7. 在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,以边AB上一点O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点D,分别交AB,AC于点E,F.
(1) 如图①,连接AD,若$∠ CAD=26°$,求$∠ B$的大小;
(2) 如图②,若F为$\overset{\frown}{AD}$的中点,$\odot O$的半径为3,求AB的长.

7. (1) 如图①,连接OD.$\because$OA为半径的圆与BC相切于点D,$\therefore OD⊥ BC$,即$∠ ODB=90°$.在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\therefore∠ ODB=∠ C=90°$.$\therefore OD// AC$.$\therefore∠ ADO=∠ CAD=26°$.$\because OA=OD$,$\therefore∠ OAD=∠ ADO=26°$.$\therefore∠ BOD=2∠ OAD=52°$.$\therefore∠ B=90°-∠ BOD=38°$ (2) 如图②,连接OD,OF.$\because F$为$\overset{\frown}{AD}$的中点,$\therefore∠ AOF=∠ FOD$.由(1)知$OD// AC$,$\therefore∠ AFO=∠ FOD$.$\therefore∠ AFO=∠ AOF$.$\because OA=OF$,$\therefore∠ AFO=∠ OAF$.$\therefore△ AFO$为等边三角形.$\therefore∠ CAB=60°$,$∠ B=90°-∠ CAB=30°$.$\because OD=3$,$\therefore OB=2OD=6$.$\therefore AB=OA+OB=9$

【分析】
(1) 解决圆的切线相关问题时，首先考虑连接切点与圆心得到垂直关系：本题中BC与⊙O相切于点D，连接OD可得OD⊥BC，结合∠C=90°可推出OD//AC，利用平行线的内错角相等得到∠ADO=∠CAD；再结合OA=OD的等腰三角形性质，可得∠OAD=∠ADO，进一步得到∠BOD的度数，最后在Rt△ODB中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠B的大小。
(2) 已知F是$\overset{\frown}{AD}$的中点，根据等弧对应的圆心角相等可得∠AOF=∠FOD；结合(1)中OD//AC的结论，可推出∠AFO=∠AOF，再结合OA=OF，可判定△AFO为等边三角形，从而得到∠CAB=60°，进一步求出∠B=30°；最后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，AB=OA+OB即可得解。
【解析】
(1) 如图①，连接OD。
∵以OA为半径的圆与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，即$∠ ODB=90°$。
∵在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ ODB=∠ C=90°$，
∴$OD// AC$，
∴$∠ ADO=∠ CAD=26°$。
∵$OA=OD$，
∴$∠ OAD=∠ ADO=26°$，
∴$∠ BOD=∠ OAD+∠ ADO=2∠ OAD=52°$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ B=90°-∠ BOD=90°-52°=38°$。
(2) 如图②，连接OD、OF。
∵F为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}$，
∴$∠ AOF=∠ FOD$。
由(1)知$OD// AC$，
∴$∠ AFO=∠ FOD$，
∴$∠ AFO=∠ AOF$。
∵$OA=OF$，
∴$∠ AFO=∠ OAF$，
∴$∠ AFO=∠ OAF=∠ AOF$，即$△ AFO$为等边三角形，
∴$∠ CAB=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°-∠ CAB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ B=30°$，$OD=3$，
∴$OB=2OD=6$，
∴$AB=OA+OB=3+6=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{38°}$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
切线的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规综合题，解题核心是利用切线的性质构造辅助线，结合平行线、特殊三角形的性质逐步推导计算，能帮助学生掌握圆与几何图形结合类题目的常规解题思路。
【难度系数】
0.7

8. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，连接OA，OB，过点O作$OC // PA$，交PB于点C，过点C作$CD ⊥ AP$，垂足为D.
(1) 求证：$OC=AD$.
(2) 若$\odot O$的半径是3，$PA=9$，求OC的长.

8. (1) $\because PA,PB$是$\odot O$的切线,OA,OB是$\odot O$的半径,$\therefore OA⊥ PA$,$OB⊥ PB$.$\because OC// PA$,$CD⊥ AP$,$\therefore CD⊥ OC$.$\therefore∠ OAD=∠ CDA=∠ OCD=90°$.$\therefore$四边形OADC是矩形.$\therefore OC=AD$ (2) 设$OC=AD=x$.$\because$四边形OADC是矩形,$\odot O$的半径是3,$PA=9$,$\therefore OA=OB=CD=3$,$PD=PA-AD=9-x$.$\because OC// PA$,$\therefore∠ OCB=∠ P$.$\because OB⊥ PB$,$CD⊥ AP$,$\therefore∠ OBC=∠ CDP=90°$.在$△ OCB$和$△ CPD$中,$\begin{cases}∠ OBC=∠ CDP=90°,\\∠ OCB=∠ P,\\OB=CD,\end{cases}$ $\therefore△ OCB≌△ CPD(\mathrm{AAS})$.$\therefore BC=BD=9-x$.在$\mathrm{Rt}△ OCB$中,由勾股定理,得$OC^2=OB^2+BC^2$.$\therefore x^2=3^2+(9-x)^2$.解得$x=5$.$\therefore OC=x=5$

【分析】
(1) 要证明$OC=AD$，可通过证明四边形$OADC$是矩形推导：首先根据切线的性质得到$OA⊥ PA$，再结合$OC// PA$、$CD⊥ AP$的条件，可推出四边形$OADC$的三个内角均为直角，即可判定其为矩形，根据矩形对边相等的性质即可得证。
(2) 求$OC$的长，可先设$OC=x$，根据矩形性质得到$CD=OA=3$，$PD=PA-AD=9-x$；再由$OC// PA$得到对应角相等，结合$OB⊥ PB$、$CD⊥ AP$证明$△ OCB≌△ CPD$，得到$BC=PD=9-x$；最后在$\mathrm{Rt}△ OCB$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：$\because PA,PB$是$\odot O$的切线，$OA,OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$。
$\because OC// PA$，$CD⊥ AP$，
$\therefore CD⊥ OC$，
$\therefore∠ OAD=∠ CDA=∠ OCD=90°$，
$\therefore$四边形$OADC$是矩形，
$\therefore OC=AD$。
(2) 解：设$OC=AD=x$，
$\because$四边形$OADC$是矩形，$\odot O$的半径为3，$PA=9$，
$\therefore OA=OB=CD=3$，$PD=PA-AD=9-x$。
$\because OC// PA$，
$\therefore∠ OCB=∠ P$。
$\because OB⊥ PB$，$CD⊥ AP$，
$\therefore∠ OBC=∠ CDP=90°$。
在$△ OCB$和$△ CPD$中：
$\begin{cases}∠ OBC=∠ CDP=90° \\∠ OCB=∠ P \\OB=CD\end{cases}$
$\therefore△ OCB≌△ CPD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=PD=9-x$。
在$\mathrm{Rt}△ OCB$中，由勾股定理得$OC^2=OB^2+BC^2$，
代入得：$x^2=3^2+(9-x)^2$，
化简得：$x^2=9+81-18x+x^2$，
解得$x=5$，
$\therefore OC=5$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
切线的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的几何综合基础题，第一问侧重考查基础性质的直接应用，难度较低；第二问结合全等三角形判定与勾股定理列方程求解，考查了几何综合运用能力和方程思想，整体难度适中。
【难度系数】
0.65