5. 已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，且$x_1＜x_2$，下列关系成立的是（）

A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1=y_2$
D.不能确定

D

【分析】
要判断反比例函数上两点的函数值大小，首先要明确反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。这里需要注意，增减性的前提是“在每个象限内”，如果两点不在同一象限，就不能直接用增减性判断。题中仅给出$x_1＜x_2$，未明确$x_1$、$x_2$的正负，也就是无法确定两点是否在同一象限，因此需要分情况讨论后再判断大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，$k=-3＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
分三种情况讨论：
1. 若$x_1＜x_2＜0$，两点均在第二象限，根据增减性可得$y_1＜y_2$；
2. 若$0＜x_1＜x_2$，两点均在第四象限，根据增减性可得$y_1＜y_2$；
3. 若$x_1＜0＜x_2$，则$(x_1,y_1)$在第二象限，$y_1＞0$，$(x_2,y_2)$在第四象限，$y_2＜0$，此时$y_1＞y_2$。
由于题目仅给出$x_1＜x_2$，没有限定$x_1$、$x_2$的正负范围，无法确定两点所在象限，因此$y_1$与$y_2$的大小关系不能确定。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质；2. 反比例函数值大小比较
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是牢记反比例函数的增减性只在同一象限内成立，忽略这个前提直接判断函数值大小是常见的易错点。
【难度系数】
0.6

6. 设矩形的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，则$y$关于$x$的函数表达式为，自变量$x$的取值范围是，写出这个函数的图象的特征：。

$y=\frac{6}{x},x＞0$；答案不唯一，图象只在第一象限，从左向右下降等

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知的面积、长、宽的表示，即可推导y与x的函数关系式；第二步，结合实际意义，x是矩形的长，长度必须为正数，据此确定自变量x的取值范围；第三步，结合反比例函数的图象与性质，结合x的取值范围，总结图象特征即可。
【解析】
1. 求函数表达式：
已知矩形面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，由矩形面积公式可得：
$xy=6$
整理得$y$关于$x$的函数表达式为：$y=\frac{6}{x}$
2. 求自变量x的取值范围：
因为x是矩形的长，长度为正数，所以$x＞0$
3. 分析函数图象特征：
该函数是反比例函数，比例系数$k=6＞0$，且自变量仅取正值，因此图象仅分布在第一象限，是双曲线的一支，从左向右呈下降趋势（即y随x的增大而减小，表述合理即可）
【答案】
$y=\frac{6}{x}$；$x＞0$；图象只在第一象限，从左向右下降（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 反比例函数解析式
2. 自变量取值范围确定
3. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合几何图形的面积公式考查反比例函数的基础应用，解题时要注意实际问题中自变量的取值需符合实际意义，熟练掌握反比例函数的图象与性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 已知反比例函数的图象过点$(3,a)$和$(1,4-a)$，求此反比例函数表达式.

$y=\frac{3}{x}$

【分析】
求解反比例函数表达式通常用待定系数法，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其核心性质是：图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于常数$k$。本题已知图象上两个含参数$a$的点，因此可以利用两个点的横纵坐标乘积均等于$k$，列出关于$a$的方程，先求出$a$的值，再计算$k$即可得到函数表达式。
【解析】
设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。
∵ 点$(3,a)$和$(1,4-a)$都在反比例函数图象上
∴ 两点的横纵坐标乘积均等于$k$，可得：
$3× a = k$，$1×(4-a)=k$
因此有$3a = 4 - a$
移项得：$3a + a =4$，即$4a=4$，解得$a=1$
将$a=1$代入$k=3a$，得$k=3×1=3$
∴ 该反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$
【答案】
$y=\frac{3}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求函数表达式
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用待定系数法，通过列方程求解未知参数，这类方法也是求解各类函数表达式的常用方法，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8

8. 若正比例函数$y=3x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有一个交点$(3,m)$.求$m,k$的值及正比例函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点.

$m=9,k=27,(-3,-9)$

【分析】
解题思路分三步：第一步，已知交点$(3,m)$在正比例函数$y=3x$的图象上，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将$x=3$代入正比例函数即可求出$m$的值；第二步，求出交点完整坐标后，将其代入反比例函数解析式，即可求出$k$的值；第三步，求两个函数的另一个交点，既可以通过联立两个函数的解析式解方程组得到，也可以利用正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称的性质，直接得到另一个交点是已知交点关于原点的对称点，两种方法均符合要求。
【解析】
1. 求$m$的值：
∵ 点$(3,m)$在正比例函数$y=3x$的图象上
∴ 将$x=3$代入$y=3x$，得$m=3×3=9$
2. 求$k$的值：
由上可知交点坐标为$(3,9)$，
∵ 该点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴ 将$x=3,y=9$代入$y=\frac{k}{x}$，得$9=\frac{k}{3}$，解得$k=27$
3. 求另一个交点坐标：
联立两个函数解析式$\begin{cases}y=3x \\ y=\frac{27}{x} \end{cases}$
将$y=3x$代入$y=\frac{27}{x}$，得$3x=\frac{27}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）得$3x^2=27$，即$x^2=9$，解得$x_1=3,x_2=-3$
当$x=-3$时，$y=3×(-3)=-9$，即另一个交点为$(-3,-9)$
（也可利用中心对称性质：正比例、反比例函数图象均关于原点对称，因此两交点关于原点对称，直接得另一个交点为$(-3,-9)$）
【答案】
$m=9,k=27$，另一个交点为$(-3,-9)$
【知识点】
点与函数解析式的关系；正比例函数性质；反比例函数性质
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，核心考察函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的特征，求解交点时既可以通过联立方程计算，也可以利用两个函数的中心对称性质快速得出结果，熟练掌握相关性质可简化计算步骤。
【难度系数】
0.85

9. 如图,一次函数$y=-3x+3$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$,以$AB$为边在第一象限内作正方形$ABCD$,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$D$.
(1) 求$k$的值;
(2) 若将正方形$ABCD$沿$x$轴负方向平移$m$个单位长度后,点$C$刚好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,则$m$的值是多少?

(1) 4 (2) 2

【分析】
(1) 先求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再利用正方形的性质构造全等三角形，求出点D的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值；(2) 先求出点C的坐标，根据平移规律得到平移后点C的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解m的值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=-3x+3$：
令$y=0$，得$-3x+3=0$，解得$x=1$，$\therefore A(1,0)$，$OA=1$；
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore B(0,3)$，$OB=3$。
过点$D$作$DE⊥ x$轴于点$E$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ OAB+∠ EAD=90°$，又$\because ∠ OAB+∠ OBA=90°$，$\therefore ∠ OBA=∠ EAD$。
在$△ OAB$和$△ EDA$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ DEA=90°\\∠ OBA=∠ EAD\\AB=AD\end{cases}$
$\therefore △ OAB≌△ EDA(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=OA=1$，$AE=OB=3$，
$\therefore OE=OA+AE=1+3=4$，$\therefore D(4,1)$。
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点$D$，$\therefore k=4×1=4$。
(2) 过点$C$作$CF⊥ y$轴于点$F$，同理可证$△ OAB≌△ FBC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CF=OB=3$，$BF=OA=1$，
$\therefore OF=OB+BF=3+1=4$，$\therefore C(3,4)$。
正方形沿$x$轴负方向平移$m$个单位后，点$C$的对应点坐标为$(3-m,4)$，
$\because$该点在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore 4=\frac{4}{3-m}$，解得$3-m=1$，即$m=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
一次函数图象性质，正方形的性质，反比例函数待定系数法
【点评】
本题是函数与几何的综合题型，核心是通过构造全等三角形求出正方形顶点坐标，再结合平移规律和反比例函数的性质求解，是该章节的典型考法。
【难度系数】
0.65