登录
例1 如图，用一个半径为R，圆心角为90°的扇形做成一个圆锥的侧面，设圆锥底面的半径为r，求R:r.
【思路导析】扇形的弧长与圆锥底面的周长相等.
【请你解答】
【思路导析】扇形的弧长与圆锥底面的周长相等.
【请你解答】
答案
解：
半径为R，圆心角为90°的扇形的弧长为：
$l=\frac{90π R}{180}=\frac{1}{2}π R$
由题意可知，该弧长等于圆锥底面的周长，因此：
$2π r = \frac{1}{2}π R$
两边同时除以$π$，整理得：
$R = 4r$
因此$R:r=4:1$。
半径为R，圆心角为90°的扇形的弧长为：
$l=\frac{90π R}{180}=\frac{1}{2}π R$
由题意可知，该弧长等于圆锥底面的周长，因此：
$2π r = \frac{1}{2}π R$
两边同时除以$π$，整理得：
$R = 4r$
因此$R:r=4:1$。
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥的对应等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面的周长。解题时首先利用扇形弧长公式算出半径为R、圆心角90°的扇形弧长，再根据圆的周长公式写出圆锥底面周长，令二者相等建立等式，最后整理化简即可求出R与r的比值。
【解析】
解：半径为R，圆心角为90°的扇形的弧长为：
$l=\frac{90π R}{180}=\frac{1}{2}π R$
由题意可知，该弧长等于圆锥底面的周长，因此：
$2π r = \frac{1}{2}π R$
两边同时除以$π$，整理得：
$R = 4r$
因此$R:r=4:1$。
【答案】
$4:1$
【知识点】
扇形弧长计算；圆锥侧面展开性质；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥侧面展开相关的基础题型，解题关键是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，掌握该对应关系即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥的对应等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面的周长。解题时首先利用扇形弧长公式算出半径为R、圆心角90°的扇形弧长，再根据圆的周长公式写出圆锥底面周长，令二者相等建立等式，最后整理化简即可求出R与r的比值。
【解析】
解：半径为R，圆心角为90°的扇形的弧长为：
$l=\frac{90π R}{180}=\frac{1}{2}π R$
由题意可知，该弧长等于圆锥底面的周长，因此：
$2π r = \frac{1}{2}π R$
两边同时除以$π$，整理得：
$R = 4r$
因此$R:r=4:1$。
【答案】
$4:1$
【知识点】
扇形弧长计算；圆锥侧面展开性质；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥侧面展开相关的基础题型，解题关键是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，掌握该对应关系即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7
例2 制作一个高为12 cm，底面直径为10 cm的圆锥，求这个圆锥的全面积。
【思路导析】运用公式$π rl + π r^2$求全面积。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】运用公式$π rl + π r^2$求全面积。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
∵ 圆锥的底面直径为10 cm，
∴ 圆锥的底面半径 $r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得圆锥的母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\ \mathrm{cm}$。
∴ 圆锥的侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 5 × 13 = 65π\ \mathrm{cm}^2$，
圆锥的底面积 $S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 5^2 = 25π\ \mathrm{cm}^2$，
∴ 圆锥的全面积 $S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 65π + 25π = 90π\ \mathrm{cm}^2$。
答：这个圆锥的全面积为$90π\ \mathrm{cm}^2$。
∵ 圆锥的底面直径为10 cm，
∴ 圆锥的底面半径 $r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得圆锥的母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\ \mathrm{cm}$。
∴ 圆锥的侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 5 × 13 = 65π\ \mathrm{cm}^2$，
圆锥的底面积 $S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 5^2 = 25π\ \mathrm{cm}^2$，
∴ 圆锥的全面积 $S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 65π + 25π = 90π\ \mathrm{cm}^2$。
答：这个圆锥的全面积为$90π\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积的构成：全面积=侧面积+底面积。第一步，从已知的底面直径求出底面半径，底面积可直接用圆的面积公式计算；第二步，圆锥侧面积的计算需要用到母线长，圆锥的高、底面半径、母线恰好构成直角三角形，因此可以用勾股定理求出母线长；第三步，分别代入侧面积和底面积公式计算，再求和即可得到全面积。
【解析】
解：
∵ 圆锥的底面直径为10 cm，
∴ 圆锥的底面半径 $r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得圆锥的母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\ \mathrm{cm}$。
∴ 圆锥的侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 5 × 13 = 65π\ \mathrm{cm}^2$，
圆锥的底面积 $S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 5^2 = 25π\ \mathrm{cm}^2$，
∴ 圆锥的全面积 $S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 65π + 25π = 90π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$90π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥面积计算；勾股定理；圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的基础题型，解题核心是理清圆锥底面半径、高、母线长三者的数量关系，计算时注意不要遗漏底面积，熟记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积的构成：全面积=侧面积+底面积。第一步，从已知的底面直径求出底面半径，底面积可直接用圆的面积公式计算；第二步，圆锥侧面积的计算需要用到母线长，圆锥的高、底面半径、母线恰好构成直角三角形，因此可以用勾股定理求出母线长；第三步，分别代入侧面积和底面积公式计算，再求和即可得到全面积。
【解析】
解：
∵ 圆锥的底面直径为10 cm，
∴ 圆锥的底面半径 $r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm}$。
由勾股定理得圆锥的母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\ \mathrm{cm}$。
∴ 圆锥的侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 5 × 13 = 65π\ \mathrm{cm}^2$，
圆锥的底面积 $S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 5^2 = 25π\ \mathrm{cm}^2$，
∴ 圆锥的全面积 $S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 65π + 25π = 90π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$90π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥面积计算；勾股定理；圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的基础题型，解题核心是理清圆锥底面半径、高、母线长三者的数量关系，计算时注意不要遗漏底面积，熟记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
例3 如图，已知圆锥的底面半径OA=10 cm，母线CA=40 cm，一蚂蚁由底面上一点A出发，绕其侧面一周的最短路线的长度是多少？
【探究点拨】画出圆锥侧面展开图，运用勾股定理求解.
【规范解答】设展开图的圆心角为n，
则 $2π × 10 = \frac{nπ × 40}{180°}$，
$n=90°$.
所以$△ ACA'$为直角三角形，
∴ $AA'=\sqrt{40^2 + 40^2}$
$=40\sqrt{2}$.
即蚂蚁爬行的最短路程为 $40\sqrt{2}$ cm.
【探究点拨】画出圆锥侧面展开图，运用勾股定理求解.
【规范解答】设展开图的圆心角为n，
则 $2π × 10 = \frac{nπ × 40}{180°}$，
$n=90°$.
所以$△ ACA'$为直角三角形，
∴ $AA'=\sqrt{40^2 + 40^2}$
$=40\sqrt{2}$.
即蚂蚁爬行的最短路程为 $40\sqrt{2}$ cm.
答案
解：设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得：
$2π × 10 = \frac{nπ × 40}{180}$
解得$n=90$，即$∠ ACA' = 90°$。
由题意知母线长$CA=CA'=40\ \mathrm{cm}$，根据两点之间线段最短，蚂蚁绕侧面一周的最短路线长度即为线段$AA'$的长。
在$\mathrm{Rt}△ ACA'$中，由勾股定理得：
$AA' = \sqrt{CA^2 + CA'^2} = \sqrt{40^2 + 40^2} = 40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
答：蚂蚁由底面上一点A出发绕其侧面一周的最短路线的长度是$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得：
$2π × 10 = \frac{nπ × 40}{180}$
解得$n=90$，即$∠ ACA' = 90°$。
由题意知母线长$CA=CA'=40\ \mathrm{cm}$，根据两点之间线段最短，蚂蚁绕侧面一周的最短路线长度即为线段$AA'$的长。
在$\mathrm{Rt}△ ACA'$中，由勾股定理得：
$AA' = \sqrt{CA^2 + CA'^2} = \sqrt{40^2 + 40^2} = 40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
答：蚂蚁由底面上一点A出发绕其侧面一周的最短路线的长度是$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
要解决蚂蚁绕圆锥侧面爬行的最短路线问题，需将曲面路径转化为平面路径求解：首先把圆锥侧面展开为扇形，一是利用“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”的关系，求出展开扇形的圆心角度数；二是根据“两点之间线段最短”，可知蚂蚁爬行的最短路线就是展开图中A、A'两点间的线段长度；最后结合求出的圆心角判断三角形形状，用勾股定理计算线段长度即可得到结果。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得：
$2π × 10 = \frac{nπ × 40}{180}$
解得$n=90$，即$∠ ACA' = 90°$。
由题意知母线长$CA=CA'=40\ \mathrm{cm}$，根据两点之间线段最短，蚂蚁绕侧面一周的最短路线长度即为线段$AA'$的长。
在$\mathrm{Rt}△ ACA'$中，由勾股定理得：
$AA' = \sqrt{CA^2 + CA'^2} = \sqrt{40^2 + 40^2} = 40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是曲面最短路径的典型考题，解题核心是将圆锥侧面展开转化为平面图形，建立曲面与平面的对应关系，结合弧长公式和勾股定理求解，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.65
要解决蚂蚁绕圆锥侧面爬行的最短路线问题，需将曲面路径转化为平面路径求解：首先把圆锥侧面展开为扇形，一是利用“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”的关系，求出展开扇形的圆心角度数；二是根据“两点之间线段最短”，可知蚂蚁爬行的最短路线就是展开图中A、A'两点间的线段长度；最后结合求出的圆心角判断三角形形状，用勾股定理计算线段长度即可得到结果。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得：
$2π × 10 = \frac{nπ × 40}{180}$
解得$n=90$，即$∠ ACA' = 90°$。
由题意知母线长$CA=CA'=40\ \mathrm{cm}$，根据两点之间线段最短，蚂蚁绕侧面一周的最短路线长度即为线段$AA'$的长。
在$\mathrm{Rt}△ ACA'$中，由勾股定理得：
$AA' = \sqrt{CA^2 + CA'^2} = \sqrt{40^2 + 40^2} = 40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$40\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是曲面最短路径的典型考题，解题核心是将圆锥侧面展开转化为平面图形，建立曲面与平面的对应关系，结合弧长公式和勾股定理求解，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.65
1.已知圆锥底面圆的半径为6 cm，高为8 cm，求圆锥的侧面积和全面积。
答案
解：
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l。
由题意得r=6 cm，h=8 cm，
根据勾股定理，得母线长：
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{cm}$
圆锥的侧面积：
$S_{\mathrm{侧}} = π rl = π × 6 × 10 = 60π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥的底面积：
$S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 6^2 = 36π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥的全面积：
$S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 60π + 36π = 96π\ \mathrm{cm}^2$
答：圆锥的侧面积为$60π\ \mathrm{cm}^2$，全面积为$96π\ \mathrm{cm}^2$。
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l。
由题意得r=6 cm，h=8 cm，
根据勾股定理，得母线长：
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{cm}$
圆锥的侧面积：
$S_{\mathrm{侧}} = π rl = π × 6 × 10 = 60π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥的底面积：
$S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 6^2 = 36π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥的全面积：
$S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 60π + 36π = 96π\ \mathrm{cm}^2$
答：圆锥的侧面积为$60π\ \mathrm{cm}^2$，全面积为$96π\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积和全面积，首先明确已知量：底面半径r=6cm、高h=8cm。圆锥侧面积公式为$S_{侧}=πrl$，其中l为母线长，是未知量。由于圆锥的底面半径、高、母线长刚好构成直角三角形，母线为斜边，因此可以先用勾股定理求出母线长l，再代入侧面积公式计算侧面积，最后计算底面积，将侧面积与底面积相加即可得到全面积。
【解析】
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l。
由题意得r=6 cm，h=8 cm，
根据勾股定理，得母线长：
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{cm}$
圆锥的侧面积：
$S_{\mathrm{侧}} = π rl = π × 6 × 10 = 60π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥的底面积：
$S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 6^2 = 36π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥的全面积：
$S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 60π + 36π = 96π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
圆锥的侧面积为$60π\ \mathrm{cm}^2$，全面积为$96π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的基础常规题，核心是掌握圆锥各参数的几何关系，熟记对应面积公式，先求解未知的母线长后代入公式即可完成计算。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的侧面积和全面积，首先明确已知量：底面半径r=6cm、高h=8cm。圆锥侧面积公式为$S_{侧}=πrl$，其中l为母线长，是未知量。由于圆锥的底面半径、高、母线长刚好构成直角三角形，母线为斜边，因此可以先用勾股定理求出母线长l，再代入侧面积公式计算侧面积，最后计算底面积，将侧面积与底面积相加即可得到全面积。
【解析】
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l。
由题意得r=6 cm，h=8 cm，
根据勾股定理，得母线长：
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{cm}$
圆锥的侧面积：
$S_{\mathrm{侧}} = π rl = π × 6 × 10 = 60π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥的底面积：
$S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 6^2 = 36π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥的全面积：
$S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 60π + 36π = 96π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
圆锥的侧面积为$60π\ \mathrm{cm}^2$，全面积为$96π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的基础常规题，核心是掌握圆锥各参数的几何关系，熟记对应面积公式，先求解未知的母线长后代入公式即可完成计算。
【难度系数】
0.8
