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1.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,E为BC延长线上一点,若$∠ A = 70°$,则$∠ DCE =$.
答案
$\boldsymbol{70°}$
解析
【分析】
本题可利用圆内接四边形的性质结合补角的性质求解。首先观察图形，四边形ABCD是圆内接四边形，可知其对角互补，即∠A与∠BCD互补；再结合∠DCE与∠BCD是邻补角，二者也互补，根据“同角的补角相等”即可推出∠DCE与∠A相等，代入∠A的度数即可得到结果，也可直接运用圆内接四边形的外角等于其内对角的性质直接求解。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵$∠ DCE + ∠ BCD = 180°$（邻补角的定义），
∴$∠ DCE = ∠ A = 70°$（同角的补角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握圆内接四边形的相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题可利用圆内接四边形的性质结合补角的性质求解。首先观察图形，四边形ABCD是圆内接四边形，可知其对角互补，即∠A与∠BCD互补；再结合∠DCE与∠BCD是邻补角，二者也互补，根据“同角的补角相等”即可推出∠DCE与∠A相等，代入∠A的度数即可得到结果，也可直接运用圆内接四边形的外角等于其内对角的性质直接求解。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵$∠ DCE + ∠ BCD = 180°$（邻补角的定义），
∴$∠ DCE = ∠ A = 70°$（同角的补角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握圆内接四边形的相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.如图，在$\odot O$中，AB是直径，$AC=AD$，$∠ CAB=70°$，则$∠ BAD=$。
答案
$\boldsymbol{70°}$
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，弦AC=AD，已知∠CAB=70°，目标是求∠BAD的度数。我们可以从两个方向思考：一是利用圆的对称性，直径所在直线是圆的对称轴，相等的弦对应的端点关于对称轴对称，即可得到对应角相等；二是构造直径所对的圆周角，得到两个直角三角形，通过HL证明三角形全等，进而得到对应角相等，代入数值即可求解。
【解析】
方法一：
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AB是⊙O的对称轴。
又
∵AC=AD，
∴点C与点D关于直线AB对称，
∴∠BAD=∠CAB=70°。
方法二：
连接BC、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
$\{\begin{array}{l}AC=AD\\ AB=AB\end{array} $
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），
∴∠BAD=∠CAB=70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆的对称性；直径所对圆周角的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题思路灵活，既可以利用对称性快速求解，也可以通过全等三角形的方法推导，核心是对圆的基础性质的熟练掌握。
【难度系数】
0.85
解题时首先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，弦AC=AD，已知∠CAB=70°，目标是求∠BAD的度数。我们可以从两个方向思考：一是利用圆的对称性，直径所在直线是圆的对称轴，相等的弦对应的端点关于对称轴对称，即可得到对应角相等；二是构造直径所对的圆周角，得到两个直角三角形，通过HL证明三角形全等，进而得到对应角相等，代入数值即可求解。
【解析】
方法一：
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AB是⊙O的对称轴。
又
∵AC=AD，
∴点C与点D关于直线AB对称，
∴∠BAD=∠CAB=70°。
方法二：
连接BC、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
$\{\begin{array}{l}AC=AD\\ AB=AB\end{array} $
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），
∴∠BAD=∠CAB=70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆的对称性；直径所对圆周角的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题思路灵活，既可以利用对称性快速求解，也可以通过全等三角形的方法推导，核心是对圆的基础性质的熟练掌握。
【难度系数】
0.85
3.如图，已知$\odot O$的半径为2，点A，B，C在$\odot O$上，$∠ ACB=135°$，则$AB=$.
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
解析
【分析】
本题要求弦AB的长，已知圆周角∠ACB=135°和圆的半径，首先可利用圆周角与弧的度数关系，求出劣弧AB对应的圆心角的度数，再结合半径判断△AOB的形状，最后用勾股定理计算AB的长度。思考步骤：1. 先确定∠ACB所对的弧是优弧AB，根据圆周角定理求出优弧AB的度数；2. 用周角减去优弧AB的度数得到劣弧AB的度数，进而得到圆心角∠AOB的度数；3. 已知OA、OB为半径，结合∠AOB的度数，用勾股定理计算AB。
【解析】
解：
∵∠ACB=135°，∠ACB是圆周角，它所对的弧为优弧AB，
∴优弧AB的度数为2×135°=270°，
∴劣弧AB的度数为360°-270°=90°，
∴劣弧AB所对的圆心角∠AOB=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的关键是通过已知圆周角推导得出圆心角为直角，再结合勾股定理求弦长，熟练掌握圆周角定理是快速解题的前提。
【难度系数】
0.7
本题要求弦AB的长，已知圆周角∠ACB=135°和圆的半径，首先可利用圆周角与弧的度数关系，求出劣弧AB对应的圆心角的度数，再结合半径判断△AOB的形状，最后用勾股定理计算AB的长度。思考步骤：1. 先确定∠ACB所对的弧是优弧AB，根据圆周角定理求出优弧AB的度数；2. 用周角减去优弧AB的度数得到劣弧AB的度数，进而得到圆心角∠AOB的度数；3. 已知OA、OB为半径，结合∠AOB的度数，用勾股定理计算AB。
【解析】
解：
∵∠ACB=135°，∠ACB是圆周角，它所对的弧为优弧AB，
∴优弧AB的度数为2×135°=270°，
∴劣弧AB的度数为360°-270°=90°，
∴劣弧AB所对的圆心角∠AOB=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的关键是通过已知圆周角推导得出圆心角为直角，再结合勾股定理求弦长，熟练掌握圆周角定理是快速解题的前提。
【难度系数】
0.7
4. 如图，以$□ ABCD$的一边为直径作$\odot O$，$\odot O$过点C，若$∠ AOC = 70°$，那么$∠ BAD =$（）
A.$145°$
B.$140°$
C.$135°$
D.$130°$
A.$145°$
B.$140°$
C.$135°$
D.$130°$
答案
A
解析
【分析】
解题思路：结合圆的性质和平行四边形的性质逐步推导：1. 先利用圆周角定理，由已知圆心角∠AOC的度数求出同弧所对的圆周角∠ABC的度数；2. 再根据平行四边形对边平行的性质，得到同旁内角∠BAD与∠ABC互补，代入计算即可得到∠BAD的度数。
首先明确AB是⊙O的直径，∠AOC是弧AC对应的圆心角，∠ABC是弧AC对应的圆周角，可通过圆周角定理求出∠ABC；再利用平行四边形对边平行的性质，结合平行线同旁内角互补的规律计算∠BAD。
【解析】
解：
∵ ∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ $∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ $AD// BC$
∴ $∠ BAD + ∠ ABC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ BAD = 180° - 35° = 145°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质与平行四边形性质的综合基础题，解题的关键是准确找到同弧对应的圆心角和圆周角，再结合平行线的角度关系计算，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
解题思路：结合圆的性质和平行四边形的性质逐步推导：1. 先利用圆周角定理，由已知圆心角∠AOC的度数求出同弧所对的圆周角∠ABC的度数；2. 再根据平行四边形对边平行的性质，得到同旁内角∠BAD与∠ABC互补，代入计算即可得到∠BAD的度数。
首先明确AB是⊙O的直径，∠AOC是弧AC对应的圆心角，∠ABC是弧AC对应的圆周角，可通过圆周角定理求出∠ABC；再利用平行四边形对边平行的性质，结合平行线同旁内角互补的规律计算∠BAD。
【解析】
解：
∵ ∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ $∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ $AD// BC$
∴ $∠ BAD + ∠ ABC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ BAD = 180° - 35° = 145°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质与平行四边形性质的综合基础题，解题的关键是准确找到同弧对应的圆心角和圆周角，再结合平行线的角度关系计算，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
5. 如图所示，在梯形$ABCD$中，$AB// DC$，$AB⊥ BC$，$AB=2\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，以$BC$上一点$O$为圆心的圆经过$A$，$D$两点，且$∠ AOD=90°$，则圆心$O$到$AD$的距离$OH$等于()
A.$\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
B.$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
A.$\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
B.$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先同圆的半径相等，可得OA=OD，结合∠AOD=90°和梯形的两个直角，可通过角度互余推导相等角，证明△ABO和△OCD全等，得到OB、OC的长度；再用勾股定理求出半径OA的长度；最后利用等腰直角三角形的性质，即可求出圆心O到AD的距离OH。
【解析】
解：
∵AB//DC，AB⊥BC，
∴∠B=∠C=90°
∵⊙O经过A、D两点，
∴OA=OD
∵∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°-90°=90°
又
∵Rt△ABO中，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠COD
在△ABO和△OCD中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ OAB=∠ COD\\ OA=OD\end{array} $
∴△ABO≌△OCD（AAS）
∴OC=AB=2cm，BO=CD=4cm
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
∵△AOD是等腰直角三角形，OA=OD=2√5 cm，∠AOD=90°
由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{20+20}=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
∵OH⊥AD，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
∴$OH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，结合了梯形、圆、三角形的相关性质，解题的关键是通过角度互余推导等角，证明三角形全等得到对应边长度，再结合特殊三角形的性质求解，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先同圆的半径相等，可得OA=OD，结合∠AOD=90°和梯形的两个直角，可通过角度互余推导相等角，证明△ABO和△OCD全等，得到OB、OC的长度；再用勾股定理求出半径OA的长度；最后利用等腰直角三角形的性质，即可求出圆心O到AD的距离OH。
【解析】
解：
∵AB//DC，AB⊥BC，
∴∠B=∠C=90°
∵⊙O经过A、D两点，
∴OA=OD
∵∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°-90°=90°
又
∵Rt△ABO中，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠COD
在△ABO和△OCD中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ OAB=∠ COD\\ OA=OD\end{array} $
∴△ABO≌△OCD（AAS）
∴OC=AB=2cm，BO=CD=4cm
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
∵△AOD是等腰直角三角形，OA=OD=2√5 cm，∠AOD=90°
由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{20+20}=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
∵OH⊥AD，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
∴$OH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，结合了梯形、圆、三角形的相关性质，解题的关键是通过角度互余推导等角，证明三角形全等得到对应边长度，再结合特殊三角形的性质求解，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,点E在对角线AC上,$EC=BC=DC$.
(1)若$∠ CBD=39°$,求$∠ BAD$的度数;
(2)求证:$∠ 1=∠ 2$.
(1)若$∠ CBD=39°$,求$∠ BAD$的度数;
(2)求证:$∠ 1=∠ 2$.
答案
解：
(1)
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB=39°$。
由同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ BAC=∠ CDB=39°$，$∠ CAD=∠ CBD=39°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=39°+39°=78°$。
(2) 证明：
∵ $EC=BC$，
∴ $∠ CEB=∠ CBE$。
由三角形外角性质得：$∠ CEB=∠ 2+∠ BAC$，
又 $∠ CBE=∠ 1+∠ CBD$，
∴ $∠ 2+∠ BAC=∠ 1+∠ CBD$。
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB$。
由同弧所对的圆周角相等，得 $∠ CDB=∠ BAC$，
∴ $∠ CBD=∠ BAC$，
代入得 $∠ 2+∠ BAC=∠ 1+∠ BAC$，
∴ $∠ 1=∠ 2$。
(1)
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB=39°$。
由同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ BAC=∠ CDB=39°$，$∠ CAD=∠ CBD=39°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=39°+39°=78°$。
(2) 证明：
∵ $EC=BC$，
∴ $∠ CEB=∠ CBE$。
由三角形外角性质得：$∠ CEB=∠ 2+∠ BAC$，
又 $∠ CBE=∠ 1+∠ CBD$，
∴ $∠ 2+∠ BAC=∠ 1+∠ CBD$。
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB$。
由同弧所对的圆周角相等，得 $∠ CDB=∠ BAC$，
∴ $∠ CBD=∠ BAC$，
代入得 $∠ 2+∠ BAC=∠ 1+∠ BAC$，
∴ $∠ 1=∠ 2$。
解析
【分析】
(1) 求解∠BAD的度数时，可将∠BAD拆分为∠BAC与∠CAD的和。首先根据BC=DC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠CDB=∠CBD=39°，再结合同弧所对的圆周角相等的性质，可得∠BAC=∠CDB，∠CAD=∠CBD，将两个角相加即可求出∠BAD的度数。
(2) 证明∠1=∠2时，首先由EC=BC，利用等腰三角形性质得∠CEB=∠CBE。再分别将两个角拆分：根据三角形外角性质，∠CEB=∠2+∠BAC；根据角的和的关系，∠CBE=∠1+∠CBD。再结合BC=DC得∠CBD=∠CDB，由圆周角定理得∠CDB=∠BAC，因此∠CBD=∠BAC，代入之前的等式消去相等的角，即可推出∠1=∠2。
【解析】
(1)
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB=39°$。
由同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ BAC=∠ CDB=39°$，$∠ CAD=∠ CBD=39°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=39°+39°=78°$。
(2) 证明：
∵ $EC=BC$，
∴ $∠ CEB=∠ CBE$。
由三角形外角性质得：$∠ CEB=∠ 2+∠ BAC$，
又 $∠ CBE=∠ 1+∠ CBD$，
∴ $∠ 2+∠ BAC=∠ 1+∠ CBD$。
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB$。
由同弧所对的圆周角相等，得 $∠ CDB=∠ BAC$，
∴ $∠ CBD=∠ BAC$，
代入得 $∠ 2+∠ BAC=∠ 1+∠ BAC$，
∴ $∠ 1=∠ 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{78°}$；(2) $\boldsymbol{∠1=∠2}$，证明成立。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角的计算与证明的典型基础题，解题关键是灵活运用圆周角定理转化相等的圆周角，结合等腰三角形、三角形外角的性质建立角的等量关系，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠BAD的度数时，可将∠BAD拆分为∠BAC与∠CAD的和。首先根据BC=DC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠CDB=∠CBD=39°，再结合同弧所对的圆周角相等的性质，可得∠BAC=∠CDB，∠CAD=∠CBD，将两个角相加即可求出∠BAD的度数。
(2) 证明∠1=∠2时，首先由EC=BC，利用等腰三角形性质得∠CEB=∠CBE。再分别将两个角拆分：根据三角形外角性质，∠CEB=∠2+∠BAC；根据角的和的关系，∠CBE=∠1+∠CBD。再结合BC=DC得∠CBD=∠CDB，由圆周角定理得∠CDB=∠BAC，因此∠CBD=∠BAC，代入之前的等式消去相等的角，即可推出∠1=∠2。
【解析】
(1)
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB=39°$。
由同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ BAC=∠ CDB=39°$，$∠ CAD=∠ CBD=39°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=39°+39°=78°$。
(2) 证明：
∵ $EC=BC$，
∴ $∠ CEB=∠ CBE$。
由三角形外角性质得：$∠ CEB=∠ 2+∠ BAC$，
又 $∠ CBE=∠ 1+∠ CBD$，
∴ $∠ 2+∠ BAC=∠ 1+∠ CBD$。
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB$。
由同弧所对的圆周角相等，得 $∠ CDB=∠ BAC$，
∴ $∠ CBD=∠ BAC$，
代入得 $∠ 2+∠ BAC=∠ 1+∠ BAC$，
∴ $∠ 1=∠ 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{78°}$；(2) $\boldsymbol{∠1=∠2}$，证明成立。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角的计算与证明的典型基础题，解题关键是灵活运用圆周角定理转化相等的圆周角，结合等腰三角形、三角形外角的性质建立角的等量关系，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
7. 如图，BC是$\odot O$的直径，$AD ⊥ BC$，垂足为D，$\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$，BF与AD相交于点E，求证：$AE=BE$.
答案
证明：
连接AB，
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC = 90°，即∠BAD + ∠CAD = 90°，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠C + ∠CAD = 90°，
∴ ∠BAD = ∠C。
又∵ $\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$，
∴ ∠ABF = ∠C，
∴ ∠ABF = ∠BAD，
∴ AE = BE。
连接AB，
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC = 90°，即∠BAD + ∠CAD = 90°，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠C + ∠CAD = 90°，
∴ ∠BAD = ∠C。
又∵ $\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$，
∴ ∠ABF = ∠C，
∴ ∠ABF = ∠BAD，
∴ AE = BE。
解析
【分析】
要证明AE=BE，可通过证明△ABE是等腰三角形实现，即需证∠ABF=∠BAD。首先利用BC是圆的直径可得∠BAC为直角，结合AD⊥BC的条件，根据同角的余角相等可推出∠BAD=∠C；再根据等弧所对的圆周角相等，由$\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$可得到∠ABF=∠C，通过等量代换即可得到∠ABF=∠BAD，进而证得AE=BE。
【解析】
证明：连接AB，
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ ∠BAC = 90°，即∠BAD + ∠CAD = 90°，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠C + ∠CAD = 90°，
∴ ∠BAD = ∠C。
又
∵ $\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$，
∴ ∠ABF = ∠C，
∴ ∠ABF = ∠BAD，
∴ AE = BE。
【答案】
AE=BE，得证
【知识点】
圆周角定理推论、等腰三角形判定、余角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题关键是利用圆的性质和直角三角形的性质完成角的等量代换，熟练掌握相关性质可以快速找到证明思路，对锻炼几何推理能力有帮助。
【难度系数】
0.7
要证明AE=BE，可通过证明△ABE是等腰三角形实现，即需证∠ABF=∠BAD。首先利用BC是圆的直径可得∠BAC为直角，结合AD⊥BC的条件，根据同角的余角相等可推出∠BAD=∠C；再根据等弧所对的圆周角相等，由$\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$可得到∠ABF=∠C，通过等量代换即可得到∠ABF=∠BAD，进而证得AE=BE。
【解析】
证明：连接AB，
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ ∠BAC = 90°，即∠BAD + ∠CAD = 90°，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠C + ∠CAD = 90°，
∴ ∠BAD = ∠C。
又
∵ $\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$，
∴ ∠ABF = ∠C，
∴ ∠ABF = ∠BAD，
∴ AE = BE。
【答案】
AE=BE，得证
【知识点】
圆周角定理推论、等腰三角形判定、余角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题关键是利用圆的性质和直角三角形的性质完成角的等量代换，熟练掌握相关性质可以快速找到证明思路，对锻炼几何推理能力有帮助。
【难度系数】
0.7
8.如图,点 P 是$\odot O$上的一个动点,$AB=\sqrt{3}$,PC 是$∠ APB$的平分线,$∠ BAC=30°$.
(1)当$∠ PAC$等于多少度时,四边形 PACB 的面积最大? 最大面积是多少?
(2)当$∠ PAC$等于多少度时,四边形 PACB 是梯形? 试说明理由.
(1)当$∠ PAC$等于多少度时,四边形 PACB 的面积最大? 最大面积是多少?
(2)当$∠ PAC$等于多少度时,四边形 PACB 是梯形? 试说明理由.
答案
解：
(1)
∵ PC平分∠APB，
∴ ∠APC=∠BPC，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AC=BC。
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠ABC=∠BAC=30°，
∴ ∠ACB=180°-30°-30°=120°。
∵ 四边形PACB是圆内接四边形，
∴ ∠APB=180°-∠ACB=60°。
四边形PACB的面积$S=S_{△ PAB}+S_{△ ABC}$，其中$S_{△ ABC}$为定值，当点P是优弧AB的中点时，点P到AB的距离最大，此时$△ PAB$的面积最大，四边形PACB的面积最大。
此时PA=PB，结合∠APB=60°，可知$△ PAB$为等边三角形，PC过圆心O，即PC为⊙O的直径。
连接OA、OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠APB=120°，
∵ OA=OB，AB=$\sqrt{3}$，可求得⊙O半径为1。
点C到AB的距离为$\frac{1}{2}$，点P到AB的距离为$\frac{3}{2}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴ 四边形PACB的最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$。
此时∠PAB=60°，
∴ ∠PAC=∠PAB+∠BAC=60°+30°=90°。
(2)
当∠PAC等于60°或120°时，四边形PACB是梯形，理由如下：
① 当∠PAC=60°时：
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠PAB=60°-30°=30°，
又∵ ∠ABC=30°，
∴ ∠PAB=∠ABC，
∴ PA//BC。
此时PA≠BC，且AC与PB不平行，
∴ 四边形PACB是梯形。
② 当∠PAC=120°时：
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠PAB=120°-30°=90°，
又∵ ∠APB=60°，
∴ ∠PBA=180°-90°-60°=30°，
∴ ∠PBA=∠BAC，
∴ PB//AC。
此时PB≠AC，且PA与BC不平行，
∴ 四边形PACB是梯形。
综上，(1)当∠PAC=90°时，四边形PACB面积最大，最大面积为$\sqrt{3}$；(2)当∠PAC为60°或120°时，四边形PACB是梯形。
(1)
∵ PC平分∠APB，
∴ ∠APC=∠BPC，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AC=BC。
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠ABC=∠BAC=30°，
∴ ∠ACB=180°-30°-30°=120°。
∵ 四边形PACB是圆内接四边形，
∴ ∠APB=180°-∠ACB=60°。
四边形PACB的面积$S=S_{△ PAB}+S_{△ ABC}$，其中$S_{△ ABC}$为定值，当点P是优弧AB的中点时，点P到AB的距离最大，此时$△ PAB$的面积最大，四边形PACB的面积最大。
此时PA=PB，结合∠APB=60°，可知$△ PAB$为等边三角形，PC过圆心O，即PC为⊙O的直径。
连接OA、OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠APB=120°，
∵ OA=OB，AB=$\sqrt{3}$，可求得⊙O半径为1。
点C到AB的距离为$\frac{1}{2}$，点P到AB的距离为$\frac{3}{2}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴ 四边形PACB的最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$。
此时∠PAB=60°，
∴ ∠PAC=∠PAB+∠BAC=60°+30°=90°。
(2)
当∠PAC等于60°或120°时，四边形PACB是梯形，理由如下：
① 当∠PAC=60°时：
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠PAB=60°-30°=30°，
又∵ ∠ABC=30°，
∴ ∠PAB=∠ABC，
∴ PA//BC。
此时PA≠BC，且AC与PB不平行，
∴ 四边形PACB是梯形。
② 当∠PAC=120°时：
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠PAB=120°-30°=90°，
又∵ ∠APB=60°，
∴ ∠PBA=180°-90°-60°=30°，
∴ ∠PBA=∠BAC，
∴ PB//AC。
此时PB≠AC，且PA与BC不平行，
∴ 四边形PACB是梯形。
综上，(1)当∠PAC=90°时，四边形PACB面积最大，最大面积为$\sqrt{3}$；(2)当∠PAC为60°或120°时，四边形PACB是梯形。
解析
【分析】
(1) 由PC平分∠APB，结合圆周角定理可得弧AC=弧BC，即AC=BC，△ABC的形状、大小固定，因此四边形PACB的面积可拆分为定值$S_{△ ABC}$与$S_{△ PAB}$之和。要使四边形面积最大，只需$S_{△ PAB}$最大，AB为定长，因此当点P到AB的距离最大（即P为优弧AB的中点）时，$△ PAB$面积最大，再结合已知角度计算∠PAC的度数和最大面积即可。
(2) 梯形的判定要求只有一组对边平行，因此分两种情况讨论：①PA//BC，②PB//AC，分别根据平行线的性质和已知角度计算对应∠PAC的度数，同时验证另一组对边不平行、平行的对边不相等（排除平行四边形的情况）即可。
【解析】
(1)
∵ PC平分∠APB，
∴ ∠APC=∠BPC，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AC=BC。
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠ABC=∠BAC=30°，
∴ ∠ACB=180°-30°-30°=120°。
∵ 四边形PACB是圆内接四边形，
∴ ∠APB=180°-∠ACB=60°。
四边形PACB的面积$S=S_{△ PAB}+S_{△ ABC}$，其中$S_{△ ABC}$为定值，当点P是优弧AB的中点时，点P到AB的距离最大，此时$△ PAB$的面积最大，四边形PACB的面积最大。
此时PA=PB，结合∠APB=60°，可知$△ PAB$为等边三角形，PC过圆心O，即PC为⊙O的直径。
连接OA、OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠APB=120°，
∵ OA=OB，AB=$\sqrt{3}$，可求得⊙O半径为1。
点C到AB的距离为$\frac{1}{2}$，点P到AB的距离为$\frac{3}{2}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴ 四边形PACB的最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$。
此时∠PAB=60°，
∴ ∠PAC=∠PAB+∠BAC=60°+30°=90°。
(2)
当∠PAC等于60°或120°时，四边形PACB是梯形，理由如下：
① 当∠PAC=60°时：
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠PAB=60°-30°=30°，
又
∵ ∠ABC=30°，
∴ ∠PAB=∠ABC，
∴ PA//BC。
此时PA≠BC，且AC与PB不平行，
∴ 四边形PACB是梯形。
② 当∠PAC=120°时：
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠PAB=120°-30°=90°，
又
∵ ∠APB=60°，
∴ ∠PBA=180°-90°-60°=30°，
∴ ∠PBA=∠BAC，
∴ PB//AC。
此时PB≠AC，且PA与BC不平行，
∴ 四边形PACB是梯形。
【答案】
(1)当∠PAC=90°时，四边形PACB的面积最大，最大面积为$\sqrt{3}$；(2)当∠PAC为60°或120°时，四边形PACB是梯形。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，梯形的判定
【点评】
本题综合考查圆的性质、几何最值求解和特殊四边形的判定，解题时需将四边形面积拆分分析最值，同时注意梯形判定时的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 由PC平分∠APB，结合圆周角定理可得弧AC=弧BC，即AC=BC，△ABC的形状、大小固定，因此四边形PACB的面积可拆分为定值$S_{△ ABC}$与$S_{△ PAB}$之和。要使四边形面积最大，只需$S_{△ PAB}$最大，AB为定长，因此当点P到AB的距离最大（即P为优弧AB的中点）时，$△ PAB$面积最大，再结合已知角度计算∠PAC的度数和最大面积即可。
(2) 梯形的判定要求只有一组对边平行，因此分两种情况讨论：①PA//BC，②PB//AC，分别根据平行线的性质和已知角度计算对应∠PAC的度数，同时验证另一组对边不平行、平行的对边不相等（排除平行四边形的情况）即可。
【解析】
(1)
∵ PC平分∠APB，
∴ ∠APC=∠BPC，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AC=BC。
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠ABC=∠BAC=30°，
∴ ∠ACB=180°-30°-30°=120°。
∵ 四边形PACB是圆内接四边形，
∴ ∠APB=180°-∠ACB=60°。
四边形PACB的面积$S=S_{△ PAB}+S_{△ ABC}$，其中$S_{△ ABC}$为定值，当点P是优弧AB的中点时，点P到AB的距离最大，此时$△ PAB$的面积最大，四边形PACB的面积最大。
此时PA=PB，结合∠APB=60°，可知$△ PAB$为等边三角形，PC过圆心O，即PC为⊙O的直径。
连接OA、OB，由圆周角定理得∠AOB=2∠APB=120°，
∵ OA=OB，AB=$\sqrt{3}$，可求得⊙O半径为1。
点C到AB的距离为$\frac{1}{2}$，点P到AB的距离为$\frac{3}{2}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴ 四边形PACB的最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$。
此时∠PAB=60°，
∴ ∠PAC=∠PAB+∠BAC=60°+30°=90°。
(2)
当∠PAC等于60°或120°时，四边形PACB是梯形，理由如下：
① 当∠PAC=60°时：
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠PAB=60°-30°=30°，
又
∵ ∠ABC=30°，
∴ ∠PAB=∠ABC，
∴ PA//BC。
此时PA≠BC，且AC与PB不平行，
∴ 四边形PACB是梯形。
② 当∠PAC=120°时：
∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠PAB=120°-30°=90°，
又
∵ ∠APB=60°，
∴ ∠PBA=180°-90°-60°=30°，
∴ ∠PBA=∠BAC，
∴ PB//AC。
此时PB≠AC，且PA与BC不平行，
∴ 四边形PACB是梯形。
【答案】
(1)当∠PAC=90°时，四边形PACB的面积最大，最大面积为$\sqrt{3}$；(2)当∠PAC为60°或120°时，四边形PACB是梯形。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，梯形的判定
【点评】
本题综合考查圆的性质、几何最值求解和特殊四边形的判定，解题时需将四边形面积拆分分析最值，同时注意梯形判定时的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
