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2.一个圆锥的高度为$3\sqrt{3}$ cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的母线长和底面半径。
答案
解：设圆锥的母线长为$ R \, \mathrm{cm} $，底面半径为$ r \, \mathrm{cm} $。
因为圆锥的侧面展开图是半圆，侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面的周长，因此：
$π R = 2π r$
化简得：$ R = 2r $。
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = R^2$
将$ R=2r $代入上式：
$r^2 + 27 = 4r^2$
整理得$ 3r^2 = 27 $，解得正根$ r=3 $，
则$ R = 2r = 6 $。
答：圆锥的母线长为6 cm，底面半径为3 cm。
因为圆锥的侧面展开图是半圆，侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面的周长，因此：
$π R = 2π r$
化简得：$ R = 2r $。
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = R^2$
将$ R=2r $代入上式：
$r^2 + 27 = 4r^2$
整理得$ 3r^2 = 27 $，解得正根$ r=3 $，
则$ R = 2r = 6 $。
答：圆锥的母线长为6 cm，底面半径为3 cm。
解析
【分析】
解题需抓住两个核心等量关系：1. 圆锥侧面展开图的弧长与圆锥底面周长相等，这是连接圆锥侧面和底面的关键纽带；2. 圆锥的母线长、底面半径、高恰好构成直角三角形，满足勾股定理。我们可以先设母线长为$R$、底面半径为$r$，先通过弧长和周长的关系推出$R$与$r$的数量关系，再结合已知的高代入勾股定理列方程，即可依次求出两个未知量的值。
【解析】
解：设圆锥的母线长为$ R \, \mathrm{cm} $，底面半径为$ r \, \mathrm{cm} $。
∵ 圆锥侧面展开图是半圆，侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面的周长，
∴ $π R = 2π r$，化简得：$ R = 2r $。
又
∵ 圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = R^2$
将$ R=2r $代入上式：
$r^2 + 27 = 4r^2$
整理得$ 3r^2 = 27 $，解得正根$ r=3 $，
则$ R = 2r = 2×3=6 $。
【答案】
圆锥的母线长为6 cm，底面半径为3 cm。
【知识点】
圆锥展开图性质、勾股定理、圆周长计算
【点评】
本题是圆锥几何计算的基础题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图和底面的对应关系，结合直角三角形的性质列方程求解，熟练掌握对应等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.75
解题需抓住两个核心等量关系：1. 圆锥侧面展开图的弧长与圆锥底面周长相等，这是连接圆锥侧面和底面的关键纽带；2. 圆锥的母线长、底面半径、高恰好构成直角三角形，满足勾股定理。我们可以先设母线长为$R$、底面半径为$r$，先通过弧长和周长的关系推出$R$与$r$的数量关系，再结合已知的高代入勾股定理列方程，即可依次求出两个未知量的值。
【解析】
解：设圆锥的母线长为$ R \, \mathrm{cm} $，底面半径为$ r \, \mathrm{cm} $。
∵ 圆锥侧面展开图是半圆，侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面的周长，
∴ $π R = 2π r$，化简得：$ R = 2r $。
又
∵ 圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = R^2$
将$ R=2r $代入上式：
$r^2 + 27 = 4r^2$
整理得$ 3r^2 = 27 $，解得正根$ r=3 $，
则$ R = 2r = 2×3=6 $。
【答案】
圆锥的母线长为6 cm，底面半径为3 cm。
【知识点】
圆锥展开图性质、勾股定理、圆周长计算
【点评】
本题是圆锥几何计算的基础题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图和底面的对应关系，结合直角三角形的性质列方程求解，熟练掌握对应等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.75
1.如果圆锥的底面周长是$10π$，侧面展开后得到的扇形的圆心角为$120°$，则圆锥的母线长为。
答案
$\boldsymbol{15}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确圆锥侧面展开图的核心等量关系：圆锥底面周长等于侧面展开后扇形的弧长。接下来我们可以设母线长为未知数，结合已知的底面周长、扇形圆心角，利用弧长公式列方程求解即可。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $。
根据圆锥的性质：圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于圆锥底面周长。
扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $（其中$ n $为扇形圆心角度数，$ l $为母线长），已知底面周长为$ 10π $，圆心角$ n=120° $，代入等量关系得：
$\frac{120π l}{180}=10π$
化简方程：两边同时约去$ π $，得$ \frac{120l}{180}=10 $，进一步化简为$ \frac{2l}{3}=10 $，解得$ l=15 $。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
圆锥侧面展开图特征、弧长公式应用
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础题型，核心是掌握圆锥底面周长和侧面扇形弧长的对应关系，记住弧长公式就能快速求解，是这类考点的常见考法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确圆锥侧面展开图的核心等量关系：圆锥底面周长等于侧面展开后扇形的弧长。接下来我们可以设母线长为未知数，结合已知的底面周长、扇形圆心角，利用弧长公式列方程求解即可。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $。
根据圆锥的性质：圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于圆锥底面周长。
扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $（其中$ n $为扇形圆心角度数，$ l $为母线长），已知底面周长为$ 10π $，圆心角$ n=120° $，代入等量关系得：
$\frac{120π l}{180}=10π$
化简方程：两边同时约去$ π $，得$ \frac{120l}{180}=10 $，进一步化简为$ \frac{2l}{3}=10 $，解得$ l=15 $。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
圆锥侧面展开图特征、弧长公式应用
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础题型，核心是掌握圆锥底面周长和侧面扇形弧长的对应关系，记住弧长公式就能快速求解，是这类考点的常见考法。
【难度系数】
0.8
2.如图，圆锥的底面半径OB为8cm，它的展开图是半径为20cm的扇形，则这个扇形的圆心角α的度数为。
答案
$\boldsymbol{144°}$
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥与它侧面展开图的对应关系：圆锥底面的周长等于侧面展开后扇形的弧长。我们可以先计算出圆锥底面的周长，再结合扇形弧长公式，建立关于圆心角α的方程，求解即可得到α的度数。
【解析】
已知圆锥底面半径$OB=r=8\mathrm{cm}$，侧面展开扇形的半径（即圆锥母线长）$R=20\mathrm{cm}$。
1. 计算圆锥底面周长：
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入$r=8\mathrm{cm}$得：
$C=2π×8=16π\ \mathrm{cm}$
2. 利用等量关系列方程：
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，扇形弧长公式为$l=\frac{απ R}{180}$（α为圆心角度数），因此有：
$16π=\frac{απ×20}{180}$
3. 求解α：
两边同时约去π，整理得：
$20α=16×180$
$α=\frac{16×180}{20}=144$
即圆心角α的度数为$144°$。
【答案】
$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础题型，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一核心等量关系，熟练掌握对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥与它侧面展开图的对应关系：圆锥底面的周长等于侧面展开后扇形的弧长。我们可以先计算出圆锥底面的周长，再结合扇形弧长公式，建立关于圆心角α的方程，求解即可得到α的度数。
【解析】
已知圆锥底面半径$OB=r=8\mathrm{cm}$，侧面展开扇形的半径（即圆锥母线长）$R=20\mathrm{cm}$。
1. 计算圆锥底面周长：
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入$r=8\mathrm{cm}$得：
$C=2π×8=16π\ \mathrm{cm}$
2. 利用等量关系列方程：
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，扇形弧长公式为$l=\frac{απ R}{180}$（α为圆心角度数），因此有：
$16π=\frac{απ×20}{180}$
3. 求解α：
两边同时约去π，整理得：
$20α=16×180$
$α=\frac{16×180}{20}=144$
即圆心角α的度数为$144°$。
【答案】
$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础题型，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一核心等量关系，熟练掌握对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图，从纸上分别剪下一个圆形和一个扇形，已知圆的半径为2，扇形的圆心角为$120°$，若用它们恰好围成一个圆锥模型，则此扇形的半径为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确圆锥的构成规律：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，这是本题的核心等量关系。我们可以先计算底面圆的周长，再结合扇形弧长公式列方程，即可求出扇形的半径。
【解析】
设扇形的半径为$R$。
1. 计算底面圆的周长：已知底面圆半径$r=2$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面圆周长为：
$C=2π×2=4π$
2. 扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形圆心角$n=120°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，列方程：
$\frac{120π R}{180}=4π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$\frac{120R}{180}=4$，化简得$\frac{2R}{3}=4$，解得$R=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长公式；圆周长计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题的核心是抓住“圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长”这一关键等量关系，只要熟练掌握对应公式，代入数值求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确圆锥的构成规律：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，这是本题的核心等量关系。我们可以先计算底面圆的周长，再结合扇形弧长公式列方程，即可求出扇形的半径。
【解析】
设扇形的半径为$R$。
1. 计算底面圆的周长：已知底面圆半径$r=2$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面圆周长为：
$C=2π×2=4π$
2. 扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形圆心角$n=120°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，列方程：
$\frac{120π R}{180}=4π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$\frac{120R}{180}=4$，化简得$\frac{2R}{3}=4$，解得$R=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长公式；圆周长计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题的核心是抓住“圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长”这一关键等量关系，只要熟练掌握对应公式，代入数值求解即可。
【难度系数】
0.7
4.如图,从一块直径为6 dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为$90°$的扇形,则此扇形的面积为 $\mathrm{dm}^2$.
答案
解：
由题意可知，原圆形铁皮的直径为6 dm，扇形的三个顶点都在该圆上，且扇形的圆心角为90°，因此扇形的两个半径端点的连线为原圆的直径。
设扇形的半径为$r$，由勾股定理得：
$r^2 + r^2 = 6^2$
解得$r^2=18$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=90$，$r^2=18$：
$S=\frac{90×π×18}{360}=\frac{9}{2}π$
$\frac{9}{2}π$
由题意可知，原圆形铁皮的直径为6 dm，扇形的三个顶点都在该圆上，且扇形的圆心角为90°，因此扇形的两个半径端点的连线为原圆的直径。
设扇形的半径为$r$，由勾股定理得：
$r^2 + r^2 = 6^2$
解得$r^2=18$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=90$，$r^2=18$：
$S=\frac{90×π×18}{360}=\frac{9}{2}π$
$\frac{9}{2}π$
解析
【分析】
要计算圆心角为90°的扇形面积，首先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角$n=90°$是已知条件，因此只需要求出扇形的半径的平方$r^2$即可。观察图形可知，扇形的三个顶点都在原圆形铁皮的圆周上，扇形的两条半径与原圆的直径恰好构成等腰直角三角形，原圆直径为6dm是斜边，结合勾股定理就能求出$r^2$，最后代入公式计算即可得到扇形面积。
【解析】
解：已知原圆形铁皮的直径为6dm，扇形的三个顶点均在原圆周上，且扇形圆心角为$90°$，因此扇形两条半径的端点连线为原圆的直径。
设扇形的半径为$r$，由勾股定理可得：
$r^2 + r^2 = 6^2$
化简得$2r^2=36$，解得$r^2=18$。
将$n=90$，$r^2=18$代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S=\frac{90× π × 18}{360}=\frac{9}{2}π (\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$\frac{9}{2}π$
【知识点】
扇形面积计算，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题型，解题的核心是结合图形特征找到扇形半径与原圆直径的数量关系，计算时无需单独求出半径$r$，直接代入$r^2$计算可以简化运算过程，能够很好地考查学生的图形观察能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算圆心角为90°的扇形面积，首先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角$n=90°$是已知条件，因此只需要求出扇形的半径的平方$r^2$即可。观察图形可知，扇形的三个顶点都在原圆形铁皮的圆周上，扇形的两条半径与原圆的直径恰好构成等腰直角三角形，原圆直径为6dm是斜边，结合勾股定理就能求出$r^2$，最后代入公式计算即可得到扇形面积。
【解析】
解：已知原圆形铁皮的直径为6dm，扇形的三个顶点均在原圆周上，且扇形圆心角为$90°$，因此扇形两条半径的端点连线为原圆的直径。
设扇形的半径为$r$，由勾股定理可得：
$r^2 + r^2 = 6^2$
化简得$2r^2=36$，解得$r^2=18$。
将$n=90$，$r^2=18$代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S=\frac{90× π × 18}{360}=\frac{9}{2}π (\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$\frac{9}{2}π$
【知识点】
扇形面积计算，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题型，解题的核心是结合图形特征找到扇形半径与原圆直径的数量关系，计算时无需单独求出半径$r$，直接代入$r^2$计算可以简化运算过程，能够很好地考查学生的图形观察能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
5.一个扇形的弧长是$10π$，半径为12，则其面积为()
A.$30π$
B.$40π$
C.$60π$
D.$120π$
A.$30π$
B.$40π$
C.$60π$
D.$120π$
答案
C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出扇形弧长为$10π$，半径为12，要求扇形的面积。我们学过扇形面积有两种计算方式，一种是结合圆心角计算的$S=\frac{nπ r^2}{360}$，另一种是结合弧长和半径计算的$S=\frac{1}{2}lr$。显然本题已知弧长和半径，直接选用第二个公式计算更简便，无需额外求解圆心角，代入数值即可得到结果。
【解析】
扇形面积的弧长计算公式为：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为扇形弧长，$r$为扇形半径）。
将$l=10π$，$r=12$代入公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × 10π × 12\\&=5π ×12\\&=60π\end{aligned}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查扇形面积公式的灵活选用，选择对应已知条件的公式可简化计算步骤，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：题目给出扇形弧长为$10π$，半径为12，要求扇形的面积。我们学过扇形面积有两种计算方式，一种是结合圆心角计算的$S=\frac{nπ r^2}{360}$，另一种是结合弧长和半径计算的$S=\frac{1}{2}lr$。显然本题已知弧长和半径，直接选用第二个公式计算更简便，无需额外求解圆心角，代入数值即可得到结果。
【解析】
扇形面积的弧长计算公式为：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为扇形弧长，$r$为扇形半径）。
将$l=10π$，$r=12$代入公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × 10π × 12\\&=5π ×12\\&=60π\end{aligned}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查扇形面积公式的灵活选用，选择对应已知条件的公式可简化计算步骤，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 陀螺是由圆柱和圆锥两个几何体组合而成的,分界线即二者底面重合处.如图是一个陀螺的结构图,已知底面圆的直径$AB=8\ \mathrm{cm}$,圆柱体的高$BC=5\ \mathrm{cm}$,圆锥体的高$CD=3\ \mathrm{cm}$,则这个陀螺的表面积是()$\mathrm{cm}^2$.
A.$40π$
B.$52π$
C.$60π$
D.$76π$
A.$40π$
B.$52π$
C.$60π$
D.$76π$
答案
D
解析
【分析】
要计算陀螺的表面积，首先需明确表面积的构成：陀螺是圆柱和圆锥的组合体，二者重合的底面在内部，不计入表面积，因此总表面积=圆柱的上底面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积。解题步骤：1.先根据已知直径求出底面半径；2.利用勾股定理求出圆锥的母线长；3.分别计算各部分面积后求和即可。
【解析】
解：已知底面圆直径$AB=8\ \mathrm{cm}$，因此底面半径$r=\frac{AB}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
1. 计算圆锥的母线长：圆锥的高$CD=3\ \mathrm{cm}$，底面半径为$4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得母线长$l=\sqrt{r^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$。
2. 计算各部分面积：
① 圆柱上底面积：$S_1=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$
② 圆柱侧面积：$S_2=2π r· BC=2π×4×5=40π\ \mathrm{cm}^2$
③ 圆锥侧面积：$S_3=π rl=π×4×5=20π\ \mathrm{cm}^2$
3. 总表面积：$S=S_1+S_2+S_3=16π+40π+20π=76π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面积计算、圆锥侧面积计算、组合体表面积计算
【点评】
本题的易错点是容易误将圆柱和圆锥重合的底面计入表面积，解题时需先理清组合体暴露在外的面，避免多算或漏算面积。
【难度系数】
0.7
要计算陀螺的表面积，首先需明确表面积的构成：陀螺是圆柱和圆锥的组合体，二者重合的底面在内部，不计入表面积，因此总表面积=圆柱的上底面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积。解题步骤：1.先根据已知直径求出底面半径；2.利用勾股定理求出圆锥的母线长；3.分别计算各部分面积后求和即可。
【解析】
解：已知底面圆直径$AB=8\ \mathrm{cm}$，因此底面半径$r=\frac{AB}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
1. 计算圆锥的母线长：圆锥的高$CD=3\ \mathrm{cm}$，底面半径为$4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得母线长$l=\sqrt{r^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$。
2. 计算各部分面积：
① 圆柱上底面积：$S_1=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$
② 圆柱侧面积：$S_2=2π r· BC=2π×4×5=40π\ \mathrm{cm}^2$
③ 圆锥侧面积：$S_3=π rl=π×4×5=20π\ \mathrm{cm}^2$
3. 总表面积：$S=S_1+S_2+S_3=16π+40π+20π=76π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面积计算、圆锥侧面积计算、组合体表面积计算
【点评】
本题的易错点是容易误将圆柱和圆锥重合的底面计入表面积，解题时需先理清组合体暴露在外的面，避免多算或漏算面积。
【难度系数】
0.7
7.将一个底面直径为12 cm的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了96 cm²，
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
（）
A.$120°$
B.$150°$
C.$196°$
D.$216°$
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
（）
A.$120°$
B.$150°$
C.$196°$
D.$216°$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确：将圆锥沿高切开后，增加的表面积是2个完全相同的等腰三角形的面积，等腰三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高。第一步先通过增加的表面积求出圆锥的高，第二步利用勾股定理求出圆锥的母线长，第三步根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的关系，计算出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
1. 求圆锥的高：
已知底面直径$d=12\mathrm{cm}$，切开后表面积增加$96\mathrm{cm}^2$，增加的是2个等腰三角形的面积，因此单个三角形面积为$96÷2=48\mathrm{cm}^2$。
设圆锥的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×12× h=48$，解得$h=8\mathrm{cm}$。
2. 求圆锥的母线长$l$：
圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，底面半径$r=d÷2=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$。
3. 求侧面展开图的圆心角$n$：
圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆周长，即$\frac{nπ l}{180}=2π r$，代入$l=10\mathrm{cm}$、$r=6\mathrm{cm}$，约去$π$得：
$\frac{10n}{180}=2×6$，解得$n=216°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥截面性质，圆锥侧面展开计算，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题核心是明确切割后新增面的形状，再结合几何关系和公式逐步推导，需要熟练掌握圆锥和其侧面展开图的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：将圆锥沿高切开后，增加的表面积是2个完全相同的等腰三角形的面积，等腰三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高。第一步先通过增加的表面积求出圆锥的高，第二步利用勾股定理求出圆锥的母线长，第三步根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的关系，计算出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
1. 求圆锥的高：
已知底面直径$d=12\mathrm{cm}$，切开后表面积增加$96\mathrm{cm}^2$，增加的是2个等腰三角形的面积，因此单个三角形面积为$96÷2=48\mathrm{cm}^2$。
设圆锥的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×12× h=48$，解得$h=8\mathrm{cm}$。
2. 求圆锥的母线长$l$：
圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，底面半径$r=d÷2=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$。
3. 求侧面展开图的圆心角$n$：
圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆周长，即$\frac{nπ l}{180}=2π r$，代入$l=10\mathrm{cm}$、$r=6\mathrm{cm}$，约去$π$得：
$\frac{10n}{180}=2×6$，解得$n=216°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥截面性质，圆锥侧面展开计算，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题核心是明确切割后新增面的形状，再结合几何关系和公式逐步推导，需要熟练掌握圆锥和其侧面展开图的对应关系。
【难度系数】
0.6
