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1. (教材数学理解改编)分别用代入消元法和加减消元法解方程组$\begin{cases}x+y=7, \\5x+3y=31,\end{cases}$并说明两种方法的共同点.
答案
1. 解:代入消元法:令$\begin{cases} x+y=7 ①, \\5x+3y=31 ②, \end{cases}$
由①,得$y=7-x$③,
将③代入②,得$5x+3(7-x)=31$,解得$x=5$.
将$x=5$代入③,得$y=2$,
所以原方程组的解是$\begin{cases} x=5, \\ y=2. \end{cases}$
加减消元法:令$\begin{cases} x+y=7 ①, \\5x+3y=31 ②, \end{cases}$
①$×5-$②,得$2y=4$,解得$y=2$.
将$y=2$代入①,得$x=5$,
所以原方程组的解是$\begin{cases} x=5, \\ y=2. \end{cases}$
两种方法的共同点:都是先消去其中一个未知数,再将二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
由①,得$y=7-x$③,
将③代入②,得$5x+3(7-x)=31$,解得$x=5$.
将$x=5$代入③,得$y=2$,
所以原方程组的解是$\begin{cases} x=5, \\ y=2. \end{cases}$
加减消元法:令$\begin{cases} x+y=7 ①, \\5x+3y=31 ②, \end{cases}$
①$×5-$②,得$2y=4$,解得$y=2$.
将$y=2$代入①,得$x=5$,
所以原方程组的解是$\begin{cases} x=5, \\ y=2. \end{cases}$
两种方法的共同点:都是先消去其中一个未知数,再将二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}5x+by=1,\\x-2y=5\end{cases}$与$\begin{cases}ax+5y=9,\\5x+y=3\end{cases}$的解相同，则$(a - 10b)^{2025}$的值为________。
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
解：由题意可得，两个方程组的公共解满足方程组
$\begin{cases}x-2y=5\\5x+y=3\end{cases}$
将$5x+y=3$两边同时乘以2，得$10x+2y=6$，
与$x-2y=5$相加，得$11x=11$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$x-2y=5$，得$1-2y=5$，解得$y=-2$。
将$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$5x+by=1$，得：
$5×1 + b×(-2)=1$，解得$b=2$。
将$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$ax+5y=9$，得：
$a×1 +5×(-2)=9$，解得$a=19$。
则$a-10b=19 - 10×2=-1$，
所以$(a-10b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
$\begin{cases}x-2y=5\\5x+y=3\end{cases}$
将$5x+y=3$两边同时乘以2，得$10x+2y=6$，
与$x-2y=5$相加，得$11x=11$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$x-2y=5$，得$1-2y=5$，解得$y=-2$。
将$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$5x+by=1$，得：
$5×1 + b×(-2)=1$，解得$b=2$。
将$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$ax+5y=9$，得：
$a×1 +5×(-2)=9$，解得$a=19$。
则$a-10b=19 - 10×2=-1$，
所以$(a-10b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
(2025 江苏徐州树人中学期末改编) 对于有理数 $x$, $y$, 定义新运算:$x\#y = ax + by$, $x\oplus y = ax - by$, 其中 $a,b$ 是常数. 已知 $1\#1 = 3$, $3\oplus2 = -1$.
(1) 求 $a,b$ 的值;
(2) 若关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}x\#y = 3m -1, \\x\oplus \frac{1}{2}y =5\end{cases}$ 的解也满足方程 $2x + y =1$, 求 $m$ 的值.
(1) 求 $a,b$ 的值;
(2) 若关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}x\#y = 3m -1, \\x\oplus \frac{1}{2}y =5\end{cases}$ 的解也满足方程 $2x + y =1$, 求 $m$ 的值.
答案
解:(1)由定义新运算:$x\#y=ax+by$,$x\oplus y=ax-by$可得$\begin{cases} a+b=3, \\3a-2b=-1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1, \\ b=2; \end{cases}$
(2)由定义新运算:$x\#y=ax+by$,$x\oplus y=ax-by$可得$\begin{cases} x+2y=3m-1, \\x-y=5, \end{cases}$
两式相加,得$2x+y=3m+4$,
由条件可知$3m+4=1$,
解得$m=-1$.
解得$\begin{cases} a=1, \\ b=2; \end{cases}$
(2)由定义新运算:$x\#y=ax+by$,$x\oplus y=ax-by$可得$\begin{cases} x+2y=3m-1, \\x-y=5, \end{cases}$
两式相加,得$2x+y=3m+4$,
由条件可知$3m+4=1$,
解得$m=-1$.
2. 一题多变（教材问题解决改编）某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产了17吨，其中水稻超产15%，小麦超产10%.该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？
答案
2. 解:设该专业户去年计划生产水稻$x$吨,小麦$y$吨,
根据题意,得$\begin{cases} x+y=15, \\1.15x+1.1y=17, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=10, \\ y=5, \end{cases}$
所以$1.15x=11.5$(吨),$1.1y=5.5$(吨),
所以该专业户去年实际生产水稻11.5吨,小麦5.5吨.
根据题意,得$\begin{cases} x+y=15, \\1.15x+1.1y=17, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=10, \\ y=5, \end{cases}$
所以$1.15x=11.5$(吨),$1.1y=5.5$(吨),
所以该专业户去年实际生产水稻11.5吨,小麦5.5吨.
(2025 陕西西安交大附中期末)“绿水青山就是金山银山”,科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用. 已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2 倍少 4 mg,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为 62 mg. 请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量.
答案
解:设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为$x$ mg,一片银杏树叶一年的平均滞尘量为$y$ mg,
由题意得$\begin{cases} y=2x-4, \\x+y=62, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=22, \\ y=40. \end{cases}$
答:一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg,一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg.
由题意得$\begin{cases} y=2x-4, \\x+y=62, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=22, \\ y=40. \end{cases}$
答:一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg,一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg.
3. (2025河南省实验期末)开学初,某中学八(1)班学生去商场买了A品牌足球1个、B品牌足球2个,共花费210元,八(2)班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个,共花费230元.
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元?
(2)为响应“足球进校园”的号召,学校使用经费1500元购买A,B两种品牌的足球供学生使用,恰好全部用完,那么学校可购买两种品牌足球各多少个?请写出所有可能的购买方案.
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元?
(2)为响应“足球进校园”的号召,学校使用经费1500元购买A,B两种品牌的足球供学生使用,恰好全部用完,那么学校可购买两种品牌足球各多少个?请写出所有可能的购买方案.
答案
3. 解:(1)设购买一个$A$品牌的足球需$x$元,购买一个$B$品牌的足球需$y$元,
由题意,得$\begin{cases} x+2y=210, \\3x+y=230, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=50, \\ y=80, \end{cases}$
答:购买一个$A$品牌的足球需50元,购买一个$B$品牌的足球需80元;
(2)设购买$A$品牌的足球$m$个,$B$品牌的足球$n$个,
由题意,得$50m+80n=1500$,
即$5m+8n=150$,
因为$m,n$均为非负整数,
所以$\begin{cases} m=30, \\ n=0 \end{cases}$或$\begin{cases} m=22, \\ n=5 \end{cases}$或$\begin{cases} m=14, \\ n=10 \end{cases}$或$\begin{cases} m=6, \\ n=15, \end{cases}$
所以学校有4购买足球的方案:
方案一:购买$A$品牌的足球30个;
方案二:购买$A$品牌的足球22个、$B$品牌的足球5个;
方案三:购买$A$品牌的足球14个、$B$品牌的足球10个;
方案四:购买$A$品牌的足球6个、$B$品牌的足球15个.
由题意,得$\begin{cases} x+2y=210, \\3x+y=230, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=50, \\ y=80, \end{cases}$
答:购买一个$A$品牌的足球需50元,购买一个$B$品牌的足球需80元;
(2)设购买$A$品牌的足球$m$个,$B$品牌的足球$n$个,
由题意,得$50m+80n=1500$,
即$5m+8n=150$,
因为$m,n$均为非负整数,
所以$\begin{cases} m=30, \\ n=0 \end{cases}$或$\begin{cases} m=22, \\ n=5 \end{cases}$或$\begin{cases} m=14, \\ n=10 \end{cases}$或$\begin{cases} m=6, \\ n=15, \end{cases}$
所以学校有4购买足球的方案:
方案一:购买$A$品牌的足球30个;
方案二:购买$A$品牌的足球22个、$B$品牌的足球5个;
方案三:购买$A$品牌的足球14个、$B$品牌的足球10个;
方案四:购买$A$品牌的足球6个、$B$品牌的足球15个.
