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1. 综合与实践:
【问题背景】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形,若将它们绕公共顶点旋转,对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系.数学小组对此进行了研究:如图 1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,分别取 AB,AC的中点 D,E,连结 DE.如图 2,将△ADE绕点 A 逆时针旋转,连结 BD,CE.
【探究发现】如图 2,当点 D 在△ABC 内部时,线段 BD 和 CE 的长度存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明.
【性质应用】如图 3,当 DE 所在直线首次经过点 B 时,直接写出 CE 的长.
【问题背景】借助三角形的中位线可构造一组相似三角形,若将它们绕公共顶点旋转,对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系.数学小组对此进行了研究:如图 1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,分别取 AB,AC的中点 D,E,连结 DE.如图 2,将△ADE绕点 A 逆时针旋转,连结 BD,CE.
【探究发现】如图 2,当点 D 在△ABC 内部时,线段 BD 和 CE 的长度存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明.
【性质应用】如图 3,当 DE 所在直线首次经过点 B 时,直接写出 CE 的长.
答案
【探究发现】$CE=\sqrt{2}BD$. 证明如下:
∵在
中,AB,AC的中点分别为 D, E, $\therefore AD=\frac{1}{2}AB, AE=\frac{1}{2}AC. \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}. \therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}. \because ∠ ABC=90°, AB=BC=4,$$\therefore ∠ BAC=45°, AC=\sqrt{2}AB$. 根据旋转的性质可得,$∠ BAD=∠ CAE$. 又$\because \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}, \therefore △ ABD ∽ △ ACE. \therefore \frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}. \therefore CE=\sqrt{2}BD.$
【性质应用】$\because$ 图1中, $AB=BC=4$, D, E分别是AB,AC的中点, $\therefore DE// BC, AD=\frac{1}{2}AB=2. \therefore ∠ ADE=∠ ABC=90°. \therefore$ 图3中, 当DE所在直线经过点B时, $AD⊥ BE. \therefore ∠ ADB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中, 根据勾股定理, 得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=2\sqrt{3}$. 由【探究发现】可得, $CE=\sqrt{2}BD=2\sqrt{6}.$
解析
【分析】
探究发现部分：先利用三角形中位线的性质得到AD与AB、AE与AC的比例关系，结合等腰直角三角形的性质推导AB与AC的比例，再根据旋转的性质得到相等的夹角∠BAD=∠CAE，即可通过两边成比例且夹角相等证明△ABD与△ACE相似，进而得到BD和CE的数量关系；性质应用部分：先根据原图形中位线平行的性质得到∠ADE为直角，旋转后DE过点B时可得∠ADB为直角，先用勾股定理求出BD的长度，再代入探究发现得到的比例关系即可求出CE的长度。
【解析】
探究发现
猜想：$CE=\sqrt{2}BD$，证明如下：
∵在△ABC中，AB、AC的中点分别为D、E，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB, AE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$。
∵$∠ ABC=90°, AB=BC=4$，
$\therefore ∠ BAC=45°, AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}AB$。
根据旋转的性质可得：$∠ BAD=∠ CAE$，
又$\because \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$，
$\therefore \frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，即$CE=\sqrt{2}BD$。
性质应用
∵图1中，$AB=BC=4$，D、E分别是AB、AC的中点，
$\therefore DE// BC, AD=\frac{1}{2}AB=2$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC=90°$。
图3中，当DE所在直线经过点B时，$AD⊥ BE$，即$∠ ADB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
由探究发现的结论$CE=\sqrt{2}BD$，代入得：
$CE=\sqrt{2}×2\sqrt{3}=2\sqrt{6}$。
【答案】
【探究发现】$CE=\sqrt{2}BD$；【性质应用】$2\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合探究题，以三角形旋转为背景，从特殊位置推导一般规律，再应用规律解决问题，考察了对几何性质的综合运用能力和逻辑推理能力，解题时要注意前后问题的关联性，直接应用前面得到的结论可简化计算。
【难度系数】
0.6
探究发现部分：先利用三角形中位线的性质得到AD与AB、AE与AC的比例关系，结合等腰直角三角形的性质推导AB与AC的比例，再根据旋转的性质得到相等的夹角∠BAD=∠CAE，即可通过两边成比例且夹角相等证明△ABD与△ACE相似，进而得到BD和CE的数量关系；性质应用部分：先根据原图形中位线平行的性质得到∠ADE为直角，旋转后DE过点B时可得∠ADB为直角，先用勾股定理求出BD的长度，再代入探究发现得到的比例关系即可求出CE的长度。
【解析】
探究发现
猜想：$CE=\sqrt{2}BD$，证明如下：
∵在△ABC中，AB、AC的中点分别为D、E，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB, AE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$。
∵$∠ ABC=90°, AB=BC=4$，
$\therefore ∠ BAC=45°, AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}AB$。
根据旋转的性质可得：$∠ BAD=∠ CAE$，
又$\because \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$，
$\therefore \frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，即$CE=\sqrt{2}BD$。
性质应用
∵图1中，$AB=BC=4$，D、E分别是AB、AC的中点，
$\therefore DE// BC, AD=\frac{1}{2}AB=2$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC=90°$。
图3中，当DE所在直线经过点B时，$AD⊥ BE$，即$∠ ADB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
由探究发现的结论$CE=\sqrt{2}BD$，代入得：
$CE=\sqrt{2}×2\sqrt{3}=2\sqrt{6}$。
【答案】
【探究发现】$CE=\sqrt{2}BD$；【性质应用】$2\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合探究题，以三角形旋转为背景，从特殊位置推导一般规律，再应用规律解决问题，考察了对几何性质的综合运用能力和逻辑推理能力，解题时要注意前后问题的关联性，直接应用前面得到的结论可简化计算。
【难度系数】
0.6
2. 综合与探究:
(1)【证明推断】如图①,在$△ ABC$中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于点G.求证:$\frac{GE}{CE}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$.
(2)【类比探究】如图②,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE,BD交于点F.若$AB=6$,则OF的长为
(3)【拓展运用】如图③,若将(2)中的正方形ABCD变为$□ ABCD$,E仍为BC的中点,连结DE交AC于点G.若四边形OFEG的面积为$\frac{1}{2}$,求$□ ABCD$的面积.
(1)【证明推断】如图①,在$△ ABC$中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于点G.求证:$\frac{GE}{CE}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$.
(2)【类比探究】如图②,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE,BD交于点F.若$AB=6$,则OF的长为
$\sqrt{2}$
.(3)【拓展运用】如图③,若将(2)中的正方形ABCD变为$□ ABCD$,E仍为BC的中点,连结DE交AC于点G.若四边形OFEG的面积为$\frac{1}{2}$,求$□ ABCD$的面积.
答案
(1) 证明: 如图①
, 连结DE.∵D、E分别是边BC、AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE$//$AC, $DE=\frac{1}{2}AC$.
∴$△ DEG ∽ △ ACG. \therefore \frac{GE}{GC}=\frac{GD}{GA}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}. \therefore \frac{GE}{CE}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}.$
(2) $\sqrt{2}$
(3) 解: 如图③
, 连结OE. 同(1)易得$OF=\frac{1}{3}OB, OG=\frac{1}{3}OC. \therefore S_{△ OFE}=\frac{1}{3}S_{△ OBE}, S_{△ OGE}=\frac{1}{3}S_{△ OCE}. \because S_{\mathrm{四边形}OFEG}=\frac{1}{2}, \therefore S_{△ OFE}+S_{△ OGE}=\frac{1}{3}S_{△ OBE}+\frac{1}{3}S_{△ OCE}=\frac{1}{3}S_{△ OBC}=\frac{1}{2}. \therefore S_{△ OBC}=\frac{3}{2}. \therefore S_{□ ABCD}=4S_{△ OBC}=4×\frac{3}{2}=6.$解析
【分析】
(1) 要证明线段比例为$\frac{1}{3}$，已知D、E是中点，可连接DE构造三角形中位线，利用中位线得到平行关系和线段比例，进而证明两个三角形相似，通过相似比转化得到待证的比例关系。
(2) 先根据正方形边长求出对角线长度，得到OB的长，结合(1)的结论，可知F是△ABC的重心，得到OF与OB的比例关系，代入计算即可求出OF的长。
(3) 连接OE，沿用(1)的结论得到OF、OG与OB、OC的比例关系，根据同高三角形面积比等于底的比，推导得出四边形OFEG的面积与△OBC面积的关系，再利用平行四边形对角线将其分成4个面积相等的三角形，即可求出平行四边形的总面积。
【解析】
(1) 证明：如图①，连结DE。
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AC$，$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴$△ DEG ∽ △ ACG$，
∴$\frac{GE}{GC}=\frac{GD}{GA}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{GE}{CE}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$。
(2) 解：
∵正方形ABCD的边长$AB=6$，
∴对角线$BD=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$，
∵正方形对角线交于点O，
∴$OB=\frac{1}{2}BD=3\sqrt{2}$，
由(1)的结论可得$OF=\frac{1}{3}OB$，
∴$OF=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
(3) 解：如图③，连结OE。
同(1)的结论易得$OF=\frac{1}{3}OB$，$OG=\frac{1}{3}OC$，
∵△OFE和△OBE同高，底的比为$1:3$，
∴$S_{△ OFE}=\frac{1}{3}S_{△ OBE}$，
同理可得$S_{△ OGE}=\frac{1}{3}S_{△ OCE}$，
∵$S_{四边形OFEG}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ OFE}+S_{△ OGE}=\frac{1}{3}S_{△ OBE}+\frac{1}{3}S_{△ OCE}=\frac{1}{3}S_{△ OBC}=\frac{1}{2}$，
解得$S_{△ OBC}=\frac{3}{2}$，
∵平行四边形对角线将四边形分成4个面积相等的三角形，
∴$S_{□ ABCD}=4S_{△ OBC}=4×\frac{3}{2}=6$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\sqrt{2}$；
(3) $□ABCD$的面积为$6$。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的性质，特殊四边形的性质
【点评】
本题是典型的类比探究类几何题，从三角形重心性质出发，逐步拓展到正方形、平行四边形场景，体现了从特殊到一般的探究思想，解题时可直接迁移已证结论简化推导，同时要熟练掌握同高三角形的面积与底的比例关系，是解决此类面积问题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明线段比例为$\frac{1}{3}$，已知D、E是中点，可连接DE构造三角形中位线，利用中位线得到平行关系和线段比例，进而证明两个三角形相似，通过相似比转化得到待证的比例关系。
(2) 先根据正方形边长求出对角线长度，得到OB的长，结合(1)的结论，可知F是△ABC的重心，得到OF与OB的比例关系，代入计算即可求出OF的长。
(3) 连接OE，沿用(1)的结论得到OF、OG与OB、OC的比例关系，根据同高三角形面积比等于底的比，推导得出四边形OFEG的面积与△OBC面积的关系，再利用平行四边形对角线将其分成4个面积相等的三角形，即可求出平行四边形的总面积。
【解析】
(1) 证明：如图①
，连结DE。∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AC$，$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴$△ DEG ∽ △ ACG$，
∴$\frac{GE}{GC}=\frac{GD}{GA}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{GE}{CE}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$。
(2) 解：
∵正方形ABCD的边长$AB=6$，
∴对角线$BD=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$，
∵正方形对角线交于点O，
∴$OB=\frac{1}{2}BD=3\sqrt{2}$，
由(1)的结论可得$OF=\frac{1}{3}OB$，
∴$OF=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
(3) 解：如图③
，连结OE。同(1)的结论易得$OF=\frac{1}{3}OB$，$OG=\frac{1}{3}OC$，
∵△OFE和△OBE同高，底的比为$1:3$，
∴$S_{△ OFE}=\frac{1}{3}S_{△ OBE}$，
同理可得$S_{△ OGE}=\frac{1}{3}S_{△ OCE}$，
∵$S_{四边形OFEG}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ OFE}+S_{△ OGE}=\frac{1}{3}S_{△ OBE}+\frac{1}{3}S_{△ OCE}=\frac{1}{3}S_{△ OBC}=\frac{1}{2}$，
解得$S_{△ OBC}=\frac{3}{2}$，
∵平行四边形对角线将四边形分成4个面积相等的三角形，
∴$S_{□ ABCD}=4S_{△ OBC}=4×\frac{3}{2}=6$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\sqrt{2}$；
(3) $□ABCD$的面积为$6$。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的性质，特殊四边形的性质
【点评】
本题是典型的类比探究类几何题，从三角形重心性质出发，逐步拓展到正方形、平行四边形场景，体现了从特殊到一般的探究思想，解题时可直接迁移已证结论简化推导，同时要熟练掌握同高三角形的面积与底的比例关系，是解决此类面积问题的关键。
【难度系数】
0.6
