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3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P，Q的坐标为$(m,1),(1,m)(m＞0且m≠1)$，过点P，Q的直线与两坐标轴相交于A，B两点，连接OP，OQ，有下列结论：①点P，Q在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上；②$△ AOB$为等腰直角三角形；③$∠ POQ$的值随m的增大而减小；④$0°＜∠ POQ＜90°$.其中，正确的有（
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
C
）A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
答案
C
解析
【分析】
我们可逐个验证4个结论的正确性：
1. 验证结论①：将点P、Q坐标代入反比例函数解析式，判断是否满足$xy=k$即可；
2. 验证结论②：先求出直线PQ的解析式，得到直线与x轴、y轴的交点A、B坐标，再判断OA、OB的长度关系以及$∠ AOB$的角度即可；
3. 验证结论③④：通过计算$∠ POQ$的三角函数值，分析其随m的变化规律，同时判断$∠ POQ$的取值范围。
【解析】
1. 验证结论①：
反比例函数$y=\frac{m}{x}$可变形为$xy=m$，
将$P(m,1)$代入得：$m×1=m$，满足解析式；
将$Q(1,m)$代入得：$1× m=m$，满足解析式，故①正确。
2. 验证结论②：
设过$P(m,1)$、$Q(1,m)$的直线解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}1=km+b\\m=k+b\end{cases}$
两式相减得：$1-m=k(m-1)$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$m=k+b$得：$b=m+1$，
故直线PQ解析式为$y=-x+m+1$。
令$y=0$，得$x=m+1$，故$A(m+1,0)$，$OA=m+1$；
令$x=0$，得$y=m+1$，故$B(0,m+1)$，$OB=m+1$。
$\because OA=OB$，且$∠ AOB=90°$，
$\therefore △ AOB$为等腰直角三角形，故②正确。
3. 验证结论③④：
由两点间距离公式得：
$OP=\sqrt{m^2+1}$，$OQ=\sqrt{m^2+1}$，$PQ=\sqrt{2(m-1)^2}$
在$△ OPQ$中，由余弦定理得：
$PQ^2=OP^2+OQ^2-2· OP· OQ· \cos∠ POQ$
代入化简可得：$\cos∠ POQ=\frac{2m}{m^2+1}$
$\because m＞0$，$\therefore \cos∠ POQ＞0$，故$∠ POQ＜90°$；
又$\because (m-1)^2≥0$，即$m^2+1≥2m$，当且仅当$m=1$时取等号，已知$m≠1$，故$\frac{2m}{m^2+1}＜1$，即$\cos∠ POQ＜1$，故$∠ POQ＞0°$，因此$0°＜∠ POQ＜90°$，④正确。
分析$\cos∠ POQ=\frac{2m}{m^2+1}$的变化：当$m＞1$时，m增大，$\frac{2m}{m^2+1}$减小，$\cos∠ POQ$减小，$∠ POQ$增大，故$∠ POQ$的值不随m的增大而减小，③错误。
综上，正确的结论是①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质；一次函数的应用；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，需要逐一验证每个结论，解题时要注意将坐标运算和几何性质结合起来，考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.7
我们可逐个验证4个结论的正确性：
1. 验证结论①：将点P、Q坐标代入反比例函数解析式，判断是否满足$xy=k$即可；
2. 验证结论②：先求出直线PQ的解析式，得到直线与x轴、y轴的交点A、B坐标，再判断OA、OB的长度关系以及$∠ AOB$的角度即可；
3. 验证结论③④：通过计算$∠ POQ$的三角函数值，分析其随m的变化规律，同时判断$∠ POQ$的取值范围。
【解析】
1. 验证结论①：
反比例函数$y=\frac{m}{x}$可变形为$xy=m$，
将$P(m,1)$代入得：$m×1=m$，满足解析式；
将$Q(1,m)$代入得：$1× m=m$，满足解析式，故①正确。
2. 验证结论②：
设过$P(m,1)$、$Q(1,m)$的直线解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}1=km+b\\m=k+b\end{cases}$
两式相减得：$1-m=k(m-1)$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$m=k+b$得：$b=m+1$，
故直线PQ解析式为$y=-x+m+1$。
令$y=0$，得$x=m+1$，故$A(m+1,0)$，$OA=m+1$；
令$x=0$，得$y=m+1$，故$B(0,m+1)$，$OB=m+1$。
$\because OA=OB$，且$∠ AOB=90°$，
$\therefore △ AOB$为等腰直角三角形，故②正确。
3. 验证结论③④：
由两点间距离公式得：
$OP=\sqrt{m^2+1}$，$OQ=\sqrt{m^2+1}$，$PQ=\sqrt{2(m-1)^2}$
在$△ OPQ$中，由余弦定理得：
$PQ^2=OP^2+OQ^2-2· OP· OQ· \cos∠ POQ$
代入化简可得：$\cos∠ POQ=\frac{2m}{m^2+1}$
$\because m＞0$，$\therefore \cos∠ POQ＞0$，故$∠ POQ＜90°$；
又$\because (m-1)^2≥0$，即$m^2+1≥2m$，当且仅当$m=1$时取等号，已知$m≠1$，故$\frac{2m}{m^2+1}＜1$，即$\cos∠ POQ＜1$，故$∠ POQ＞0°$，因此$0°＜∠ POQ＜90°$，④正确。
分析$\cos∠ POQ=\frac{2m}{m^2+1}$的变化：当$m＞1$时，m增大，$\frac{2m}{m^2+1}$减小，$\cos∠ POQ$减小，$∠ POQ$增大，故$∠ POQ$的值不随m的增大而减小，③错误。
综上，正确的结论是①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质；一次函数的应用；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，需要逐一验证每个结论，解题时要注意将坐标运算和几何性质结合起来，考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.7
4. 若反比例函数$y=\dfrac{1-k}{x}$的图象经过点$(-2,4)$，则在每一个象限内，函数值$y$随$x$的增大而
增大
。答案
增大
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，利用待定系数法，将已知点的坐标代入反比例函数解析式，求出比例系数$1-k$的取值；第二步，判断比例系数的正负；第三步，结合反比例函数的增减性规律，判断$y$随$x$的变化情况。
【解析】
将点$(-2,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{1-k}{x}$中，可得：
$4=\dfrac{1-k}{-2}$
等式两边同乘$-2$，解得：
$1-k=4×(-2)=-8$
即该反比例函数的比例系数为$-8＜0$。
根据反比例函数的性质：当反比例函数的比例系数小于0时，在每一个象限内，函数值$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
增大
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题的核心是先通过已知点坐标确定比例系数的符号，再对应增减性规律得到结论，需要牢记比例系数符号和函数增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步，利用待定系数法，将已知点的坐标代入反比例函数解析式，求出比例系数$1-k$的取值；第二步，判断比例系数的正负；第三步，结合反比例函数的增减性规律，判断$y$随$x$的变化情况。
【解析】
将点$(-2,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{1-k}{x}$中，可得：
$4=\dfrac{1-k}{-2}$
等式两边同乘$-2$，解得：
$1-k=4×(-2)=-8$
即该反比例函数的比例系数为$-8＜0$。
根据反比例函数的性质：当反比例函数的比例系数小于0时，在每一个象限内，函数值$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
增大
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题的核心是先通过已知点坐标确定比例系数的符号，再对应增减性规律得到结论，需要牢记比例系数符号和函数增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
5. 在平面直角坐标系中，P是反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}}{x}(x＜0)$图象上的一点，若点P绕顶点O按顺时针方向旋转$90°$的对应点$P_1(m,n)$落在一次函数$y=-3x+1$的图象上，则代数式$\frac{3}{m}+\frac{9}{n}=$
$-\sqrt{3}$
.答案
$-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时可分三步推导：第一步先利用点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，用P₁的坐标(m,n)表示出点P的坐标；第二步结合点P在反比例函数图象上、P₁在一次函数图象上的条件，分别求出mn的值与3m+n的值；第三步将所求代数式通分变形，把前面得到的两个关系式整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，可简化计算。
【解析】
设点P的坐标为$(a,b)$，
1. 由点P在反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}}{x}(x＜0)$图象上，可得$ab=\sqrt{3}\ (a＜0)$；
2. 根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：点$(x,y)$顺时针旋转90°后对应点坐标为$(y,-x)$，因此P旋转后得到的$P_1(m,n)$满足$m=b$，$n=-a$，即$a=-n$，$b=m$；
3. 将$a=-n$、$b=m$代入$ab=\sqrt{3}$，得$(-n)·m=\sqrt{3}$，即$mn=-\sqrt{3}$；
4. 把$P_1(m,n)$代入一次函数$y=-3x+1$，得$n=-3m+1$，整理得$3m+n=1$；
5. 化简所求代数式：
$\frac{3}{m}+\frac{9}{n}=\frac{3n+9m}{mn}=\frac{3(3m+n)}{mn}$
将$3m+n=1$、$mn=-\sqrt{3}$代入，得：
原式$=\frac{3×1}{-\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，旋转的坐标变化，代数式化简求值
【点评】
本题属于小综合题，解题的核心是准确掌握旋转后坐标的变化规律，同时运用整体代入的思想计算代数式的值，避免了求解参数的复杂运算，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可分三步推导：第一步先利用点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，用P₁的坐标(m,n)表示出点P的坐标；第二步结合点P在反比例函数图象上、P₁在一次函数图象上的条件，分别求出mn的值与3m+n的值；第三步将所求代数式通分变形，把前面得到的两个关系式整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，可简化计算。
【解析】
设点P的坐标为$(a,b)$，
1. 由点P在反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}}{x}(x＜0)$图象上，可得$ab=\sqrt{3}\ (a＜0)$；
2. 根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：点$(x,y)$顺时针旋转90°后对应点坐标为$(y,-x)$，因此P旋转后得到的$P_1(m,n)$满足$m=b$，$n=-a$，即$a=-n$，$b=m$；
3. 将$a=-n$、$b=m$代入$ab=\sqrt{3}$，得$(-n)·m=\sqrt{3}$，即$mn=-\sqrt{3}$；
4. 把$P_1(m,n)$代入一次函数$y=-3x+1$，得$n=-3m+1$，整理得$3m+n=1$；
5. 化简所求代数式：
$\frac{3}{m}+\frac{9}{n}=\frac{3n+9m}{mn}=\frac{3(3m+n)}{mn}$
将$3m+n=1$、$mn=-\sqrt{3}$代入，得：
原式$=\frac{3×1}{-\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，旋转的坐标变化，代数式化简求值
【点评】
本题属于小综合题，解题的核心是准确掌握旋转后坐标的变化规律，同时运用整体代入的思想计算代数式的值，避免了求解参数的复杂运算，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图，点$P(a,b)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的一支上，$PA ⊥ x$轴，$PB ⊥ y$轴，垂足分别为$A$，$B$，已知矩形$AOBP$的面积为4.求$k$的值.
答案
$-4$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积等于$\vert k\vert$。第一步先根据矩形面积求出$\vert k\vert$的值，第二步结合反比例函数图象所在的象限判断$k$的正负，最终确定$k$的取值。
【解析】
∵ 点$P(a,b)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$P(a,b)$代入解析式得$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$。
∵ $PA⊥ x$轴，$PB⊥ y$轴，四边形$AOBP$是矩形，
∴ 矩形$AOBP$的面积$S=OA· OB=\vert a\vert·\vert b\vert=\vert ab\vert=\vert k\vert$。
已知矩形面积为4，
∴ $\vert k\vert=4$。
又
∵ 反比例函数图象位于第二、四象限，
∴ $k＜0$，
∴ $k=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义；反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心考点为$k$的几何意义，解题易错点是忽略函数图象所在象限，直接取$k$的正值，做题时要结合图象判断$k$的符号。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积等于$\vert k\vert$。第一步先根据矩形面积求出$\vert k\vert$的值，第二步结合反比例函数图象所在的象限判断$k$的正负，最终确定$k$的取值。
【解析】
∵ 点$P(a,b)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$P(a,b)$代入解析式得$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$。
∵ $PA⊥ x$轴，$PB⊥ y$轴，四边形$AOBP$是矩形，
∴ 矩形$AOBP$的面积$S=OA· OB=\vert a\vert·\vert b\vert=\vert ab\vert=\vert k\vert$。
已知矩形面积为4，
∴ $\vert k\vert=4$。
又
∵ 反比例函数图象位于第二、四象限，
∴ $k＜0$，
∴ $k=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义；反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心考点为$k$的几何意义，解题易错点是忽略函数图象所在象限，直接取$k$的正值，做题时要结合图象判断$k$的符号。
【难度系数】
0.8
7. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象交于点$A(1,4),B(-4,n)$。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量$x$的取值范围。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量$x$的取值范围。
答案
(1) $y=x+3,y=\frac{4}{x}$
(2) $x＜-4$ 或 $0＜x＜1$
(2) $x＜-4$ 或 $0＜x＜1$
解析
【分析】
（1）求函数表达式可采用待定系数法：首先反比例函数仅需一个已知点即可求出参数，先将点A(1,4)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$求出k值，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例解析式求出n，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数，求出一次函数表达式。
（2）一次函数值小于反比例函数值，对应图象中一次函数图象位于反比例函数图象下方的区域，结合两个交点的横坐标以及反比例函数自变量$x≠0$的限制，分区间观察图象即可得到x的取值范围。
【解析】
（1）①求反比例函数表达式：
将点$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
②求点B的坐标：
将$B(-4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得：
$n=\frac{4}{-4}=-1$，即$B(-4,-1)$。
③求一次函数表达式：
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入一次函数解析式，得方程组：
$\begin{cases}k+b=4\\-4k+b=-1\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去b，得：$5k=5$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k+b=4$，得$1+b=4$，解得$b=3$，
因此一次函数的表达式为$y=x+3$。
（2）观察函数图象：
两个交点的横坐标为$x=-4$和$x=1$，且反比例函数在$x=0$处无定义。
当$x＜-4$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，一次函数值小于反比例函数值；
当$-4＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不符合要求；
当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，符合要求；
当$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不符合要求。
因此自变量x的取值范围是$x＜-4$ 或 $0＜x＜1$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y=x+3$，反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$
(2) $x＜-4$ 或 $0＜x＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，数形结合解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常规综合题型，重点考查待定系数法的应用，第二问借助数形结合思想观察图象即可快速求解，解题时注意不要遗漏反比例函数自变量不能为0的限制。
【难度系数】
0.7
（1）求函数表达式可采用待定系数法：首先反比例函数仅需一个已知点即可求出参数，先将点A(1,4)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$求出k值，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例解析式求出n，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数，求出一次函数表达式。
（2）一次函数值小于反比例函数值，对应图象中一次函数图象位于反比例函数图象下方的区域，结合两个交点的横坐标以及反比例函数自变量$x≠0$的限制，分区间观察图象即可得到x的取值范围。
【解析】
（1）①求反比例函数表达式：
将点$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
②求点B的坐标：
将$B(-4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得：
$n=\frac{4}{-4}=-1$，即$B(-4,-1)$。
③求一次函数表达式：
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入一次函数解析式，得方程组：
$\begin{cases}k+b=4\\-4k+b=-1\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去b，得：$5k=5$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k+b=4$，得$1+b=4$，解得$b=3$，
因此一次函数的表达式为$y=x+3$。
（2）观察函数图象：
两个交点的横坐标为$x=-4$和$x=1$，且反比例函数在$x=0$处无定义。
当$x＜-4$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，一次函数值小于反比例函数值；
当$-4＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不符合要求；
当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，符合要求；
当$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不符合要求。
因此自变量x的取值范围是$x＜-4$ 或 $0＜x＜1$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y=x+3$，反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$
(2) $x＜-4$ 或 $0＜x＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，数形结合解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常规综合题型，重点考查待定系数法的应用，第二问借助数形结合思想观察图象即可快速求解，解题时注意不要遗漏反比例函数自变量不能为0的限制。
【难度系数】
0.7
8. 如图,已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,交BC于点E.
(1) 证明:$BE=CE$.
(2) 若四边形ODBE的面积为4,求k的值.
(1) 证明:$BE=CE$.
(2) 若四边形ODBE的面积为4,求k的值.
答案
(1) 略
(2) 设矩形的长为2a,宽为2b,$\because 2a · 2b=8,2ab=4,\therefore k=4$
(2) 设矩形的长为2a,宽为2b,$\because 2a · 2b=8,2ab=4,\therefore k=4$
解析
【分析】
(1) 要证明$BE=CE$，可通过坐标法表示各点坐标，结合反比例函数解析式推导E点位置：先设矩形顶点坐标，由D是AB中点得到D点坐标，代入反比例函数得到k与矩形边长的关系，再结合E点在BC上的纵坐标特征，求E点横坐标即可判断E为BC中点，得证结论。
(2) 求k值采用割补法：四边形ODBE的面积等于矩形OABC的面积减去$△ OAD$和$△ OCE$的面积，结合反比例函数k的几何意义，两个直角三角形的面积都为$\frac{1}{2}|k|$，代入已知面积列等式即可求出k。
【解析】
(1) 证明：设$A(2a,0)$，$C(0,2b)$（$a＞0,b＞0$），
∵四边形OABC是矩形，
∴$B$点坐标为$(2a,2b)$。
∵D是AB的中点，
∴$D$点坐标为$(2a,b)$，
∵D在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
代入得$k=2a· b=2ab$。
∵点E在BC边上，
∴E点纵坐标为$2b$，
将$y=2b$代入$y=\frac{k}{x}$得：$x=\frac{k}{2b}=\frac{2ab}{2b}=a$，即$E(a,2b)$，
∴$CE=a$，$BE=2a-a=a$，
∴$BE=CE$。
(2) 解：矩形OABC的面积$S_{矩形OABC}=OA· OC=2a· 2b=4ab$，
由反比例函数k的几何意义可知：
$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}|k|=ab$，$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}|k|=ab$，
∵$S_{四边形ODBE}=S_{矩形OABC}-S_{△ OAD}-S_{△ OCE}=4$，
代入得：$4ab-ab-ab=2ab=4$，
又
∵$k=2ab$，且函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=4$。
【答案】
(1) $BE=CE$得证；
(2) $\boldsymbol{k=4}$
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常考题型，通过坐标法推导线段关系，用割补法转化不规则图形面积求解，解题思路清晰，需熟练掌握反比例函数k的几何意义的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$BE=CE$，可通过坐标法表示各点坐标，结合反比例函数解析式推导E点位置：先设矩形顶点坐标，由D是AB中点得到D点坐标，代入反比例函数得到k与矩形边长的关系，再结合E点在BC上的纵坐标特征，求E点横坐标即可判断E为BC中点，得证结论。
(2) 求k值采用割补法：四边形ODBE的面积等于矩形OABC的面积减去$△ OAD$和$△ OCE$的面积，结合反比例函数k的几何意义，两个直角三角形的面积都为$\frac{1}{2}|k|$，代入已知面积列等式即可求出k。
【解析】
(1) 证明：设$A(2a,0)$，$C(0,2b)$（$a＞0,b＞0$），
∵四边形OABC是矩形，
∴$B$点坐标为$(2a,2b)$。
∵D是AB的中点，
∴$D$点坐标为$(2a,b)$，
∵D在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
代入得$k=2a· b=2ab$。
∵点E在BC边上，
∴E点纵坐标为$2b$，
将$y=2b$代入$y=\frac{k}{x}$得：$x=\frac{k}{2b}=\frac{2ab}{2b}=a$，即$E(a,2b)$，
∴$CE=a$，$BE=2a-a=a$，
∴$BE=CE$。
(2) 解：矩形OABC的面积$S_{矩形OABC}=OA· OC=2a· 2b=4ab$，
由反比例函数k的几何意义可知：
$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}|k|=ab$，$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}|k|=ab$，
∵$S_{四边形ODBE}=S_{矩形OABC}-S_{△ OAD}-S_{△ OCE}=4$，
代入得：$4ab-ab-ab=2ab=4$，
又
∵$k=2ab$，且函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=4$。
【答案】
(1) $BE=CE$得证；
(2) $\boldsymbol{k=4}$
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常考题型，通过坐标法推导线段关系，用割补法转化不规则图形面积求解，解题思路清晰，需熟练掌握反比例函数k的几何意义的应用。
【难度系数】
0.7
