9. 根据题意,补全解题过程(每空只能填一条线段或一个数)。已知点 D 为线段 AB 的中点,点 C 在线段 AB 上。如图 4-6,若 $BC=2CD$,点 E 为线段 BD 的中点,$AE=18\ \mathrm{cm}$,求线段 AC 的长。

解:因为点 D 是 AB 的中点,
所以 $BD=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}AB$。
因为点 E 为 BD 的中点,
所以 $DE=\frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{4}\_\_\_\_\_\_$,
所以 $AE=\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_=\frac{3}{4}\_\_\_\_\_\_$。
因为 $AE=18\ \mathrm{cm}$,
所以 $\_\_\_\_\_\_=24\ \mathrm{cm}$,
所以 $AD=BD=12\ \mathrm{cm}$。
又因为 $BC=2CD$,
所以 $CD=\_\_\_\_\_\_BD=4\ \mathrm{cm}$,
所以 $AC=AD+CD=16\ \mathrm{cm}$。

9. AD BD AB AD DE AB AB $\frac{1}{3}$

【分析】
这是线段长度计算类题目，解题思路如下：首先利用线段中点的性质，把各分段线段和总线段AB建立数量关系，结合已知AE的长度先求出AB的总长；再根据BC=2CD的条件，推导出CD和BD的数量关系求出CD的长度；最后通过线段和差公式计算AC的长度。思考时要明确：中点会将线段分为等长的两段，长度均为原线段的$\frac{1}{2}$；复杂线段可以拆分为多个短段的和，通过等量代换就能建立已知量和未知量的联系。
【解析】
我们逐空推导填写依据：
1. 点D是AB的中点，根据中点定义，中点分AB所得的两条线段相等，因此$BD=AD=\frac{1}{2}AB$，第一空填$\boldsymbol{AD}$；
2. 点E为BD的中点，同理DE是BD的一半，因此$DE=\frac{1}{2}BD$，第二空填$\boldsymbol{BD}$；
3. 结合$BD=\frac{1}{2}AB$，代入得$DE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB$，第三空填$\boldsymbol{AB}$；
4. 观察线段AE的组成，AE由AD和DE两段拼接而成，因此$AE=AD+DE$，第四、五空依次填$\boldsymbol{AD}$、$\boldsymbol{DE}$；
5. 代入$AD=\frac{1}{2}AB$、$DE=\frac{1}{4}AB$，可得$AE=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{4}AB=\frac{3}{4}AB$，第六空填$\boldsymbol{AB}$；
6. 已知$AE=18\ \mathrm{cm}$，且$AE=\frac{3}{4}AB$，计算得$AB=18÷\frac{3}{4}=24\ \mathrm{cm}$，第七空填$\boldsymbol{AB}$；
7. 由$BC=2CD$，且$BD=CD+BC=CD+2CD=3CD$，可得$CD=\frac{1}{3}BD$，第八空填$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$。
【答案】
$AD$；$BD$；$AB$；$AD$；$DE$；$AB$；$AB$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，核心是熟练运用线段中点的性质，理清各线段之间的数量关系，通过等量代换建立已知线段和待求线段的关联就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

二、拓展性作业
10. 梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴交流。

解：
以下为北师大版七年级上册《有理数及其运算》章的知识结构梳理：
一、有理数的基础概念
1. 正负数：用于表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数
2. 有理数分类
① 按定义分：$\mathrm{有理数}\begin{cases}\mathrm{整数}\begin{cases}\mathrm{正整数}\\0\\\mathrm{负整数}\end{cases}\\\mathrm{分数}\begin{cases}\mathrm{正分数}\\\mathrm{负分数}\end{cases}\end{cases}$
② 按符号分：$\mathrm{有理数}\begin{cases}\mathrm{正有理数}\begin{cases}\mathrm{正整数}\\\mathrm{正分数}\end{cases}\\0\\\mathrm{负有理数}\begin{cases}\mathrm{负整数}\\\mathrm{负分数}\end{cases}\end{cases}$
3. 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，所有有理数都可以用数轴上的点表示
4. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为0
5. 绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离。性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
6. 有理数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小
二、有理数的相关运算
1. 运算法则
加法：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数加0仍得这个数
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0都得0
除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0的数都得0
乘方：求n个相同因数a的积的运算，记作$a^n$，乘方结果叫幂
2. 运算律
加法交换律：$a+b=b+a$
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac$
3. 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行

【分析】
梳理整章知识结构时，首先要对全章所学内容做分类整合，一般可先划分为基础概念、核心运算两大模块，再逐个梳理每个模块下的子知识点，明确每个知识点的核心内容、性质、规则，可采用分级列点、分类大括号等方式呈现，让知识脉络更清晰，便于理解和交流。
【解析】
我们以《有理数及其运算》章节为例，梳理知识结构如下：
首先划分两大板块：有理数的基础概念、有理数的相关运算，再分别梳理每个板块的内容：
一、有理数的基础概念
1. 正负数：用于表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数
2. 有理数分类
① 按定义分：$\mathrm{有理数}\begin{cases}\mathrm{整数}\begin{cases}\mathrm{正整数}\\0\\\mathrm{负整数}\end{cases}\\\mathrm{分数}\begin{cases}\mathrm{正分数}\\\mathrm{负分数}\end{cases}\end{cases}$
② 按符号分：$\mathrm{有理数}\begin{cases}\mathrm{正有理数}\begin{cases}\mathrm{正整数}\\\mathrm{正分数}\end{cases}\\0\\\mathrm{负有理数}\begin{cases}\mathrm{负整数}\\\mathrm{负分数}\end{cases}\end{cases}$
3. 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，所有有理数都可以用数轴上的点表示
4. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为0
5. 绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离。性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
6. 有理数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小
二、有理数的相关运算
1. 运算法则
加法：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数加0仍得这个数
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0都得0
除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0的数都得0
乘方：求n个相同因数a的积的运算，记作$a^n$，乘方结果叫幂
2. 运算律
加法交换律：$a+b=b+a$
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac$
3. 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行
【答案】
解：
以下为北师大版七年级上册《有理数及其运算》章的知识结构梳理：
一、有理数的基础概念
1. 正负数：用于表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数
2. 有理数分类
① 按定义分：$\mathrm{有理数}\begin{cases}\mathrm{整数}\begin{cases}\mathrm{正整数}\\0\\\mathrm{负整数}\end{cases}\\\mathrm{分数}\begin{cases}\mathrm{正分数}\\\mathrm{负分数}\end{cases}\end{cases}$
② 按符号分：$\mathrm{有理数}\begin{cases}\mathrm{正有理数}\begin{cases}\mathrm{正整数}\\\mathrm{正分数}\end{cases}\\0\\\mathrm{负有理数}\begin{cases}\mathrm{负整数}\\\mathrm{负分数}\end{cases}\end{cases}$
3. 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，所有有理数都可以用数轴上的点表示
4. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数和为0
5. 绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离。性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
6. 有理数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小
二、有理数的相关运算
1. 运算法则
加法：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数加0仍得这个数
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0都得0
除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0的数都得0
乘方：求n个相同因数a的积的运算，记作$a^n$，乘方结果叫幂
2. 运算律
加法交换律：$a+b=b+a$
加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$
乘法交换律：$ab=ba$
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$
乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac$
3. 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行
【知识点】
有理数基础概念、有理数的运算、有理数大小比较
【点评】
本题是知识归纳类题型，主要考查对整章知识的整合梳理能力，通过梳理能理清知识点间的逻辑关系，巩固所学内容，也能提升自身的归纳总结能力。
【难度系数】
0.8

11. 如图4-7，P是线段AB上一点，$AB=12\ \mathrm{cm}$，M，N两点分别从点P，B出发，分别以$1\ \mathrm{cm/s}$，$3\ \mathrm{cm/s}$的速度同时向左运动（点M在线段AP上，点N在线段BP上），运动时间为$t\ \mathrm{s}$。
(1)当点M，N运动1 s，且$PN=3AM$时，求AP的长度。
(2)当点M，N运动到任一时刻时，总有$PN=3AM$，AP的长度是否发生变化？若不变，请求出AP的长度；若变化，请说明理由。
(3)在(2)的条件下，Q是直线AB上一点，且$AQ=PQ+BQ$，求PQ的长度。

11. 解:(1)根据 M,N 的运动速度可知 $BN=3\ \mathrm{cm},PM=1\ \mathrm{cm}$。
因为 $AM+MP+PN+BN=AB$,且 $PN=3AM$,
所以 $AM+1+3AM+3=12$,
所以 $AM=2\ \mathrm{cm}$,所以 $AP=3\ \mathrm{cm}$。
(2)AP 的长度不发生变化。
根据 M,N 的运动速度可知 $BN=3PM$。
因为 $AM+MP+PN+BN=AB$,且 $PN=3AM$,
所以 $4AM+4PM=12$,
所以 $AP=3\ \mathrm{cm}$。
(3)当 Q 在线段 AB 上时,如所示：
因为 $AQ=PQ+BQ,AQ=AP+PQ$,
所以 $AP=BQ$,
所以 $PQ=AB-AP-BQ=6(\mathrm{cm})$；
当点 Q 在线段 AB 的延长线上时，
因为 $AQ=PQ+BQ,AQ=AP+PQ$,
所以 $BQ=AP=3\ \mathrm{cm}$,
所以 $PQ=PB+BQ=AB-AP+BQ=12-3+3=12(\mathrm{cm})$。
综上所述,$PQ=6\ \mathrm{cm}$ 或 $12\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 先根据运动速度和时间计算出运动1s时M、N移动的距离PM和BN，再将线段AB拆分为AM、PM、PN、BN四段的和，结合已知$PN=3AM$列方程求解AM的长度，最后由$AP=AM+PM$得出AP的长度。
(2) 根据M、N的速度比，可知任意时刻$BN=3PM$，再结合$PN=3AM$，对AB的四段和整理后可得出$AP=AM+PM$为定值，不随运动时间变化。
(3) 因为Q在直线AB上，需分两种情况讨论：①Q在线段AB上；②Q在线段AB的延长线上，分别结合$AQ=PQ+BQ$的条件和线段和差关系计算PQ的长度，避免漏解。
【解析】
(1) 由M、N的运动速度可知，运动1s时，$PM=1×1=1\ \mathrm{cm}$，$BN=3×1=3\ \mathrm{cm}$。
根据线段和差关系可得$AM+PM+PN+BN=AB$，
已知$PN=3AM$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AM + 1 + 3AM + 3 = 12$
解得$AM=2\ \mathrm{cm}$，
因此$AP=AM+PM=2+1=3\ \mathrm{cm}$。
(2) AP的长度不发生变化，理由如下：
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$PM=t\ \mathrm{cm}$，$BN=3t\ \mathrm{cm}$，即$BN=3PM$。
因为$PN=3AM$，且$AM+PM+PN+BN=AB$，
代入得$AM + PM + 3AM + 3PM = 12$，
整理得$4(AM+PM)=12$，即$AM+PM=3\ \mathrm{cm}$，
所以$AP=AM+PM=3\ \mathrm{cm}$，为定值，不随运动时间变化。
(3) 分两种情况讨论：
① 当Q在线段AB上时，如所示：
由线段和差可知$AQ=AP+PQ$，结合已知$AQ=PQ+BQ$，
可得$AP+PQ = PQ+BQ$，化简得$AP=BQ=3\ \mathrm{cm}$，
因此$PQ=AB - AP - BQ =12 -3 -3=6\ \mathrm{cm}$；
② 当Q在线段AB的延长线上时：
由线段和差可知$AQ=AP + PQ$，结合已知$AQ=PQ+BQ$，
可得$AP + PQ = PQ + BQ$，化简得$BQ=AP=3\ \mathrm{cm}$，
因此$PQ=PB + BQ = (AB - AP) + BQ = (12-3)+3=12\ \mathrm{cm}$。
综上，PQ的长度为6cm或12cm。
【答案】
(1) $AP=3\ \mathrm{cm}$；
(2) AP长度不发生变化，$AP=3\ \mathrm{cm}$；
(3) 当 Q 在线段 AB 上时,如所示：
因为 $AQ=PQ+BQ,AQ=AP+PQ$,
所以 $AP=BQ$,
所以 $PQ=AB-AP-BQ=6(\mathrm{cm})$；
当点 Q 在线段 AB 的延长线上时，
因为 $AQ=PQ+BQ,AQ=AP+PQ$,
所以 $BQ=AP=3\ \mathrm{cm}$,
所以 $PQ=PB+BQ=AB-AP+BQ=12-3+3=12(\mathrm{cm})$。
综上所述,$PQ=6\ \mathrm{cm}$ 或 $12\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段的和差计算，动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题考查线段中的动点计算，解题核心是把握运动过程中线段的数量关系，第三问需注意直线上的点存在多种位置，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6