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例1 已知一条弧的弧长为$3π \ \mathrm{cm}$，弧所在圆的半径是$6 \ \mathrm{cm}$，则这条弧所对的圆心角为多少度？
【思路导析】运用$l=\frac{nπ R}{180}$，求圆心角$n$的大小。
【请你解答】
【思路导析】运用$l=\frac{nπ R}{180}$，求圆心角$n$的大小。
【请你解答】
答案
解：设这条弧所对的圆心角为$n°$。
根据弧长公式 $l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=3π\ \mathrm{cm}$，$R=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$3π = \frac{nπ × 6}{180}$
两边同时除以$π$，得：
$3 = \frac{6n}{180}$
化简得：
$3 = \frac{n}{30}$
解得：
$n=90$
答：这条弧所对的圆心角为90度。
根据弧长公式 $l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=3π\ \mathrm{cm}$，$R=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$3π = \frac{nπ × 6}{180}$
两边同时除以$π$，得：
$3 = \frac{6n}{180}$
化简得：
$3 = \frac{n}{30}$
解得：
$n=90$
答：这条弧所对的圆心角为90度。
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆弧长计算公式：弧长$l$、圆心角度数$n$、圆半径$R$三者的关系为$l=\frac{nπ R}{180}$。题目已给出弧长和半径的具体数值，只需将已知量代入公式，把$n$作为未知量解一元一次方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：设这条弧所对的圆心角为$n°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=3π\ \mathrm{cm}$，$R=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$3π = \frac{nπ × 6}{180}$
两边同时除以$π$，得：
$3 = \frac{6n}{180}$
化简得：
$3 = \frac{n}{30}$
解得：
$n=90$
【答案】
90度（或$90°$）
【知识点】
1. 弧长公式应用
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于弧长相关的基础计算题，核心考查对弧长公式的记忆与运用，熟记公式后代入已知量正确计算即可得出结果，计算时可先约去$π$简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆弧长计算公式：弧长$l$、圆心角度数$n$、圆半径$R$三者的关系为$l=\frac{nπ R}{180}$。题目已给出弧长和半径的具体数值，只需将已知量代入公式，把$n$作为未知量解一元一次方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：设这条弧所对的圆心角为$n°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=3π\ \mathrm{cm}$，$R=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$3π = \frac{nπ × 6}{180}$
两边同时除以$π$，得：
$3 = \frac{6n}{180}$
化简得：
$3 = \frac{n}{30}$
解得：
$n=90$
【答案】
90度（或$90°$）
【知识点】
1. 弧长公式应用
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于弧长相关的基础计算题，核心考查对弧长公式的记忆与运用，熟记公式后代入已知量正确计算即可得出结果，计算时可先约去$π$简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
例2 一个扇形的半径为2，圆心角为$120°$，求它的面积.
【思路导析】运用$S=\frac{nπ R^2}{360}$求解.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】运用$S=\frac{nπ R^2}{360}$求解.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：已知扇形的圆心角$n=120°$，半径$R=2$，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，
代入数据计算：
$S=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{480π}{360}=\frac{4π}{3}$
答：该扇形的面积为$\frac{4π}{3}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，
代入数据计算：
$S=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{480π}{360}=\frac{4π}{3}$
答：该扇形的面积为$\frac{4π}{3}$。
解析
【分析】
拿到本题首先明确所求为扇形面积，首先回忆角度制下的扇形面积公式：$S=\frac{nπ R^2}{360}$，其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径。接下来从题干中提取已知条件：圆心角$n=120°$，半径$R=2$，只需将已知量代入公式，按照运算顺序计算，计算过程中可通过约分简化运算，避免出错。
【解析】
已知扇形的圆心角$n=120°$，半径$R=2$，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，
代入数据计算：
$S=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{120×π×4}{360}=\frac{480π}{360}=\frac{4π}{3}$
答：该扇形的面积为$\frac{4π}{3}$。
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 分数约分运算
【点评】
本题是扇形面积计算的基础题型，核心考查对扇形面积公式的识记和基础运算能力，只要准确记忆公式、代入数据时细心计算即可得分，是解决扇形综合计算题的基础。
【难度系数】
0.85
拿到本题首先明确所求为扇形面积，首先回忆角度制下的扇形面积公式：$S=\frac{nπ R^2}{360}$，其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径。接下来从题干中提取已知条件：圆心角$n=120°$，半径$R=2$，只需将已知量代入公式，按照运算顺序计算，计算过程中可通过约分简化运算，避免出错。
【解析】
已知扇形的圆心角$n=120°$，半径$R=2$，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，
代入数据计算：
$S=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{120×π×4}{360}=\frac{480π}{360}=\frac{4π}{3}$
答：该扇形的面积为$\frac{4π}{3}$。
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 分数约分运算
【点评】
本题是扇形面积计算的基础题型，核心考查对扇形面积公式的识记和基础运算能力，只要准确记忆公式、代入数据时细心计算即可得分，是解决扇形综合计算题的基础。
【难度系数】
0.85
例3 如图，已知PA，PB切$\odot O$于A，B两点，PO=4，$∠ APB=60°$，求：
(1)阴影部分的周长；
(2)阴影部分的面积.
【探究点拨】(1)关键是求PA，PB和$\overset{\frown}{AB}$的长；
(2)阴影部分的面积等于四边形PAOB的面积减去扇形AOB的面积.
【规范解答】(1)连接OA，OB.
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$PO=2OA$.
则$OA=2$，$AP=2\sqrt{3}$，即$PA=PB=2\sqrt{3}$.
∵ $∠ APB=60°$，$∠ PAO=90°$，
∴ $∠ AOB=120°$，$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120π × 2}{180}=\frac{4π}{3}$.
∴ 阴影部分的周长$=PA+PB+\overset{\frown}{AB}$的长
$=4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$.
(2)$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}PAOB}-S_{\mathrm{扇形}AOB}$
$=2× \frac{1}{2}× PA× OA-\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}× OA$
$=2\sqrt{3}× 2-\frac{1}{2}× \frac{4π}{3}× 2$
$=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$.
(1)阴影部分的周长；
(2)阴影部分的面积.
【探究点拨】(1)关键是求PA，PB和$\overset{\frown}{AB}$的长；
(2)阴影部分的面积等于四边形PAOB的面积减去扇形AOB的面积.
【规范解答】(1)连接OA，OB.
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$PO=2OA$.
则$OA=2$，$AP=2\sqrt{3}$，即$PA=PB=2\sqrt{3}$.
∵ $∠ APB=60°$，$∠ PAO=90°$，
∴ $∠ AOB=120°$，$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120π × 2}{180}=\frac{4π}{3}$.
∴ 阴影部分的周长$=PA+PB+\overset{\frown}{AB}$的长
$=4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$.
(2)$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}PAOB}-S_{\mathrm{扇形}AOB}$
$=2× \frac{1}{2}× PA× OA-\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}× OA$
$=2\sqrt{3}× 2-\frac{1}{2}× \frac{4π}{3}× 2$
$=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$.
答案
解：
(1) 连接OA，OB。
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$PO=2OA$，
已知$PO=4$，可得$OA=2$，由勾股定理得$AP=\sqrt{PO^2-OA^2}=2\sqrt{3}$，即$PA=PB=2\sqrt{3}$。
∵ $∠ APB=60°$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
∴ $∠ AOB=360°-90°-90°-60°=120°$，
由弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120π × 2}{180}=\frac{4π}{3}$。
∴ 阴影部分的周长$=PA+PB+\overset{\frown}{AB}$的长
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\frac{4π}{3}=4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$。
(2) $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}PAOB}-S_{\mathrm{扇形}AOB}$
$=2× \frac{1}{2}× PA× OA - \frac{120π × 2^2}{360}$
$=2\sqrt{3}× 2 - \frac{4π}{3}$
$=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
答：(1) 阴影部分的周长为$4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$；(2) 阴影部分的面积为$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
(1) 连接OA，OB。
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$PO=2OA$，
已知$PO=4$，可得$OA=2$，由勾股定理得$AP=\sqrt{PO^2-OA^2}=2\sqrt{3}$，即$PA=PB=2\sqrt{3}$。
∵ $∠ APB=60°$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
∴ $∠ AOB=360°-90°-90°-60°=120°$，
由弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120π × 2}{180}=\frac{4π}{3}$。
∴ 阴影部分的周长$=PA+PB+\overset{\frown}{AB}$的长
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\frac{4π}{3}=4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$。
(2) $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}PAOB}-S_{\mathrm{扇形}AOB}$
$=2× \frac{1}{2}× PA× OA - \frac{120π × 2^2}{360}$
$=2\sqrt{3}× 2 - \frac{4π}{3}$
$=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
答：(1) 阴影部分的周长为$4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$；(2) 阴影部分的面积为$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
解析
【分析】
(1)求阴影部分周长，首先明确周长由切线长PA、PB和$\overset{\frown}{AB}$三部分组成。首先根据切线性质可得PA=PB，OA⊥PA、OB⊥PB，且PO平分∠APB，得到Rt△APO中∠APO=30°，结合PO=4可求出半径OA和切线长PA；再利用四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数，用弧长公式计算$\overset{\frown}{AB}$的长度，最后将三部分相加得到周长。
(2)求阴影部分面积，观察图形可知阴影面积等于四边形PAOB的面积减去扇形AOB的面积。四边形PAOB可拆为两个全等的直角三角形，先算出两个直角三角形的面积和，再用扇形面积公式算出扇形AOB的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 连接OA，OB。
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$PO=2OA$，
已知$PO=4$，可得$OA=2$，由勾股定理得$AP=\sqrt{PO^2-OA^2}=2\sqrt{3}$，即$PA=PB=2\sqrt{3}$。
∵ $∠ APB=60°$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
∴ $∠ AOB=360°-90°-90°-60°=120°$，
由弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120π × 2}{180}=\frac{4π}{3}$。
∴ 阴影部分的周长$=PA+PB+\overset{\frown}{AB}$的长
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\frac{4π}{3}=4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$。
(2) $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}PAOB}-S_{\mathrm{扇形}AOB}$
$=2× \frac{1}{2}× PA× OA - \frac{120π × 2^2}{360}$
$=2\sqrt{3}× 2 - \frac{4π}{3}$
$=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
【答案】
(1) 阴影部分的周长为$4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$；
(2) 阴影部分的面积为$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
【知识点】
切线的性质；弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合计算题，核心是将不规则阴影的周长、面积转化为规则图形的和差运算，解题时需熟练运用切线性质、弧长及扇形面积公式，理清图形各部分的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1)求阴影部分周长，首先明确周长由切线长PA、PB和$\overset{\frown}{AB}$三部分组成。首先根据切线性质可得PA=PB，OA⊥PA、OB⊥PB，且PO平分∠APB，得到Rt△APO中∠APO=30°，结合PO=4可求出半径OA和切线长PA；再利用四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数，用弧长公式计算$\overset{\frown}{AB}$的长度，最后将三部分相加得到周长。
(2)求阴影部分面积，观察图形可知阴影面积等于四边形PAOB的面积减去扇形AOB的面积。四边形PAOB可拆为两个全等的直角三角形，先算出两个直角三角形的面积和，再用扇形面积公式算出扇形AOB的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 连接OA，OB。
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，
∴ $PA=PB$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$PO=2OA$，
已知$PO=4$，可得$OA=2$，由勾股定理得$AP=\sqrt{PO^2-OA^2}=2\sqrt{3}$，即$PA=PB=2\sqrt{3}$。
∵ $∠ APB=60°$，$∠ PAO=∠ PBO=90°$，
∴ $∠ AOB=360°-90°-90°-60°=120°$，
由弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120π × 2}{180}=\frac{4π}{3}$。
∴ 阴影部分的周长$=PA+PB+\overset{\frown}{AB}$的长
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\frac{4π}{3}=4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$。
(2) $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}PAOB}-S_{\mathrm{扇形}AOB}$
$=2× \frac{1}{2}× PA× OA - \frac{120π × 2^2}{360}$
$=2\sqrt{3}× 2 - \frac{4π}{3}$
$=4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
【答案】
(1) 阴影部分的周长为$4\sqrt{3}+\frac{4π}{3}$；
(2) 阴影部分的面积为$4\sqrt{3}-\frac{4π}{3}$。
【知识点】
切线的性质；弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合计算题，核心是将不规则阴影的周长、面积转化为规则图形的和差运算，解题时需熟练运用切线性质、弧长及扇形面积公式，理清图形各部分的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
1.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，若$∠ P=60°$，$OA=3$，那么$∠ AOB$所对的弧$\overset{\frown}{AB}$的长度为（）
A.$6π$
B.$5π$
C.$3π$
D.$2π$
A.$6π$
B.$5π$
C.$3π$
D.$2π$
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据切线的性质，得到切线与过切点的半径垂直，即可得出∠OAP和∠OBP均为直角；第二步，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P=60°，计算出圆心角∠AOB的度数；第三步，将圆心角度数和半径代入弧长公式，即可求出弧$\overset{\frown}{AB}$的长度。
【解析】
∵PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=60°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-60°=120°$
已知OA=3，即$\odot O$的半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数）
则$\overset{\frown}{AB}$的长度为：$\frac{120×π×3}{180}=2π$
故选D
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用切线性质和四边形内角和求出对应圆心角的度数，再代入弧长公式计算即可，熟练掌握基础定理和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据切线的性质，得到切线与过切点的半径垂直，即可得出∠OAP和∠OBP均为直角；第二步，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P=60°，计算出圆心角∠AOB的度数；第三步，将圆心角度数和半径代入弧长公式，即可求出弧$\overset{\frown}{AB}$的长度。
【解析】
∵PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=60°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-60°=120°$
已知OA=3，即$\odot O$的半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数）
则$\overset{\frown}{AB}$的长度为：$\frac{120×π×3}{180}=2π$
故选D
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用切线性质和四边形内角和求出对应圆心角的度数，再代入弧长公式计算即可，熟练掌握基础定理和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
