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二、拓展性作业
10. 能不能由$(a+3)x = b - 1$得到等式$x = \frac{b - 1}{a + 3}$？为什么？反之，能不能由$x = \frac{b - 1}{a + 3}$得到$(a+3)x = b - 1$？为什么？
10. 能不能由$(a+3)x = b - 1$得到等式$x = \frac{b - 1}{a + 3}$？为什么？反之，能不能由$x = \frac{b - 1}{a + 3}$得到$(a+3)x = b - 1$？为什么？
答案
10. 解:不能由$(a+3)x=b-1$得到$x=\frac{b-1}{a+3}$,
因为当$a=-3$时,$a+3=0$,而0不能为除数,即不符合等式的基本性质2的规定。
由$x=\frac{b-1}{a+3}$可以得到$(a+3)x=b-1$,
因为$x=\frac{b-1}{a+3}$是已知条件,已知条件中隐含着条件$a+3≠0$,等式两边同乘同一个数,等式仍成立。
因为当$a=-3$时,$a+3=0$,而0不能为除数,即不符合等式的基本性质2的规定。
由$x=\frac{b-1}{a+3}$可以得到$(a+3)x=b-1$,
因为$x=\frac{b-1}{a+3}$是已知条件,已知条件中隐含着条件$a+3≠0$,等式两边同乘同一个数,等式仍成立。
解析
【分析】
解题时需围绕等式的基本性质2的适用条件展开思考：①判断第一个变形是否成立时，要将$(a+3)x = b - 1$的系数化为1，需要等式两边同时除以$(a+3)$，此时必须考虑除数$(a+3)$是否可能为0，若除数为0，除法运算无意义，不符合等式性质的要求；②判断第二个变形是否成立时，已知$x=\frac{b-1}{a+3}$，说明该表达式有意义，隐含了分母$a+3≠0$的前提，此时给等式两边同时乘$(a+3)$，符合等式的基本性质，变形成立。
【解析】
解：不能由$(a+3)x = b - 1$得到$x = \frac{b - 1}{a + 3}$，
因为当$a=-3$时，$a+3=0$，而0不能作除数，不符合等式基本性质2的规定。
由$x = \frac{b - 1}{a + 3}$可以得到$(a+3)x = b - 1$，
因为$x = \frac{b - 1}{a + 3}$是已知条件，隐含$a+3≠0$，等式两边同乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
【答案】
不能由$(a+3)x = b - 1$得到$x = \frac{b - 1}{a + 3}$，因为当$a=-3$时，$a+3=0$，0不能作除数，不符合等式基本性质2的规定；能由$x = \frac{b - 1}{a + 3}$得到$(a+3)x = b - 1$，因为已知$x = \frac{b - 1}{a + 3}$隐含$a+3≠0$，等式两边同乘同一个不为0的数，等式仍成立。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 除数不为0的规定
【点评】
本题重点考查等式性质的适用条件，易错点是将含字母系数的方程系数化1时，忽略系数为0的特殊情况，解题时要注意区分变形是否存在隐含的前提条件。
【难度系数】
0.7
解题时需围绕等式的基本性质2的适用条件展开思考：①判断第一个变形是否成立时，要将$(a+3)x = b - 1$的系数化为1，需要等式两边同时除以$(a+3)$，此时必须考虑除数$(a+3)$是否可能为0，若除数为0，除法运算无意义，不符合等式性质的要求；②判断第二个变形是否成立时，已知$x=\frac{b-1}{a+3}$，说明该表达式有意义，隐含了分母$a+3≠0$的前提，此时给等式两边同时乘$(a+3)$，符合等式的基本性质，变形成立。
【解析】
解：不能由$(a+3)x = b - 1$得到$x = \frac{b - 1}{a + 3}$，
因为当$a=-3$时，$a+3=0$，而0不能作除数，不符合等式基本性质2的规定。
由$x = \frac{b - 1}{a + 3}$可以得到$(a+3)x = b - 1$，
因为$x = \frac{b - 1}{a + 3}$是已知条件，隐含$a+3≠0$，等式两边同乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
【答案】
不能由$(a+3)x = b - 1$得到$x = \frac{b - 1}{a + 3}$，因为当$a=-3$时，$a+3=0$，0不能作除数，不符合等式基本性质2的规定；能由$x = \frac{b - 1}{a + 3}$得到$(a+3)x = b - 1$，因为已知$x = \frac{b - 1}{a + 3}$隐含$a+3≠0$，等式两边同乘同一个不为0的数，等式仍成立。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 除数不为0的规定
【点评】
本题重点考查等式性质的适用条件，易错点是将含字母系数的方程系数化1时，忽略系数为0的特殊情况，解题时要注意区分变形是否存在隐含的前提条件。
【难度系数】
0.7
11. 先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目。
例:已知 $10-6y+3y^2=1$，求 $y^2-2y+5$ 的值。
解:由 $10-6y+3y^2=1$，
得 $-6y+3y^2=1-10$，
即 $3y^2-6y=-9$，
因此 $y^2-2y=-3$，所以 $y^2-2y+5=2$。
题目:已知 $5x^2-8+15x=-3$，求 $2x^2+6x-3$ 的值。
例:已知 $10-6y+3y^2=1$，求 $y^2-2y+5$ 的值。
解:由 $10-6y+3y^2=1$，
得 $-6y+3y^2=1-10$，
即 $3y^2-6y=-9$，
因此 $y^2-2y=-3$，所以 $y^2-2y+5=2$。
题目:已知 $5x^2-8+15x=-3$，求 $2x^2+6x-3$ 的值。
答案
11. 解:因为$5x^2-8+15x=-3$,
所以$5x^2-8+15x+8=-3+8$,
所以$5x^2+15x=5$,
所以$x^2+3x=1$。
[图1] 所以$2x^2+6x-3=2(x^2+3x)-3=2×1-3=-1$。
所以$5x^2-8+15x+8=-3+8$,
所以$5x^2+15x=5$,
所以$x^2+3x=1$。
[图1] 所以$2x^2+6x-3=2(x^2+3x)-3=2×1-3=-1$。
解析
【分析】
这是代数式求值类问题，无需直接求出x的具体值，用整体代入法即可求解。解题思路如下：第一步先对已知等式变形，把常数项移到等号右侧，得到含x²、x的整式的值；第二步观察得到的整式和所求代数式中含x项的倍数关系，提取公因式后得到共同的整体部分$x^2+3x$，求出这个整体的值；第三步将所求代数式转化为含有该整体的式子，代入整体的值计算即可得到结果。
【解析】
解：由$5x^2 - 8 + 15x = -3$，
等式两边同时加8，得$5x^2 + 15x = -3 + 8$，
即$5x^2 + 15x = 5$，
等式两边同时除以5，得$x^2 + 3x = 1$，
将所求代数式变形得：$2x^2 + 6x - 3 = 2(x^2 + 3x) - 3$，
把$x^2 + 3x = 1$代入上式，可得$2×1 - 3 = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
代数式求值、整体代入法、等式的性质
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入思想，通过观察已知等式和所求代数式的结构特征，找到公共的整体部分，无需计算未知数的具体值就能简化运算，是代数式求值类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
这是代数式求值类问题，无需直接求出x的具体值，用整体代入法即可求解。解题思路如下：第一步先对已知等式变形，把常数项移到等号右侧，得到含x²、x的整式的值；第二步观察得到的整式和所求代数式中含x项的倍数关系，提取公因式后得到共同的整体部分$x^2+3x$，求出这个整体的值；第三步将所求代数式转化为含有该整体的式子，代入整体的值计算即可得到结果。
【解析】
解：由$5x^2 - 8 + 15x = -3$，
等式两边同时加8，得$5x^2 + 15x = -3 + 8$，
即$5x^2 + 15x = 5$，
等式两边同时除以5，得$x^2 + 3x = 1$，
将所求代数式变形得：$2x^2 + 6x - 3 = 2(x^2 + 3x) - 3$，
把$x^2 + 3x = 1$代入上式，可得$2×1 - 3 = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
代数式求值、整体代入法、等式的性质
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入思想，通过观察已知等式和所求代数式的结构特征，找到公共的整体部分，无需计算未知数的具体值就能简化运算，是代数式求值类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
