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例1 如图,AC是⊙O的直径,△ABC是等边三角形,则∠BDC与∠ACD的度数分别为()
A.90°,45°
B.30°,90°
C.90°,30°
D.60°,45°
【思路导析】直径所对的圆周角是90°.
【请你解答】.
A.90°,45°
B.30°,90°
C.90°,30°
D.60°,45°
【思路导析】直径所对的圆周角是90°.
【请你解答】.
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AC是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，可先得到∠ADC的度数，再结合平角定义推导∠BDC的度数；其次△ABC是等边三角形，可得到∠BAC的度数，最后在直角三角形ADC中利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠ACD的度数即可。
【解析】
1. 因为AC是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ADC=90°$。
2. 由于点A、D、B共线，$∠ ADC+∠ BDC=180°$，因此$∠ BDC=180°-90°=90°$。
3. 因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ BAC=60°$。
4. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ DAC=∠ BAC=60°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ ACD=90°-60°=30°$。
综上，$∠ BDC=90°$，$∠ ACD=30°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质和特殊三角形性质的基础综合题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角的结论，结合三角形内角相关性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先AC是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，可先得到∠ADC的度数，再结合平角定义推导∠BDC的度数；其次△ABC是等边三角形，可得到∠BAC的度数，最后在直角三角形ADC中利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠ACD的度数即可。
【解析】
1. 因为AC是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ADC=90°$。
2. 由于点A、D、B共线，$∠ ADC+∠ BDC=180°$，因此$∠ BDC=180°-90°=90°$。
3. 因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ BAC=60°$。
4. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ DAC=∠ BAC=60°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ ACD=90°-60°=30°$。
综上，$∠ BDC=90°$，$∠ ACD=30°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质和特殊三角形性质的基础综合题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角的结论，结合三角形内角相关性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
例2 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC=。
【思路导析】AB是直径，∠ACB=90°，∠D=∠B。
【请你解答】
【思路导析】AB是直径，∠ACB=90°，∠D=∠B。
【请你解答】
答案
$\boldsymbol{36°}$
解析
【分析】
解题时首先观察到AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形，两个锐角互余；再根据同弧所对的圆周角相等，∠ADC和∠ABC都对应弧AC，因此∠ABC=∠ADC=54°，最后用90°减去∠ABC的度数即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=54°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACB中，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=90°-54°=36°。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
圆周角定理及推论，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是从直径的特殊性质入手得到直角，再结合同弧圆周角相等的性质传递已知角度，最后利用直角三角形的角度关系计算结果，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形，两个锐角互余；再根据同弧所对的圆周角相等，∠ADC和∠ABC都对应弧AC，因此∠ABC=∠ADC=54°，最后用90°减去∠ABC的度数即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=54°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACB中，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=90°-54°=36°。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
圆周角定理及推论，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是从直径的特殊性质入手得到直角，再结合同弧圆周角相等的性质传递已知角度，最后利用直角三角形的角度关系计算结果，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
例3 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，E为BC延长线上一点，$∠ DCE = 60°$，则$∠ A =$。
【思路导析】运用圆内接四边形对角互补的性质进行解答。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 圆周角的综合运用
【思路导析】运用圆内接四边形对角互补的性质进行解答。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 圆周角的综合运用
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
【分析】
解题时首先观察题干特征：已知四边形是圆内接四边形，∠DCE是该四边形的外角，要求内角∠A的度数。首先回忆圆内接四边形的性质：1. 圆内接四边形对角互补；2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和外角相邻的内角的对角）。本题可以用两种思路求解：思路一，直接利用外角等于内对角的性质，得到∠A=∠DCE，直接代入数值即可；思路二，先根据平角的定义求出∠BCD的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质计算∠A的度数，两种方法均能快速得到结果。
【解析】
方法一：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A = ∠ DCE$（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
又
∵$∠ DCE=60°$，
∴$∠ A=60°$。
方法二：
∵$∠ DCE$与$∠ BCD$是邻补角，
∴$∠ BCD=180°-∠ DCE=180°-60°=120°$，
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A+∠ BCD=180°$（圆内接四边形的对角互补），
∴$∠ A=180°-120°=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握圆内接四边形的相关性质即可快速解题，可根据自身习惯选择简便的计算方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干特征：已知四边形是圆内接四边形，∠DCE是该四边形的外角，要求内角∠A的度数。首先回忆圆内接四边形的性质：1. 圆内接四边形对角互补；2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（和外角相邻的内角的对角）。本题可以用两种思路求解：思路一，直接利用外角等于内对角的性质，得到∠A=∠DCE，直接代入数值即可；思路二，先根据平角的定义求出∠BCD的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质计算∠A的度数，两种方法均能快速得到结果。
【解析】
方法一：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A = ∠ DCE$（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
又
∵$∠ DCE=60°$，
∴$∠ A=60°$。
方法二：
∵$∠ DCE$与$∠ BCD$是邻补角，
∴$∠ BCD=180°-∠ DCE=180°-60°=120°$，
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A+∠ BCD=180°$（圆内接四边形的对角互补），
∴$∠ A=180°-120°=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握圆内接四边形的相关性质即可快速解题，可根据自身习惯选择简便的计算方法。
【难度系数】
0.8
例4 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，
以$BC$为直径作$\odot O$，若$AD=3$，$AE=4$，求$BD$，$BE$的长.
【探究点拨】连接$BE$，运用直径所对的圆周角为$90°$，构建直角三角形求解.
【规范解答】连接$BE$. $\because BC$为直径，
$\therefore ∠ BEA=90°$.
又$\because ∠ A=60°,AE=4$，
$\therefore ∠ ABE=30°$,
$AB=2AE=8$.
而$AD=3$，
$\therefore BD=AB-AD=8-3=5$.
$\therefore BE=\sqrt{8^2 -4^2}=4\sqrt{3}$.
以$BC$为直径作$\odot O$，若$AD=3$，$AE=4$，求$BD$，$BE$的长.
【探究点拨】连接$BE$，运用直径所对的圆周角为$90°$，构建直角三角形求解.
【规范解答】连接$BE$. $\because BC$为直径，
$\therefore ∠ BEA=90°$.
又$\because ∠ A=60°,AE=4$，
$\therefore ∠ ABE=30°$,
$AB=2AE=8$.
而$AD=3$，
$\therefore BD=AB-AD=8-3=5$.
$\therefore BE=\sqrt{8^2 -4^2}=4\sqrt{3}$.
答案
解：
连接BE。
∵ BC为⊙O的直径，
∴ ∠BEC=90°，即∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，∠A=60°，
∴ ∠ABE=90°-∠A=30°，
∴ AB=2AE。
∵ AE=4，
∴ AB=8。
又∵ AD=3，
∴ BD=AB-AD=8-3=5。
由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$。
答：BD的长为5，BE的长为$4\sqrt{3}$。
连接BE。
∵ BC为⊙O的直径，
∴ ∠BEC=90°，即∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，∠A=60°，
∴ ∠ABE=90°-∠A=30°，
∴ AB=2AE。
∵ AE=4，
∴ AB=8。
又∵ AD=3，
∴ BD=AB-AD=8-3=5。
由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$。
答：BD的长为5，BE的长为$4\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解题时首先观察到已知条件有圆的直径BC，根据直径所对的圆周角为直角的性质，可连接辅助线BE，得到直角△ABE；已知△ABE中∠A=60°，AE=4，可先利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再用AB减去AD的长度得到BD的长；最后在Rt△ABE中用勾股定理即可求出BE的长度。
【解析】
连接BE。
∵ BC为⊙O的直径，
∴ ∠BEC=90°，即∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，∠A=60°，
∴ ∠ABE=90°-∠A=30°，
∴ AB=2AE。
∵ AE=4，
∴ AB=8。
又
∵ AD=3，
∴ BD=AB-AD=8-3=5。
由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$。
【答案】
BD的长为5，BE的长为$4\sqrt{3}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础题型，解题的核心是掌握“遇到直径时，常构造直径所对的直角”这一常用辅助线做法，结合直角三角形的性质即可快速求解，要熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到已知条件有圆的直径BC，根据直径所对的圆周角为直角的性质，可连接辅助线BE，得到直角△ABE；已知△ABE中∠A=60°，AE=4，可先利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再用AB减去AD的长度得到BD的长；最后在Rt△ABE中用勾股定理即可求出BE的长度。
【解析】
连接BE。
∵ BC为⊙O的直径，
∴ ∠BEC=90°，即∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，∠A=60°，
∴ ∠ABE=90°-∠A=30°，
∴ AB=2AE。
∵ AE=4，
∴ AB=8。
又
∵ AD=3，
∴ BD=AB-AD=8-3=5。
由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$。
【答案】
BD的长为5，BE的长为$4\sqrt{3}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础题型，解题的核心是掌握“遇到直径时，常构造直径所对的直角”这一常用辅助线做法，结合直角三角形的性质即可快速求解，要熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.8
1.如图，四边形ABCD是菱形，$\odot O$经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE。若$∠ ADC=80°$，则$∠ EAC$的度数是。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
要计算∠EAC的度数，可按以下思路推导：首先利用菱形的性质求出∠ACB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出∠AEC的度数，最后在△AEC中利用三角形内角和定理即可算出∠EAC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=80°，
∴AD=DC，AD//BC，
∴△ADC为等腰三角形，$∠ DAC=∠ DCA=\frac{180°-∠ ADC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$，
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=50°（两直线平行，内错角相等）。
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠AEC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠AEC=180°-80°=100°。
在△AEC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ EAC=180°-∠ AEC-∠ ACE=180°-100°-50°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
菱形的性质；圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，将菱形的角的性质、圆内接四边形的角的性质结合考查，解题的核心是准确找到各角之间的数量关系，再结合三角形内角和计算即可。
【难度系数】
0.7
要计算∠EAC的度数，可按以下思路推导：首先利用菱形的性质求出∠ACB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出∠AEC的度数，最后在△AEC中利用三角形内角和定理即可算出∠EAC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=80°，
∴AD=DC，AD//BC，
∴△ADC为等腰三角形，$∠ DAC=∠ DCA=\frac{180°-∠ ADC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$，
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=50°（两直线平行，内错角相等）。
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠AEC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠AEC=180°-80°=100°。
在△AEC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ EAC=180°-∠ AEC-∠ ACE=180°-100°-50°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
菱形的性质；圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，将菱形的角的性质、圆内接四边形的角的性质结合考查，解题的核心是准确找到各角之间的数量关系，再结合三角形内角和计算即可。
【难度系数】
0.7
2.如图,点A,B,C,D都在⊙O上.
(1)找出圆中四对分别相等的圆周角；
(2)已知∠DAC=70°,∠BAC=50°,求∠BCD的度数.
(1)找出圆中四对分别相等的圆周角；
(2)已知∠DAC=70°,∠BAC=50°,求∠BCD的度数.
答案
解：
(1) 由同弧所对的圆周角相等，可得四对相等的圆周角为：
$∠ BAC = ∠ BDC$，
$∠ CBD = ∠ CAD$，
$∠ ABD = ∠ ACD$，
$∠ ADB = ∠ ACB$。
（答案合理即可）
(2) 首先计算：
$∠ BAD = ∠ DAC + ∠ BAC = 70° + 50° = 120°$
因为点$A,B,C,D$都在$\odot O$上，所以四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形。
根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
因此：
$∠ BCD = 180° - ∠ BAD = 180° - 120° = 60°$
答：$∠ BCD$的度数为$60°$。
(1) 由同弧所对的圆周角相等，可得四对相等的圆周角为：
$∠ BAC = ∠ BDC$，
$∠ CBD = ∠ CAD$，
$∠ ABD = ∠ ACD$，
$∠ ADB = ∠ ACB$。
（答案合理即可）
(2) 首先计算：
$∠ BAD = ∠ DAC + ∠ BAC = 70° + 50° = 120°$
因为点$A,B,C,D$都在$\odot O$上，所以四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形。
根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
因此：
$∠ BCD = 180° - ∠ BAD = 180° - 120° = 60°$
答：$∠ BCD$的度数为$60°$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问需要用到圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，只需找到对应同一段弧的两组圆周角，选取四对即可。
(2) 解决第二问首先可将已知的两个角相加得到∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD和∠BCD是圆内接四边形的一组对角，二者和为180°，代入∠BAD的度数就能求出∠BCD的大小。
【解析】
(1) 根据同弧所对的圆周角相等，可得四对相等的圆周角如下（答案不唯一）：
$∠BAC = ∠BDC$（同弧$BC$所对的圆周角），
$∠CBD = ∠CAD$（同弧$CD$所对的圆周角），
$∠ABD = ∠ACD$（同弧$AD$所对的圆周角），
$∠ADB = ∠ACB$（同弧$AB$所对的圆周角）。
(2) 先计算$∠ BAD$的度数：
$∠ BAD = ∠ DAC + ∠ BAC = 70° + 50° = 120°$
$\because$ 点$A,B,C,D$都在$\odot O$上，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
$\therefore ∠ BCD = 180° - ∠ BAD = 180° - 120° = 60°$。
【答案】
(1) $∠BAC = ∠BDC$，$∠CBD = ∠CAD$，$∠ABD = ∠ACD$，$∠ADB = ∠ACB$（答案合理即可）；
(2) $60°$
【知识点】
圆周角定理推论，圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆的基础性质常规题，核心考查学生对同弧所对圆周角相等、圆内接四边形对角互补这两个基础性质的掌握和运用能力，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问需要用到圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，只需找到对应同一段弧的两组圆周角，选取四对即可。
(2) 解决第二问首先可将已知的两个角相加得到∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD和∠BCD是圆内接四边形的一组对角，二者和为180°，代入∠BAD的度数就能求出∠BCD的大小。
【解析】
(1) 根据同弧所对的圆周角相等，可得四对相等的圆周角如下（答案不唯一）：
$∠BAC = ∠BDC$（同弧$BC$所对的圆周角），
$∠CBD = ∠CAD$（同弧$CD$所对的圆周角），
$∠ABD = ∠ACD$（同弧$AD$所对的圆周角），
$∠ADB = ∠ACB$（同弧$AB$所对的圆周角）。
(2) 先计算$∠ BAD$的度数：
$∠ BAD = ∠ DAC + ∠ BAC = 70° + 50° = 120°$
$\because$ 点$A,B,C,D$都在$\odot O$上，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
$\therefore ∠ BCD = 180° - ∠ BAD = 180° - 120° = 60°$。
【答案】
(1) $∠BAC = ∠BDC$，$∠CBD = ∠CAD$，$∠ABD = ∠ACD$，$∠ADB = ∠ACB$（答案合理即可）；
(2) $60°$
【知识点】
圆周角定理推论，圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆的基础性质常规题，核心考查学生对同弧所对圆周角相等、圆内接四边形对角互补这两个基础性质的掌握和运用能力，难度较低。
【难度系数】
0.8
