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2. 甲、乙两人以相同路线前往距离单位10 km的培训中心参加学习. 图中$ l_甲 $，$ l_乙 $分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s km随时间t min变化的函数图象. 乙出发
6
min后追上甲.答案
2. 6
解析
【分析】
要解决乙出发多久后追上甲的问题，首先明确乙追上甲时两人的路程相等，对应s-t图像中两条直线的交点。解题思路如下：第一步，利用待定系数法分别求出甲、乙两人的路程s关于时间t的一次函数解析式；第二步，联立两个解析式求出交点对应的时间t，这个t是甲出发的总时间；第三步，用交点的t值减去乙出发的时间18min，即可得到乙出发后追上甲的时长。
【解析】
设甲的路程与时间的函数解析式为$ s_甲 = k_1 t $（$ k_1 ≠ 0 $），
将点$(40,10)$代入得：$ 10 = 40k_1 $，解得$ k_1 = \frac{1}{4} $，
因此$ s_甲 = \frac{1}{4}t $。
设乙的路程与时间的函数解析式为$ s_乙 = k_2 t + b $（$ k_2 ≠ 0 $），
将点$(18,0)$和$(28,10)$分别代入得：
$\begin{cases}0 = 18k_2 + b \\10 = 28k_2 + b\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$ 10 = 10k_2 $，解得$ k_2 = 1 $，
将$ k_2=1 $代入$ 0 = 18k_2 + b $得：$ 0 = 18 + b $，解得$ b = -18 $，
因此$ s_乙 = t - 18 $。
当乙追上甲时，$ s_甲 = s_乙 $，即$ \frac{1}{4}t = t - 18 $，
解方程：
$t - \frac{1}{4}t = 18 \\\frac{3}{4}t = 18 \\t = 24$
乙出发的时间为18min，因此乙出发后追上甲的时长为$ 24 - 18 = 6(\mathrm{min}) $。
【答案】
6
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数交点问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是理解s-t图像的实际意义，通过待定系数法求出函数解析式后联立方程即可求解，重点考查学生的图像解读能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决乙出发多久后追上甲的问题，首先明确乙追上甲时两人的路程相等，对应s-t图像中两条直线的交点。解题思路如下：第一步，利用待定系数法分别求出甲、乙两人的路程s关于时间t的一次函数解析式；第二步，联立两个解析式求出交点对应的时间t，这个t是甲出发的总时间；第三步，用交点的t值减去乙出发的时间18min，即可得到乙出发后追上甲的时长。
【解析】
设甲的路程与时间的函数解析式为$ s_甲 = k_1 t $（$ k_1 ≠ 0 $），
将点$(40,10)$代入得：$ 10 = 40k_1 $，解得$ k_1 = \frac{1}{4} $，
因此$ s_甲 = \frac{1}{4}t $。
设乙的路程与时间的函数解析式为$ s_乙 = k_2 t + b $（$ k_2 ≠ 0 $），
将点$(18,0)$和$(28,10)$分别代入得：
$\begin{cases}0 = 18k_2 + b \\10 = 28k_2 + b\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$ 10 = 10k_2 $，解得$ k_2 = 1 $，
将$ k_2=1 $代入$ 0 = 18k_2 + b $得：$ 0 = 18 + b $，解得$ b = -18 $，
因此$ s_乙 = t - 18 $。
当乙追上甲时，$ s_甲 = s_乙 $，即$ \frac{1}{4}t = t - 18 $，
解方程：
$t - \frac{1}{4}t = 18 \\\frac{3}{4}t = 18 \\t = 24$
乙出发的时间为18min，因此乙出发后追上甲的时长为$ 24 - 18 = 6(\mathrm{min}) $。
【答案】
6
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数交点问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是理解s-t图像的实际意义，通过待定系数法求出函数解析式后联立方程即可求解，重点考查学生的图像解读能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
3. 某生态体验园推出了甲,乙两种消费卡,设入园次数为$ x $次,所需费用为$ y $元,选择这两种卡消费时,$ y $与$ x $的函数关系如图所示,解答下列问题:
(1) 分别求出选择这两种卡消费时,所需费用$ y_{\mathrm{甲}} $元、$ y_{\mathrm{乙}} $元关于入园次数$ x $次的函数表达式.
(2) 当消费多少次时,甲、乙两种消费卡的费用相同?
(3) 若进入生态体验园15次,采用哪种方式比较划算?
(1) 分别求出选择这两种卡消费时,所需费用$ y_{\mathrm{甲}} $元、$ y_{\mathrm{乙}} $元关于入园次数$ x $次的函数表达式.
(2) 当消费多少次时,甲、乙两种消费卡的费用相同?
(3) 若进入生态体验园15次,采用哪种方式比较划算?
答案
3. (1) $y_甲=20x$，$y_乙=10x+100$
(2) 当入园次数是 10 次时,选择两种消费卡费用相同
(3) 当进入生态园 15 次时,采用乙方式比较划算
(2) 当入园次数是 10 次时,选择两种消费卡费用相同
(3) 当进入生态园 15 次时,采用乙方式比较划算
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
1. 求函数解析式使用待定系数法：甲的消费函数是过原点的正比例函数，选取图像上的已知点代入即可求出表达式；乙的消费函数是一般一次函数，选取图像上两个已知点代入即可求出k、b的值，得到表达式。
2. 两种卡费用相同即两个函数的y值相等，列一元一次方程求解即可得到对应的入园次数。
3. 要判断15次哪种消费方式划算，只需将x=15分别代入两个函数解析式计算出费用，比较费用大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设$y_甲 = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），
由图可知甲的函数图像过点$(5,100)$，代入得：
$100 = 5k_1$，解得$k_1=20$，
因此$y_甲 = 20x$。
设$y_乙 = k_2x + b$（$k_2 ≠ 0$），
由图可知乙的函数图像过点$(0,100)$和$(20,300)$，
将$(0,100)$代入得$b=100$，
再将$(20,300)$、$b=100$代入得：
$300 = 20k_2 + 100$，解得$k_2=10$，
因此$y_乙 = 10x + 100$。
(2) 当两种消费卡费用相同时，$y_甲 = y_乙$，即：
$20x = 10x + 100$
移项得$10x = 100$，解得$x=10$。
(3) 当入园次数$x=15$时，分别计算两种方式的费用：
$y_甲 = 20 × 15 = 300$（元），
$y_乙 = 10 × 15 + 100 = 250$（元），
因为$250 ＜ 300$，所以选择乙消费卡更划算。
【答案】
(1) $y_甲=20x$，$y_乙=10x+100$
(2) 当入园次数是10次时，选择两种消费卡费用相同
(3) 当进入生态园15次时，采用乙方式比较划算
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；函数值比较大小
【点评】
本题结合生活中的消费场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确求出两个函数的解析式，再结合方程思想和代入求值的方法解决对应问题，属于基础应用题，熟练掌握一次函数的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
1. 求函数解析式使用待定系数法：甲的消费函数是过原点的正比例函数，选取图像上的已知点代入即可求出表达式；乙的消费函数是一般一次函数，选取图像上两个已知点代入即可求出k、b的值，得到表达式。
2. 两种卡费用相同即两个函数的y值相等，列一元一次方程求解即可得到对应的入园次数。
3. 要判断15次哪种消费方式划算，只需将x=15分别代入两个函数解析式计算出费用，比较费用大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设$y_甲 = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），
由图可知甲的函数图像过点$(5,100)$，代入得：
$100 = 5k_1$，解得$k_1=20$，
因此$y_甲 = 20x$。
设$y_乙 = k_2x + b$（$k_2 ≠ 0$），
由图可知乙的函数图像过点$(0,100)$和$(20,300)$，
将$(0,100)$代入得$b=100$，
再将$(20,300)$、$b=100$代入得：
$300 = 20k_2 + 100$，解得$k_2=10$，
因此$y_乙 = 10x + 100$。
(2) 当两种消费卡费用相同时，$y_甲 = y_乙$，即：
$20x = 10x + 100$
移项得$10x = 100$，解得$x=10$。
(3) 当入园次数$x=15$时，分别计算两种方式的费用：
$y_甲 = 20 × 15 = 300$（元），
$y_乙 = 10 × 15 + 100 = 250$（元），
因为$250 ＜ 300$，所以选择乙消费卡更划算。
【答案】
(1) $y_甲=20x$，$y_乙=10x+100$
(2) 当入园次数是10次时，选择两种消费卡费用相同
(3) 当进入生态园15次时，采用乙方式比较划算
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；函数值比较大小
【点评】
本题结合生活中的消费场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确求出两个函数的解析式，再结合方程思想和代入求值的方法解决对应问题，属于基础应用题，熟练掌握一次函数的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
1. 如图是光线从空气进入水中的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为$y_1=k_1x$，$y_2=k_2x$，则下列关于$k_1$与$k_2$关系的说法中，正确的是（
A.$k_2＜0＜k_1$
B.$k_1＜0＜k_2$
C.$k_1＜k_2＜0$
D.$k_2＜k_1＜0$
D
）A.$k_2＜0＜k_1$
B.$k_1＜0＜k_2$
C.$k_1＜k_2＜0$
D.$k_2＜k_1＜0$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先回忆正比例函数y=kx的性质：1. k的符号决定直线经过的象限：k＞0时直线过一、三象限，k＜0时直线过二、四象限；2. |k|的大小决定直线的倾斜程度：|k|越大，直线越陡、越靠近y轴。首先根据两条直线所在象限判断k₁、k₂的正负，排除错误选项；再根据两条直线的倾斜程度比较|k₁|、|k₂|的大小，最后结合负数比较大小的规则判断k₁和k₂的大小关系即可。
【解析】
1. 判断k的正负：
正比例函数y=kx中，直线经过第二、四象限时k＜0。由图可知，$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$的图像均经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，可排除A、B选项。
2. 比较$|k_1|$和$|k_2|$的大小：
正比例函数中，|k|越大，直线倾斜程度越大（越靠近y轴）。观察图像可得，$y_2$的倾斜程度大于$y_1$，因此$|k_2|＞|k_1|$。
3. 比较$k_1$和$k_2$的大小：
因为$k_1$、$k_2$均为负数，负数比较大小时，绝对值越大的数越小，因此$k_2＜k_1＜0$，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；负数的大小比较
【点评】
本题结合光的折射情境考查正比例函数的相关性质，解题的核心是理解正比例函数中系数k的符号、绝对值分别对应的图像特征，同时要熟练掌握负数比较大小的规则，易错点是容易混淆k的大小和倾斜程度的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆正比例函数y=kx的性质：1. k的符号决定直线经过的象限：k＞0时直线过一、三象限，k＜0时直线过二、四象限；2. |k|的大小决定直线的倾斜程度：|k|越大，直线越陡、越靠近y轴。首先根据两条直线所在象限判断k₁、k₂的正负，排除错误选项；再根据两条直线的倾斜程度比较|k₁|、|k₂|的大小，最后结合负数比较大小的规则判断k₁和k₂的大小关系即可。
【解析】
1. 判断k的正负：
正比例函数y=kx中，直线经过第二、四象限时k＜0。由图可知，$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$的图像均经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，可排除A、B选项。
2. 比较$|k_1|$和$|k_2|$的大小：
正比例函数中，|k|越大，直线倾斜程度越大（越靠近y轴）。观察图像可得，$y_2$的倾斜程度大于$y_1$，因此$|k_2|＞|k_1|$。
3. 比较$k_1$和$k_2$的大小：
因为$k_1$、$k_2$均为负数，负数比较大小时，绝对值越大的数越小，因此$k_2＜k_1＜0$，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；负数的大小比较
【点评】
本题结合光的折射情境考查正比例函数的相关性质，解题的核心是理解正比例函数中系数k的符号、绝对值分别对应的图像特征，同时要熟练掌握负数比较大小的规则，易错点是容易混淆k的大小和倾斜程度的对应关系。
【难度系数】
0.7
