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6.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x,y$的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是$\begin{cases}3x + 2y = 19, \\ x + 4y = 23.\end{cases}$类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为 ______ .
答案
6.$\begin{cases}2x + y = 11, \\4x + 3y = 27\end{cases}$
解析
【分析】
首先我们需要从题目给出的图1对应的方程组中总结算筹的计数规则：1. 每行从左到右依次对应x的系数、y的系数、方程的常数项；2. x、y的系数均为个位数，1根竖放的算筹代表数字1，有几根竖筹就对应数字几；3. 常数项为两位数，左边部分表示十位，1根横放的算筹代表1个十，有几根横筹就对应几十；右边部分表示个位，个位中1根上方的横筹代表5，1根下方的竖筹代表1，二者相加得到个位数值，十位数值加个位数值就是常数项的大小。接下来我们把这个规则应用到图2中，分别列出两行对应的方程即可。
【解析】
先分析图2第一行：
从左到右，x的系数对应2根竖筹，即系数为2；y的系数对应1根竖筹，即系数为1；常数项左侧1根横筹代表10，右侧1根竖筹代表1，常数项为10+1=11，因此第一个方程为$2x + y = 11$。
再分析图2第二行：
从左到右，x的系数对应4根竖筹，即系数为4；y的系数对应3根竖筹，即系数为3；常数项左侧2根横筹代表20，右侧个位部分1根上横筹代表5、2根竖筹代表2，个位数值为5+2=7，常数项为20+7=27，因此第二个方程为$4x + 3y = 27$。
【答案】
$\begin{cases}2x + y = 11, \\4x + 3y = 27\end{cases}$
【知识点】
算筹计数法；二元一次方程组的表示
【点评】
本题结合我国古代数学经典著作中的算筹计数法出题，既考查了从示例中归纳总结规律的能力，也考查了二元一次方程的相关知识，解题的关键是准确理解算筹的计数规则，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
首先我们需要从题目给出的图1对应的方程组中总结算筹的计数规则：1. 每行从左到右依次对应x的系数、y的系数、方程的常数项；2. x、y的系数均为个位数，1根竖放的算筹代表数字1，有几根竖筹就对应数字几；3. 常数项为两位数，左边部分表示十位，1根横放的算筹代表1个十，有几根横筹就对应几十；右边部分表示个位，个位中1根上方的横筹代表5，1根下方的竖筹代表1，二者相加得到个位数值，十位数值加个位数值就是常数项的大小。接下来我们把这个规则应用到图2中，分别列出两行对应的方程即可。
【解析】
先分析图2第一行：
从左到右，x的系数对应2根竖筹，即系数为2；y的系数对应1根竖筹，即系数为1；常数项左侧1根横筹代表10，右侧1根竖筹代表1，常数项为10+1=11，因此第一个方程为$2x + y = 11$。
再分析图2第二行：
从左到右，x的系数对应4根竖筹，即系数为4；y的系数对应3根竖筹，即系数为3；常数项左侧2根横筹代表20，右侧个位部分1根上横筹代表5、2根竖筹代表2，个位数值为5+2=7，常数项为20+7=27，因此第二个方程为$4x + 3y = 27$。
【答案】
$\begin{cases}2x + y = 11, \\4x + 3y = 27\end{cases}$
【知识点】
算筹计数法；二元一次方程组的表示
【点评】
本题结合我国古代数学经典著作中的算筹计数法出题，既考查了从示例中归纳总结规律的能力，也考查了二元一次方程的相关知识，解题的关键是准确理解算筹的计数规则，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
7.程大位《算法统宗》中有道题目如下:甲、乙隔沟放牧,二人暗里参详.甲云得乙九只羊,多你一倍之上.乙说得甲九只,二家之数相当.两人闲坐恼心肠,画地算了半晌.其大意如下:甲、乙隔着山沟放羊,两人都在暗思对方有多少羊.甲对乙说:“我若得你9只羊,我的羊多你一倍.”乙说:“我若得你9只羊,我们的羊数就相等.”两人都在用心计算着对方的羊数,在地上列算式计算了半天才知道对方的羊数.两人各有多少只羊?
答案
7.解:设甲有$x$只羊,乙有$y$只羊,由题意,得$\begin{cases}x+9=2(y-9), \\y+9=x-9,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=63, \\y=45.\end{cases}$答:甲有63只羊,乙有45只羊.
解析
【分析】
本题有甲的羊数、乙的羊数两个未知量，适合用二元一次方程组求解。解题思路如下：第一步，设两个未知数分别代表甲、乙的羊数；第二步，根据题中两个描述找等量关系：①甲得到9只羊后的数量=2×乙失去9只羊后的数量，②乙得到9只羊后的数量=甲失去9只羊后的数量；第三步，将等量关系转化为方程组，用代入消元法解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设甲有$x$只羊，乙有$y$只羊。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+9=2(y-9) \quad \mathrm{①} \\y+9=x-9 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
整理方程②得：$x=y+18$ ③
将③代入①得：
$y+18+9=2(y-9)$
$y+27=2y-18$
移项计算得$y=45$
把$y=45$代入③得$x=45+18=63$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=63 \\ y=45 \end{cases}$
【答案】
甲有63只羊，乙有45只羊。
【知识点】
二元一次方程组应用，代入消元法，等量关系构建
【点评】
本题是典型的古算类应用题，解题核心是准确理解题意，提取有效信息建立对应的方程组，计算过程简单，只要审题细心就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题有甲的羊数、乙的羊数两个未知量，适合用二元一次方程组求解。解题思路如下：第一步，设两个未知数分别代表甲、乙的羊数；第二步，根据题中两个描述找等量关系：①甲得到9只羊后的数量=2×乙失去9只羊后的数量，②乙得到9只羊后的数量=甲失去9只羊后的数量；第三步，将等量关系转化为方程组，用代入消元法解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设甲有$x$只羊，乙有$y$只羊。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+9=2(y-9) \quad \mathrm{①} \\y+9=x-9 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
整理方程②得：$x=y+18$ ③
将③代入①得：
$y+18+9=2(y-9)$
$y+27=2y-18$
移项计算得$y=45$
把$y=45$代入③得$x=45+18=63$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=63 \\ y=45 \end{cases}$
【答案】
甲有63只羊，乙有45只羊。
【知识点】
二元一次方程组应用，代入消元法，等量关系构建
【点评】
本题是典型的古算类应用题，解题核心是准确理解题意，提取有效信息建立对应的方程组，计算过程简单，只要审题细心就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
8.《孙子算经》中有一道题，原文如下：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何？译文如下：今有若干人乘车。若每3人共乘一车，则最终剩余1辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘（每辆车均坐满），问共有多少人，多少辆车？请你列方程解决这个问题.
答案
8.解:设共有$x$人,$y$辆车.依题意,得$\begin{cases}3(y-1)=x, \\2y+9=x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=33, \\y=12.\end{cases}$答:共有33人,12辆车.
解析
【分析】
这是一道古算类的方程应用题，解题核心是抓住题目中两个不变的量：总人数和总车辆数。我们可以分别设总人数、总车辆数为未知数，再根据题干给出的两种乘车方案提炼等量关系：①每3人共乘1车时，坐满的车辆数为总车数减1，总人数=3×(总车辆数-1)；②每2人共乘1车时，坐满所有车辆后剩余9人步行，总人数=2×总车辆数+9。联立两个等量关系得到方程组，求解即可得到对应结果。
【解析】
解：设共有$x$人，$y$辆车。
根据两种乘车方案的人数对应关系，列方程如下：
每3人共乘一车剩余1辆车时，实际使用车辆为$(y-1)$辆，总人数可表示为：$\boldsymbol{3(y-1)=x}$
每2人共乘一车剩余9人步行时，坐满车辆的总人数加步行人数为总人数，可表示为：$\boldsymbol{2y+9=x}$
联立得到方程组：$\begin{cases}3(y-1)=x \\2y+9=x \end{cases}$
将$x=3(y-1)$代入$2y+9=x$，可得：
$3(y-1)=2y+9$
展开左边得：$3y-3=2y+9$
移项计算得：$y=12$
把$y=12$代入$x=3(y-1)$，得$x=3×(12-1)=33$
即方程组的解为$\begin{cases}x=33 \\y=12 \end{cases}$
答：共有33人，12辆车。
【答案】
共有33人，12辆车。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 实际问题等量关系建立
【点评】
本题是经典的古算方程应用题，解题关键是准确理解文言表述的含义，抓住总人数、总车辆数为定值的核心，提取对应等量关系建立方程模型求解，主要考察信息转化和方程建模的基础能力。
【难度系数】
0.7
这是一道古算类的方程应用题，解题核心是抓住题目中两个不变的量：总人数和总车辆数。我们可以分别设总人数、总车辆数为未知数，再根据题干给出的两种乘车方案提炼等量关系：①每3人共乘1车时，坐满的车辆数为总车数减1，总人数=3×(总车辆数-1)；②每2人共乘1车时，坐满所有车辆后剩余9人步行，总人数=2×总车辆数+9。联立两个等量关系得到方程组，求解即可得到对应结果。
【解析】
解：设共有$x$人，$y$辆车。
根据两种乘车方案的人数对应关系，列方程如下：
每3人共乘一车剩余1辆车时，实际使用车辆为$(y-1)$辆，总人数可表示为：$\boldsymbol{3(y-1)=x}$
每2人共乘一车剩余9人步行时，坐满车辆的总人数加步行人数为总人数，可表示为：$\boldsymbol{2y+9=x}$
联立得到方程组：$\begin{cases}3(y-1)=x \\2y+9=x \end{cases}$
将$x=3(y-1)$代入$2y+9=x$，可得：
$3(y-1)=2y+9$
展开左边得：$3y-3=2y+9$
移项计算得：$y=12$
把$y=12$代入$x=3(y-1)$，得$x=3×(12-1)=33$
即方程组的解为$\begin{cases}x=33 \\y=12 \end{cases}$
答：共有33人，12辆车。
【答案】
共有33人，12辆车。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 实际问题等量关系建立
【点评】
本题是经典的古算方程应用题，解题关键是准确理解文言表述的含义，抓住总人数、总车辆数为定值的核心，提取对应等量关系建立方程模型求解，主要考察信息转化和方程建模的基础能力。
【难度系数】
0.7
9.“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？题目译文如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？
答案
9.解:设甜果买了$x$个,苦果买了$y$个,根据题意,得$\begin{cases}x+y=1000, \\\dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=657, \\y=343,\end{cases}$所以$\dfrac{11}{9}x=803$,$\dfrac{4}{7}y=196$.答:甜果买了657个,需要803文钱;苦果买了343个,需要196文钱.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题时首先要从题目中提取两个核心等量关系：①甜果个数+苦果个数=1000个；②买甜果的总费用+买苦果的总费用=999文。接下来根据“总价÷数量=单价”分别求出单个甜果和单个苦果的价格，再设甜果、苦果的个数为未知数，根据等量关系列方程组求解，最后根据求出的个数计算各自花费的总钱数即可。
【解析】
解：设甜果买了$x$个，苦果买了$y$个。
已知11文买9个甜果，单个甜果价格为$\frac{11}{9}$文；4文买7个苦果，单个苦果价格为$\frac{4}{7}$文，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=1000, \\\dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999,\end{cases}$
由第一个方程得$y=1000-x$，代入第二个方程消去$y$，通分化简后解得$\begin{cases}x=657, \\y=343,\end{cases}$
再计算各自总花费：
买甜果的费用：$\dfrac{11}{9}×657=803$（文）
买苦果的费用：$\dfrac{4}{7}×343=196$（文）
答：甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱。
【答案】
甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱。
【知识点】
二元一次方程组的应用、单价数量总价关系
【点评】
本题是传统古算类应用题，解题核心是将文字描述转化为数学等量关系，计算时要注意分数运算的准确性，避免因通分、化简失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题时首先要从题目中提取两个核心等量关系：①甜果个数+苦果个数=1000个；②买甜果的总费用+买苦果的总费用=999文。接下来根据“总价÷数量=单价”分别求出单个甜果和单个苦果的价格，再设甜果、苦果的个数为未知数，根据等量关系列方程组求解，最后根据求出的个数计算各自花费的总钱数即可。
【解析】
解：设甜果买了$x$个，苦果买了$y$个。
已知11文买9个甜果，单个甜果价格为$\frac{11}{9}$文；4文买7个苦果，单个苦果价格为$\frac{4}{7}$文，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=1000, \\\dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999,\end{cases}$
由第一个方程得$y=1000-x$，代入第二个方程消去$y$，通分化简后解得$\begin{cases}x=657, \\y=343,\end{cases}$
再计算各自总花费：
买甜果的费用：$\dfrac{11}{9}×657=803$（文）
买苦果的费用：$\dfrac{4}{7}×343=196$（文）
答：甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱。
【答案】
甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱。
【知识点】
二元一次方程组的应用、单价数量总价关系
【点评】
本题是传统古算类应用题，解题核心是将文字描述转化为数学等量关系，计算时要注意分数运算的准确性，避免因通分、化简失误丢分。
【难度系数】
0.7
