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8.如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处，且$\overset{\frown}{AD}$的长是$\overset{\frown}{BD}$的长的3倍.若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）
A.$1:3$
B.$1:π$
C.$1:4$
D.$2:9$
A.$1:3$
B.$1:π$
C.$1:4$
D.$2:9$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到对应边相等，结合扇形半径相等判定△OAD是等边三角形，求出∠AOD的度数；再根据弧长的倍数关系求出扇形OAB的总圆心角；最后利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的等量关系，列式求出底面半径和母线长的比值即可。
【解析】
设扇形OAB的半径（即圆锥母线长）为$R$，圆锥的底面半径为$r$。
1. 由折叠的性质可知$OA=AD$，又因为$OA$、$OD$都是扇形的半径，即$OA=OD$，因此$OA=OD=AD$，△OAD是等边三角形，可得$∠ AOD=60°$。
2. 同圆中弧长之比等于对应圆心角之比，已知$\overset{\frown}{AD}$的长是$\overset{\frown}{BD}$的长的3倍，因此$∠ BOD=\frac{1}{3}∠ AOD=\frac{1}{3}×60°=20°$，则扇形的圆心角$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=60°+20°=80°$。
3. 扇形的弧长等于围成圆锥的底面周长，据此列等式：
$\frac{80π R}{180}=2π r$
化简得$\frac{4π R}{9}=2π r$，约去$π$整理可得$\frac{r}{R}=\frac{2}{9}$，即圆锥底面半径与母线长的比为$2:9$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，弧长计算，圆锥侧面积相关计算
【点评】
本题综合考查了折叠性质、等边三角形判定、弧长公式和圆锥侧面展开图的性质，解题核心是先求出扇形的圆心角，再结合圆锥展开前后的等量关系求解，需要学生掌握不同知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用折叠的性质得到对应边相等，结合扇形半径相等判定△OAD是等边三角形，求出∠AOD的度数；再根据弧长的倍数关系求出扇形OAB的总圆心角；最后利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的等量关系，列式求出底面半径和母线长的比值即可。
【解析】
设扇形OAB的半径（即圆锥母线长）为$R$，圆锥的底面半径为$r$。
1. 由折叠的性质可知$OA=AD$，又因为$OA$、$OD$都是扇形的半径，即$OA=OD$，因此$OA=OD=AD$，△OAD是等边三角形，可得$∠ AOD=60°$。
2. 同圆中弧长之比等于对应圆心角之比，已知$\overset{\frown}{AD}$的长是$\overset{\frown}{BD}$的长的3倍，因此$∠ BOD=\frac{1}{3}∠ AOD=\frac{1}{3}×60°=20°$，则扇形的圆心角$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=60°+20°=80°$。
3. 扇形的弧长等于围成圆锥的底面周长，据此列等式：
$\frac{80π R}{180}=2π r$
化简得$\frac{4π R}{9}=2π r$，约去$π$整理可得$\frac{r}{R}=\frac{2}{9}$，即圆锥底面半径与母线长的比为$2:9$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，弧长计算，圆锥侧面积相关计算
【点评】
本题综合考查了折叠性质、等边三角形判定、弧长公式和圆锥侧面展开图的性质，解题核心是先求出扇形的圆心角，再结合圆锥展开前后的等量关系求解，需要学生掌握不同知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
9.如图，小明用一个半径为24 cm，面积为$240π \mathrm{cm}^2$的扇形纸板，制作一个圆锥形的玩具帽，求帽子的底面半径r.
答案
解：
由题意可知，扇形的半径即圆锥的母线长为$24\ \mathrm{cm}$，扇形面积即为圆锥的侧面积，为$240π\ \mathrm{cm}^2$。
设扇形的弧长为$l$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，将$S_{\mathrm{扇形}}=240π$，$R=24$代入得：
$240π = \frac{1}{2} × l × 24$
解得$l=20π\ \mathrm{cm}$。
圆锥底面圆的周长与扇形的弧长相等，因此：
$2π r = 20π$
解得$r=10\ \mathrm{cm}$。
答：帽子的底面半径$r$为$10\ \mathrm{cm}$。
由题意可知，扇形的半径即圆锥的母线长为$24\ \mathrm{cm}$，扇形面积即为圆锥的侧面积，为$240π\ \mathrm{cm}^2$。
设扇形的弧长为$l$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，将$S_{\mathrm{扇形}}=240π$，$R=24$代入得：
$240π = \frac{1}{2} × l × 24$
解得$l=20π\ \mathrm{cm}$。
圆锥底面圆的周长与扇形的弧长相等，因此：
$2π r = 20π$
解得$r=10\ \mathrm{cm}$。
答：帽子的底面半径$r$为$10\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确圆锥侧面展开图和圆锥的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径是圆锥的母线长。解题可分两步进行：第一步，利用已知的扇形面积和半径，通过扇形面积公式求出扇形的弧长；第二步，根据扇形弧长和圆锥底面周长相等的关系，代入圆的周长公式即可求出底面半径r。
【解析】
解：由题意可知，扇形的半径即圆锥的母线长为$24\ \mathrm{cm}$，扇形面积即为圆锥的侧面积，为$240π\ \mathrm{cm}^2$。
设扇形的弧长为$l$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，将$S_{\mathrm{扇形}}=240π$，$R=24$代入得：
$240π = \frac{1}{2} × l × 24$
解得$l=20π\ \mathrm{cm}$。
圆锥底面圆的周长与扇形的弧长相等，因此：
$2π r = 20π$
解得$r=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积公式，圆锥侧面展开特征，圆周长公式
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础应用题，解题核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥的等量对应关系，熟练运用扇形和圆的相关公式即可求解，能帮助学生巩固几何图形展开前后的等量转换思维。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确圆锥侧面展开图和圆锥的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径是圆锥的母线长。解题可分两步进行：第一步，利用已知的扇形面积和半径，通过扇形面积公式求出扇形的弧长；第二步，根据扇形弧长和圆锥底面周长相等的关系，代入圆的周长公式即可求出底面半径r。
【解析】
解：由题意可知，扇形的半径即圆锥的母线长为$24\ \mathrm{cm}$，扇形面积即为圆锥的侧面积，为$240π\ \mathrm{cm}^2$。
设扇形的弧长为$l$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，将$S_{\mathrm{扇形}}=240π$，$R=24$代入得：
$240π = \frac{1}{2} × l × 24$
解得$l=20π\ \mathrm{cm}$。
圆锥底面圆的周长与扇形的弧长相等，因此：
$2π r = 20π$
解得$r=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积公式，圆锥侧面展开特征，圆周长公式
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础应用题，解题核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥的等量对应关系，熟练运用扇形和圆的相关公式即可求解，能帮助学生巩固几何图形展开前后的等量转换思维。
【难度系数】
0.8
10.小明假期去江滩公园郊游，带了一顶圆锥形帐篷，它的底面直径是6 m，高是4 m.该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布？（结果保留π，材料包含底部）
答案
解：
由题意得，圆锥底面半径 $r = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{m}$，圆锥的高 $h = 4\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理，圆锥的母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{m}$。
圆锥的侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 3 × 5 = 15π\ \mathrm{m}^2$，
圆锥的底面积 $S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 3^2 = 9π\ \mathrm{m}^2$，
所需涤纶布的总面积 $S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 15π + 9π = 24π\ \mathrm{m}^2$。
答：估计至少需要$24π$平方米的涤纶布。
由题意得，圆锥底面半径 $r = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{m}$，圆锥的高 $h = 4\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理，圆锥的母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{m}$。
圆锥的侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 3 × 5 = 15π\ \mathrm{m}^2$，
圆锥的底面积 $S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 3^2 = 9π\ \mathrm{m}^2$，
所需涤纶布的总面积 $S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 15π + 9π = 24π\ \mathrm{m}^2$。
答：估计至少需要$24π$平方米的涤纶布。
解析
【分析】
要计算包含底部的圆锥形帐篷所需涤纶布的面积，实际是求圆锥的全面积，全面积=侧面积+底面积。解题思路如下：①先根据底面直径求出底面半径r；②圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，可通过勾股定理求出母线长l；③分别代入对应公式计算圆锥的侧面积和底面积；④将两个面积相加即可得到所需布料的总面积。
【解析】
解：由题意得，圆锥底面直径为6m，因此底面半径 $r = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{m}$，圆锥的高 $h = 4\ \mathrm{m}$。
圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，根据勾股定理，圆锥的母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{m}$。
圆锥的侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}} = π r l$，代入数值得$S_{\mathrm{侧}} = π × 3 × 5 = 15π\ \mathrm{m}^2$，
圆锥的底面积公式为$S_{\mathrm{底}} = π r^2$，代入数值得$S_{\mathrm{底}} = π × 3^2 = 9π\ \mathrm{m}^2$，
由于材料包含底部，所需涤纶布的总面积 $S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 15π + 9π = 24π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
估计至少需要$24π$平方米的涤纶布。
【知识点】
勾股定理，圆锥侧面积计算，圆锥全面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查圆锥表面积的实际应用，解题时需注意题干明确说明材料包含底部，切勿漏算底面积，核心解题步骤是先通过勾股定理求出母线长，再代入对应面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
要计算包含底部的圆锥形帐篷所需涤纶布的面积，实际是求圆锥的全面积，全面积=侧面积+底面积。解题思路如下：①先根据底面直径求出底面半径r；②圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，可通过勾股定理求出母线长l；③分别代入对应公式计算圆锥的侧面积和底面积；④将两个面积相加即可得到所需布料的总面积。
【解析】
解：由题意得，圆锥底面直径为6m，因此底面半径 $r = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{m}$，圆锥的高 $h = 4\ \mathrm{m}$。
圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，根据勾股定理，圆锥的母线长 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{m}$。
圆锥的侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}} = π r l$，代入数值得$S_{\mathrm{侧}} = π × 3 × 5 = 15π\ \mathrm{m}^2$，
圆锥的底面积公式为$S_{\mathrm{底}} = π r^2$，代入数值得$S_{\mathrm{底}} = π × 3^2 = 9π\ \mathrm{m}^2$，
由于材料包含底部，所需涤纶布的总面积 $S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 15π + 9π = 24π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
估计至少需要$24π$平方米的涤纶布。
【知识点】
勾股定理，圆锥侧面积计算，圆锥全面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查圆锥表面积的实际应用，解题时需注意题干明确说明材料包含底部，切勿漏算底面积，核心解题步骤是先通过勾股定理求出母线长，再代入对应面积公式计算即可。
【难度系数】
0.7
11.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠C=90°,∠BAD=120°,AB=AD=4,BC=6,以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分).
(1)求这个扇形的面积;
(2)若将这个扇形围成圆锥,求这个圆锥的底面积.
(1)求这个扇形的面积;
(2)若将这个扇形围成圆锥,求这个圆锥的底面积.
答案
解：
(1) 过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AD//BC，∠C=90°，
∴ ∠D=90°，四边形AECD是矩形，
∴ EC=AD=4，
∴ BE=BC-EC=6-4=2。
在Rt△ABE中，AB=4，BE=2，
∴ AE=$\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
由题意可知，扇形的圆心角为120°，半径为$2\sqrt{3}$，
∴ 扇形面积$S=\frac{120π×(2\sqrt{3})^2}{360}=4π$。
(2) 设圆锥的底面半径为R，
扇形的弧长$l=\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
∵ 扇形围成圆锥后，弧长等于圆锥底面周长，
∴ $2π R=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
解得$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴ 圆锥的底面积$S_{底}=π R^2=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{4}{3}π$。
答：(1) 扇形的面积为$4π$；(2) 圆锥的底面积为$\frac{4}{3}π$。
(1) 过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AD//BC，∠C=90°，
∴ ∠D=90°，四边形AECD是矩形，
∴ EC=AD=4，
∴ BE=BC-EC=6-4=2。
在Rt△ABE中，AB=4，BE=2，
∴ AE=$\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
由题意可知，扇形的圆心角为120°，半径为$2\sqrt{3}$，
∴ 扇形面积$S=\frac{120π×(2\sqrt{3})^2}{360}=4π$。
(2) 设圆锥的底面半径为R，
扇形的弧长$l=\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
∵ 扇形围成圆锥后，弧长等于圆锥底面周长，
∴ $2π R=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
解得$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴ 圆锥的底面积$S_{底}=π R^2=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{4}{3}π$。
答：(1) 扇形的面积为$4π$；(2) 圆锥的底面积为$\frac{4}{3}π$。
解析
【分析】
(1) 求扇形面积需要先确定圆心角和半径：已知∠BAD=120°，即扇形的圆心角为120°；要在梯形内画出最大的扇形，扇形的最大半径为点A到BC的距离，因此过点A作AE⊥BC，先证明四边形AECD是矩形求出EC长度，再计算BE的长度，用勾股定理求出AE即扇形半径，最后代入扇形面积公式计算即可。
(2) 扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，先计算扇形的弧长，再根据圆的周长公式求出圆锥底面半径，最后代入圆的面积公式计算底面积即可。
【解析】
(1) 过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AD//BC，∠C=90°，
∴ ∠D=90°，四边形AECD是矩形，
∴ EC=AD=4，
∴ BE=BC-EC=6-4=2。
在Rt△ABE中，AB=4，BE=2，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
由题意可知扇形的圆心角为120°，半径为$2\sqrt{3}$，
∴ 扇形面积$S=\frac{120π×(2\sqrt{3})^2}{360}=4π$。
(2) 设圆锥的底面半径为R，
扇形的弧长$l=\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
∵ 扇形围成圆锥后，弧长等于圆锥底面周长，
∴ $2π R=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
解得$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴ 圆锥的底面积$S_{底}=π R^2=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{4}{3}π$。
【答案】
(1) $4π$；(2) $\frac{4}{3}π$
【知识点】
扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开特征，勾股定理
【点评】
本题综合考查了梯形辅助线构造、矩形性质、扇形与圆锥的相关计算，解题核心是准确确定扇形的半径，以及掌握扇形弧长和圆锥底面周长的对应关系，能有效考查几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求扇形面积需要先确定圆心角和半径：已知∠BAD=120°，即扇形的圆心角为120°；要在梯形内画出最大的扇形，扇形的最大半径为点A到BC的距离，因此过点A作AE⊥BC，先证明四边形AECD是矩形求出EC长度，再计算BE的长度，用勾股定理求出AE即扇形半径，最后代入扇形面积公式计算即可。
(2) 扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，先计算扇形的弧长，再根据圆的周长公式求出圆锥底面半径，最后代入圆的面积公式计算底面积即可。
【解析】
(1) 过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AD//BC，∠C=90°，
∴ ∠D=90°，四边形AECD是矩形，
∴ EC=AD=4，
∴ BE=BC-EC=6-4=2。
在Rt△ABE中，AB=4，BE=2，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
由题意可知扇形的圆心角为120°，半径为$2\sqrt{3}$，
∴ 扇形面积$S=\frac{120π×(2\sqrt{3})^2}{360}=4π$。
(2) 设圆锥的底面半径为R，
扇形的弧长$l=\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
∵ 扇形围成圆锥后，弧长等于圆锥底面周长，
∴ $2π R=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
解得$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴ 圆锥的底面积$S_{底}=π R^2=π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{4}{3}π$。
【答案】
(1) $4π$；(2) $\frac{4}{3}π$
【知识点】
扇形弧长与面积计算，圆锥侧面展开特征，勾股定理
【点评】
本题综合考查了梯形辅助线构造、矩形性质、扇形与圆锥的相关计算，解题核心是准确确定扇形的半径，以及掌握扇形弧长和圆锥底面周长的对应关系，能有效考查几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
12.图中冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图①),制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料,其中$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$AD⊥ BC$.将扇形$EAF$围成圆锥时,$AE$,$AF$恰好重合,圆锥底面圆的直径为5 cm.
(1)求图①中圆锥的母线$AE$的长；
(2)求加工后材料剩余部分(图②中阴影部分)的面积(结果保留$π$).
(1)求图①中圆锥的母线$AE$的长；
(2)求加工后材料剩余部分(图②中阴影部分)的面积(结果保留$π$).
答案
解：
(1) 设圆锥的母线AE的长为$R$ cm。
圆锥底面圆的周长为$π × 5 = 5π \ \mathrm{cm}$。
由题意可知，扇形$EAF$的弧长等于圆锥底面圆的周长，且$∠ EAF=90°$，
根据弧长公式得：
$\frac{90π R}{180} = 5π$
解得$R=10$，
即圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD=AE=10\ \mathrm{cm}$，$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$，
等腰$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 20 × 10 = 100\ \mathrm{cm}^2$
扇形$EAF$的面积为：
$S_{\mathrm{扇形}EAF} = \frac{90π × 10^2}{360} = 25π\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore$ 阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{扇形}EAF} = (100 - 25π)\ \mathrm{cm}^2$
答：(1) 圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$；(2) 加工后材料剩余部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 设圆锥的母线AE的长为$R$ cm。
圆锥底面圆的周长为$π × 5 = 5π \ \mathrm{cm}$。
由题意可知，扇形$EAF$的弧长等于圆锥底面圆的周长，且$∠ EAF=90°$，
根据弧长公式得：
$\frac{90π R}{180} = 5π$
解得$R=10$，
即圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD=AE=10\ \mathrm{cm}$，$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$，
等腰$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 20 × 10 = 100\ \mathrm{cm}^2$
扇形$EAF$的面积为：
$S_{\mathrm{扇形}EAF} = \frac{90π × 10^2}{360} = 25π\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore$ 阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{扇形}EAF} = (100 - 25π)\ \mathrm{cm}^2$
答：(1) 圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$；(2) 加工后材料剩余部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 求解圆锥母线长的核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先计算圆锥底面圆的周长，再结合扇形圆心角为90°，利用弧长公式列方程即可求出母线AE的长。
(2) 阴影部分面积为等腰直角三角形ABC的面积减去扇形EAF的面积。首先根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高AD等于母线长，且斜边BC=2AD，先算出三角形ABC的面积，再利用扇形面积公式算出扇形EAF的面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 设圆锥的母线AE的长为$R$ cm。
圆锥底面圆的直径为5 cm，因此底面圆的周长为$π × 5 = 5π \ \mathrm{cm}$。
由题意可知，扇形$EAF$的弧长等于圆锥底面圆的周长，且$∠ EAF=90°$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）得：
$\frac{90π R}{180} = 5π$
解得$R=10$，即圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD=AE=10\ \mathrm{cm}$，$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$，
等腰$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 20 × 10 = 100\ \mathrm{cm}^2$
扇形$EAF$的面积为：
$S_{\mathrm{扇形}EAF} = \frac{nπR^2}{360} = \frac{90π × 10^2}{360} = 25π\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore$ 阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{扇形}EAF} = (100 - 25π)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $\boxed{10\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{(100-25π)\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆锥侧面展开特征，弧长计算公式，扇形面积计算
【点评】
本题结合生活中的圆锥实例，考查了圆锥与平面展开图的对应关系、弧长和扇形面积的计算，解题的关键是抓住圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长这一核心等量关系，计算过程中熟记公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解圆锥母线长的核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先计算圆锥底面圆的周长，再结合扇形圆心角为90°，利用弧长公式列方程即可求出母线AE的长。
(2) 阴影部分面积为等腰直角三角形ABC的面积减去扇形EAF的面积。首先根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高AD等于母线长，且斜边BC=2AD，先算出三角形ABC的面积，再利用扇形面积公式算出扇形EAF的面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 设圆锥的母线AE的长为$R$ cm。
圆锥底面圆的直径为5 cm，因此底面圆的周长为$π × 5 = 5π \ \mathrm{cm}$。
由题意可知，扇形$EAF$的弧长等于圆锥底面圆的周长，且$∠ EAF=90°$，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）得：
$\frac{90π R}{180} = 5π$
解得$R=10$，即圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD=AE=10\ \mathrm{cm}$，$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$，
等腰$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 20 × 10 = 100\ \mathrm{cm}^2$
扇形$EAF$的面积为：
$S_{\mathrm{扇形}EAF} = \frac{nπR^2}{360} = \frac{90π × 10^2}{360} = 25π\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore$ 阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{扇形}EAF} = (100 - 25π)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $\boxed{10\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{(100-25π)\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆锥侧面展开特征，弧长计算公式，扇形面积计算
【点评】
本题结合生活中的圆锥实例，考查了圆锥与平面展开图的对应关系、弧长和扇形面积的计算，解题的关键是抓住圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长这一核心等量关系，计算过程中熟记公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
