1. 如图4-1，点O在直线AE上，OC平分$∠ AOE$，$∠ DOB$是直角。若$∠ 1=25°$，则$∠ AOB$的度数是（）。


A.$65°$
B.$25°$
C.$90°$
D.$115°$

1.B

【分析】
解题时先梳理已知条件推导角度关系：1. 由点O在直线AE上可知∠AOE为平角，结合OC平分∠AOE可推出∠AOC是90°；2. 已知∠DOB是直角，即∠DOB也为90°，观察可得∠AOC和∠DOB都包含公共角∠BOC，两个相等的角减去同一个公共角，剩余的角相等，即可直接得出∠AOB与∠1相等，代入数值就能得到结果。
【解析】
解：
∵点O在直线AE上，
∴∠AOE=180°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠AOB + ∠BOC = 90°，
又
∵∠DOB是直角，
∴∠DOB=∠1 + ∠BOC=90°，
∴∠AOB + ∠BOC = ∠1 + ∠BOC，
两边同时减去∠BOC得：∠AOB=∠1，
∵∠1=25°，
∴∠AOB=25°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础角度计算题型，解题的核心是先根据已知条件找到两个相等的直角，再利用公共角推导所求角与已知角的等量关系，熟练掌握角的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是()。

A.六边形
B.五边形
C.四边形
D.三角形

2.A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确：把一个多边形剪去一个角时，根据剪的位置不同，剩下图形的边数有三种变化情况。我们可以先总结三种剪法对应的边数变化规律，再结合剩下图形是四边形（4条边），反推原多边形可能的边数，就能判断出不可能的形状。
【解析】
我们先分析多边形剪去一个角的三种情况对应的边数变化：
1. 若剪角的截线不经过原多边形的任何顶点，剩下的图形比原多边形多1条边；
2. 若剪角的截线经过原多边形的1个顶点，剩下的图形和原多边形边数相等；
3. 若剪角的截线经过原多边形的2个顶点，剩下的图形比原多边形少1条边。
已知剩下的图形是四边形，有4条边，因此原多边形的边数可能为：
对应第一种情况：原边数+1=4 → 原边数=3（三角形）
对应第二种情况：原边数=4（四边形）
对应第三种情况：原边数-1=4 → 原边数=5（五边形）
因此原多边形不可能是六边形，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
多边形边数特征，截角边数变化规律，分类讨论
【点评】
本题核心考查多边形截角后边数的变化规律，解题的关键是要考虑到截角的三种不同情况，避免因漏看某类截法导致判断错误，是对学生分类讨论思维的基础考查。
【难度系数】
0.7

3. 已知平面内∠AOB=20°,∠AOC=50°,射线OM,ON分别平分∠AOB,∠AOC,则∠MON的大小是。

3.15°或 35°

【分析】
本题未给出∠AOC与∠AOB的位置关系，因此需分两种情况讨论：①OB、OC在OA的同侧（即OB在∠AOC内部）；②OB、OC在OA的异侧（即OB在∠AOC外部）。首先根据角平分线的定义计算出∠AOM和∠AON的度数，再结合两种位置关系，利用角的和差运算即可求出∠MON的度数。
【解析】
已知OM平分∠AOB，∠AOB=20°，根据角平分线的定义可得：
$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×20°=10°$
已知ON平分∠AOC，∠AOC=50°，同理可得：
$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$
分两种情况计算∠MON：
1. 当OB、OC在OA同侧（OB在∠AOC内部）时：
$∠ MON=∠ AON-∠ AOM=25°-10°=15°$
2. 当OB、OC在OA异侧（OB在∠AOC外部）时：
$∠ MON=∠ AON+∠ AOM=25°+10°=35°$
【答案】
15°或35°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是无图几何题的典型题型，解题核心是注意无图条件下角的位置存在多种可能性，要全面考虑所有情况，避免因漏算情形导致漏解。
【难度系数】
0.6

4. 如图4-2，将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1=α，∠2=β，那么∠3=。

4.90°−α−β

【分析】解题时先从已知条件入手：首先三个是大小相同的正方形，可知正方形的每个内角都为90°；其次三个正方形的一个顶点重合，我们需要梳理重合顶点处各角的和差关系：两个相邻正方形的内角和为90°+90°=180°，观察图形可发现，这180°刚好由∠1、∠2、∠3和一个90°的正方形内角组成，列出等式后代入已知的∠1=α、∠2=β，移项即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 正方形的每个内角都为90°，
∴ 两个相邻正方形的内角之和为 $90° + 90° = 180°$，
结合图形可得角的和差关系：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + 90° = 180°$，
将$∠ 1 = α$，$∠ 2 = β$代入上式：
$α + β + ∠ 3 + 90° = 180°$，
移项计算得：$∠ 3 = 180° - 90° - α - β = 90° - α - β$。
【答案】
$90°-α-β$
【知识点】
正方形内角性质；角的和差计算；重叠角运算
【点评】
本题重点考查正方形内角为90°的性质以及角的和差关系的应用，解题的核心是准确找到重合顶点处各个角之间的数量关系，避免漏算或多算重叠部分的角度。
【难度系数】
0.7

5. 如图4-3，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点$D'$落在$∠ BAC$内部。若$∠ CAE=2∠ BAD'$，且$∠ CAD'=15°$，则$∠ DAE$的度数为。

5.39°

【分析】
首先明确长方形的内角为直角，可得∠BAD=90°；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知∠DAE=∠D'AE。题目给出了∠CAE与∠BAD'的数量关系及∠CAD'的度数，我们可以通过设未知数，将各相关角用含未知数的式子表示，再结合∠BAD=90°的等量关系列方程求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠BAD=90°。
由折叠的性质可得：∠DAE=∠D'AE。
设∠BAD'=x，
∵∠CAE=2∠BAD'，
∴∠CAE=2x。
∵∠D'AE=∠CAE + ∠CAD'，∠CAD'=15°，
∴∠D'AE=2x+15°，即∠DAE=2x+15°。
又
∵∠BAD=∠BAD' + ∠D'AE + ∠DAE=90°，
代入得：x + (2x+15°) + (2x+15°) = 90°，
整理得：5x + 30° = 90°，
解得：x=12°，
∴∠DAE=2×12° + 15°=39°。
【答案】
39°
【知识点】
长方形的性质，折叠的性质，角度和差计算
【点评】
本题主要结合折叠和长方形的性质考查角度计算，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，通过设未知数建立方程求解，是角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7

6. 已知线段AC和BC在同一直线上，如果AC=5.6 cm，BC=2.4 cm，那么线段AC和BC的中点之间的距离为 cm。

6.4 或 1.6

7. 如图 4-4, 已知 $BD,CE$ 分别是 $∠ ABC$ 和 $∠ ACB$ 的平分线, $∠ DBC=∠ ECB$。
(1)猜想 $∠ ABC$ 和 $∠ ACB$ 的大小关系,并说明理由;
(2)若 $∠ DBC=35°$,求 $∠ A$ 的度数。

图4-4

7. 解:(1)$∠ABC=∠ACB$,理由如下：
因为 BD 和 CE 分别是$∠ABC$和$∠ACB$的平分线，
所以$∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠ECB$。
又$∠DBC=∠ECB$，
所以$∠ABC=∠ACB$。
(2)由(1)得$∠ACB=∠ABC=2∠DBC=70°$，
所以$∠A=180°-70°-70°=40°$。

【分析】
(1) 要判断∠ABC和∠ACB的大小关系，首先结合已知的角平分线条件，根据角平分线的定义，可将两个大角分别转化为2倍的∠DBC和2倍的∠ECB，再结合已知∠DBC=∠ECB，通过等量代换即可得到两个大角的关系；
(2) 已知∠DBC的度数，先借助第一问的结论和角平分线的定义求出∠ABC和∠ACB的度数，再利用三角形内角和为180°，即可计算出∠A的度数。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ABC=∠ACB}$，理由如下：
∵ BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴ 根据角平分线的定义可得：$∠ ABC=2∠ DBC$，$∠ ACB=2∠ ECB$，
又
∵ $∠ DBC=∠ ECB$，
∴ $2∠ DBC=2∠ ECB$，即$∠ ABC=∠ ACB$。
(2) 已知$∠ DBC=35°$，
由(1)的结论可得：$∠ ABC=2∠ DBC=2×35°=70°$，$∠ ACB=∠ ABC=70°$，
∵ 三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ A=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
(1) $∠ ABC=∠ ACB$；
(2) $∠ A=40°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用角平分线的定义实现角的倍分关系转化，再结合三角形内角和定理完成角度计算，解题时注意逻辑推导的严谨性即可。
【难度系数】
0.8

8. 如图4-5，$∠ AOB=90°$。
(1)操作发现:在同一平面内,以点O为顶点,OA为始边画出$∠ AOC$,使$∠ AOC=60°$,观察图形后请直接写出$∠ COB$的度数:。
(2)探究延伸:在(1)的条件下画出$∠ COB$的平分线$OD$,$∠ AOC$的平分线$OE$,观察图形后请直接写出$∠ DOE$的度数:。
(3)探究拓展:在(1)(2)的条件下,若将“$∠ AOC=60°$”改为“$∠ AOC=2α(0°＜α＜45°)$”,其他条件不变,你能求出$∠ DOE$的度数吗?若能,请写出求解过程;若不能,请说明理由。

8. 解:(1)画图如。$30°或150°$
解析:有两种情况。分$∠AOC$在$∠AOB$的内部和外部，如所示：
①当$∠AOC$在$∠AOB$的内部时，$∠BOC = ∠AOB - ∠AOC=90°-60°=30°$；
②当$∠AOC$在$∠AOB$的外部时，$∠BOC = ∠AOB + ∠AOC=90°+60°=150°$。
(2)画图如。$45°$ 解析:有两种情况。分$∠AOC$在$∠AOB$的内部和外部，如所示：
①当$∠AOC$在$∠AOB$的内部时，
由(1)知$∠BOC=30°$。
因为OE平分$∠AOC$,OD平分$∠BOC$,
所以$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=30°,∠COD=\frac{1}{2}∠BOC=15°$,
所以$∠DOE=∠COE+∠COD=30°+15°=45°$；
②当$∠AOC$在$∠AOB$的外部时,由(1)知$∠BOC=150°$。
因为OE平分$∠AOC$,OD平分$∠BOC$,
所以$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=30°,∠COD=\frac{1}{2}∠BOC=75°$,
所以$∠DOE=∠COD-∠COE=45°$。
综上,$∠DOE$的度数为$45°$。
(3)能。
①当OC在$∠AOB$的内部时，
因为$∠AOB=90°,∠AOC=2α$,
所以$∠BOC=90°-2α$。
因为OD,OE分别平分$∠BOC,∠AOC$,
所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠BOC=45°-α,∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=α$,
所以$∠DOE=∠DOC+∠COE=45°$；
②当OC在$∠AOB$的外部时，
因为$∠AOB=90°,∠AOC=2α$,
所以$∠BOC=90°+2α$。
因为OD,OE分别平分$∠BOC,∠AOC$,
所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠BOC=45°+α,∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=α$,
所以$∠DOE=∠DOC-∠COE=45°$。
综上,$∠DOE$的度数为$45°$。

【分析】
本题需结合角的位置分类讨论求解：
(1) 首先明确∠AOC的位置有两种：在∠AOB内部、在∠AOB外部，分别根据角的和差关系计算∠COB的度数即可；
(2) 利用角平分线的定义，分别求出两种位置下∠COE和∠COD的度数，再根据角的和差计算∠DOE，可发现两种情况结果一致；
(3) 将具体角度替换为含α的代数式，沿用(2)的思路，分别对两种位置情况推导，验证∠DOE是否为定值。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当OC在∠AOB内部时，∠COB = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 60° = 30°；
② 当OC在∠AOB外部时，∠COB = ∠AOB + ∠AOC = 90° + 60° = 150°。
故∠COB的度数为30°或150°。
(2) 同样分两种情况：
① 当OC在∠AOB内部时，由(1)得∠BOC=30°，
∵ OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×30° = 15°，
∴ ∠DOE = ∠COE + ∠COD = 30° + 15° = 45°；
② 当OC在∠AOB外部时，由(1)得∠BOC=150°，
∵ OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×150° = 75°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 75° - 30° = 45°。
综上，∠DOE的度数为45°。
(3) 能求出∠DOE的度数，求解过程如下：
① 当OC在∠AOB内部时，
∵ ∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 2α，
∵ OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×(90° - 2α) = 45° - α，∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×2α = α，
∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE = 45° - α + α = 45°；
② 当OC在∠AOB外部时，
∵ ∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴ ∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 90° + 2α，
∵ OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×(90° + 2α) = 45° + α，∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = α，
∴ ∠DOE = ∠DOC - ∠COE = 45° + α - α = 45°。
综上，∠DOE的度数为45°。
【答案】
(1) 画图如。$\boldsymbol{30°或150°}$
(2) 画图如。$\boldsymbol{45°}$
(3) 能，$\boldsymbol{∠DOE=45°}$，求解过程见解析。
【知识点】
角的和差计算、角平分线的定义、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在角度计算中的应用，解题时容易忽略OC在∠AOB外部的情况导致漏解；通过推导可发现，无论∠AOC的度数是多少（在题目给定范围内），∠DOE的度数恒为∠AOB的一半，该规律可简化同类题的求解。
【难度系数】
0.6