1. 如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别为P，C，D，若$AB=4$，$AC=3$，则BD的长是（）

A.2.5
B.2
C.1.5
D.1

D

【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线的长度相等。步骤如下：1. 先找从点A引出的⊙O的两条切线AC、AP，根据定理可得AP=AC，代入已知AC的长度求出AP；2. 用AB的长度减去AP的长度，得到PB的长度；3. 再找从点B引出的⊙O的两条切线BP、BD，根据定理可得BD=PB，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC、AP都是⊙O的切线，切点分别为C、P
∴根据切线长定理，得$AP=AC=3$
∵$AB=4$
∴$PB=AB-AP=4-3=1$
又
∵BP、BD都是⊙O的切线，切点分别为P、D
∴根据切线长定理，得$BD=PB=1$
即BD的长为1
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题关键是找准从同一圆外点引出的两条切线，对应切线长相等即可快速求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8

2. 如图，已知PA，PB是$\odot O$的两条切线，A，B为切点，线段OP交$\odot O$于点M.给出下列四种说法：① $PA=PB$；② $OP⊥ AB$；③ 四边形OAPB有外接圆；④ M是$△ AOP$外接圆的圆心.其中正确的说法有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
解题时需结合切线的相关性质、外接圆判定方法，对4个说法逐一验证：①根据切线长定理直接判断PA和PB的长度关系；②结合全等三角形性质和等腰三角形三线合一，判断OP与AB的位置关系；③根据“若四点到同一点的距离相等，则四点共圆”判断四边形OAPB是否有外接圆；④明确直角三角形外接圆圆心是斜边中点，判断M是否恒为OP中点，即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 判断①：
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，A、B为切点，根据切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$PA=PB$，①正确。
2. 判断②：
∵$OA=OB$（均为$\odot O$半径），$PA=PB$，$OP=OP$，
∴$△ OAP≌△ OBP$（SSS），可得$∠ APO=∠ BPO$。
又
∵$PA=PB$，$△ PAB$为等腰三角形，OP平分$∠ APB$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$OP⊥AB$，②正确。
3. 判断③：
∵PA、PB是切线，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
取OP中点Q，在$Rt△ OAP$中，直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴$QA=QO=QP=\frac{1}{2}OP$，同理可得$QB=QO=QP=\frac{1}{2}OP$，即O、A、P、B四点到Q的距离相等，因此四点共圆，四边形OAPB有外接圆，③正确。
4. 判断④：
$△ AOP$是直角三角形，其外接圆圆心是斜边OP的中点，只有当$OP=2OM$（即M为OP中点）时，M才是$△ AOP$外接圆的圆心，题干未给出$OP=2OA$的条件，因此M不一定是$△ AOP$外接圆的圆心，④错误。
综上，正确的说法共3个。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；切线长定理；外接圆的判定
【点评】
本题属于切线相关的基础综合题，易错点为对第④个结论的判断，需明确直角三角形外接圆圆心为斜边中点，只有满足特定条件时M才符合要求，掌握基础定理逐一排查即可得分。
【难度系数】
0.7

3. 一根钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果OP长为50 cm，∠MPN=60°，那么钢管的半径OM长为cm.

25

【分析】
首先观察图形可知PM、PN都是⊙O的切线，根据切线的性质可得到OM⊥PM，再结合切线长定理可得OP平分∠MPN，由此求出∠OPM的度数，最后在直角三角形OMP中利用含30°角的直角三角形的性质即可求出半径OM的长度。
【解析】
解：
∵PM、PN均为⊙O的切线，
∴OM⊥PM，且OP平分∠MPN，
∴∠OMP=90°，$∠ OPM=\frac{1}{2}∠ MPN=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在Rt△OMP中，斜边OP=50cm，30°角所对的直角边为OM，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得$OM=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×50=25\mathrm{cm}$。
【答案】
25
【知识点】
切线的性质，切线长定理，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线相关性质的应用，属于基础题型，解题关键是结合切线性质构造直角三角形，利用特殊角的性质求解，掌握基础定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

4. 如图，AB，AC是$\odot O$的切线，B，C是切点，点D在$\odot O$上，连接DC和BD.若$∠ A=50°$，则$∠ D$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$.

65

【分析】
解题时首先连接OB、OC两条辅助线，先根据切线的性质得到过切点的半径与切线垂直，得到两个直角；再利用四边形内角和为360°，求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可算出∠D的度数。
【解析】
解：连接OB、OC。
∵AB、AC是$\odot O$的切线，B、C为切点，
∴$OB⊥ AB$，$OC⊥ AC$，即$∠ OBA=∠ OCA=90°$。
∵四边形OBAC的内角和为$360°$，且$∠ A=50°$，
∴$∠ BOC=360°-∠ OBA-∠ OCA-∠ A=360°-90°-90°-50°=130°$。
∵$∠ D$是弧BC所对的圆周角，$∠ BOC$是弧BC所对的圆心角，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
65
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查切线性质和圆周角定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造圆心角，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，AC是$\odot O$的直径，$∠ BAC=20°$，求$∠ P$的度数.

$\because PA,PB$是$\odot O$的切线，$\therefore ∠ PAC=90°$，$PA=PB$.$\because ∠ BAC=20°$，$\therefore ∠ PAB=90°-∠ BAC=90°-20°=70°$.$\because PA=PB$，$\therefore ∠ PAB=∠ PBA=70°$.$\therefore ∠ P=180°-70°×2=40°$

【分析】
解题时先从已知PA、PB是$\odot O$的切线的条件入手：首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥AC，即$∠ PAC=90°$；同时根据切线长定理可得$PA=PB$，即$△ PAB$为等腰三角形。接下来结合已知$∠ BAC=20°$，先计算出$∠ PAB$的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质得到$∠ PBA$的度数，最后根据三角形内角和为$180°$，即可求出$∠ P$的度数。
【解析】
$\because PA,PB$是$\odot O$的切线，$\therefore ∠ PAC=90°$，$PA=PB$.
$\because ∠ BAC=20°$，$\therefore ∠ PAB=90°-∠ BAC=90°-20°=70°$.
$\because PA=PB$，$\therefore ∠ PAB=∠ PBA=70°$.
$\therefore ∠ P=180°-70°×2=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆相关的基础计算题，解题关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，快速梳理角之间的数量关系，结合三角形内角和即可求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8