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2. 如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y km与出发时间t h的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后
2
h第一次相遇。答案
2. 2
解析
【分析】
首先明确函数图像的横、纵坐标含义：横坐标为出发时间，纵坐标为两人到B地的距离。第一步先计算甲的速度：甲往返总路程为80×2=160km，总用时10h且速度不变，由此可求出甲的速度，进而算出甲到达B地的时间a。第二步计算乙的速度：乙出发时距离B地60km，10h到达B地，可求出乙的速度。第一次相遇发生在甲到达B地前，此时两人到B地的距离相等，根据这一等量关系列方程即可求解相遇时间。
【解析】
1. 求甲的速度和到达B地的时间：
甲往返总路程为 $ 80 × 2 = 160 \, \mathrm{km} $，总用时10h，速度不变，因此甲的速度 $ v_甲 = 160 ÷ 10 = 16 \, \mathrm{km/h} $。
甲到达B地需要行驶80km，因此到达B地的时间 $ a = 80 ÷ 16 = 5 \, \mathrm{h} $。
2. 求乙的速度：
乙出发时距离B地60km，10h到达B地，因此乙的速度 $ v_乙 = 60 ÷ 10 = 6 \, \mathrm{km/h} $。
3. 列方程求相遇时间：
设出发后 $ t \, \mathrm{h} $ 两人第一次相遇，第一次相遇时甲未到达B地（$ t＜5 $），此时甲到B地的距离为 $ (80-16t) \, \mathrm{km} $，乙到B地的距离为 $ (60-6t) \, \mathrm{km} $。
相遇时两人位置相同，到B地的距离相等，因此列方程：
$ 80 - 16t = 60 - 6t $
移项得：$ -10t = -20 $
解得：$ t=2 $
【答案】
2
【知识点】
一次函数实际应用，行程相遇问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程相遇问题，解题核心是读懂图像的实际意义，准确求出两人的运动速度，再根据相遇的等量关系列方程求解，能够有效提升图像分析能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确函数图像的横、纵坐标含义：横坐标为出发时间，纵坐标为两人到B地的距离。第一步先计算甲的速度：甲往返总路程为80×2=160km，总用时10h且速度不变，由此可求出甲的速度，进而算出甲到达B地的时间a。第二步计算乙的速度：乙出发时距离B地60km，10h到达B地，可求出乙的速度。第一次相遇发生在甲到达B地前，此时两人到B地的距离相等，根据这一等量关系列方程即可求解相遇时间。
【解析】
1. 求甲的速度和到达B地的时间：
甲往返总路程为 $ 80 × 2 = 160 \, \mathrm{km} $，总用时10h，速度不变，因此甲的速度 $ v_甲 = 160 ÷ 10 = 16 \, \mathrm{km/h} $。
甲到达B地需要行驶80km，因此到达B地的时间 $ a = 80 ÷ 16 = 5 \, \mathrm{h} $。
2. 求乙的速度：
乙出发时距离B地60km，10h到达B地，因此乙的速度 $ v_乙 = 60 ÷ 10 = 6 \, \mathrm{km/h} $。
3. 列方程求相遇时间：
设出发后 $ t \, \mathrm{h} $ 两人第一次相遇，第一次相遇时甲未到达B地（$ t＜5 $），此时甲到B地的距离为 $ (80-16t) \, \mathrm{km} $，乙到B地的距离为 $ (60-6t) \, \mathrm{km} $。
相遇时两人位置相同，到B地的距离相等，因此列方程：
$ 80 - 16t = 60 - 6t $
移项得：$ -10t = -20 $
解得：$ t=2 $
【答案】
2
【知识点】
一次函数实际应用，行程相遇问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程相遇问题，解题核心是读懂图像的实际意义，准确求出两人的运动速度，再根据相遇的等量关系列方程求解，能够有效提升图像分析能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
3. “每天一杯纯牛奶”是一种便捷的营养补充方式，有助于身体健康.某乳品公司每月均需通过快递公司向A地输送一批牛奶.快递公司给出三种运费方案，具体如下：
方案一:每千克运费0.45元,按实际运输质量结算；
方案二:每月收取600元管理费用,再每千克运费0.15元；
方案三:每月收取1 350元包干,不限运输质量.
设该公司每月运输牛奶$x$ kg.选择方案一时,运费为$y_1$元;选择方案二时,运费为$y_2$元;选择方案三时,运费为$y_3$元.
(1) 请直接写出$y_1,y_2,y_3$关于$x$的表达式；
(2) 在同一平面直角坐标系中,三种方案对应的函数图象如图所示,求出点$C,D,E$的坐标,并直接写出如何选择方案更合算.
方案一:每千克运费0.45元,按实际运输质量结算；
方案二:每月收取600元管理费用,再每千克运费0.15元；
方案三:每月收取1 350元包干,不限运输质量.
设该公司每月运输牛奶$x$ kg.选择方案一时,运费为$y_1$元;选择方案二时,运费为$y_2$元;选择方案三时,运费为$y_3$元.
(1) 请直接写出$y_1,y_2,y_3$关于$x$的表达式；
(2) 在同一平面直角坐标系中,三种方案对应的函数图象如图所示,求出点$C,D,E$的坐标,并直接写出如何选择方案更合算.
答案
3. (1) 由题意得 $y_1=0.45x$；$y_2=0.15x+600$；$y_3=1350$
(2) 解方程$0.45x=0.15x+600$,得 $x=2000$,$0.45×2000=900$,所以 C 的坐标为(2 000,900)；解方程 $0.45x=1 350$,得 $x=3 000$,所以 D 的坐标为(3 000,1 350)；解方程 $0.15x+600=1 350$,得 $x=5 000$,所以 E 的坐标为(5 000,1 350).由图象可知,当 $0＜x≤2 000$ 时,采用方案一更合算;当 $2 000＜x≤5 000$ 时,采用方案二更合算;当 $x＞5 000$ 时,采用方案三更合算
(2) 解方程$0.45x=0.15x+600$,得 $x=2000$,$0.45×2000=900$,所以 C 的坐标为(2 000,900)；解方程 $0.45x=1 350$,得 $x=3 000$,所以 D 的坐标为(3 000,1 350)；解方程 $0.15x+600=1 350$,得 $x=5 000$,所以 E 的坐标为(5 000,1 350).由图象可知,当 $0＜x≤2 000$ 时,采用方案一更合算;当 $2 000＜x≤5 000$ 时,采用方案二更合算;当 $x＞5 000$ 时,采用方案三更合算
解析
【分析】
(1) 第一问根据三种运费方案的收费规则梳理费用构成：方案一无固定费用，总运费为单价乘运输质量；方案二总运费为固定管理费加单价乘运输质量；方案三总运费为固定包干费，与运输质量无关，据此直接写出对应函数表达式即可。
(2) 第二问中，两个函数图象的交点表示对应两种方案的运费相等：求点C坐标需联立$y_1$和$y_2$的表达式解方程，求点D坐标需联立$y_1$和$y_3$的表达式解方程，求点E坐标需联立$y_2$和$y_3$的表达式解方程；再根据三个交点的横坐标划分运输质量的区间，比较每个区间内三个函数值的大小，函数值越小对应方案越合算。
【解析】
(1) 根据题意分别列函数表达式：
方案一无额外固定费用，因此$y_1=0.45x$（$x≥0$）；
方案二需收取固定管理费，因此$y_2=0.15x+600$（$x≥0$）；
方案三为固定包干费，因此$y_3=1350$（$x≥0$）。
(2) 求交点坐标：
① 点C是$y_1$与$y_2$的交点，令$0.45x=0.15x+600$，
移项计算得$0.3x=600$，解得$x=2000$，代入$y_1=0.45x$得$y=900$，即$C(2000,900)$；
② 点D是$y_1$与$y_3$的交点，令$0.45x=1350$，解得$x=3000$，即$D(3000,1350)$；
③ 点E是$y_2$与$y_3$的交点，令$0.15x+600=1350$，
移项计算得$0.15x=750$，解得$x=5000$，即$E(5000,1350)$。
结合图象比较费用：
当$0＜x≤2000$时，$y_1$数值最小，方案一更合算；
当$2000＜x≤5000$时，$y_2$数值最小，方案二更合算；
当$x＞5000$时，$y_3$数值最小，方案三更合算。
【答案】
(1) $y_1=0.45x$；$y_2=0.15x+600$；$y_3=1350$
(2) $C(2000,900)$，$D(3000,1350)$，$E(5000,1350)$；当$0＜x≤2000$时采用方案一更合算；当$2000＜x≤5000$时采用方案二更合算；当$x＞5000$时采用方案三更合算
【知识点】
一次函数应用，函数交点求解，最优方案选择
【点评】
本题以实际生活中的运费选择为背景，考查一次函数的实际应用，解题关键是理解函数交点的实际意义，能够通过代数计算或图象比较不同方案的费用高低，有助于提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问根据三种运费方案的收费规则梳理费用构成：方案一无固定费用，总运费为单价乘运输质量；方案二总运费为固定管理费加单价乘运输质量；方案三总运费为固定包干费，与运输质量无关，据此直接写出对应函数表达式即可。
(2) 第二问中，两个函数图象的交点表示对应两种方案的运费相等：求点C坐标需联立$y_1$和$y_2$的表达式解方程，求点D坐标需联立$y_1$和$y_3$的表达式解方程，求点E坐标需联立$y_2$和$y_3$的表达式解方程；再根据三个交点的横坐标划分运输质量的区间，比较每个区间内三个函数值的大小，函数值越小对应方案越合算。
【解析】
(1) 根据题意分别列函数表达式：
方案一无额外固定费用，因此$y_1=0.45x$（$x≥0$）；
方案二需收取固定管理费，因此$y_2=0.15x+600$（$x≥0$）；
方案三为固定包干费，因此$y_3=1350$（$x≥0$）。
(2) 求交点坐标：
① 点C是$y_1$与$y_2$的交点，令$0.45x=0.15x+600$，
移项计算得$0.3x=600$，解得$x=2000$，代入$y_1=0.45x$得$y=900$，即$C(2000,900)$；
② 点D是$y_1$与$y_3$的交点，令$0.45x=1350$，解得$x=3000$，即$D(3000,1350)$；
③ 点E是$y_2$与$y_3$的交点，令$0.15x+600=1350$，
移项计算得$0.15x=750$，解得$x=5000$，即$E(5000,1350)$。
结合图象比较费用：
当$0＜x≤2000$时，$y_1$数值最小，方案一更合算；
当$2000＜x≤5000$时，$y_2$数值最小，方案二更合算；
当$x＞5000$时，$y_3$数值最小，方案三更合算。
【答案】
(1) $y_1=0.45x$；$y_2=0.15x+600$；$y_3=1350$
(2) $C(2000,900)$，$D(3000,1350)$，$E(5000,1350)$；当$0＜x≤2000$时采用方案一更合算；当$2000＜x≤5000$时采用方案二更合算；当$x＞5000$时采用方案三更合算
【知识点】
一次函数应用，函数交点求解，最优方案选择
【点评】
本题以实际生活中的运费选择为背景，考查一次函数的实际应用，解题关键是理解函数交点的实际意义，能够通过代数计算或图象比较不同方案的费用高低，有助于提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
