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例1 在同一平面直角坐标系中,函数 $y=kx+1$ 和 $y=-\frac{k}{x}(k≠0,k$ 是常数)的图象大致是（
B
）答案
B
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数的图象共存问题，解题采用分类讨论法：首先两个函数解析式都含参数k，我们分k＞0和k＜0两种情况，分别推导两个函数的图象特征，再结合选项逐一排除错误答案，同时注意一次函数y=kx+1的截距固定为1，恒过y轴正半轴的点(0,1)，可以作为快速排除的依据。
【解析】
分两种情况讨论k的符号：
1. 若$k＞0$：
一次函数$y=kx+1$斜率为正，且与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y=-\frac{k}{x}$中$-k＜0$，图象位于第二、四象限，无符合的选项，排除选项A。
2. 若$k＜0$：
一次函数$y=kx+1$斜率为负，且与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限；
反比例函数$y=-\frac{k}{x}$中$-k＞0$，图象位于第一、三象限。
对剩余选项判断：
选项C的反比例函数位于第二、四象限，不符合特征，排除；
选项D的一次函数与y轴交于负半轴，不符合截距为1的特征，排除；
只有选项B符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，核心考查参数对函数图象位置的影响，通过分类讨论结合性质排除错误选项是这类题的通用解法，解题时优先看固定不变的截距、恒过点等特征，能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与反比例函数的图象共存问题，解题采用分类讨论法：首先两个函数解析式都含参数k，我们分k＞0和k＜0两种情况，分别推导两个函数的图象特征，再结合选项逐一排除错误答案，同时注意一次函数y=kx+1的截距固定为1，恒过y轴正半轴的点(0,1)，可以作为快速排除的依据。
【解析】
分两种情况讨论k的符号：
1. 若$k＞0$：
一次函数$y=kx+1$斜率为正，且与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y=-\frac{k}{x}$中$-k＜0$，图象位于第二、四象限，无符合的选项，排除选项A。
2. 若$k＜0$：
一次函数$y=kx+1$斜率为负，且与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限；
反比例函数$y=-\frac{k}{x}$中$-k＞0$，图象位于第一、三象限。
对剩余选项判断：
选项C的反比例函数位于第二、四象限，不符合特征，排除；
选项D的一次函数与y轴交于负半轴，不符合截距为1的特征，排除；
只有选项B符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，核心考查参数对函数图象位置的影响，通过分类讨论结合性质排除错误选项是这类题的通用解法，解题时优先看固定不变的截距、恒过点等特征，能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
例2 如图2.2.2，一次函数$y=-3x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第四象限内的部分交于点$A(a,-6)$，将一次函数$y=-3x$的图象沿$y$轴正方向向上平移后与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点$M$。已知$△ AOM$的面积为4。
（1）求$k$的值；
（2）求一次函数$y=-3x$的图象平移后得到的函数图象相应的函数表达式。
（1）求$k$的值；
（2）求一次函数$y=-3x$的图象平移后得到的函数图象相应的函数表达式。
答案
(1) $k=-12$
(2) 设图象平移后交 $y$ 轴于点 $B$, 由 $S_{△ AOB}=S_{△ AOM}$,得 $y=-3x+4$
(2) 设图象平移后交 $y$ 轴于点 $B$, 由 $S_{△ AOB}=S_{△ AOM}$,得 $y=-3x+4$
解析
【分析】
（1）要计算k的值，需先得到反比例函数上点A的完整坐标：已知点A在一次函数$y=-3x$上，将点A的纵坐标代入一次函数解析式可求出横坐标$a$，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出$k$。
（2）一次函数平移时斜率不变，因此可设平移后的解析式为$y=-3x+b$，它与y轴交于点$B(0,b)$。由于平移后的直线与原直线$y=-3x$平行，因此$△ AOM$和$△ AOB$同底等高，面积相等，结合$△ AOM$的面积为4求出$b$的值，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
（1）$\because$ 点$A(a,-6)$在一次函数$y=-3x$的图象上
$\therefore$ 将$y=-6$代入$y=-3x$，得：$-6=-3a$
解得$a=2$，即点A的坐标为$(2,-6)$
又$\because$ 点$A(2,-6)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
$\therefore$ 将$x=2,y=-6$代入$y=\frac{k}{x}$，得：$-6=\frac{k}{2}$
解得$k=2×(-6)=-12$
（2）设一次函数$y=-3x$平移后的解析式为$y=-3x+b$，该直线与y轴交于点$B(0,b)$
$\because$ 平移后的直线与原直线$y=-3x$平行
$\therefore$ 点$M$和点$B$到直线$OA$的距离相等，因此$S_{△ AOM}=S_{△ AOB}$
已知$S_{△ AOM}=4$，故$S_{△ AOB}=4$
$△ AOB$以$OB$为底，$OB$长度为$b$，高为点A横坐标的绝对值$|2|=2$
根据三角形面积公式：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB × |x_A|=\frac{1}{2}× b × 2 = b$
$\therefore b=4$
即平移后得到的函数表达式为$y=-3x+4$
【答案】
(1) $k=-12$
(2) $y=-3x+4$
【知识点】
反比例函数性质；一次函数平移；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数的平移规律，解题的关键是利用平行线间距离相等将$△ AOM$的面积转化为更易计算的$△ AOB$的面积，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要计算k的值，需先得到反比例函数上点A的完整坐标：已知点A在一次函数$y=-3x$上，将点A的纵坐标代入一次函数解析式可求出横坐标$a$，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出$k$。
（2）一次函数平移时斜率不变，因此可设平移后的解析式为$y=-3x+b$，它与y轴交于点$B(0,b)$。由于平移后的直线与原直线$y=-3x$平行，因此$△ AOM$和$△ AOB$同底等高，面积相等，结合$△ AOM$的面积为4求出$b$的值，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
（1）$\because$ 点$A(a,-6)$在一次函数$y=-3x$的图象上
$\therefore$ 将$y=-6$代入$y=-3x$，得：$-6=-3a$
解得$a=2$，即点A的坐标为$(2,-6)$
又$\because$ 点$A(2,-6)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
$\therefore$ 将$x=2,y=-6$代入$y=\frac{k}{x}$，得：$-6=\frac{k}{2}$
解得$k=2×(-6)=-12$
（2）设一次函数$y=-3x$平移后的解析式为$y=-3x+b$，该直线与y轴交于点$B(0,b)$
$\because$ 平移后的直线与原直线$y=-3x$平行
$\therefore$ 点$M$和点$B$到直线$OA$的距离相等，因此$S_{△ AOM}=S_{△ AOB}$
已知$S_{△ AOM}=4$，故$S_{△ AOB}=4$
$△ AOB$以$OB$为底，$OB$长度为$b$，高为点A横坐标的绝对值$|2|=2$
根据三角形面积公式：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB × |x_A|=\frac{1}{2}× b × 2 = b$
$\therefore b=4$
即平移后得到的函数表达式为$y=-3x+4$
【答案】
(1) $k=-12$
(2) $y=-3x+4$
【知识点】
反比例函数性质；一次函数平移；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数的平移规律，解题的关键是利用平行线间距离相等将$△ AOM$的面积转化为更易计算的$△ AOB$的面积，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
1. 若反比例函数$y=\frac{2m-1}{x}$的图象在第二、四象限，则$m$的取值范围是 （
A.$m＜0$
B.$m＞0$
C.$m＞\frac{1}{2}$
D.$m＜\frac{1}{2}$
D
）A.$m＜0$
B.$m＞0$
C.$m＞\frac{1}{2}$
D.$m＜\frac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）的图象所在象限由$k$的符号决定：$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限。本题给出图象在第二、四象限，因此首先确定比例系数$2m-1＜0$，再解这个一元一次不等式即可求出$m$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的图象性质，若$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限，则$k＜0$。
本题中比例系数$k=2m-1$，因此可得不等式：
$2m - 1 ＜ 0$
移项得：$2m ＜ 1$
两边同时除以2得：$m ＜ \frac{1}{2}$
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查反比例函数系数与图象分布的对应关系，熟练掌握相关性质、正确解不等式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）的图象所在象限由$k$的符号决定：$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限。本题给出图象在第二、四象限，因此首先确定比例系数$2m-1＜0$，再解这个一元一次不等式即可求出$m$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的图象性质，若$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限，则$k＜0$。
本题中比例系数$k=2m-1$，因此可得不等式：
$2m - 1 ＜ 0$
移项得：$2m ＜ 1$
两边同时除以2得：$m ＜ \frac{1}{2}$
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查反比例函数系数与图象分布的对应关系，熟练掌握相关性质、正确解不等式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上.若$x_1＜0＜x_2$，则$y_1$与$y_2$的大小关系为（
A.$y_1＜0＜y_2$
B.$y_2＜0＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜0$
D.$y_2＜y_1＜0$
A
）A.$y_1＜0＜y_2$
B.$y_2＜0＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜0$
D.$y_2＜y_1＜0$
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＞0$时，图象分布在第一、三象限，第一象限内的点横、纵坐标均为正，第三象限内的点横、纵坐标均为负。再结合题目给出的$x_1＜0＜x_2$的条件，分别判断点A、B所在的象限，就能得到$y_1$和$y_2$的符号，进而比较二者大小。
【解析】
解：
∵反比例函数解析式为$y=\frac{1}{x}$，其中$k=1＞0$，
∴该反比例函数的图象位于第一、三象限。
∵$x_1＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$在第三象限，可得$y_1＜0$；
∵$x_2＞0$，
∴点$B(x_2,y_2)$在第一象限，可得$y_2＞0$。
因此$y_1＜0＜y_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，解题关键是先由k的符号确定函数图象所在象限，再结合点横坐标的正负判断纵坐标的符号，即可快速得到大小关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＞0$时，图象分布在第一、三象限，第一象限内的点横、纵坐标均为正，第三象限内的点横、纵坐标均为负。再结合题目给出的$x_1＜0＜x_2$的条件，分别判断点A、B所在的象限，就能得到$y_1$和$y_2$的符号，进而比较二者大小。
【解析】
解：
∵反比例函数解析式为$y=\frac{1}{x}$，其中$k=1＞0$，
∴该反比例函数的图象位于第一、三象限。
∵$x_1＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$在第三象限，可得$y_1＜0$；
∵$x_2＞0$，
∴点$B(x_2,y_2)$在第一象限，可得$y_2＞0$。
因此$y_1＜0＜y_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，解题关键是先由k的符号确定函数图象所在象限，再结合点横坐标的正负判断纵坐标的符号，即可快速得到大小关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
