一、基础性作业
1. 根据等式的性质，若等式 $ m = n $ 可以变形为 $ m - a = n + b $，则（）。

A.$ a = b $
B.$ a = 2b $
C.$ a,b $ 互为倒数
D.$ a + b = 0 $

1.D

【分析】
解题的核心是运用等式的性质，结合已知的$m=n$的条件，推导$a$和$b$的数量关系。首先我们可以将$m=n$代入变形后的等式，消去$m$和$n$两个未知量，再通过等式的基本运算规则化简，就能得到$a$和$b$的关系，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
已知等式$m = n$，将其代入变形后的等式$m - a = n + b$中，可得：
$n - a = n + b$
根据等式的性质1，等式两边同时减去$n$，等式仍然成立：
$n - a - n = n + b - n$
化简后得到：$-a = b$
整理可得$a + b = 0$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质、代数式化简
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，重点考察等式变形的规则，解题时需注意等式两边进行加减运算时必须同时操作相同的数或式子，避免运算错误。
【难度系数】
0.8

2. 下列等式变形正确的是()。

A.若$a=b$,则$a-3=3-b$
B.若$x=y$,则$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{a}$
C.若$a=b$,则$ac=bc$
D.若$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$,则$b=d$

2.C

【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路是先回忆等式的两条基本性质，再逐一对每个选项进行验证，判断变形是否符合性质要求即可。等式性质1：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，注意除以的数不能为0是易错点。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a=b$，根据等式性质1，两边同时减3，可得$a-3=b-3$，而非$a-3=3-b$，故A错误；
B选项：若$x=y$，根据等式性质2，两边同时除以$a$时，要求$a≠0$，选项未说明$a$不为0，变形不成立，故B错误；
C选项：若$a=b$，根据等式性质2，两边同时乘$c$，无论$c$取何值，都有$ac=bc$，变形正确，故C正确；
D选项：若$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$，交叉相乘可得$bc=ad$，只有当$a=c$且$a,c≠0$时才有$b=d$，选项未给出限定条件，变形不成立，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质，分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质的基础考核题，重点考查对等式性质2中“除以的数不能为0”这一限制条件的掌握情况，做题时要注意挖掘选项中隐含的0的情况，避免粗心错选。
【难度系数】
0.8

3. 已知$2a + b = 2b + 1$，利用等式的基本性质可求得$2a - b$的值是。

3.1

【分析】
首先观察已知等式和所求代数式的结构差异：已知等式为$2a + b = 2b + 1$，目标是求$2a - b$的值，我们可以利用等式的基本性质1，对已知等式做同加减变形，消去多余的同类项，直接得到目标代数式的结果，不需要单独求a、b的具体数值。
【解析】
已知等式：$2a + b = 2b + 1$
根据等式的基本性质1，等式两边同时减去$2b$，等式仍然成立：
$2a + b - 2b = 2b + 1 - 2b$
合并同类项后可得：$2a - b = 1$
【答案】
1
【知识点】
等式的基本性质；整式的加减
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是明确目标代数式和已知等式的关联，灵活运用等式性质对等式做对应变形，即可快速得出结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.85

4. 如果$a=b$，那么$\dfrac{a}{c-2}=\dfrac{b}{c-2}$成立时c应满足的条件是。

4.$c≠2$

【分析】
我们先回忆等式的基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。本题是在$a=b$的两边同时除以$(c-2)$得到$\dfrac{a}{c-2}=\dfrac{b}{c-2}$，需要保证除数$(c-2)$不为0，同时分式的分母也不能为0，因此只需令$c-2≠0$，求解即可得到c的取值条件。
【解析】
解：根据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，同时分式的分母不能为0，因此要使$\dfrac{a}{c-2}=\dfrac{b}{c-2}$成立，需满足分母$c-2≠0$，解得$c≠2$。
【答案】
$c≠2$
【知识点】
等式的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础易错题，主要考查等式性质的应用，解题的关键是牢记等式两边同时除以的数不能为0，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.7

5. 小张在解方程 $5a - x = 13$ 时，误将“$-x$”看成“$+x$”，得到方程的解为 $x = -2$，则 $a$ 的值为 。

5.3

【分析】
解题的核心思路是：小张看错了方程中的符号，但他求出的解$x=-2$是满足他看错后的方程的。首先先写出小张误看后得到的错误方程，再将$x=-2$代入这个错误方程，就能得到关于$a$的一元一次方程，解这个方程即可求出$a$的值。
【解析】
小张误将“$-x$”看成“$+x$”，因此他实际解的方程为：
$5a + x = 13$
已知$x=-2$是这个方程的解，将$x=-2$代入上述方程，得：
$5a + (-2) = 13$
化简得：$5a - 2 = 13$
移项得：$5a = 13 + 2$
计算得：$5a = 15$
两边同时除以5，得：$a = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题解题的关键是明确错误的解对应满足错误的方程，结合方程的解的含义代入计算即可，难度较低，侧重对基础概念的应用考察。
【难度系数】
0.8

6. 对于数 $a, b, c, d$，规定一种数的运算：
$\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$
，那么当
$\begin{vmatrix}2 & 4 \\-3 & x\end{vmatrix} = 10$
时，$x = \_\_\_\_\_\_$。

6.$-1$

【分析】
首先要准确理解题目给出的新运算规则，二阶行列式$\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}$的运算结果是对角线上a与d的乘积，减去b与c的乘积。解题时先把给定行列式里的数对应到规则中的a、b、c、d，代入规则后就能得到关于x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
根据题中规定的运算规则$\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$，
对应$\begin{vmatrix}2 & 4 \\-3 & x\end{vmatrix}$，可知$a=2，b=4，c=-3，d=x$，代入规则可得：
$2x - 4×(-3) = 10$
先计算乘法项：
$2x + 12 = 10$
移项，将常数项移到等号右侧：
$2x = 10 - 12$
计算右侧得：
$2x = -2$
系数化为1，两边同时除以2：
$x = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确理解新定义的运算规则，按规则列出方程，计算时要注意负号的运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

7. 阅读理解题：
下面是小明将等式 $x - 5 = 3x - 5$ 进行变形的过程：
$x - 5 + 5 = 3x - 5 + 5$，①
$x = 3x$，②
$1 = 3$。③
(1)①的依据是；
(2)小明出错的一步是，错误的原因是；
(3)给出正确的解法。

7. 解:(1)等式的两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式
(2)③ 等式两边都除以x,x可能为0
(3)$x-5=3x-5$,
$x-5+5=3x-5+5$,
$x=3x$,
$x-3x=0,-2x=0,x=0$。

【分析】
解题思路如下：(1)观察第①步变形是给等式两边同时加5，对应回忆等式的基本性质即可得到依据；(2)从$x=3x$变形到$1=3$时，是给等式两边同时除以x，需注意等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，此处x的值可能为0，因此该步变形错误；(3)解该方程时，得到$x=3x$后，应通过移项将含x的项移到等式同侧，再合并同类项、系数化为1求出解，不能直接除以可能为0的x。
【解析】
(1)第①步给等式两边同时加5，依据是等式的性质1，即等式两边加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。
(2)小明出错的是第③步，从$x=3x$推导到$1=3$时，给等式两边同时除以x，但x的取值可能为0，0不能作除数，该变形不符合等式的性质要求。
(3)正确解法按步骤书写：
首先写原方程$x-5=3x-5$，
两边同时加5得$x-5+5=3x-5+5$，
化简得$x=3x$，
移项将含x的项移到左侧得$x-3x=0$，
合并同类项得$-2x=0$，
系数化为1得$x=0$。
【答案】
(1)等式的两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式
(2)③；等式两边都除以x,x可能为0
(3)$x-5=3x-5$,
$x-5+5=3x-5+5$,
$x=3x$,
$x-3x=0$,
$-2x=0$,
$x=0$。
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程解法；等式变形规则
【点评】
本题围绕等式性质设置，重点考查等式变形的易错点，即两边同时除以同一个数时需保证该数不为0，能有效帮助学生明确等式变形的适用条件，规范解方程的步骤。
【难度系数】
0.8

8. 解方程：
(1) $8 + x = -5$；
(2) $3x - 4 = 11$；
(3) $-\frac{1}{3}x - 5 = 4$；
(4) $3x - 6 = -31 - 2x$。

8. 解:(1)$x=-13$;(2)$x=5$;(3)$x=-27$;
(4)$x=-5$。

【分析】
这四道题均为一元一次方程求解问题，解题遵循一元一次方程的通用步骤：①移项，将含未知数的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项要改变符号；②合并同类项，将等号左右两边的项分别合并化简；③系数化为1，等号两边同时除以未知数的系数，即可得到方程的解，每道题按照这个思路逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$8 + x = -5$
移项，得 $x = -5 - 8$
合并同类项，得 $x = -13$
(2) 解方程$3x - 4 = 11$
移项，得 $3x = 11 + 4$
合并同类项，得 $3x = 15$
系数化为1，得 $x = 5$
(3) 解方程$-\frac{1}{3}x - 5 = 4$
移项，得 $-\frac{1}{3}x = 4 + 5$
合并同类项，得 $-\frac{1}{3}x = 9$
系数化为1（两边同时乘$-3$），得 $x = -27$
(4) 解方程$3x - 6 = -31 - 2x$
移项，得 $3x + 2x = -31 + 6$
合并同类项，得 $5x = -25$
系数化为1，得 $x = -5$
【答案】
(1)$x=-13$；(2)$x=5$；(3)$x=-27$；(4)$x=-5$
【知识点】
一元一次方程解法、移项法则、等式的性质
【点评】
这组题目是解一元一次方程的基础训练题，侧重考察解一元一次方程的核心步骤，重点要注意移项时符号的变化，熟练掌握这类基础题型能为后续求解更复杂的方程打下扎实基础。
【难度系数】
0.9

9. 学校食堂“光盘行动”:每吃完一份午餐盖一个章,集满5个章可换一瓶酸奶。小丽吃完午餐盖了一个章后,章数正好能换2瓶酸奶(用完所有章)。她原来有几个章？

9. 解:设她原来有x个章,则她吃完午餐后共有$(x+1)$个章,而换2瓶酸奶需要10个章,
则$x+1=5×2$,
解得$x=9$。
所以她原来有9个章。

【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：首先明确兑换规则，1瓶酸奶需要5个章，可先算出兑换2瓶酸奶需要的总章数；其次小丽吃完午餐新盖1个章后的总章数，刚好等于兑换2瓶酸奶的总章数，也就是原有章数加1等于兑换2瓶酸奶的总章数。我们可以设原有章数为未知数，根据等量关系列一元一次方程求解，也可以直接用总章数倒推原有章数。
【解析】
解：设她原来有$x$个章。
兑换2瓶酸奶需要的章数为：$5×2=10$（个）
小丽吃完午餐后的总章数为$x+1$，根据题意总章数刚好可兑换2瓶酸奶（用完所有章），列方程得：
$x+1=5×2$
化简得：$x+1=10$
移项解得：$x=10-1=9$
【答案】
她原来有9个章。
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系分析
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查学生从实际问题中提取数量关系、运用方程解决简单实际问题的能力，解题关键是理清原有章数、新增章数和兑换所需总章数三者的逻辑关系。
【难度系数】
0.85