1.《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?译文:假设有几个人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问有几个人共同出钱买鸡?鸡的价钱是多少?设有$x$个人共同买鸡,根据题意列一元一次方程,正确的是 ()

A.$9x + 11 = 6x - 16$
B.$9x - 11 = 6x + 16$
C.$\dfrac{x - 11}{9} = \dfrac{x + 16}{6}$
D.$\dfrac{x + 11}{9} = \dfrac{x - 16}{6}$

1.B

【分析】
要解决这道古算类列方程问题，首先需要找到题目中固定不变的量，本题中鸡的总价是始终不变的，我们可以根据两种出钱方式分别表示出鸡的总价，再让两个表示鸡价的式子相等即可列出方程。首先分析第一种出钱情况：每人出9钱，总出钱数是9x，此时比鸡价多11钱，说明鸡价比总出钱数少11；再分析第二种出钱情况：每人出6钱，总出钱数是6x，此时比鸡价少16钱，说明鸡价比总出钱数多16，最后利用鸡价相等列等式即可判断选项。
【解析】
设共有x个人共同买鸡，本题的等量关系为：鸡的总价固定不变。
①当每人出9钱时，总出钱为9x，此时多了11钱，因此鸡的价格为：$9x - 11$；
②当每人出6钱时，总出钱为6x，此时少了16钱，因此鸡的价格为：$6x + 16$；
因为鸡的价格不变，所以可列方程：$9x - 11 = 6x + 16$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用；找等量关系列方程
【点评】
本题结合中国传统数学著作《九章算术》的内容出题，既考查了列一元一次方程的基础能力，又能让学生感受传统数学文化的魅力。解题的核心是抓住“鸡的总价不变”这一关键等量关系，即可快速列出对应方程。
【难度系数】
0.8

2. 唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：“今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.相逢三处店，饮尽壶中酒.试问能算士，如何知原有.”大意如下：李白在郊外春游时，做出了这样一条约定，在店里遇见朋友，先将壶里的酒增加1倍，再喝掉其中的5 L.按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒.请你列方程求出壶中原有多少升酒.（注：古代一斗是10 L）

2.解:设壶中原有$x$ L酒,由题意,得$2[2(2x-5)-5]=5$,解得$x=\dfrac{35}{8}$.答:壶中原有$\dfrac{35}{8}$ L酒.

【分析】
这是一道结合古算背景的一元一次方程应用题，解题思路如下：①先设壶中原有酒的量为未知数x；②按照题目给出的“遇友先加倍，再饮5L”的规则，依次推导每次遇店后剩余的酒量：第一次遇店后剩余(2x-5)L，第二次遇店时先将第一次剩余的酒量加倍，再饮5L，剩余[2(2x-5)-5]L；③第三次遇店时，先将第二次剩余的酒量加倍，此时的酒量刚好等于要饮的5L（饮完后壶中就空了），据此等量关系列出方程，再求解即可得到原有酒量。
【解析】
解：设壶中原有$x$ L酒。
第一次遇店后，壶中剩余酒量为：$2x - 5$ L
第二次遇店后，壶中剩余酒量为：$2(2x - 5) - 5$ L
第三次遇店时，先将剩余酒量加倍后刚好等于要饮用的5L，因此可列方程：
$2[2(2x - 5) - 5] = 5$
展开内层括号得：$2[4x - 10 - 5] = 5$
化简得：$2(4x - 15) = 5$
展开得：$8x - 30 = 5$
移项合并得：$8x = 35$
解得：$x = \dfrac{35}{8}$
答：壶中原有$\dfrac{35}{8}$ L酒。
【答案】
壶中原有$\dfrac{35}{8}$ L酒。
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系梳理；一元一次方程求解
【点评】
本题以传统古算故事为背景，考查了用一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是理清每次操作后的酒量变化，找到正确的等量关系列方程，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7

3.我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书记载了一些诗歌形式的算题，其中有一个“百羊问题”：甲赶羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？题目的意思如下：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面。乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只。”请问甲原来赶的羊一共有多少只？

3.解:设原来赶的羊有$x$只,根据题意,得$x+x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}x+1=100$,解得$x=36$.答:甲原来赶的羊一共有36只.

【分析】
这是一道古算类一元一次方程应用题，解题首先要读懂古文描述的数量关系，明确核心等量关系：甲原有羊的数量+和原有数量相同的羊+原有数量一半的羊+原有数量四分之一的羊+乙的1只羊=100只。我们可以设甲原有羊的数量为未知数x，将各部分量用含x的代数式表示后代入等量关系列方程，再按一元一次方程的解法步骤求解即可，最后验证结果符合实际意义。
【解析】
解：设甲原来赶的羊一共有$x$只。
根据题意列方程：
$x+x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}x+1=100$
合并同类项得：$\dfrac{11}{4}x + 1 = 100$
移项得：$\dfrac{11}{4}x = 99$
系数化为1得：$x = 99 × \dfrac{4}{11} = 36$
经检验，$x=36$符合题意。
答：甲原来赶的羊一共有36只。
【答案】
36只
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是我国古代经典数学问题，解题核心是准确理解古文表述的数量关系，找到正确的等量关系列方程，侧重考查信息提取能力和方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.7

4.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题:马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何?设马每匹$x$两,牛每头$y$两,根据题意,可列方程组为 ()

A.$\begin{cases}4x + 6y = 38, \\3x + 5y = 48\end{cases}$
B.$\begin{cases}4y + 6x = 48, \\3y + 5x = 38\end{cases}$
C.$\begin{cases}4x + 6y = 48, \\5x + 3y = 38\end{cases}$
D.$\begin{cases}4x + 6y = 48, \\3x + 5y = 38\end{cases}$

4.D

【分析】
要解决这道古算列方程组的问题，首先需要从题干中提取两个等量关系：第一个是4匹马的总价格加6头牛的总价格等于48两，第二个是3匹马的总价格加5头牛的总价格等于38两。再结合设定的未知数，马每匹x两，牛每头y两，分别把两个等量关系转化为方程，再组合成方程组，和选项对比即可得出答案。
【解析】
首先根据题意梳理等量关系：
1. 4匹马的总价 + 6头牛的总价 = 48两，已知马每匹x两，牛每头y两，因此可列方程：$4x + 6y = 48$；
2. 3匹马的总价 + 5头牛的总价 = 38两，同理可列方程：$3x + 5y = 38$。
将两个方程联立，可得方程组$\begin{cases}4x + 6y = 48 \\3x + 5y = 38\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组；实际问题等量关系提取
【点评】
本题结合我国古代算书的背景出题，既渗透了数学文化，又考查了从文字信息中提取等量关系列方程组的能力，解题的关键是准确找到两个总价对应的等量关系。
【难度系数】
0.8

5.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果1托为5尺,那么索长为尺,竿子长为尺.

5.20 15

【分析】
首先梳理题目中的等量关系，已知1托为5尺：第一个关系是索的长度比竿子长5尺；第二个关系是索对折后的长度比竿子短5尺。我们可以设竿子的长度为未知数，用第一个关系表示出索的长度，再根据第二个关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
已知1托=5尺，设竿子长为$x$尺，因为索比竿子长一托，所以索长为$(x+5)$尺。
对折索子后的长度为$\frac{1}{2}(x+5)$尺，此时对折的索比竿子短一托，可列方程：
$\frac{1}{2}(x+5) = x - 5$
去分母，得：$x + 5 = 2(x - 5)$
去括号，得：$x + 5 = 2x - 10$
移项、合并同类项，得：$x = 15$
则索长为$x + 5 = 15 + 5 = 20$（尺）
【答案】
20；15
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系提取
【点评】
本题是经典古算应用题，解题的核心是读懂题意，准确从文字描述中提取对应的等量关系，再通过列解方程得到结果，解题时注意不要忽略“对折索子”的长度变化。
【难度系数】
0.7