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10. 完成以下问题：
(1)如图4-3-4①，若∠α=38°，根据图中尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为
(2)如图4-3-4②，利用无刻度的直尺和圆规，以点B为顶点，射线BC为一边，作出∠PBC=∠DAB。
(1)如图4-3-4①，若∠α=38°，根据图中尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为
$76°$
。(2)如图4-3-4②，利用无刻度的直尺和圆规，以点B为顶点，射线BC为一边，作出∠PBC=∠DAB。
答案
10. 解:(1)$76°$ 解析:由尺规作图的痕迹得$∠AOB=2α=76°$。故答案为:$76°$。
(2)根据题意，作一个角等于已知角，如答图4-3-2，$∠PBC$或$∠P'BC$即为所求。
解析
【分析】
(1) 观察图①的尺规作图痕迹，可知∠AOB是∠α的2倍，只需用∠α的度数乘2即可求出∠AOB的度数。
(2) 本题要求以B为顶点、BC为一边作∠PBC=∠DAB，本质是考查尺规作一个角等于已知角的操作，按照作一个角等于已知角的标准步骤作图即可，注意所作的角可以在BC的上方，也可以在BC的下方，共有2个符合要求的角。
【解析】
(1) 由尺规作图的痕迹可得，∠AOB = 2∠α，已知∠α=38°，代入计算得：
$∠ AOB = 2×38°=76°$。
(2) 作图步骤：
① 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交射线AD、AB于两点；
② 以点B为圆心，和步骤①相同的长度为半径画弧，交射线BC于一点；
③ 用圆规量取步骤①中弧截AD、AB所得两点的距离，以步骤②中弧和BC的交点为圆心，该距离为半径画弧，和步骤②的弧交于两点，分别位于AC的上下方；
④ 过点B分别连接上述两个交点作射线BP、BP'，所得的∠PBC和∠P'BC均等于∠DAB，即为所求。
【答案】
(1) $76°$
(2) 如图所示，∠PBC或∠P'BC即为所求：
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 角的倍角计算
【点评】
本题侧重考查尺规作角的基础操作和角的简单计算，属于基础题型，需要熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，作图时注意不要遗漏边两侧的两种情况。
【难度系数】
0.8
(1) 观察图①的尺规作图痕迹，可知∠AOB是∠α的2倍，只需用∠α的度数乘2即可求出∠AOB的度数。
(2) 本题要求以B为顶点、BC为一边作∠PBC=∠DAB，本质是考查尺规作一个角等于已知角的操作，按照作一个角等于已知角的标准步骤作图即可，注意所作的角可以在BC的上方，也可以在BC的下方，共有2个符合要求的角。
【解析】
(1) 由尺规作图的痕迹可得，∠AOB = 2∠α，已知∠α=38°，代入计算得：
$∠ AOB = 2×38°=76°$。
(2) 作图步骤：
① 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交射线AD、AB于两点；
② 以点B为圆心，和步骤①相同的长度为半径画弧，交射线BC于一点；
③ 用圆规量取步骤①中弧截AD、AB所得两点的距离，以步骤②中弧和BC的交点为圆心，该距离为半径画弧，和步骤②的弧交于两点，分别位于AC的上下方；
④ 过点B分别连接上述两个交点作射线BP、BP'，所得的∠PBC和∠P'BC均等于∠DAB，即为所求。
【答案】
(1) $76°$
(2) 如图所示，∠PBC或∠P'BC即为所求：
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 角的倍角计算
【点评】
本题侧重考查尺规作角的基础操作和角的简单计算，属于基础题型，需要熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，作图时注意不要遗漏边两侧的两种情况。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
11. 在一个圆周上取若干个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，可以将圆分割成若干个不重叠的区域。如图4-3-5所示：当圆周上有2个点时，圆被分成2个不重叠区域；当圆周上有3个点时，圆被分成4个不重叠区域……当圆周上有n(n＞1)个点时，圆被分成的不重叠区域个数为
11. 在一个圆周上取若干个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，可以将圆分割成若干个不重叠的区域。如图4-3-5所示：当圆周上有2个点时，圆被分成2个不重叠区域；当圆周上有3个点时，圆被分成4个不重叠区域……当圆周上有n(n＞1)个点时，圆被分成的不重叠区域个数为
$2n-2$
。答案
11.$2n-2$ 解析:由题知，当圆周上有2个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$2=2×2-2$；
当圆周上有3个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$4=3×2-2$；
当圆周上有4个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$6=4×2-2$；
……
所以当圆周上有$n(n＞1)$个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$2n-2$。
当圆周上有3个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$4=3×2-2$；
当圆周上有4个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$6=4×2-2$；
……
所以当圆周上有$n(n＞1)$个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$2n-2$。
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先从已知的特殊情况入手，先整理不同n值对应的圆被分割的区域个数，再观察区域个数和n的数量关系，验证规律符合所有已知情况后，即可推导出n个点时的通用表达式。
【解析】
根据题意和图示可得：
当圆周上有2个点时，不重叠区域个数为2，满足$2=2×2-2$；
当圆周上有3个点时，不重叠区域个数为4，满足$4=2×3-2$；
当圆周上有4个点时，不重叠区域个数为6，满足$6=2×4-2$；
当圆周上有5个点时，不重叠区域个数为8，满足$8=2×5-2$；
……
以此类推，当圆周上有$n(n＞1)$个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$2n-2$。
【答案】
$2n-2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题属于基础规律探究类题目，解题关键是先将特殊情况的对应数值逐一列举，再通过观察数值和自变量的关系总结出通用规律，细心核对数值关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道图形规律探究题，解题时先从已知的特殊情况入手，先整理不同n值对应的圆被分割的区域个数，再观察区域个数和n的数量关系，验证规律符合所有已知情况后，即可推导出n个点时的通用表达式。
【解析】
根据题意和图示可得：
当圆周上有2个点时，不重叠区域个数为2，满足$2=2×2-2$；
当圆周上有3个点时，不重叠区域个数为4，满足$4=2×3-2$；
当圆周上有4个点时，不重叠区域个数为6，满足$6=2×4-2$；
当圆周上有5个点时，不重叠区域个数为8，满足$8=2×5-2$；
……
以此类推，当圆周上有$n(n＞1)$个点时，圆被分成的不重叠区域个数为$2n-2$。
【答案】
$2n-2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题属于基础规律探究类题目，解题关键是先将特殊情况的对应数值逐一列举，再通过观察数值和自变量的关系总结出通用规律，细心核对数值关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12. 阅读材料：
从多边形的一个顶点出发的对角线或多边形边上一点(非顶点)与各顶点的连线或多边形内部一点与各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图4-3-6①给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形。
(1)请你按照上述方法将图4-3-6②中的六边形进行分割，并写出每种分割方法所得到的小三角形的个数；
(2)当多边形为n边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分割方法所得到的小三角形的个数。
从多边形的一个顶点出发的对角线或多边形边上一点(非顶点)与各顶点的连线或多边形内部一点与各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图4-3-6①给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形。
(1)请你按照上述方法将图4-3-6②中的六边形进行分割，并写出每种分割方法所得到的小三角形的个数；
(2)当多边形为n边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分割方法所得到的小三角形的个数。
答案
12. 解:(1)如答图4-3-3所示：
可以发现分别将六边形分割成了4个、5个、6个小三角形。
(2)结合两个特殊图形，可以发现：
第一种分割方法把n边形分割成了$(n-2)$个小三角形；
第二种分割方法把n边形分割成了$(n-1)$个小三角形；
第三种分割方法把n边形分割成了n个小三角形。
解析
【分析】
首先梳理题中给出的四边形三种分割方法：第一种是从多边形的一个顶点出发，连接其余不相邻顶点作对角线；第二种是在多边形的一条边上取非顶点的点，连接该点与多边形所有顶点；第三种是在多边形内部取一点，连接该点与多边形所有顶点。
解决第(1)问时，直接将这三种分割方法迁移应用到六边形上，画出分割线后数出小三角形的个数即可；解决第(2)问时，先整理四边形、六边形三种分割得到的小三角形个数，对比多边形边数和三角形个数的关系，通过归纳推理就能得到n边形对应的通用结论。
【解析】
(1) 按照三种分割方法对六边形进行分割：
第一种：从六边形的任意一个顶点出发，连接与该顶点不相邻的其余顶点，数得小三角形个数为4；
第二种：在六边形的任意一条边上取一个不是顶点的点，连接该点与六边形的所有顶点，数得小三角形个数为5；
第三种：在六边形内部取任意一个点，连接该点与六边形的所有顶点，数得小三角形个数为6。
(2) 结合四边形、六边形的分割结果找规律：
第一种分割：四边形得到2=4-2个三角形，六边形得到4=6-2个三角形，因此n边形按该方法分割得到$(n-2)$个小三角形；
第二种分割：四边形得到3=4-1个三角形，六边形得到5=6-1个三角形，因此n边形按该方法分割得到$(n-1)$个小三角形；
第三种分割：四边形得到4个三角形，六边形得到6个三角形，因此n边形按该方法分割得到$n$个小三角形。
【答案】
(1) 如答图4-3-3所示：
分别将六边形分割成了4个、5个、6个小三角形。
(2) 第一种分割方法得到$(n-2)$个小三角形；第二种分割方法得到$(n-1)$个小三角形；第三种分割方法得到$n$个小三角形。
【知识点】
多边形分割；归纳推理；多边形的认识
【点评】
本题考查多边形的分割方法和规律探究能力，解题的核心是先准确理解题目给出的三种分割方式，再通过模仿应用、从特殊到一般的归纳推导得到结论，属于几何基础探究类题目，能很好地锻炼学生的知识迁移和规律总结能力。
【难度系数】
0.8
首先梳理题中给出的四边形三种分割方法：第一种是从多边形的一个顶点出发，连接其余不相邻顶点作对角线；第二种是在多边形的一条边上取非顶点的点，连接该点与多边形所有顶点；第三种是在多边形内部取一点，连接该点与多边形所有顶点。
解决第(1)问时，直接将这三种分割方法迁移应用到六边形上，画出分割线后数出小三角形的个数即可；解决第(2)问时，先整理四边形、六边形三种分割得到的小三角形个数，对比多边形边数和三角形个数的关系，通过归纳推理就能得到n边形对应的通用结论。
【解析】
(1) 按照三种分割方法对六边形进行分割：
第一种：从六边形的任意一个顶点出发，连接与该顶点不相邻的其余顶点，数得小三角形个数为4；
第二种：在六边形的任意一条边上取一个不是顶点的点，连接该点与六边形的所有顶点，数得小三角形个数为5；
第三种：在六边形内部取任意一个点，连接该点与六边形的所有顶点，数得小三角形个数为6。
(2) 结合四边形、六边形的分割结果找规律：
第一种分割：四边形得到2=4-2个三角形，六边形得到4=6-2个三角形，因此n边形按该方法分割得到$(n-2)$个小三角形；
第二种分割：四边形得到3=4-1个三角形，六边形得到5=6-1个三角形，因此n边形按该方法分割得到$(n-1)$个小三角形；
第三种分割：四边形得到4个三角形，六边形得到6个三角形，因此n边形按该方法分割得到$n$个小三角形。
【答案】
(1) 如答图4-3-3所示：
分别将六边形分割成了4个、5个、6个小三角形。
(2) 第一种分割方法得到$(n-2)$个小三角形；第二种分割方法得到$(n-1)$个小三角形；第三种分割方法得到$n$个小三角形。
【知识点】
多边形分割；归纳推理；多边形的认识
【点评】
本题考查多边形的分割方法和规律探究能力，解题的核心是先准确理解题目给出的三种分割方式，再通过模仿应用、从特殊到一般的归纳推导得到结论，属于几何基础探究类题目，能很好地锻炼学生的知识迁移和规律总结能力。
【难度系数】
0.8
