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例1 如图3.5.6，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$AB=5$。
（1）用无刻度的直尺和圆规作图：在边$BC$上找一点$O$，使以点$O$为圆心，$OC$为半径的圆与$AB$相切，并画出$\odot O$（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求（1）中所画圆的半径。
（1）用无刻度的直尺和圆规作图：在边$BC$上找一点$O$，使以点$O$为圆心，$OC$为半径的圆与$AB$相切，并画出$\odot O$（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求（1）中所画圆的半径。
答案
（1）点O即为所求
（2）连接OD，则$OD⊥AB$.在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°,AC=3$，$AB=5$，$\therefore CB=\sqrt{AB^2-AC^2}=4$.设$\odot O$的半径为$r$，由$S_{△ ABC}=S_{△ ACO}+S_{△ ABO}$，得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3· r+\frac{1}{2}×5· r$.解得$r=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
（1）要使以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切，需满足圆心O到AB的距离等于半径OC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，只需作∠BAC的角平分线，与BC的交点即为所求的点O，再以O为圆心、OC为半径画圆即可。
（2）求半径时，先利用勾股定理求出BC的长度，再根据切线的性质得到切点到圆心的连线与AB垂直，即OD=r，再通过三角形ABC的面积等于△ACO和△ABO的面积和，列方程即可求出半径r的值。
【解析】
（1）作图：作∠BAC的平分线交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆，即为所求（保留角平分线的作图痕迹）。
（2）设$\odot O$与AB相切于点D，连接OD，根据切线的性质可知$OD⊥AB$，且$OD=OC=r$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由$S_{△ABC}=S_{△ACO}+S_{△ABO}$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AC×OC+\frac{1}{2}×AB×OD$，
代入数值得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3·r+\frac{1}{2}×5·r$，
化简解得：$r=\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）点O即为所求
（2）$\odot O$的半径为$\frac{3}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，作图的核心是利用角平分线的性质确定圆心位置，计算半径时采用面积法可简化运算，也可通过证明三角形相似求解，综合考察了圆的相关性质和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）要使以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切，需满足圆心O到AB的距离等于半径OC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，只需作∠BAC的角平分线，与BC的交点即为所求的点O，再以O为圆心、OC为半径画圆即可。
（2）求半径时，先利用勾股定理求出BC的长度，再根据切线的性质得到切点到圆心的连线与AB垂直，即OD=r，再通过三角形ABC的面积等于△ACO和△ABO的面积和，列方程即可求出半径r的值。
【解析】
（1）作图：作∠BAC的平分线交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆，即为所求（保留角平分线的作图痕迹）。
（2）设$\odot O$与AB相切于点D，连接OD，根据切线的性质可知$OD⊥AB$，且$OD=OC=r$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由$S_{△ABC}=S_{△ACO}+S_{△ABO}$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AC×OC+\frac{1}{2}×AB×OD$，
代入数值得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3·r+\frac{1}{2}×5·r$，
化简解得：$r=\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）点O即为所求
（2）$\odot O$的半径为$\frac{3}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，作图的核心是利用角平分线的性质确定圆心位置，计算半径时采用面积法可简化运算，也可通过证明三角形相似求解，综合考察了圆的相关性质和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
例2 如图3.5.7，已知PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，PA＝6.
（1）求△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数.
（1）求△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数.
答案
（1）$\because PA,PB$切$\odot O$于点$A,B$，$CD$切$\odot O$于点$E$，$\therefore PA=PB=6$，$ED=BD$，$CE=AC$.$\therefore △ PCD$的周长为$PD+DE+PC+CE=2PA=12$
（2）连接OE.由切线的性质，得$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，$OE⊥CD$.$\therefore ∠ OAC=∠ OEC=∠ OED=∠ OBD=90°$.$\therefore ∠ AOB+∠ P=180°$.$\therefore ∠ AOB=180°-∠ P=130°$.在$\mathrm{Rt}△ AOC$与$\mathrm{Rt}△ EOC$中，$AC=CE$，$OC=OC$，$\therefore \mathrm{Rt}△ AOC≌\mathrm{Rt}△ EOC$.$\therefore ∠ AOC=∠ EOC$.同理$∠ EOD=∠ BOD$.$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$
解析
【分析】
（1）求解△PCD的周长，可利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，将△PCD的各边拆分后转化为PA、PB的和，结合已知PA的长度即可计算；（2）求解∠COD的度数，先连接OE，根据切线的性质得切线垂直于过切点的半径，先推导∠AOB与∠P互补求出∠AOB的度数，再通过HL证明直角三角形全等，可得OC、OD分别平分∠AOE、∠BOE，由此可知∠COD为∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
（1）$\because PA,PB$切$\odot O$于点$A,B$，$CD$切$\odot O$于点$E$，
$\therefore$由切线长定理得：$PA=PB=6$，$ED=BD$，$CE=AC$，
$\therefore △ PCD$的周长为$PD+DE+PC+CE=PD+BD+PC+AC=PB+PA=2PA=12$。
（2）连接$OE$，由切线的性质，得$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，$OE⊥CD$，
$\therefore ∠ OAC=∠ OEC=∠ OED=∠ OBD=90°$，
四边形$OAPB$内角和为$360°$，因此$∠ AOB+∠ P=360°-90°-90°=180°$，
$\therefore ∠ AOB=180°-∠ P=180°-50°=130°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$与$\mathrm{Rt}△ EOC$中，$\{\begin{array}{l}AC=CE\\ OC=OC\end{array} $，
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOC≌\mathrm{Rt}△ EOC(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠ AOC=∠ EOC$，
同理可证$\mathrm{Rt}△ EOD≌\mathrm{Rt}△ BOD$，$\therefore ∠ EOD=∠ BOD$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
（1）$△ PCD$的周长为$\boldsymbol{12}$；（2）$∠ COD$的度数为$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础常考题型，解题核心是利用切线长定理完成线段和角的等量转化，结合全等三角形的性质推导角的数量关系，需熟练掌握切线相关性质的综合应用。
【难度系数】
0.7
（1）求解△PCD的周长，可利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，将△PCD的各边拆分后转化为PA、PB的和，结合已知PA的长度即可计算；（2）求解∠COD的度数，先连接OE，根据切线的性质得切线垂直于过切点的半径，先推导∠AOB与∠P互补求出∠AOB的度数，再通过HL证明直角三角形全等，可得OC、OD分别平分∠AOE、∠BOE，由此可知∠COD为∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
（1）$\because PA,PB$切$\odot O$于点$A,B$，$CD$切$\odot O$于点$E$，
$\therefore$由切线长定理得：$PA=PB=6$，$ED=BD$，$CE=AC$，
$\therefore △ PCD$的周长为$PD+DE+PC+CE=PD+BD+PC+AC=PB+PA=2PA=12$。
（2）连接$OE$，由切线的性质，得$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，$OE⊥CD$，
$\therefore ∠ OAC=∠ OEC=∠ OED=∠ OBD=90°$，
四边形$OAPB$内角和为$360°$，因此$∠ AOB+∠ P=360°-90°-90°=180°$，
$\therefore ∠ AOB=180°-∠ P=180°-50°=130°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$与$\mathrm{Rt}△ EOC$中，$\{\begin{array}{l}AC=CE\\ OC=OC\end{array} $，
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOC≌\mathrm{Rt}△ EOC(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠ AOC=∠ EOC$，
同理可证$\mathrm{Rt}△ EOD≌\mathrm{Rt}△ BOD$，$\therefore ∠ EOD=∠ BOD$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
（1）$△ PCD$的周长为$\boldsymbol{12}$；（2）$∠ COD$的度数为$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础常考题型，解题核心是利用切线长定理完成线段和角的等量转化，结合全等三角形的性质推导角的数量关系，需熟练掌握切线相关性质的综合应用。
【难度系数】
0.7
例3 如图3.5.8，AB为⊙O的直径，过圆外一点E作⊙O的两条切线EC，EB，切点分别为D，B，EC交BA的延长线于点C，连接OE，AD。
（1）AD与OE有怎样的位置关系？说明理由。
（2）若EB＝6，CD＝4，求⊙O的半径。
图3.5.8
（1）AD与OE有怎样的位置关系？说明理由。
（2）若EB＝6，CD＝4，求⊙O的半径。
图3.5.8答案
（1）$AD// OE$，理由如下：$\because CE,BE$是$\odot O$的切线，$\therefore ∠ ODE=∠ OBE=90°$.在$\mathrm{Rt}△ DOE$和$\mathrm{Rt}△ BOE$中，$\begin{cases} OD=OB,\\ OE=OE, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ DOE≌\mathrm{Rt}△ BOE\ (\mathrm{HL})$.$\therefore ∠ DOE=∠ BOE$.$\because OA=OD$，$\therefore ∠ ODA=∠ OAD$.$\because ∠ DOB=∠ ODA+∠ OAD=2∠ ODA$，且$∠ DOB=∠ DOE+∠ BOE=2∠ DOE$，$\therefore ∠ DOE=∠ ODA$.$\therefore AD// OE$.
（2）$\because CE,BE$是$\odot O$的切线，$\therefore DE=BE=6$.$\therefore CE=DE+CD=6+4=10$，$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=8$.设$OB=OD=r$，则$OC=8-r$.$\because CD^2+OD^2=OC^2$，$\therefore 4^2+r^2=(8-r)^2$.解得$r=3$，即$\odot O$半径的长为3.
（2）$\because CE,BE$是$\odot O$的切线，$\therefore DE=BE=6$.$\therefore CE=DE+CD=6+4=10$，$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=8$.设$OB=OD=r$，则$OC=8-r$.$\because CD^2+OD^2=OC^2$，$\therefore 4^2+r^2=(8-r)^2$.解得$r=3$，即$\odot O$半径的长为3.
解析
【分析】
（1）判断AD与OE的位置关系可从角的等量关系入手：首先利用切线性质得到直角，通过HL证明Rt△DOE和Rt△BOE全等，得到对应角相等；再结合等腰三角形性质与三角形外角性质，推导得到内错角相等，即可判定两直线平行。
（2）求圆的半径可结合勾股定理用方程思想求解：首先根据切线长定理得到DE=EB，算出CE的长度，在Rt△CBE中用勾股定理算出BC的长；设半径为r，用含r的式子表示OC的长度，最后在Rt△CDO中根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）$AD// OE$，理由如下：
$\because CE、BE$是$\odot O$的切线，切点分别为D、B，
$\therefore OD⊥ CE$，$OB⊥ BE$，即$∠ ODE=∠ OBE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOE$和$\mathrm{Rt}△ BOE$中，
$\begin{cases} OD=OB\\ OE=OE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DOE≌\mathrm{Rt}△ BOE\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DOE=∠ BOE$。
$\because OA=OD$，
$\therefore ∠ ODA=∠ OAD$。
$\because ∠ DOB$是$△ ODA$的外角，
$\therefore ∠ DOB=∠ ODA+∠ OAD=2∠ ODA$，
又$\because ∠ DOB=∠ DOE+∠ BOE=2∠ DOE$，
$\therefore ∠ DOE=∠ ODA$，
$\therefore AD// OE$。
（2）$\because CE、BE$是$\odot O$的切线，
$\therefore$ 根据切线长定理可得$DE=BE=6$，
$\therefore CE=CD+DE=4+6=10$。
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OB=r$，$OC=BC-OB=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，由勾股定理得：
$CD^2+OD^2=OC^2$，即$4^2+r^2=(8-r)^2$，
展开得$16+r^2=64-16r+r^2$，
化简得$16r=48$，解得$r=3$。
【答案】
（1）$AD// OE$；（2）$\odot O$的半径为3
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，结合了切线相关性质、全等三角形判定、平行线判定与勾股定理的考查，解题时要注意方程思想在求线段长度中的应用，熟练掌握切线相关定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）判断AD与OE的位置关系可从角的等量关系入手：首先利用切线性质得到直角，通过HL证明Rt△DOE和Rt△BOE全等，得到对应角相等；再结合等腰三角形性质与三角形外角性质，推导得到内错角相等，即可判定两直线平行。
（2）求圆的半径可结合勾股定理用方程思想求解：首先根据切线长定理得到DE=EB，算出CE的长度，在Rt△CBE中用勾股定理算出BC的长；设半径为r，用含r的式子表示OC的长度，最后在Rt△CDO中根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）$AD// OE$，理由如下：
$\because CE、BE$是$\odot O$的切线，切点分别为D、B，
$\therefore OD⊥ CE$，$OB⊥ BE$，即$∠ ODE=∠ OBE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOE$和$\mathrm{Rt}△ BOE$中，
$\begin{cases} OD=OB\\ OE=OE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DOE≌\mathrm{Rt}△ BOE\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DOE=∠ BOE$。
$\because OA=OD$，
$\therefore ∠ ODA=∠ OAD$。
$\because ∠ DOB$是$△ ODA$的外角，
$\therefore ∠ DOB=∠ ODA+∠ OAD=2∠ ODA$，
又$\because ∠ DOB=∠ DOE+∠ BOE=2∠ DOE$，
$\therefore ∠ DOE=∠ ODA$，
$\therefore AD// OE$。
（2）$\because CE、BE$是$\odot O$的切线，
$\therefore$ 根据切线长定理可得$DE=BE=6$，
$\therefore CE=CD+DE=4+6=10$。
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OB=r$，$OC=BC-OB=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，由勾股定理得：
$CD^2+OD^2=OC^2$，即$4^2+r^2=(8-r)^2$，
展开得$16+r^2=64-16r+r^2$，
化简得$16r=48$，解得$r=3$。
【答案】
（1）$AD// OE$；（2）$\odot O$的半径为3
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，结合了切线相关性质、全等三角形判定、平行线判定与勾股定理的考查，解题时要注意方程思想在求线段长度中的应用，熟练掌握切线相关定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
