2. 如图，在$\odot O$中，CD是切线，切点是D，直线CO交$\odot O$于点A，B，$∠ A=15°$，则$∠ C$的度数是 （）

A.$45°$
B.$65°$
C.$60°$
D.$70°$

2. C

【分析】
遇到圆的切线求角度问题，首先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此第一步先连接OD构造直角三角形。接下来结合OA、OD都是圆的半径，可得△OAD是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角得到∠ODA的度数，再用三角形外角性质求出∠COD的度数，最后在Rt△ODC中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠C的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵ CD是$\odot O$的切线，切点为D，
∴ $OD⊥ CD$，即$∠ ODC=90°$，
∵ $OA=OD$（同圆的半径相等），
∴ $∠ ODA=∠ A=15°$，
∵ $∠ COD$是$△ OAD$的外角，
∴ $∠ COD=∠ A+∠ ODA=15°+15°=30°$，
在$Rt△ ODC$中，$∠ C+∠ COD=90°$，
∴ $∠ C=90°-30°=60°$。
【答案】C
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】本题是圆中角度计算的基础题，解题的核心是通过连接圆心和切点构造直角三角形，再结合三角形的相关角度性质求解，掌握该辅助线的构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】0.7

3. 如图，BC切$\odot O$于C，AB过圆心O点，AC是弦，$∠ B = 40°$，则$∠ A =$°。
C D

3. 25

【分析】
解题时先依据切线的性质确定垂直关系，求出∠COB的度数，再结合圆半径相等得到等腰三角形，最后利用三角形外角的性质推导∠A的度数。第一步：看到切线及过切点的半径，优先想到切线垂直于过切点的半径，得到直角三角形OCB，用三角形内角和计算∠COB；第二步：同圆的半径相等，可得OA=OC，△AOC为等腰三角形，两底角相等；第三步：∠COB是△AOC的外角，等于两个不相邻内角的和，即2倍∠A，代入数值计算即可。
【解析】
∵BC切$\odot O$于点C，OC是$\odot O$的半径，
∴$OC⊥ BC$，即$∠ OCB=90°$。
在$△ OCB$中，$∠ B=40°$，
∴$∠ COB=180°-∠ OCB-∠ B=180°-90°-40°=50°$。
又
∵OA和OC都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，即$∠ A=∠ ACO$。
∵$∠ COB$是$△ AOC$的外角，
∴$∠ COB=∠ A+∠ ACO=2∠ A$，
∴$∠ A=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
25
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题，核心是结合切线性质和圆的基本性质推导角度关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7

4. 如图，直线AB，CD相交于点O，$∠ AOD=30°$，半径为2 cm的$\odot P$的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10 cm处。若$\odot P$以2 cm/s的速度沿AB方向移动，则s后，$\odot P$与直线CD相切。

4. 当$\odot P_1$在直线CD左侧时,所用时间$\frac{6}{2}=3$ s;当$\odot P_2$在直线CD右侧时,所用时间$\frac{14}{2}=7$ s.故答案为3或7

【分析】
解题首先要明确直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P半径为2cm，因此相切时圆心P到CD的距离为2cm。结合已知∠AOD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，可求出此时OP的长度为4cm。由于⊙P沿AB向右移动，会出现两种相切的情况：一是圆心P在点O左侧时相切，二是圆心P移动到点O右侧时相切，分别计算两种情况下P移动的距离，再结合移动速度即可求出对应时间，注意不要漏解。
【解析】
解：当⊙P与直线CD相切时，圆心P到CD的距离等于⊙P的半径2cm。
过点P作PE⊥CD于点E，则PE=2cm。
在Rt△POE中，∠AOD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得OP=2PE=2×2=4cm。
分两种情况讨论：
1. 当⊙P移动到点O左侧与CD相切时：
初始时P在O左侧10cm处，此时P距O点4cm，因此⊙P移动的距离为10-4=6cm，
所需时间$ t_1=6÷2=3\ \mathrm{s} $；
2. 当⊙P移动到点O右侧与CD相切时：
此时P距O点4cm，因此⊙P移动的距离为10+4=14cm，
所需时间$ t_2=14÷2=7\ \mathrm{s} $。
【答案】
3或7
【知识点】
直线与圆相切的性质；含30°角的直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合直线与圆的位置关系和动点问题考查知识应用能力，解题关键是抓住相切的判定条件，同时要注意对圆心的位置进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

5. 如图，点O在$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AC上，以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D.求证：AD平分$∠ BAC$.

5. 如图,连接OD.$\because$以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D,$\therefore OD⊥ BC$.$\because∠ ABC=90°$,$\therefore OD// AB$.$\therefore∠ ODA=∠ BAD$.$\because OA=OD$,$\therefore∠ ODA=∠ OAD$.$\therefore∠ BAD=∠ OAD$,即AD平分$∠ BAC$

【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是要证明∠BAD=∠OAD。首先结合已知条件中BC是⊙O的切线，根据切线的性质，需先连接过切点D的半径OD，得到OD⊥BC；再结合Rt△ABC中∠ABC=90°，可推出OD和AB都垂直于BC，由此得到OD//AB，利用平行线的内错角相等可得∠ODA=∠BAD；最后根据OA和OD都是⊙O的半径，二者相等，由等边对等角可得∠ODA=∠OAD，通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
证明：连接OD。
∵ 以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D，
∴ $OD⊥ BC$（圆的切线垂直于过切点的半径）。
∵ $∠ ABC=90°$，即$AB⊥BC$，
∴ $OD// AB$（垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴ $∠ ODA=∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $OA=OD$（同圆的半径相等），
∴ $∠ ODA=∠ OAD$（等边对等角），
∴ $∠ BAD=∠ OAD$，即AD平分$∠ BAC$。
【答案】
5. 如图,连接OD.$\because$以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D,$\therefore OD⊥ BC$.$\because∠ ABC=90°$,$\therefore OD// AB$.$\therefore∠ ODA=∠ BAD$.$\because OA=OD$,$\therefore∠ ODA=∠ OAD$.$\therefore∠ BAD=∠ OAD$,即AD平分$∠ BAC$
【知识点】
切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题的核心是掌握切线的性质，正确作出过切点的半径这条常用辅助线，再结合平行线、等腰三角形的性质做等量代换即可得证，属于圆部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7

6. 如图，AB为$\odot O$的直径，过圆上一点D作$\odot O$的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE，$OE // AD$交CD于点E，连接BE。直线BE与$\odot O$相切吗？请说明理由。

6. 直线BE与$\odot O$相切.理由如下:如图,连接OD.$\because$直线CD与$\odot O$相切于点D,$\therefore∠ ODE=90°$.$\because OE// AD$,$\therefore∠ ADO=∠ DOE$,$∠ DAO=∠ EOB$.$\because OD=OA$,$\therefore∠ ADO=∠ DAO$.$\therefore∠ EOB=∠ DOE$.在$△ BOE$和$△ DOE$中,$\begin{cases}OB=OD,\\∠ EOB=∠ DOE,\\OE=OE,\end{cases}$$\therefore△ BOE≌△ DOE(\mathrm{SAS})$.$\therefore∠ OBE=∠ ODE=90°$,即$OB⊥ BE$.又$\because OB$是$\odot O$半径,$\therefore$直线BE与$\odot O$相切

【分析】
要判断直线BE与$\odot O$是否相切，根据切线的判定定理，需证明OB⊥BE，即证$∠ OBE=90°$。已知CD是$\odot O$的切线，可得$∠ ODE=90°$，因此我们可以先连接OD，通过证明$△ BOE$和$△ DOE$全等，将$∠ ODE$的直角关系转化为$∠ OBE$的直角关系：首先利用平行线的性质得到两组角相等，再结合同圆半径相等推导角相等，得到证明全等需要的等角条件，利用SAS证明三角形全等后即可得到垂直关系，进而判断BE是否为切线。
【解析】
连接OD，
$\because$直线CD与$\odot O$相切于点D，
$\therefore ∠ ODE=90°$。
$\because OE// AD$，
$\therefore ∠ ADO=∠ DOE$，$∠ DAO=∠ EOB$。
$\because OD=OA$，
$\therefore ∠ ADO=∠ DAO$，
$\therefore ∠ EOB=∠ DOE$。
在$△ BOE$和$△ DOE$中，
$\begin{cases}OB=OD,\\∠ EOB=∠ DOE,\\OE=OE,\end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ DOE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ OBE=∠ ODE=90°$，即$OB⊥ BE$。
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore$直线BE与$\odot O$相切。
【答案】
直线BE与$\odot O$相切.理由如下:如图,连接OD.$\because$直线CD与$\odot O$相切于点D,$\therefore∠ ODE=90°$.$\because OE// AD$,$\therefore∠ ADO=∠ DOE$,$∠ DAO=∠ EOB$.$\because OD=OA$,$\therefore∠ ADO=∠ DAO$.$\therefore∠ EOB=∠ DOE$.在$△ BOE$和$△ DOE$中,$\begin{cases}OB=OD,\\∠ EOB=∠ DOE,\\OE=OE,\end{cases}$$\therefore△ BOE≌△ DOE(\mathrm{SAS})$.$\therefore∠ OBE=∠ ODE=90°$,即$OB⊥ BE$.又$\because OB$是$\odot O$半径,$\therefore$直线BE与$\odot O$相切
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是切线判定的典型基础题，解题核心是明确切线的判定思路：已知直线过圆上某点时，连接该点与圆心，证明直线与半径垂直即可。解题过程中需要合理利用平行、等腰三角形等性质推导角的等量关系，通过全等三角形转化垂直条件。
【难度系数】
0.7