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例1 如图3.5.4，AB为$\odot O$的直径，点P在$\odot O$上.
（1）请按以下步骤作图：
① 连接$OP$，以点$P$为圆心，线段$AO$的长为半径作弧，交$\overset{\frown}{AP}$于点$D$；
② 连接$OD$并延长到点$E$，使得$DE=AO$；
③ 连接$PD$，$PE$.
（2）判断$PE$与$\odot O$的位置关系并证明.
图3.5.4
（1）请按以下步骤作图：
① 连接$OP$，以点$P$为圆心，线段$AO$的长为半径作弧，交$\overset{\frown}{AP}$于点$D$；
② 连接$OD$并延长到点$E$，使得$DE=AO$；
③ 连接$PD$，$PE$.
（2）判断$PE$与$\odot O$的位置关系并证明.
图3.5.4
答案
（1）如图
（2）PE与$\odot O$相切.证明:由作图可知,$PD=AO=OD=OP$,$\therefore△ POD$是等边三角形.$\therefore∠ PDO=∠ OPD=60°.\because DE=AO=PD$,$\therefore∠ DPE=∠ E.\because∠ DPE+∠ E=∠ PDO=60°$,$\therefore∠ DPE=∠ E=30°.\therefore∠ EPO=∠ EPD+∠ DPO=30°+60°=90°$,即$PE⊥ OP$.又$\because OP$是$\odot O$的半径,$\therefore PE$是$\odot O$的切线,即$PE$与$\odot O$相切解析
【分析】
（1）作图题严格按照题干给出的三步操作即可：先连接OP，再以P为圆心、AO长为半径画弧交$\overset{\frown}{AP}$于D，接着延长OD到E使DE=AO，最后连接PD、PE。
（2）判断直线与圆的位置关系优先用切线判定定理：若直线垂直于圆的半径且过半径外端，则该直线是圆的切线，因此本题核心是证明$PE⊥OP$。首先由作图可得PD、OD、OP都等于⊙O的半径，可推出△POD是等边三角形，得到对应角度；再结合$DE=AO=PD$，利用等腰三角形性质和三角形外角定理求出∠DPE的度数，最后计算∠EPO的度数即可得出结论。
【解析】
（1）作图步骤：
① 用直尺连接OP，将圆规两脚张开长度等于AO的长度，以点P为圆心画弧，与$\overset{\frown}{AP}$的交点记为D；
② 用直尺延长OD，在OD的延长线上截取$DE=AO$，得到点E；
③ 用直尺分别连接PD、PE，作图完成。
（2）证明：由作图过程可知，$PD=AO$，OD、OP均为$\odot O$的半径，因此$PD=AO=OD=OP$，
$\therefore△ POD$是等边三角形，
$\therefore∠ PDO=∠ OPD=60°$。
$\because DE=AO=PD$，
$\therefore△PDE$为等腰三角形，$∠ DPE=∠ E$，
又$\because∠ PDO$是$△PDE$的外角，$\therefore∠ DPE+∠ E=∠ PDO=60°$，
$\therefore∠ DPE=∠ E=30°$，
$\therefore∠ EPO=∠ EPD+∠ DPO=30°+60°=90°$，即$PE⊥ OP$。
$\because OP$是$\odot O$的半径，且PE过半径外端P，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线。
【答案】
（1）如图
（2）PE与$\odot O$相切。
【知识点】
尺规作图，等边三角形判定与性质，切线的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何证明结合，需要从作图要求中提炼边相等的隐含条件，再结合三角形相关性质完成垂直的证明，侧重考查基础定理的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）作图题严格按照题干给出的三步操作即可：先连接OP，再以P为圆心、AO长为半径画弧交$\overset{\frown}{AP}$于D，接着延长OD到E使DE=AO，最后连接PD、PE。
（2）判断直线与圆的位置关系优先用切线判定定理：若直线垂直于圆的半径且过半径外端，则该直线是圆的切线，因此本题核心是证明$PE⊥OP$。首先由作图可得PD、OD、OP都等于⊙O的半径，可推出△POD是等边三角形，得到对应角度；再结合$DE=AO=PD$，利用等腰三角形性质和三角形外角定理求出∠DPE的度数，最后计算∠EPO的度数即可得出结论。
【解析】
（1）作图步骤：
① 用直尺连接OP，将圆规两脚张开长度等于AO的长度，以点P为圆心画弧，与$\overset{\frown}{AP}$的交点记为D；
② 用直尺延长OD，在OD的延长线上截取$DE=AO$，得到点E；
③ 用直尺分别连接PD、PE，作图完成。
（2）证明：由作图过程可知，$PD=AO$，OD、OP均为$\odot O$的半径，因此$PD=AO=OD=OP$，
$\therefore△ POD$是等边三角形，
$\therefore∠ PDO=∠ OPD=60°$。
$\because DE=AO=PD$，
$\therefore△PDE$为等腰三角形，$∠ DPE=∠ E$，
又$\because∠ PDO$是$△PDE$的外角，$\therefore∠ DPE+∠ E=∠ PDO=60°$，
$\therefore∠ DPE=∠ E=30°$，
$\therefore∠ EPO=∠ EPD+∠ DPO=30°+60°=90°$，即$PE⊥ OP$。
$\because OP$是$\odot O$的半径，且PE过半径外端P，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线。
【答案】
（1）如图
（2）PE与$\odot O$相切。
【知识点】
尺规作图，等边三角形判定与性质，切线的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何证明结合，需要从作图要求中提炼边相等的隐含条件，再结合三角形相关性质完成垂直的证明，侧重考查基础定理的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
例2 如图3.5.5，在$△ ABC$中，$∠ A＝90°$。
（1）作$∠ ABC$的平分线交AC于点P，以点P为圆心，PA长为半径作$\odot P$，试判断BC与$\odot P$的位置关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若$AB＝3$，$BC＝5$，求$\odot P$的面积。
图3.5.5
（1）作$∠ ABC$的平分线交AC于点P，以点P为圆心，PA长为半径作$\odot P$，试判断BC与$\odot P$的位置关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若$AB＝3$，$BC＝5$，求$\odot P$的面积。
图3.5.5
答案
（1）如图
,过点P作$PD⊥ BC$,垂足为D. $\because PB$平分$∠ ABC$,$PA⊥ BA$,$PD⊥ BC$,$\therefore PA=PD$.又$\because PA$是$\odot P$的半径,$\therefore BC$是$\odot P$的切线,即BC与$\odot P$相切 （2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4$.设$AP=PD=x$,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AB· AP+\frac{1}{2}BC· PD$,$\therefore12=3x+5x$.解得$x=\frac{3}{2}$.$\therefore\odot P$的面积为$\frac{9}{4}π$解析
【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系的核心是比较圆心到直线的距离与圆半径的大小。本题中PA是⊙P的半径，BP是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过P作BC的垂线PD，只需证明PD=PA，即可得到圆心P到BC的距离等于半径，从而判定BC与⊙P的位置关系。
（2）要求⊙P的面积，需先求半径PA的长度。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长，再利用△ABC的面积等于△ABP与△BCP的面积之和，设半径为x，建立关于x的方程求解，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
（1）BC与⊙P相切，理由如下：
过点P作$PD⊥ BC$，垂足为D。
∵ PB平分$∠ ABC$，$PA⊥ BA$，$PD⊥ BC$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PA=PD$。
又
∵ PA是$\odot P$的半径，
∴ PD也是$\odot P$的半径，且$PD⊥BC$，
∴ BC是$\odot P$的切线，即BC与$\odot P$相切。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠A=90°$，$AB=3$，$BC=5$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
设$AP=PD=x$，
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ABP}+S_{△BCP}$，
即$\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AB· AP+\frac{1}{2}BC· PD$，
代入数值可得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3x+\frac{1}{2}×5x$，
两边同乘2化简得：$12=3x+5x$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
∴ $\odot P$的面积为$π·(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}π$。
【答案】
（1）如图,过点P作$PD⊥ BC$,垂足为D. $\because PB$平分$∠ ABC$,$PA⊥ BA$,$PD⊥ BC$,$\therefore PA=PD$.又$\because PA$是$\odot P$的半径,$\therefore BC$是$\odot P$的切线,即BC与$\odot P$相切
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4$.设$AP=PD=x$,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AB· AP+\frac{1}{2}BC· PD$,$\therefore12=3x+5x$.解得$x=\frac{3}{2}$.$\therefore\odot P$的面积为$\frac{9}{4}π$
【知识点】
角平分线的性质，切线的判定，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质与切线的判定定理，通过面积法建立方程求解半径，能够较好地考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断直线与圆的位置关系的核心是比较圆心到直线的距离与圆半径的大小。本题中PA是⊙P的半径，BP是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过P作BC的垂线PD，只需证明PD=PA，即可得到圆心P到BC的距离等于半径，从而判定BC与⊙P的位置关系。
（2）要求⊙P的面积，需先求半径PA的长度。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长，再利用△ABC的面积等于△ABP与△BCP的面积之和，设半径为x，建立关于x的方程求解，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
（1）BC与⊙P相切，理由如下：
过点P作$PD⊥ BC$，垂足为D。
∵ PB平分$∠ ABC$，$PA⊥ BA$，$PD⊥ BC$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PA=PD$。
又
∵ PA是$\odot P$的半径，
∴ PD也是$\odot P$的半径，且$PD⊥BC$，
∴ BC是$\odot P$的切线，即BC与$\odot P$相切。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠A=90°$，$AB=3$，$BC=5$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
设$AP=PD=x$，
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ABP}+S_{△BCP}$，
即$\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AB· AP+\frac{1}{2}BC· PD$，
代入数值可得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3x+\frac{1}{2}×5x$，
两边同乘2化简得：$12=3x+5x$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
∴ $\odot P$的面积为$π·(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}π$。
【答案】
（1）如图
,过点P作$PD⊥ BC$,垂足为D. $\because PB$平分$∠ ABC$,$PA⊥ BA$,$PD⊥ BC$,$\therefore PA=PD$.又$\because PA$是$\odot P$的半径,$\therefore BC$是$\odot P$的切线,即BC与$\odot P$相切（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4$.设$AP=PD=x$,则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AB· AP+\frac{1}{2}BC· PD$,$\therefore12=3x+5x$.解得$x=\frac{3}{2}$.$\therefore\odot P$的面积为$\frac{9}{4}π$
【知识点】
角平分线的性质，切线的判定，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质与切线的判定定理，通过面积法建立方程求解半径，能够较好地考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 有一道题目:“如图,AB是$\odot O$的直径,要使直线AP是$\odot O$的切线,需添加的条件是(写一个条件即可).”甲的答案是$∠ BAP=90°$;乙的答案是$∠ BAC=∠ PAC$;丙的答案是$∠ BAC=∠ P$.下列说法正确的是(
A.只有甲同学的答案正确
B.只有乙同学的答案正确
C.甲、丙同学的答案正确
D.三名同学的答案都正确
C
)A.只有甲同学的答案正确
B.只有乙同学的答案正确
C.甲、丙同学的答案正确
D.三名同学的答案都正确
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先明确切线的判定逻辑：已知点A在⊙O上，AB是直径，要证AP是⊙O的切线，只需推出AB⊥AP即∠BAP=90°即可，再逐一验证三名同学给出的条件是否能推出∠BAP=90°。甲的条件直接给出∠BAP=90°，符合判定要求；乙的条件仅能说明AC平分∠BAP，无法推出∠BAP为直角，举反例即可判断错误；丙的条件可结合直径所对圆周角为直角、三角形内角和推导得到∠BAP=90°，符合判定要求。
【解析】
根据切线判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。
本题中点A在⊙O上，AB是⊙O的直径，因此只需证明AB⊥AP（即∠BAP=90°），即可判定AP是⊙O的切线。
1. 验证甲的答案：若∠BAP=90°，则AB⊥AP，满足切线判定条件，因此AP是⊙O的切线，甲的答案正确。
2. 验证乙的答案：若∠BAC=∠PAC，仅说明AC是∠BAP的角平分线，无法推出∠BAP=90°。例如∠BAC=∠PAC=30°时，∠BAP=60°，此时AP不垂直AB，不是⊙O的切线，因此乙的答案错误。
3. 验证丙的答案：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°。若∠BAC=∠P，则∠B+∠P=90°，在△ABP中根据内角和定理，∠BAP=180°-(∠B+∠P)=90°，即AB⊥AP，因此AP是⊙O的切线，丙的答案正确。
综上，甲、丙同学的答案正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，三角形内角和
【点评】
本题核心考查切线的判定方法，解题关键是抓住"过圆上一点的直线为切线的核心判定依据是直线与过该点的半径垂直"，结合圆的基本性质和三角形内角和即可推导验证，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确切线的判定逻辑：已知点A在⊙O上，AB是直径，要证AP是⊙O的切线，只需推出AB⊥AP即∠BAP=90°即可，再逐一验证三名同学给出的条件是否能推出∠BAP=90°。甲的条件直接给出∠BAP=90°，符合判定要求；乙的条件仅能说明AC平分∠BAP，无法推出∠BAP为直角，举反例即可判断错误；丙的条件可结合直径所对圆周角为直角、三角形内角和推导得到∠BAP=90°，符合判定要求。
【解析】
根据切线判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。
本题中点A在⊙O上，AB是⊙O的直径，因此只需证明AB⊥AP（即∠BAP=90°），即可判定AP是⊙O的切线。
1. 验证甲的答案：若∠BAP=90°，则AB⊥AP，满足切线判定条件，因此AP是⊙O的切线，甲的答案正确。
2. 验证乙的答案：若∠BAC=∠PAC，仅说明AC是∠BAP的角平分线，无法推出∠BAP=90°。例如∠BAC=∠PAC=30°时，∠BAP=60°，此时AP不垂直AB，不是⊙O的切线，因此乙的答案错误。
3. 验证丙的答案：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°。若∠BAC=∠P，则∠B+∠P=90°，在△ABP中根据内角和定理，∠BAP=180°-(∠B+∠P)=90°，即AB⊥AP，因此AP是⊙O的切线，丙的答案正确。
综上，甲、丙同学的答案正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，三角形内角和
【点评】
本题核心考查切线的判定方法，解题关键是抓住"过圆上一点的直线为切线的核心判定依据是直线与过该点的半径垂直"，结合圆的基本性质和三角形内角和即可推导验证，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
