3+n_4)\\&=\frac{π}{180}×360\\&=2π\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，四边形内角和
【点评】
本题考查整体思想在几何计算中的应用，无需分别求解各段弧长，只需利用四边形内角和得到所有弧的圆心角总和，代入弧长公式即可快速得到结果，解题时要注意观察图形特征，灵活运用整体思想简化计算。
【难度系数】
0.7
要求4条弧长的和，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），本题中所有弧的半径均为1，因此只需要求出4条弧对应的圆心角总和即可。根据多边形内角和定理，四边形的内角和为$360°$，而这4条弧的圆心角恰好对应四边形的4个内角，因此可将圆心角总和代入弧长公式直接计算总弧长，不需要单独计算每条弧的长度。
【解析】
设四边形$ABCD$的四个内角的度数分别为$n_1°、n_2°、n_3°、n_4°$，根据四边形内角和定理可得：
$n_1+n_2+n_3+n_4=360$
已知每条弧的半径$r=1$，根据弧长公式，4条弧长的和为：
$\begin{aligned}L&=\frac{n_1π r}{180}+\frac{n_2π r}{180}+\frac{n_3π r}{180}+\frac{n_4π r}{180}\\&=\frac{π×1}{180}×(n_1+n_2+n_3+n_4)\\&=\frac{π}{180}×360\\&=2π\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，四边形内角和
【点评】
本题考查整体思想在几何计算中的应用，无需分别求解各段弧长，只需利用四边形内角和得到所有弧的圆心角总和，代入弧长公式即可快速得到结果，解题时要注意观察图形特征，灵活运用整体思想简化计算。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=35°$,$∠ ACB=90°$,$CD$是$AB$边上的中线,其中$AB=2$,以$C$为圆心,$CD$为半径画弧交$AB$于点$E$,则$\overset{\frown}{DE}$的长为()
A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$
第5题图 第6题图
A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$
第5题图 第6题图
答案
B
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可知要先确定两个量：弧所在圆的半径$r$，以及弧对应的圆心角$n$的度数。首先利用直角三角形斜边中线的性质可求出半径$CD$的长度；再结合等腰三角形的性质求出圆心角$∠ DCE$的度数，最后代入公式计算即可得到弧长。
【解析】
1. 求半径长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，$AB=2$，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得$CD=AD=DB=\frac{1}{2}AB=1$，即$\overset{\frown}{DE}$所在圆的半径$r=1$。
2. 求圆心角$∠ DCE$的度数：
因为$CD=AD$，所以$△ ACD$是等腰三角形，$∠ ACD=∠ A=35°$。
$∠ CDB$是$△ ACD$的外角，根据外角性质得$∠ CDB=∠ A+∠ ACD=35°+35°=70°$。
由作图可知$CE=CD$，所以$△ CDE$是等腰三角形，$∠ CED=∠ CDE=70°$，因此$∠ DCE=180°-∠ CDE-∠ CED=180°-70°-70°=40°$。
3. 计算弧长：
将$n=40°$，$r=1$代入弧长公式，得$\overset{\frown}{DE}$的长$l=\frac{40×π×1}{180}=\frac{2}{9}π$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形性质和弧长计算相结合，解题的关键是准确推导圆心角的度数和半径长度，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可知要先确定两个量：弧所在圆的半径$r$，以及弧对应的圆心角$n$的度数。首先利用直角三角形斜边中线的性质可求出半径$CD$的长度；再结合等腰三角形的性质求出圆心角$∠ DCE$的度数，最后代入公式计算即可得到弧长。
【解析】
1. 求半径长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，$AB=2$，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得$CD=AD=DB=\frac{1}{2}AB=1$，即$\overset{\frown}{DE}$所在圆的半径$r=1$。
2. 求圆心角$∠ DCE$的度数：
因为$CD=AD$，所以$△ ACD$是等腰三角形，$∠ ACD=∠ A=35°$。
$∠ CDB$是$△ ACD$的外角，根据外角性质得$∠ CDB=∠ A+∠ ACD=35°+35°=70°$。
由作图可知$CE=CD$，所以$△ CDE$是等腰三角形，$∠ CED=∠ CDE=70°$，因此$∠ DCE=180°-∠ CDE-∠ CED=180°-70°-70°=40°$。
3. 计算弧长：
将$n=40°$，$r=1$代入弧长公式，得$\overset{\frown}{DE}$的长$l=\frac{40×π×1}{180}=\frac{2}{9}π$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形性质和弧长计算相结合，解题的关键是准确推导圆心角的度数和半径长度，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB，CD是$\odot O$的弦，延长AB，CD相交于点P.连接AC，BD，已知$∠ P=20°$，$∠ BDC=70°$，$\odot O$的半径为9，则$\overset{\frown}{AD}$的长为（）
A.$5π$
B.$\frac{5}{2}π$
C.$\frac{45}{2}π$
D.$45π$
A.$5π$
B.$\frac{5}{2}π$
C.$\frac{45}{2}π$
D.$45π$
答案
A
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AD}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径。题目已知半径$r=9$，因此核心是求$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角。解题思路如下：①先利用圆内接四边形对角互补求出$∠ BAC$的度数；②再结合三角形内角和求出$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角$∠ ACP$的度数；③根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角；④最后代入弧长公式计算结果。
【解析】
解：
1.
∵四边形$ABDC$是$\odot O$的内接四边形
∴$∠ BAC + ∠ BDC = 180°$（圆内接四边形对角互补）
已知$∠ BDC=70°$，则$∠ BAC=180°-70°=110°$
2. 在$△ ACP$中，三角形内角和为$180°$，即$∠ ACP + ∠ CAP + ∠ P = 180°$
其中$∠ CAP=∠ BAC=110°$，$∠ P=20°$
∴$∠ ACP=180°-110°-20°=50°$
3. $∠ ACP$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角$n=2×50°=100°$
4. 已知$\odot O$半径$r=9$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AD}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{100×π×9}{180}=5π$
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质和弧长计算，解题关键是通过角度关系推导所求弧对应的圆周角，进而得到圆心后代入公式计算，熟练掌握圆的基础性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AD}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径。题目已知半径$r=9$，因此核心是求$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角。解题思路如下：①先利用圆内接四边形对角互补求出$∠ BAC$的度数；②再结合三角形内角和求出$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角$∠ ACP$的度数；③根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角；④最后代入弧长公式计算结果。
【解析】
解：
1.
∵四边形$ABDC$是$\odot O$的内接四边形
∴$∠ BAC + ∠ BDC = 180°$（圆内接四边形对角互补）
已知$∠ BDC=70°$，则$∠ BAC=180°-70°=110°$
2. 在$△ ACP$中，三角形内角和为$180°$，即$∠ ACP + ∠ CAP + ∠ P = 180°$
其中$∠ CAP=∠ BAC=110°$，$∠ P=20°$
∴$∠ ACP=180°-110°-20°=50°$
3. $∠ ACP$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角$n=2×50°=100°$
4. 已知$\odot O$半径$r=9$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{AD}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{100×π×9}{180}=5π$
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查圆的相关性质和弧长计算，解题关键是通过角度关系推导所求弧对应的圆周角，进而得到圆心后代入公式计算，熟练掌握圆的基础性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
