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1. 下列是三元一次方程组的是（
A.$\begin{cases}2x=5, \\x^2 + y=7, \\x + y + z=6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x} - y + z = -2, \\x - 2y + z =9, \\y=-3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y + z=7, \\xyz=1, \\x -3y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y=2, \\y + z=1, \\x + z=9\end{cases}$
D
）A.$\begin{cases}2x=5, \\x^2 + y=7, \\x + y + z=6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x} - y + z = -2, \\x - 2y + z =9, \\y=-3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y + z=7, \\xyz=1, \\x -3y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y=2, \\y + z=1, \\x + z=9\end{cases}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个选项是三元一次方程组，首先需要明确三元一次方程组的判定标准：①方程组总共含有3个不同的未知数；②每个方程都是整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1；③方程组由至少3个方程组成。我们只需要拿着这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，且所有方程都是整式方程，一共包含至少3个方程的方程组叫做三元一次方程组。
选项A：第二个方程$x^2+y=7$中，$x^2$项的次数是2，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是三元一次方程组；
选项B：第一个方程$\dfrac{3}{x}-y+z=-2$中，$\dfrac{3}{x}$是分式，该方程不是整式方程，不符合要求，不是三元一次方程组；
选项C：第二个方程$xyz=1$中，$xyz$项的次数是$1+1+1=3$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是三元一次方程组；
选项D：方程组共有$x、y、z$3个未知数，3个方程都是整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合三元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的定义、整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对三元一次方程组定义的理解和应用，解题时只要抓住定义的三个核心要点逐项排查，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项是三元一次方程组，首先需要明确三元一次方程组的判定标准：①方程组总共含有3个不同的未知数；②每个方程都是整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1；③方程组由至少3个方程组成。我们只需要拿着这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，且所有方程都是整式方程，一共包含至少3个方程的方程组叫做三元一次方程组。
选项A：第二个方程$x^2+y=7$中，$x^2$项的次数是2，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是三元一次方程组；
选项B：第一个方程$\dfrac{3}{x}-y+z=-2$中，$\dfrac{3}{x}$是分式，该方程不是整式方程，不符合要求，不是三元一次方程组；
选项C：第二个方程$xyz=1$中，$xyz$项的次数是$1+1+1=3$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是三元一次方程组；
选项D：方程组共有$x、y、z$3个未知数，3个方程都是整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合三元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的定义、整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对三元一次方程组定义的理解和应用，解题时只要抓住定义的三个核心要点逐项排查，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 利用加减消元法解三元一次方程组
$\begin{cases}x + 2y + z = 8, \quad ① \\2x - y - z = -3, \quad ② \\3x + y - 2z = -1, \quad ③\end{cases}$
下列做法正确的是
（
A.要消去 $ z $，先将 $ ① + ② $，再将 $ ① × 2 + ③ $
B.要消去 $ z $，先将 $ ① + ② $，再将 $ ① × 3 - ③ $
C.要消去 $ y $，先将 $ ① - ③ × 2 $，再将 $ ② - ③ $
D.要消去 $ y $，先将 $ ① - ② × 2 $，再将 $ ② + ③ $
$\begin{cases}x + 2y + z = 8, \quad ① \\2x - y - z = -3, \quad ② \\3x + y - 2z = -1, \quad ③\end{cases}$
下列做法正确的是
（
A
）A.要消去 $ z $，先将 $ ① + ② $，再将 $ ① × 2 + ③ $
B.要消去 $ z $，先将 $ ① + ② $，再将 $ ① × 3 - ③ $
C.要消去 $ y $，先将 $ ① - ③ × 2 $，再将 $ ② - ③ $
D.要消去 $ y $，先将 $ ① - ② × 2 $，再将 $ ② + ③ $
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查三元一次方程组的加减消元法应用，解题思路为：若要消去某一未知数，需先使两个方程中该未知数的系数互为相反数或相等，再通过相加或相减消去该未知数。我们可分别验证消去z、消去y的两类操作是否符合消元规则，逐一判断选项正误。
【解析】
验证消去z的选项A、B：
方程①中z的系数为1，方程②中z的系数为-1，将①+②可得：
$x+2y+z + 2x - y - z = 8 + (-3)$，化简得$3x+y=5$，成功消去z；
要再消去z，方程③中z的系数为-2，需将①中z的系数变为2，和③中z的系数互为相反数，因此将①×2得$2x+4y+2z=16$，再将①×2+③可得：
$2x+4y+2z + 3x + y - 2z = 16 + (-1)$，化简得$5x+5y=15$，成功消去z，因此A选项做法正确。
B选项中①×3-③，$3z - (-2z)=5z$，无法消去z，B错误。
验证消去y的选项C、D：
D选项中①-②×2，y项为$2y - (-2y)=4y$，无法消去y，D错误；
C选项中②-③，y项为$-y - y=-2y$，无法消去y，C错误。
综上，只有A选项做法正确。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，三元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的基本操作，核心是消元时要确保目标未知数的系数相等或互为相反数，计算时要注意符号变化，避免出现系数或符号运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查三元一次方程组的加减消元法应用，解题思路为：若要消去某一未知数，需先使两个方程中该未知数的系数互为相反数或相等，再通过相加或相减消去该未知数。我们可分别验证消去z、消去y的两类操作是否符合消元规则，逐一判断选项正误。
【解析】
验证消去z的选项A、B：
方程①中z的系数为1，方程②中z的系数为-1，将①+②可得：
$x+2y+z + 2x - y - z = 8 + (-3)$，化简得$3x+y=5$，成功消去z；
要再消去z，方程③中z的系数为-2，需将①中z的系数变为2，和③中z的系数互为相反数，因此将①×2得$2x+4y+2z=16$，再将①×2+③可得：
$2x+4y+2z + 3x + y - 2z = 16 + (-1)$，化简得$5x+5y=15$，成功消去z，因此A选项做法正确。
B选项中①×3-③，$3z - (-2z)=5z$，无法消去z，B错误。
验证消去y的选项C、D：
D选项中①-②×2，y项为$2y - (-2y)=4y$，无法消去y，D错误；
C选项中②-③，y项为$-y - y=-2y$，无法消去y，C错误。
综上，只有A选项做法正确。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，三元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的基本操作，核心是消元时要确保目标未知数的系数相等或互为相反数，计算时要注意符号变化，避免出现系数或符号运算错误。
【难度系数】
0.8
3. 解方程组：
(1)$\begin{cases} x+y=3, \\ x+z=1, \\ y+z=2; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x-y=1, \\ x+3y+z=10, \\ x-2y-z=-2. \end{cases}$
(1)$\begin{cases} x+y=3, \\ x+z=1, \\ y+z=2; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x-y=1, \\ x+3y+z=10, \\ x-2y-z=-2. \end{cases}$
答案
3. 解:(1)$\begin{cases} x+y=3,① \\ x+z=1,② \\ y+z=2,③ \end{cases}$ 由①+②+③,得 $2x+2y+2z=6$,即 $x+y+z=3···④$,把①代入④,得 $z=0$,把②代入④,得 $y=2$,把③代入④,得 $x=1$,则方程组的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=0. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x-y=1,① \\ x+3y+z=10,② \\ x-2y-z=-2,③ \end{cases}$ 由②+③,得 $2x+y=8···④$,由①+④,得 $3x=9$,解得 $x=3$,把 $x=3$ 代入①,得 $y=2$,把 $x,y$ 的值代入②,得 $z=1$,则方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=2, \\ z=1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x-y=1,① \\ x+3y+z=10,② \\ x-2y-z=-2,③ \end{cases}$ 由②+③,得 $2x+y=8···④$,由①+④,得 $3x=9$,解得 $x=3$,把 $x=3$ 代入①,得 $y=2$,把 $x,y$ 的值代入②,得 $z=1$,则方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=2, \\ z=1. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 第一个方程组的三个方程均为两个未知数的和，我们可先将三个方程左右两边同时相加，得到x+y+z的整体值，再用这个整体分别减去每个原方程，即可快速求出三个未知数的值。
(2) 第二个方程组中方程②和③的z系数互为相反数，优先用加减消元法消去z，得到仅含x、y的方程，再与仅含x、y的方程①联立，解出x、y后代入原方程求z即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases} x+y=3,① \\ x+z=1,② \\ y+z=2,③ \end{cases}$
将①+②+③，得 $2x+2y+2z=6$，化简得 $x+y+z=3$···④
把①代入④，得 $3+z=3$，解得 $z=0$
把②代入④，得 $1+y=3$，解得 $y=2$
把③代入④，得 $2+x=3$，解得 $x=1$
(2) 记方程组为$\begin{cases} x-y=1,① \\ x+3y+z=10,② \\ x-2y-z=-2.③ \end{cases}$
将②+③，得 $2x+y=8$···④
将①+④，得 $3x=9$，解得 $x=3$
把 $x=3$ 代入①，得 $3-y=1$，解得 $y=2$
把 $x=3$，$y=2$ 代入②，得 $3+6+z=10$，解得 $z=1$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=0; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=3, \\ y=2, \\ z=1. \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组求解，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题属于三元一次方程组的基础练习题，消元是解题的核心思想，解题时可先观察未知数系数特点选择最优的消元顺序，能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
(1) 第一个方程组的三个方程均为两个未知数的和，我们可先将三个方程左右两边同时相加，得到x+y+z的整体值，再用这个整体分别减去每个原方程，即可快速求出三个未知数的值。
(2) 第二个方程组中方程②和③的z系数互为相反数，优先用加减消元法消去z，得到仅含x、y的方程，再与仅含x、y的方程①联立，解出x、y后代入原方程求z即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases} x+y=3,① \\ x+z=1,② \\ y+z=2,③ \end{cases}$
将①+②+③，得 $2x+2y+2z=6$，化简得 $x+y+z=3$···④
把①代入④，得 $3+z=3$，解得 $z=0$
把②代入④，得 $1+y=3$，解得 $y=2$
把③代入④，得 $2+x=3$，解得 $x=1$
(2) 记方程组为$\begin{cases} x-y=1,① \\ x+3y+z=10,② \\ x-2y-z=-2.③ \end{cases}$
将②+③，得 $2x+y=8$···④
将①+④，得 $3x=9$，解得 $x=3$
把 $x=3$ 代入①，得 $3-y=1$，解得 $y=2$
把 $x=3$，$y=2$ 代入②，得 $3+6+z=10$，解得 $z=1$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=0; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=3, \\ y=2, \\ z=1. \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组求解，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题属于三元一次方程组的基础练习题，消元是解题的核心思想，解题时可先观察未知数系数特点选择最优的消元顺序，能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
4.一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1.若百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，原来的三位数是（
A.325
B.217
C.433
D.541
B
）A.325
B.217
C.433
D.541
答案
4.B
解析
【分析】
遇到数位类应用题，首先要明确三位数的表示规则：三位数=百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。本题给出3个明确的等量关系：①三个数位上的数字之和为10；②百位数字比十位数字大1；③百位数字与个位数字对调后的新数 = 原数×3 + 61。我们可以设三个数位的数字分别为未知数，根据等量关系列三元一次方程组求解，也可以直接代入选项验证，快速选出答案。
【解析】
方法一：列方程组求解
设原来三位数的百位数字为$x$，十位数字为$y$，个位数字为$z$，根据题意列方程组：
1. 数字之和为10：$x + y + z = 10$
2. 百位比十位大1：$x - y = 1$
3. 对调后新数与原数的关系：$100z + 10y + x = 3(100x + 10y + z) + 61$
由第二个方程得$x = y + 1$，代入第一个方程得：
$(y+1) + y + z = 10$，整理得$z = 9 - 2y$
将$x = y + 1$、$z = 9 - 2y$代入第三个方程：
左边：$100(9-2y) + 10y + (y+1) = 901 - 189y$
右边：$3[100(y+1) + 10y + (9-2y)] + 61 = 324y + 388$
令左右两边相等：$901 - 189y = 324y + 388$
解得$y=1$，则$x = 1+1=2$，$z=9-2×1=7$
所以原来的三位数是$2×100 + 1×10 +7 = 217$。
方法二：代入排除法
A选项325：对调后为523，原数的3倍是$325×3=975$，$523＜975$，不符合要求，排除；
B选项217：对调后为712，原数的3倍加61是$217×3+61=712$，完全符合所有条件，当选。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的应用；数的表示；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的数位类应用题，解题核心是正确表示多位数，根据题干等量关系列方程求解，也可利用选择题的特性直接代入选项验证，提高解题效率。
【难度系数】
0.75
遇到数位类应用题，首先要明确三位数的表示规则：三位数=百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字。本题给出3个明确的等量关系：①三个数位上的数字之和为10；②百位数字比十位数字大1；③百位数字与个位数字对调后的新数 = 原数×3 + 61。我们可以设三个数位的数字分别为未知数，根据等量关系列三元一次方程组求解，也可以直接代入选项验证，快速选出答案。
【解析】
方法一：列方程组求解
设原来三位数的百位数字为$x$，十位数字为$y$，个位数字为$z$，根据题意列方程组：
1. 数字之和为10：$x + y + z = 10$
2. 百位比十位大1：$x - y = 1$
3. 对调后新数与原数的关系：$100z + 10y + x = 3(100x + 10y + z) + 61$
由第二个方程得$x = y + 1$，代入第一个方程得：
$(y+1) + y + z = 10$，整理得$z = 9 - 2y$
将$x = y + 1$、$z = 9 - 2y$代入第三个方程：
左边：$100(9-2y) + 10y + (y+1) = 901 - 189y$
右边：$3[100(y+1) + 10y + (9-2y)] + 61 = 324y + 388$
令左右两边相等：$901 - 189y = 324y + 388$
解得$y=1$，则$x = 1+1=2$，$z=9-2×1=7$
所以原来的三位数是$2×100 + 1×10 +7 = 217$。
方法二：代入排除法
A选项325：对调后为523，原数的3倍是$325×3=975$，$523＜975$，不符合要求，排除；
B选项217：对调后为712，原数的3倍加61是$217×3+61=712$，完全符合所有条件，当选。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的应用；数的表示；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的数位类应用题，解题核心是正确表示多位数，根据题干等量关系列方程求解，也可利用选择题的特性直接代入选项验证，提高解题效率。
【难度系数】
0.75
5. 已知$x + 4y - 3z = 0$，且$4x - 5y + 2z = 0$，则$x:y:z$为（
A.$1:2:3$
B.$1:3:2$
C.$2:1:3$
D.$3:1:2$
A
）A.$1:2:3$
B.$1:3:2$
C.$2:1:3$
D.$3:1:2$
答案
5.A
解析
【分析】
题目给出两个含三个未知数的方程，要计算三个未知数的比例。由于未知数个数比方程个数多，无法求出每个未知数的具体值，我们可以将其中一个未知数（如z）当作已知常数，通过消元法分别用含z的式子表示出x和y，最后代入比例化简即可得到结果。
【解析】
将已知方程整理为：
$\begin{cases}x + 4y = 3z \quad \mathrm{①} \\4x - 5y = -2z \quad \mathrm{②}\end{cases}$
选择消去x求解：
将①式两边同时乘4，得：$4x + 16y = 12z \quad \mathrm{③}$
用③式减去②式：
$(4x + 16y) - (4x - 5y) = 12z - (-2z)$
化简得：$21y = 14z$，解得$y = \frac{2}{3}z$
把$y = \frac{2}{3}z$代入①式：
$x + 4×\frac{2}{3}z = 3z$
计算得：$x + \frac{8}{3}z = \frac{9}{3}z$，解得$x = \frac{1}{3}z$
因此$x:y:z = \frac{1}{3}z : \frac{2}{3}z : z$，各项同时乘3并约去z，得$x:y:z = 1:2:3$
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组解法，消元思想，比例化简
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用，重点考察消元法的灵活使用，当未知数数量多于方程个数时，可将其中一个未知数作为参数求解其余未知数的表达式，进而求出比例关系，解题关键是正确选择消元对象，计算时注意符号问题。
【难度系数】
0.7
题目给出两个含三个未知数的方程，要计算三个未知数的比例。由于未知数个数比方程个数多，无法求出每个未知数的具体值，我们可以将其中一个未知数（如z）当作已知常数，通过消元法分别用含z的式子表示出x和y，最后代入比例化简即可得到结果。
【解析】
将已知方程整理为：
$\begin{cases}x + 4y = 3z \quad \mathrm{①} \\4x - 5y = -2z \quad \mathrm{②}\end{cases}$
选择消去x求解：
将①式两边同时乘4，得：$4x + 16y = 12z \quad \mathrm{③}$
用③式减去②式：
$(4x + 16y) - (4x - 5y) = 12z - (-2z)$
化简得：$21y = 14z$，解得$y = \frac{2}{3}z$
把$y = \frac{2}{3}z$代入①式：
$x + 4×\frac{2}{3}z = 3z$
计算得：$x + \frac{8}{3}z = \frac{9}{3}z$，解得$x = \frac{1}{3}z$
因此$x:y:z = \frac{1}{3}z : \frac{2}{3}z : z$，各项同时乘3并约去z，得$x:y:z = 1:2:3$
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组解法，消元思想，比例化简
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用，重点考察消元法的灵活使用，当未知数数量多于方程个数时，可将其中一个未知数作为参数求解其余未知数的表达式，进而求出比例关系，解题关键是正确选择消元对象，计算时注意符号问题。
【难度系数】
0.7
6.如果方程组$\begin{cases}x+2y=2a, \\ x-y=4a\end{cases}$的解是方程$3x-5y-28=0$的一个解，则$a=$（ ）
A.2.1
B.3
C.7
D.6
A.2.1
B.3
C.7
D.6
答案
6.A
解析
【分析】
本题是含参数的二元一次方程组的解满足另一个一次方程求参数的题型，解题思路如下：第一步，把参数a当作常数，用消元法解二元一次方程组，得到用a表示的x、y的表达式；第二步，根据“方程组的解是方程3x-5y-28=0的一个解”，将x、y的表达式代入该方程，得到仅含a的一元一次方程；第三步，解一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x+2y=2a&① \\ x-y=4a&②\end{cases}$
用①-②消去x，可得：
$(x+2y)-(x-y)=2a-4a$
化简得$3y=-2a$，解得$y=-\frac{2a}{3}$
将$y=-\frac{2a}{3}$代入②式，可得：
$x-(-\frac{2a}{3})=4a$
化简得$x+\frac{2a}{3}=4a$，解得$x=\frac{10a}{3}$
把$x=\frac{10a}{3}$、$y=-\frac{2a}{3}$代入方程$3x-5y-28=0$，得：
$3×\frac{10a}{3} -5×(-\frac{2a}{3}) -28=0$
化简得$10a+\frac{10a}{3}=28$
两边同时乘3消去分母，得$30a+10a=84$
即$40a=84$，解得$a=2.1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法，方程的解的定义，一元一次方程的解法
【点评】
本题是参数求解的常规基础题，核心是掌握消元法解二元一次方程组，理解方程的解的含义，将参数作为常量处理后代入转化为一元一次方程求解即可，解题时需注意符号运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是含参数的二元一次方程组的解满足另一个一次方程求参数的题型，解题思路如下：第一步，把参数a当作常数，用消元法解二元一次方程组，得到用a表示的x、y的表达式；第二步，根据“方程组的解是方程3x-5y-28=0的一个解”，将x、y的表达式代入该方程，得到仅含a的一元一次方程；第三步，解一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x+2y=2a&① \\ x-y=4a&②\end{cases}$
用①-②消去x，可得：
$(x+2y)-(x-y)=2a-4a$
化简得$3y=-2a$，解得$y=-\frac{2a}{3}$
将$y=-\frac{2a}{3}$代入②式，可得：
$x-(-\frac{2a}{3})=4a$
化简得$x+\frac{2a}{3}=4a$，解得$x=\frac{10a}{3}$
把$x=\frac{10a}{3}$、$y=-\frac{2a}{3}$代入方程$3x-5y-28=0$，得：
$3×\frac{10a}{3} -5×(-\frac{2a}{3}) -28=0$
化简得$10a+\frac{10a}{3}=28$
两边同时乘3消去分母，得$30a+10a=84$
即$40a=84$，解得$a=2.1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法，方程的解的定义，一元一次方程的解法
【点评】
本题是参数求解的常规基础题，核心是掌握消元法解二元一次方程组，理解方程的解的含义，将参数作为常量处理后代入转化为一元一次方程求解即可，解题时需注意符号运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
7.某电器公司计划装运甲、乙、丙三种家电到农村销售(规定每辆货车均满载,且每辆货车只能装同一种家电),下表所示为甲、乙、丙三种家电每辆货车满载时装运的台数及利润：
| | 甲 | 乙 | 丙 |
| 每辆货车满载时装运的台数 |
| 20 | 30 |
| 利润(万元/台) | 0.05 | 0.07 | 0.04 |
(1)若用8辆货车装运乙、丙两种家电共190台到A地销售,问装运乙、丙两种家电的货车各多少辆?
(2)计划用20辆货车装运甲、乙、丙三种家电共720台到B地销售,如何安排装运,可使公司获得36.6万元的利润?
| | 甲 | 乙 | 丙 |
| 每辆货车满载时装运的台数 |
| 20 | 30 || 利润(万元/台) | 0.05 | 0.07 | 0.04 |
(1)若用8辆货车装运乙、丙两种家电共190台到A地销售,问装运乙、丙两种家电的货车各多少辆?
(2)计划用20辆货车装运甲、乙、丙三种家电共720台到B地销售,如何安排装运,可使公司获得36.6万元的利润?
答案
7. 解:(1)设有 $x$ 辆货车装运乙家电,有 $y$ 辆货车装运丙家电. 依题意得 $\begin{cases} x+y=8, \\20x+30y=190, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=5, \\y=3. \end{cases}$ 答:有5辆货车装运乙家电,有3辆货车装运丙家电.
(2)设安排 $a$ 辆货车装运甲家电,$b$ 辆货车装运乙家电, $c$ 辆货车装运丙家电. 依题意得
$\begin{cases} a+b+c=20, \\40a+20b+30c=720, \\0.05×40a+0.07×20b+0.04×30c=36.6, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a=15, \\b=3, \\c=2. \end{cases}$ 答:安排15辆货车装运甲家电,3辆货车装运乙家电,2辆货车装运丙家电.
(2)设安排 $a$ 辆货车装运甲家电,$b$ 辆货车装运乙家电, $c$ 辆货车装运丙家电. 依题意得
$\begin{cases} a+b+c=20, \\40a+20b+30c=720, \\0.05×40a+0.07×20b+0.04×30c=36.6, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a=15, \\b=3, \\c=2. \end{cases}$ 答:安排15辆货车装运甲家电,3辆货车装运乙家电,2辆货车装运丙家电.
解析
【分析】
(1) 本小问是二元一次方程组应用问题，可找到两个等量关系：①装运乙家电的货车数量+装运丙家电的货车数量=总货车数8辆；②乙家电总装运量+丙家电总装运量=190台。我们分别设装运乙、丙家电的货车数为未知数，根据等量关系列二元一次方程组求解即可。
(2) 本小问需用三元一次方程组求解，可找到三个等量关系：①装运甲、乙、丙家电的货车总数为20辆；②三种家电总装运量为720台；③三种家电总利润为36.6万元。我们分别设装运三种家电的货车数为未知数，根据等量关系列三元一次方程组，通过消元法将三元方程组转化为二元方程组求解，再回代得到所有未知数的值即可确定装运方案。
【解析】
(1) 解：设装运乙家电的货车有$x$辆，装运丙家电的货车有$y$辆。
依题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=8 \\20x+30y=190 \end{cases}$
由第一个方程得$x=8-y$，代入第二个方程：
$20(8-y)+30y=190$
$160+10y=190$
解得$y=3$，则$x=8-3=5$
即方程组的解为$\begin{cases} x=5 \\y=3 \end{cases}$
(2) 解：设安排$a$辆货车装运甲家电，$b$辆货车装运乙家电，$c$辆货车装运丙家电。
依题意列方程组：
$\begin{cases} a+b+c=20&① \\40a+20b+30c=720&② \\0.05×40a+0.07×20b+0.04×30c=36.6&③ \end{cases}$
化简②得：$4a+2b+3c=72$，化简③得：$2a+1.4b+1.2c=36.6$
由①得$c=20-a-b$，分别代入化简后的②和③：
代入②得$4a+2b+3(20-a-b)=72$，整理得$a-b=12$，即$a=b+12$ ④
代入③得$2a+1.4b+1.2(20-a-b)=36.6$，整理得$4a+b=63$ ⑤
将④代入⑤得：$4(b+12)+b=63$，解得$b=3$
将$b=3$代入④得$a=15$，再将$a=15,b=3$代入①得$c=2$
即方程组的解为$\begin{cases} a=15 \\b=3 \\c=2 \end{cases}$
【答案】
(1) 装运乙家电的货车有5辆，装运丙家电的货车有3辆；
(2) 安排15辆货车装运甲家电，3辆货车装运乙家电，2辆货车装运丙家电。
【知识点】
二元一次方程组的应用；三元一次方程组的应用；一次方程组实际建模
【点评】
本题是一次方程组的实际应用类基础题，解题关键是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列出对应的方程组，求解时灵活使用消元法可降低计算难度，最终结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
(1) 本小问是二元一次方程组应用问题，可找到两个等量关系：①装运乙家电的货车数量+装运丙家电的货车数量=总货车数8辆；②乙家电总装运量+丙家电总装运量=190台。我们分别设装运乙、丙家电的货车数为未知数，根据等量关系列二元一次方程组求解即可。
(2) 本小问需用三元一次方程组求解，可找到三个等量关系：①装运甲、乙、丙家电的货车总数为20辆；②三种家电总装运量为720台；③三种家电总利润为36.6万元。我们分别设装运三种家电的货车数为未知数，根据等量关系列三元一次方程组，通过消元法将三元方程组转化为二元方程组求解，再回代得到所有未知数的值即可确定装运方案。
【解析】
(1) 解：设装运乙家电的货车有$x$辆，装运丙家电的货车有$y$辆。
依题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=8 \\20x+30y=190 \end{cases}$
由第一个方程得$x=8-y$，代入第二个方程：
$20(8-y)+30y=190$
$160+10y=190$
解得$y=3$，则$x=8-3=5$
即方程组的解为$\begin{cases} x=5 \\y=3 \end{cases}$
(2) 解：设安排$a$辆货车装运甲家电，$b$辆货车装运乙家电，$c$辆货车装运丙家电。
依题意列方程组：
$\begin{cases} a+b+c=20&① \\40a+20b+30c=720&② \\0.05×40a+0.07×20b+0.04×30c=36.6&③ \end{cases}$
化简②得：$4a+2b+3c=72$，化简③得：$2a+1.4b+1.2c=36.6$
由①得$c=20-a-b$，分别代入化简后的②和③：
代入②得$4a+2b+3(20-a-b)=72$，整理得$a-b=12$，即$a=b+12$ ④
代入③得$2a+1.4b+1.2(20-a-b)=36.6$，整理得$4a+b=63$ ⑤
将④代入⑤得：$4(b+12)+b=63$，解得$b=3$
将$b=3$代入④得$a=15$，再将$a=15,b=3$代入①得$c=2$
即方程组的解为$\begin{cases} a=15 \\b=3 \\c=2 \end{cases}$
【答案】
(1) 装运乙家电的货车有5辆，装运丙家电的货车有3辆；
(2) 安排15辆货车装运甲家电，3辆货车装运乙家电，2辆货车装运丙家电。
【知识点】
二元一次方程组的应用；三元一次方程组的应用；一次方程组实际建模
【点评】
本题是一次方程组的实际应用类基础题，解题关键是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列出对应的方程组，求解时灵活使用消元法可降低计算难度，最终结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
